Polünoom on monomialide summa, st arvude ja muutujate korrutised. Sellega on mugavam töötada, kuna enamasti võimaldab avaldise teisendamine polünoomiks seda oluliselt lihtsustada.
Juhised
Laiendage kõik avaldise sulud. Selleks kasutage valemeid, näiteks (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Kui te valemeid ei tea või neid on antud avaldisele raske rakendada, avage sulud järjestikku. Selleks korrutage esimese avaldise esimene liige teise avaldise iga liikmega, seejärel esimese avaldise teine liige teise avaldise iga liikmega jne. Selle tulemusena korrutatakse mõlema sulu kõik elemendid kokku.
Kui sulgudes on kolm avaldist, korruta esmalt kaks esimest, jättes kolmanda avaldise puutumata. Pärast esimeste sulgude teisendamisel saadud tulemuse lihtsustamist korrutage see kolmanda avaldisega.
Järgige hoolikalt monomiaalsete tegurite ees olevaid märke. Kui korrutate kaks sama märgiga liiget (näiteks mõlemad on positiivsed või mõlemad negatiivsed), on monomial plussmärk. Kui ühe termini ees on "-", ärge unustage seda tootele üle kanda.
Vähendage kõik monomiaalid standardvormile. See tähendab, et korraldage sees olevad tegurid ümber ja lihtsustage. Näiteks avaldis 2x*(3,5x) võrdub (2*3,5)*x*x=7x^2.
Kui kõik monoomid on standarditud, proovige polünoomi lihtsustada. Selleks rühmitage terminid, millel on sama osa muutujatega, näiteks (2x+5x-6x)+(1-2). Avaldist lihtsustades saad x-1.
Pöörake tähelepanu parameetrite olemasolule avaldises. Mõnikord on vaja polünoomi lihtsustada nii, nagu oleks parameeter arv.
Juurt sisaldava avaldise teisendamiseks polünoomiks printige selle alla ruudustav avaldis. Näiteks kasutage valemit a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, seejärel eemaldage juurmärk koos paarisastmega. Kui te ei saa juuremärgist lahti, ei saa te avaldist standardpolünoomiks teisendada.
“Arvuliste oskuste parandamine” - Numbrite koostamine. Toimingute kordamine. Korrutamine. Lisand. Sulgude avamise reeglid. Lisand negatiivsed arvud. Lahutamine. Lisand tavalised murrud. Erinevate märkidega numbrite liitmine. Arvutusoskuste parandamine. Lahutamine ühekohaline number. Viitediagramm. Toiming veerus. Monoomi korrutamine polünoomiga.
"Arvude ruutude erinevus" - ruut. Lühendatud korrutusvalem. Kahe avaldise ruutude erinevus. Töö lauaga. Ruudude erinevus. Geomeetriline tähendus valemid. Kuidas saate valemit lugeda? Tehke korrutamine. Kas sulgude kirjutamise järjekord mõjutab tulemust? Valem (a+b)(a-b)=a2-b2. Kahe avaldise erinevuse ja nende summa korrutis.
“Polünoomi korrutamine polünoomiga” – reegel polünoomi polünoomiga korrutamiseks. Mäng "Ava pilt". Ava pilt. Esimese polünoomi iga liige korrutatakse omakorda teise polünoomi iga liikmega. Vaatleme kõige lihtsamate polünoomide, nimelt binoomide korrutist. Ühel polünoomil on m ja teisel n liiget. Tunniplaan.
“Polünoomi faktoriseerimine” – esialgne teisendus. Klassifitseerige need polünoomid faktoriseerimise meetodi järgi. Ühise teguri väljavõtmine sulgudest. Lühendatud korrutusvalemite rakendamine. Valikumeetod täisruut. Testor. Vastused: Tunni ülevaade: Konfutsius. Lühendatud korrutusvalemid. Rühmitamise meetod.
"Täisarvulise avaldise teisendamine polünoomiks" – millised avaldistest on täisarvud: Täisarvuavaldiste näideteks on järgmised avaldised: Tunni eesmärgid: Harjutus õpilaste redutseerimisel sarnased terminid. Polünoomid ja eriti monomiaalid on täisarvulised avaldised. Arendada õpilaste arvutioskusi. Tutvustage kogu väljendi mõistet. Täisarvu avaldiste teisendamine.
"Lühendatud korrutamisvalemite tund" - Tunni eesmärk: Korrata ja kokku võtta praktilisi oskusi ja oskusi teemal "Lühendatud korrutusvalemid". Tunni teema: VÄHENDATUD KORRUTISE VALEMID. Valmistu selleks, mis tuleb proovitöö. Ülesanne: Esimese ruudu küljed on 1 cm rohkem külgi teine ruut ja esimese ruudu pindala on 9 cm2 rohkem ala teine ruut.
Teemas on kokku 24 ettekannet
Erinevate algebras käsitletavate avaldiste hulgas on monomiaalide summadel oluline koht. Siin on näited sellistest väljenditest:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Monoomide summat nimetatakse polünoomiks. Polünoomi termineid nimetatakse polünoomi terminiteks. Polünoomideks liigitatakse ka monoomi, pidades monoomi ühest liikmest koosnevat polünoomi.
Näiteks polünoom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
saab lihtsustada.
Esitame kõik terminid standardvormi monomialidena:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Esitame saadud polünoomis sarnased terminid:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tulemuseks on polünoom, mille kõik liikmed on standardkuju monoomid ja nende hulgas pole sarnaseid. Selliseid polünoome nimetatakse standardkuju polünoomid.
Taga polünoomi aste tüüpvormil on selle liikmete kõrgeim volitus. Seega on binoomil \(12a^2b - 7b\) kolmas aste ja trinoomil \(2b^2 -7b + 6\) teine.
Tavaliselt on üht muutujat sisaldavate standardvormi polünoomide terminid paigutatud eksponentide kahanevasse järjekorda. Näiteks:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Mitme polünoomi summa saab teisendada (lihtsustatud) standardkujuliseks polünoomiks.
Mõnikord tuleb polünoomi liikmed jagada rühmadesse, lisades iga rühma sulgudesse. Kuna kaasavad sulgud on avasulgude pöördteisendus, on seda lihtne sõnastada sulgude avamise reeglid:
Kui sulgude ette on pandud märk “+”, siis sulgudes olevad terminid kirjutatakse samade märkidega.
Kui sulgude ette on pandud märk “-”, kirjutatakse sulgudes olevad terminid vastandmärkidega.
Mono- ja polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).
Kasutades jaotusvara korrutusi saab teisendada (lihtsustatud) polünoomiks, mono- ja polünoomi korrutiseks. Näiteks:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Monoomi ja polünoomi korrutis on identselt võrdne selle monoomi ja polünoomi iga liikme korrutiste summaga.
See tulemus sõnastatakse tavaliselt reeglina.
Monoomi polünoomiga korrutamiseks peate selle monomi korrutama polünoomi iga liikmega.
Oleme seda reeglit juba mitu korda summaga korrutamiseks kasutanud.
Polünoomide korrutis. Kahe polünoomi korrutise teisendamine (lihtsustamine).
Üldiselt on kahe polünoomi korrutis identselt võrdne ühe polünoomi iga liikme ja teise iga liikme korrutise summaga.
Tavaliselt kasutatakse järgmist reeglit.
Polünoomi polünoomiga korrutamiseks peate korrutama ühe polünoomi iga liikme teise liikmega ja liitma saadud korrutised.
Lühendatud korrutusvalemid. Ruudude summa, erinevused ja ruutude vahe
Mõne väljendiga algebralised teisendused peavad teistest sagedamini tegelema. Võib-olla on kõige levinumad avaldised \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), st summa ruut, summa ruut ruutude erinevus ja erinevus. Märkasite, et nende avaldiste nimed tunduvad olevat puudulikud, näiteks \((a + b)^2 \) ei ole loomulikult mitte ainult summa ruut, vaid a ja b summa ruut . A ja b summa ruut ei esine aga kuigi sageli, reeglina sisaldab see tähtede a ja b asemel erinevaid, kohati üsna keerulisi avaldisi.
Avaldisi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) saab hõlpsasti teisendada (lihtsustatud) standardvormi polünoomideks; tegelikult olete selle ülesandega polünoomide korrutamisel juba kokku puutunud:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Saadud identiteedid on kasulik meeles pidada ja neid ilma vahepealsete arvutusteta rakendada. Lühikesed verbaalsed formuleeringud aitavad seda.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summa ruut võrdub ruutude ja topeltkorrutise summaga.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erinevuse ruut võrdub ruutude summaga ilma kahekordistamata.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ruutude vahe võrdub vahe ja summa korrutisega.
Need kolm identiteeti võimaldavad teisendustes asendada vasakpoolsed osad parempoolsetega ja vastupidi - parempoolsed osad vasakpoolsetega. Kõige keerulisem on näha vastavaid avaldisi ja mõista, kuidas muutujad a ja b neis asendatakse. Vaatame mitmeid näiteid lühendatud korrutusvalemite kasutamisest.
Polünoom on monomialide summa, st arvude ja muutujate korrutised. Sellega on mugavam töötada, sest enamasti võimaldab avaldise polünoomiks reformimine seda palju rohkem lihtsustada.
Juhised
1. Laiendage kõik avaldise sulud. Selleks kasutage valemeid, näiteks (a+b)^2=a^2+2ab+b^2. Kui te valemeid ei tea või neid on antud avaldisele raske rakendada, avage sulud samm-sammult. Selleks korrutage esimese avaldise 1. liige teise avaldise kogu liikmega, seejärel esimese avaldise 2. liige teise avaldise kogu liikmega jne. Selle tulemusena korrutatakse mõlema sulu kõik elemendid kokku.
2. Kui sulgudes on kolm avaldist, korruta esmalt kaks esimest, jättes kolmanda avaldise puutumata. Olles lihtsustanud esimeste sulgude reformimise tulemusena saadud tulemust, korrutage see kolmanda avaldisega.
3. Olge ettevaatlik, et jälgida märke monomaalsete tegurite ees. Kui korrutate kaks sama märgiga liiget (näiteks mõlemad on õiged või mõlemad negatiivsed), on monomial plussmärk. Kui ühe termini ees on "-", ärge unustage seda teosesse üle kanda.
4. Vähendage kõik monomiaalid standardvormile. See tähendab, et korraldage sees olevad tegurid ümber ja lihtsustage. Oletame, et avaldis 2x*(3,5x) võrdub (2*3,5)*x*x=7x^2.
5. Kui kõik monoomid on standarditud, proovige polünoomi lihtsustada. Selleks ütlevad rühmaliikmed, kellel on muutujatega identsed osad (2x+5x-6x)+(1-2). Avaldist lihtsustades saad x-1.
6. Pange tähele parameetrite olemasolu avaldises. Mõnikord tuleb polünoomi reljeef teha nii, nagu oleks parameeter arv.
7. Juurt sisaldava avaldise teisendamiseks polünoomiks printige selle alla avaldis, mis ruudustatakse. Oletame, et kasutage valemit a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2, seejärel eemaldage juurmärk koos paarisastmega. Kui juurmärgist pole võimalik vabaneda, ei saa te avaldist teisendada standardvormi polünoomiks.
Lühidus, nagu öeldakse, on kingituse õde. Kõik tahavad ilma asjata uhkeldada, kuid tema õde on raske asi. Millegipärast võtavad fenomenaalsed mõtted kuju keerulised laused enamiku osalustsüklitega. Siiski on teie võimuses oma ettepanekuid lihtsustada ning kõigile arusaadavaks ja kättesaadavaks teha.
Juhised
1. Vastuvõtja (olgu siis kuulaja või lugeja) elu lihtsamaks muutmiseks proovige osa- ja osalustsüklid asendada lühikeste kõrvallausetega, ainult siis, kui ühes lauses on liiga palju ülaltoodud tsükleid. "Kass, kes tuli koju, äsja söönud hiirt, nurises valjult, paitas omanikku, püüdes talle silma vaadata, lootes kerjata poest toodud kala" - see ei tööta. Jagage sarnane konstruktsioon mitmeks osaks, ärge kiirustage ja ärge proovige kõike ühe lausega öelda, ja olete õndsuses.
2. Kui plaanisite andekat avaldust, kuid selles osutus liiga palju kõrvallaused(eriti ühe sidesõnaga), siis on parem avaldus mitmeks eraldiseisvaks lauseks jaotada või mõni element välja jätta. "Otsustasime, et ta ütleb Marina Vassiljevnale, et Katja ütleb Vitale, et..." - võib jätkata lõputult. Lõpetage õigel ajal ja pidage meeles inimest, kes seda loeb või kuulab.
3. Ent lõkse ei peitu ainult lause struktuuris. Pöörake tähelepanu sõnavarale. Võõrsõnad, pikad terminid, sõnad võetud ilukirjandus 19. sajand – see kõik muudab taju vaid keerulisemaks. Peate enda jaoks selgeks tegema, millisele publikule te teksti koostate: tehnikamehed on loomulikult teadlikud nii keerulistest terminitest kui ka konkreetsetest sõnadest; aga kui sa pakud samu sõnu kirjandusõpetajale, siis tõenäoliselt ta sind ei mõista.
4. Kingitus on suurepärane asi. Kui olete geenius (ja võimeteta inimesi pole olemas), avaneb teie ees palju teid. Kuid kingitus ei seisne raskustes, vaid lihtsuses, ükskõik kui ebatavaline. Olge see lihtne ja teie kingitused on selged ja kõigile kättesaadavad.
Video teemal
Isegi kõige keerulisem võrrand ei tundu enam hirmutav, kui taandate selle vormile, mida olete juba kohanud. Eriti lihtne meetod, mis igas olukorras päästab, on polünoomide taandamine standardvormile. See on lähtepunkt, kust saate lahenduse poole liikuda.
Sa vajad
- paber
- värvilised pliiatsid
Juhised
1. Pidage meeles polünoomi standardvormi, et teaksite, mida peaksite lõpuks saama. Isegi kirjutamise järjekord on oluline: liikmed koos suuremal määral. Lisaks on tavaks kirjutada esmalt üles tundmatud, mida tähistavad tähed tähestiku alguses.
2. Kirjutage esialgne polünoom üles ja alustage sarnaste terminite otsimist. Need on teile antud võrrandi liikmed, millel on identne täheosa ja/või digitaalne osa. Suurema selguse huvides tõstke tuvastatud paarid esile. Pange tähele, et sarnasus ei tähenda identiteeti - peaasi, et paari üks liige sisaldab 2. Seega on terminid xy, xy2z ja xyz sarnased – neil on universaalne osa x ja y korrutise kujul. Sama kehtib ka võimuväljendite kohta.
3. Märgistage erinevad sarnased liikmed erinevalt. Selle saavutamiseks tõstke esile ühe-, kahe- ja kolmekordsete joonte, värvide ja muude joonekujudega.
4. Kui olete leidnud kõik sarnased liikmed, alustage nende ühendamist. Selleks eemaldage tuvastatud paaridest sarnased terminid sulgudest. Ärge unustage seda sisse standardvorm Polünoomil pole sarnaseid termineid.
5. Kontrollige, kas teie kirjesse on jäänud identseid elemente. Mõnel juhul võib teil olla jälle sarnaseid liikmeid. Korrake toimingut neid kombineerides.
6. Täitke kindlasti polünoomi standardkujul kirjutamiseks vajalikud teised andmed: kogu selle osalejat tuleb kujutada standardkujul monomiana: esiteks on numbritegur, teisel kohal on muutuja või muutujad, mis järgnevad näidatud järjekord. Sel juhul on prioriteet tähestikuga määratud tähtede jada. Vähenevad kraadid võetakse arvesse teisejärguliselt. Niisiis, standardvaade Monoomne tähistus on 7xy2, samas kui y27x, x7y2, y2x7, 7y2x, xy27 ei vasta nõuetele.
Video teemal
Matemaatikateadus mõistab erinevad kujundused, arvujadad, nendevahelised seosed, võrrandite koostamine ja lahendamine. See ametlik keel, millel on lubatud selgelt kirjeldada teistes teadusvaldkondades mõistetud reaalobjektide peaaegu täiuslikke omadusi. Üks selline konstruktsioon on polünoom.
Juhised
1. Polünoom või polünoom (kreeka keelest "poly" - paljud ja ladina "nomen" - nimi) - klass elementaarsed funktsioonid klassikaline algebra ja algebraline geomeetria. See on ühe muutuja funktsioon, mis on kujul F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, kus c_i on fikseeritud indikaatorid, x on muutuja.
2. Polünoome kasutatakse paljudes valdkondades, sealhulgas null-, negatiivsed ja kompleksarvud, rühmateooria, rõngad, sõlmed, hulgad jne. Polünoomarvutuste kasutamine muudab erinevate objektide omaduste väljendamise palju lihtsamaks.
3. Polünoomi põhimääratlused: iga polünoomi liiget nimetatakse monomiaalseks või monomiliseks. 2 monomiaalist koosnevat polünoomi nimetatakse binoomseks või binoomseks. Polünoomkoefitsiendid – reaal- või kompleksarvud. Kui juhtiv astendaja on 1, siis nimetatakse polünoomi unitaarseks (taandatud). Muutuja astmed mis tahes monomialis on täisarvud mittenegatiivsed arvud, maksimaalne aste määrab polünoomi astme ja selle täielikku astet nimetatakse täisarvuks, võrdne summaga kõik kraadid. Monoomne vastav null kraadi, nimetatakse vabaliikmeks. Polünoom, mille kõik monoomid on identsed täiskraad, nimetatakse homogeenseks.
4. Mõned sageli kasutatavad polünoomid on nimetatud teadlase nime järgi, kes need määratles ja kirjeldas ka nende määratletud funktsioone. Oletame, et Newtoni binoom on valem 2 muutujast koosneva polünoomi lagundamiseks võimsuste arvutamise üksikliikmeteks. Need on kuulsad kooli õppekava summa ja vahe ruutude kirjutamine (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^ 2 ja vaheruudud (a^2 – b^2) = (a – b)*(a + b).
5. Kui lubame polünoomi tähistuses negatiivseid astmeid, saame polünoomi või Laurent'i jada; Tšebõševi polünoomi kasutatakse lähendamise teoorias; Hermiidi polünoom – tõenäosusteoorias; Lagrange - eest numbriline integreerimine ja interpoleerimine; Taylor - funktsiooni lähendamisel jne.
Märge!
Newtoni binoom on sageli mainitud raamatutes ("Meister ja Margarita") ja filmides ("Stalker"), kui tegelased otsustavad matemaatika ülesandeid. See termin hästi tuntud ja seetõttu peetakse seda kõige tuntumaks polünoomiks.
Väljendeid muudetakse sagedamini nende lihtsamaks muutmiseks. Selleks kasutatakse erisuhteid, samuti reegleid sarnaste vähendamiseks ja vähendamiseks.
Sa vajad
- – tehted murdarvudega;
- – lühendatud korrutusvalemid;
- - kalkulaator.
Juhised
1. Lihtsaim reform on tuua sarnased. Kui on mitu terminit, mis on identsete teguritega monomiaalid, saab nende eksponendi lisada, võttes arvesse nende eksponentide ees olevaid märke. Ütleme väljendus 2 n-4n+6n-n=3 n.
2. Kui on identsed tegurid erinevad kraadid, ei ole lubatud sarnaseid sarnaselt kokku viia. Rühmitage ainult need näitajad, millel on identse astmega tegurid. Ütleme nii, et lihtsustame väljendus 4 k?-6 k+5 k?-5 k?+k-2 k?=3 k?-k?-5 k.
3. Kui see on võimalik, kasutage lühendatud korrutamisvalemeid. Eriti kuulsad on 2 numbri summa või erinevuse kuup ja ruut. Nad esindavad erijuhtum Newtoni binoom. Lühendatud korrutusvalemid sisaldavad ka 2 arvu ruutude erinevust. Oletame, et avaldise 625-1150+529=(25-23)?=4 väärtuste avastamiseks. Või 1296-576=(36+24) (36-24)=720.
4. Millal teisendada väljendus, mis on loomulik murd, eraldage kõik lugeja ja nimetaja ühine kordaja ja vähendage selle võrra lugejat ja nimetajat. Oletame, et vähendame murdosa 3 (a+b)/(12 (a?-b?)). Selleks teisendage see kujule 3 (a+b)/(3 4 (a-b) (a+b)). Lõika see maha väljendus 3 (a+b) võrra saad 1/(4 (a-b)).
5. Muutuv trigonomeetrilised avaldised, kasutage teadaolevaid trigonomeetrilisi identiteete. Nende hulka kuuluvad põhiidentiteet sin?(x)+cos?(x)=1, samuti puutujavalemid ja selle seos kotangensiga sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tan(x) = ctg(x). Argumentide erinevuse summa valemid, samuti mitu argumenti. Oletame, et teisendada väljendus(cos?(x)-sin?(x)) cos?(x) tan(x)= cos(2x) cos?(x) sin(x)/cos(x)= cos(2x) cos(x) sin(x)= cos(2x) cos(x) sin(x) 2/2= cos(2x) sin(2x)/2=cos(2x) sin(2x) 2/4= sin(4x)/4 . See väljendus palju lihtsam arvutada.
Valemite reformimise protseduuri kasutatakse igas teaduses, mis kasutab matemaatika formaalset keelt. Valemid koosnevad spetsiaalsetest sümbolitest, mis on omavahel teatud reeglite järgi ühendatud.
Sa vajad
- Matemaatiliste identiteedireformide reeglite tundmine, matemaatiliste identiteetide tabel.
Juhised
1. Uurige murdude olemasolu avaldist. Murru lugeja ja nimetaja saab korrutada või jagada sama avaldisega, vabanedes nimetajast. Võrrandi ümbervormistamisel kontrollige, kas nimetajates on muutujaid. Kui jah, lisage tingimus, et nimetaja avaldis ei ole võrdne nulliga. Valige sellelt andmed kehtetud väärtused muutujad, st piirangud määratlusvaldkonnas.
2. Rakendage reegleid volitustega toimingute jaoks identsetel alustel. Selle tulemusena terminite arv väheneb.
3. Liigutage muutujat sisaldavad terminid võrrandi ühele küljele ja need, mis seda ei sisalda, teisele poole. Lihtsamaks muutmiseks rakendage võrrandi igale osale matemaatilisi identiteete.
4. Rühmitage homogeensed terminid. Selleks võtke sulgudest välja universaalmuutuja, mille sees kirjutage üles näitajate summa, võttes arvesse märke. Sama muutuja astet käsitletakse erineva muutujana.
5. Kontrollige, kas valem sisaldab näiteid polünoomide identsetest ümberkujundamistest. Oletame, kas valemi paremal või vasakul küljel on ruutude vahe, kuubikute summa, vahe ruut, summa ruut jne. Kui on, siis asenda avastatud valim selle lihtsustatud analoog ja proovige uuesti termineid rühmitada.
6. Reformi korral trigonomeetrilised võrrandid, ebavõrdsust või lihtsaid väljendeid, leidke neist mustreid trigonomeetrilised identiteedid ja kasutage meetodit avaldise osa asendamiseks identse lihtsustatud avaldisega. See reform võimaldab teil vabaneda mittevajalikest siinustest või koosinustest.
7. Et muuta nurgad kõigisse üldine vaade või radiaani kujul, kasutage redutseerimisvalemeid. Hilisem ümberkujundamine arvutab väärtuse kahekordne nurk või poolnurk sõltuvalt pi-st.
IV JAGU.
VÄLJENDUSTE LAGUNEMINE LIHTSETEKSTEKS.
§ 1. Polünoomide teisendamine korrutisteks ilma lühendatud korrutamis- ja jagamisvalemeid kasutamata.
Kui polünoomi kõik liikmed sisaldavad ühist tegurit, saate kogu polünoomi selle teguriga jagada ja tähistada sama teguri korrutamist saadud polünoomi jagatisega. Sellest see väljend ei muuda oma viise kvantitatiivne väärtus, vaid toimub toote kujul. Näiteks binoom ab+ac saab esitada kujul A (b+c ).
Seda vormiteisendust nimetatakse ühisteguri sulgudest välja võtmiseks. Selle toimingu tegemisel tuleks sulgudest välja panna kõik, mis võimalik, nii et sulgudes oleva jagatises ei jääks ühistegurit.
Mõnikord antakse sulgudest välja võttes üldterminile miinusmärk. Sel juhul kirjutatakse sulgudes olevad jagatise liikmed vastandlike märkidega nendele, mis liikmete ees olid antud polünoom. Negatiivne märkühine tegur kehtib kogu toote kohta. Näiteks binoom - ab+ac saab esitada kui (- A )(b-c ) ja selle asemel kirjutavad nad - A (b-c ) ja miinus ei kehti enam ühe teguri kohta A , vaid kogu teosele.
Kui polünoomi liikmetel puudub ühine tegur, siis mõnikord edukalt rühmitades liikmed mitmeks rühmaks, mis sisaldavad igas rühmas mitut liiget, leitakse nendes moodustatud rühmades ühine ja pealegi polünoomtegur. Sageli piisab sellise rühmitamise jaoks mitme liikme lisamisest sulgudesse + või - märgiga.
Näiteks kolmeliikmelise avaldise olemasolu A (b +Koos )+b+c paneme kaks viimast terminit sulgudesse plussmärgiga ja leiame avaldise A (b +Koos )+(b+c ), mida võib pidada binoomseks ja mis muundatakse tooteks ( A +1 )(b+c ).
Sarnane sellele väljendis A (b-c )-b+c paneme kaks viimast liiget sulgudesse miinusmärgiga, mis paneb avaldise vormi võtma A (b-c )-(b-c ) ja seejärel muudetud tooteks ( A - 1 )(b-c ).
Enamikul praktikas esinevatel juhtudel on ühise polünoomiteguri avastamiseks vaja mitte ainult kombineerida antud polünoomi tingimusi rühmadesse, vaid ka tuletada nendes rühmades ühine monomiaaltegur, mis on igaühe jaoks erinev. rühmad. Rühmade eduka valiku korral ja kohustusliku tingimuse juures võtta kõik võimalik välja, on kogu antud polünoomi ühistegur kergesti avastatav.
Näiteks polünoomi omamine A 3 +a 2 b +2ab 2 +2b 3 , ühendame kaks esimest terminit ühte gruppi ja kaks viimast teise ning paneme need esimesse rühma sulgudesse A 2 ja teises 2b 2 ; saame A 2 (a+b )+ 2b 2 (a+b ) või ( a+b )(A 2 +2b 2 ). Sama tulemuse saab saavutada, kui võtta faktor välja esimeses ja kolmandas osas A , ning teises ja neljandas kordaja b .
Samamoodi polünoomi kombineerimine 3A 3 - 3A 2 b-ab 2 +b 3 esimene liige kolmandaga ja teine neljandaga ning esimese rühma kordaja väljavõtmine A ja teises teguris - b, saada A (3A 2 -b 2 )-b (3A 2 -b 2 ) või ( a-b )(3A 2 -b 2 ). Sama tulemuse oleks saanud siis, kui kaks esimest terminit oleks sulgudest välja võetud 3A 2 , ja kahest viimasest -b 2 .
Tuleb märkida, et seda tüüpi teisendused on väga mitmekesised, eriti kombineerituna teiste algebraliste tehtega. Seetõttu on nende teisenduste jaoks võimatu anda üldisi ja täielikult määratletud reegleid; oskus nendes omandatakse ainult põhjaliku ja metoodilise harjutamise teel.
Mõnikord on enne polünoomi liikmete rühmitamist polünoomiteguri tuletamiseks vaja mõnda terminit laiendada algebraline summa uued liikmed, mis on sarnased lagunevatele. Sel juhul rühmitatakse osad laiendatud terminitest järgmiselt erinevad rühmad. Kasutame kolmeliikmeliste avaldiste teisendamiseks laiendusmeetodit.
Trinoomi teisendamiseks X 2 +5X+6 , laiendame mõistet 5 X liikmete summale 2 X Ja 3 X . Nii saame:
X 2 +5X+6 = X 2 +2x+ 3 X +6 = X (X +2 )+3 (X +2 )==(X +2 )(X +3 ).
Trinoomi teisendamiseks X 2 +2X -15 , laiendame terminit + 2X liikmete summas + 5X Ja - 3X Leiame:
X 2 +2X -15 = X 2 +5X - 3X -15 = X (X +5 )-3 (X +5 )==(X -3 )(X +5 ).
Kehtib üldreegel, mis näitab, millal on võimalik selle kujuga trinoomid korrutiseks teisendada ja kuidas sellist teisendust läbi viia. Selle reegli tuletamiseks ja mõistmiseks peate laiendama ainult nelja trinoomi tüüpi X 2 ± ( a+b )X +ab Ja X 2 ± ( a-b )X -ab , võttes igaüks neist eraldi ja alustades teisendamist sulgude avamisega. Siis selgub, et need trinoomid, mille esimene koefitsient on X 2 on üks, teine koefitsient juures X mis iganes sulle meeldib, kuid kolmas koefitsient või liige, mis ei sisalda X on nende koguste algebraline korrutis, mille algebraliseks summaks on teine koefitsient lagunenud. Niisiis, trinoomil X 2 +5X+6 koefitsient 5 on arvude summa 3 Ja 2 , A 6 on samade arvude korrutis kolmikarvus X 2 +2X -15 koefitsient - 2 on koguste summa - 5 ja + 3 , A - 15 on samade koguste korrutis. Trinoomi teisendamiseks, kui see on võimalik, peate kasutama kolmanda ja teise koefitsiendi märke ja arvväärtusi, et leida viis, kuidas kolmas koefitsient jaotada kahe suuruse korrutiseks ja teine koefitsiendi summaks. samad kogused. Vaatame mõnda näidet:
Olgu näiteks antud kolmnurk X 2 -11X+24 . Kuna koefitsient 24 on positiivne, siis peavad selle nõutavatel tootjatel olema samad märgid. Otsustades selle järgi, et teine koefitsient on 11 negatiivne, näeme, et need koefitsient tootjad 24 või koefitsiendi tingimused - 11 mõlemad on negatiivsed. Lõpuks laguneb 24 kahe poolt negatiivne kordaja ja nende summa võrdlemine - 11 , veendugem, et trinoomi muutmiseks tooteks peame laiendama keskmine liige - 11 X liikmete kohta - 3 X Ja - 8 X.
Oletame ka, et meile on antud kolmik X 2 - 7X-30 . Siin on koefitsient 30 negatiivne; sellepärast on see tootjatel olemas erinevad märgid. Koefitsient -7 negatiivne; Järelikult on selle liitmise teel koostamisel esikohal negatiivne liige, millel on seega suurem arvväärtus. Seega liige on 7X tuleb jagada liikmeteks - 10X Ja +3X.
Tihtipeale teisendatakse korrutisteks ka kolminoomid, mille esimene koefitsient ei ole ühtsus. Selliseid teisendusi me nüüd ei näita üldreegel, mille järeldus nõuab keerukamat põhjendust.
Arendades ülalpool vaadeldud trinoomide korrutiseks muutmise meetodit, saame polünoomid laiendada kõrgemad kraadid nendel juhtudel, kui need esindavad esimese astme kõige lihtsamate binoomide korrutisi. Selliste teisenduste lihtsustamiseks on kasulik selgitada järgmist märkust: oletame, et iga polünoom sisaldab tegurina mõnda binoom x + a . Kuna see binoom, kui asendada X läbi - A , kaob, siis polünoom, mis sisaldab x+a kordaja peab ka selle asendusega kaduma. Samamoodi, kui polünoom sisaldab tegurina binoom Ha , mis kaob asendamisel X läbi A, siis polünoom ise kaob sama asendusega. Tõsi on ka vastupidine: kui polünoom sisaldab erinevad kraadid X , kaob asendamisel X läbi - A või läbi A , siis jaguneb see tõenäoliselt esimesel juhul järgmiseks x+a , ja teises sisse Ha , sest polünoomi kadumist ühe näidatud asenduste all saab seletada ainult sellega, et polünoom sisaldab vastavat binoomtegurit. Ülaltoodud märkused pakuvad lihtsat vahendit polünoomi binoomteguri avastamiseks ja seejärel saab selle teguri sulgudes jagada polünoomi keskmised liikmed algebralisteks summadeks.
Võtame näiteks polünoomi X 3 +6X 2 +11X+6 . See kaob asendamisel X läbi - 1 ja seepärast jaguneb X +1. Teades seda tegurit ette, hõlbustame enda jaoks terminite summadeks jaotamist, valides igale liikmele, alustades kõrgeimast, järgmise liikme osa, nii et rühmitatud terminite paar sisaldab tegurit. X +1 . Seetõttu viiakse ümberkujundamine läbi järgmiselt:
X
3
+6X 2 +11X+6
= X
3
+X
2
+5X
2
+5X+6X+6
= X
2
(X
+1
)+ 5X
(X
+1
)+ 6
(X
+1
)= (X
+1
)(X
2
+5X
+6
) =
= (X
+1
)(X
+2
)(X
+3
)
Samamoodi märgime, et polünoom X 3 -4X 2 -11X+30 läheb asendamisel nulli X läbi 2 ja on seetõttu jagatud X- 2 . Seetõttu teostame teisenduse järgmiselt:
X
3
-4X 2 -11X+30
= X
3
-2X 2 -2X
2
+4X-15X+30
= X
2
(X
-2
) -2X(X-2)-15
(X
-2
)=
=(X
-2
)(X
2
-2X
-15
)=(X
-2
)(X
+3
)(X
-5
).
Kordaja esialgse valiku teeb lihtsamaks asjaolu, et polünoomi on vaja asendada ainult need suurused numbriline väärtus mis sisaldub tegurina polünoomi viimases liikmes. See selgub polünoomi väljendamise kaalumisel üldine vorm töötab ( X +A )(X +b )(X +c ) . Selle polünoomi viimane liige on abc.
