Kuidas lahendada logaritmi ilma aluseta. Naturaallogaritm, funktsioon ln x

Positiivse arvu b logaritm aluse a (a>0, a ei võrdu 1-ga) on arv c, nii et a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Pange tähele, et mittepositiivse arvu logaritm on määratlemata. Lisaks peab olema logaritmi alus positiivne arv, ei võrdu 1-ga. Näiteks kui paneme ruudu -2, saame arvu 4, kuid see ei tähenda, et 4 aluse -2 logaritm on võrdne 2-ga.

Põhiline logaritmiline identiteet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

On oluline, et selle valemi parema ja vasaku külje definitsiooni ulatus oleks erinev. Vasak pool on defineeritud ainult b>0, a>0 ja a ≠ 1 korral. Parem pool on defineeritud iga b jaoks ja ei sõltu a-st üldse. Seega võib põhilogaritmilise “identiteedi” rakendamine võrrandite ja võrratuste lahendamisel kaasa tuua OD muutumise.

Logaritmi määratluse kaks ilmset tagajärge

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Tõepoolest, kui tõstame arvu a esimesse astmesse, saame sama arvu ja tõstes selle esimesse astmesse null kraadi- üks.

Korrutise logaritm ja jagatise logaritm

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Tahaksin hoiatada koolilapsi nende valemite mõtlematu rakendamise eest lahendamisel logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused. Kui kasutate neid "vasakult paremale", ODZ kitseneb ja logaritmide summalt või erinevuselt korrutise või jagatise logaritmile liikudes ODZ laieneb.

Tõepoolest, avaldis log a (f (x) g (x)) on defineeritud kahel juhul: kui mõlemad funktsioonid on rangelt positiivsed või kui f (x) ja g (x) on mõlemad väiksemad kui null.

Muutuv see väljend summasse log a f (x) + log a g (x) , oleme sunnitud piirduma ainult juhtumiga, kui f(x)>0 ja g(x)>0. Esineb ala kitsenemist vastuvõetavad väärtused, ja see on kategooriliselt vastuvõetamatu, kuna see võib viia lahenduste kadumiseni. Sarnane probleem valemi (6) jaoks olemas.

Kraadi saab logaritmi märgist välja võtta

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Ja taas tahaksin nõuda täpsust. Kaaluge järgmist näidet:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Võrdsuse vasak pool on ilmselgelt määratletud kõigi f(x) väärtuste jaoks, välja arvatud null. Parem pool on ainult f(x)>0 jaoks! Võttes astme logaritmist välja, kitsendame taas ODZ-d. Vastupidine protseduur viib vastuvõetavate väärtuste vahemiku laiendamiseni. Kõik need märkused kehtivad mitte ainult võimsuse 2, vaid ka mis tahes ühtlase võimsuse kohta.

Valem uuele sihtasutusele kolimiseks

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

See harv juhus, kui ODZ teisenduse ajal ei muutu. Kui olete valinud aluse c targalt (positiivne ja mitte 1), on uuele alusele kolimise valem täiesti ohutu.

Kui valime uueks baasiks c arvu b, saame olulise erijuhtum valemid (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Mõned lihtsad näited logaritmidega

Näide 1. Arvuta: log2 + log50.
Lahendus. log2 + log50 = log100 = 2. Kasutasime logaritmide summa valemit (5) ja kümnendlogaritmi definitsiooni.

Näide 2. Arvuta: lg125/lg5.
Lahendus. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kasutasime uude baasi liikumise valemit (8).

Logaritmidega seotud valemite tabel

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Tuleneb selle määratlusest. Ja nii ka arvu logaritm b põhineb A on defineeritud kui astendaja, milleni arv tuleb tõsta a numbri saamiseks b(logaritm eksisteerib ainult positiivsete arvude puhul).

Sellest sõnastusest järeldub, et arvutus x=log a b, on võrdne võrrandi lahendamisega a x =b. Näiteks, log 2 8 = 3 sest 8 = 2 3 . Logaritmi sõnastus võimaldab põhjendada, et kui b=a c, siis arvu logaritm b põhineb a võrdub Koos. Samuti on selge, et logaritmide teema on tihedalt seotud arvu astmete teemaga.

Logaritmidega, nagu kõigi arvudega, saate hakkama liitmise, lahutamise tehted ja muuta igal võimalikul viisil. Kuid kuna logaritmid ei ole täiesti tavalised arvud, kehtivad siin oma erireeglid, mida nimetatakse peamised omadused.

Logaritmide liitmine ja lahutamine.

Võtame kaks samade alustega logaritmi: logi x Ja logi a y. Seejärel on võimalik teha liitmise ja lahutamise toiminguid:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi x 1 + logi x 2 + logi x 3 + ... + logi a x k.

Alates logaritmi jagatise teoreem Võib saada veel ühe logaritmi omaduse. On üldteada, et logi a 1 = 0, seega

logi a 1 /b= log a 1 - palk a b= - log a b.

See tähendab, et on olemas võrdsus:

log a 1 / b = - log a b.

Kahe pöördarvu logaritmid samal põhjusel erinevad üksteisest ainult märgi poolest. Niisiis:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

peamised omadused.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identsed põhjused

Log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Üleminek uuele vundamendile

Las see antakse logaritmi logi kirves. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada ja täpne väärtus eksponente ja Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

4. Kus .

Näide 2. Leia x, kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid ei ole täpselt tavalised numbrid, siin on reeglid, mida nimetatakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtki tõsist probleemi. logaritmiline ülesanne. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Märge: võtmehetk Siin - identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast ümberkujundamisi osutuvad need üsna tavalised numbrid. Paljud on sellele faktile üles ehitatud proovipaberid. Aga juhtnupud? sarnased väljendid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta) pakutakse ühtsel riigieksamil.

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Seda on lihtne märgata viimane reegel järgneb kahele esimesele. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

ma arvan, et viimane näide vaja selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmi valemid. Logaritmide näited lahendused.

Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavapärastes harva numbrilised avaldised. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.

Nagu uuele alusele ülemineku valemid, peamine logaritmiline identiteet mõnikord on see ainuvõimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse võimude korrutamise reegleid samal alusel, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt saab omadusteks nimetada – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: logaritm selle aluse enda mis tahes baasile a võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, aga kui argument sisaldab ühte - logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

B-st lähtuv logaritm a-aluseks tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab astme x () leidmist, mille juures võrdsus on täidetud

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna peaaegu kõik logaritmidega seotud ülesanded ja näited lahendatakse nende põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide summa ja erinevuse valemit (3.4) arvutades kohtate üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kaks.
Logaritmi kümne baasini nimetatakse tavaliselt kümnendlogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x)-ga.

Salvestusest selgub, et põhitõed pole salvestusel kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on eksponent (tähistatakse ln(x)-ga).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline logaritm kahe aluse jaoks on tähistatud

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraalne või antiderivatiivne logaritm määrab sõltuvus

Antud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekava ja ülikoolid.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Atribuutide 3.5 abil arvutame

2.
Logaritmide erinevuse omaduse järgi saame

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. Kus .

Välimuse järgi keeruline väljendus mitmete reeglite kasutamine on vormimisel lihtsustatud

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2. Leia x, kui

Lahendus. Arvutamiseks rakendame viimase liikme 5 ja 13 omadusi

Paneme selle protokolli ja leinama

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu logaritmide väärtus antud

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtame muutuja logaritmi, et kirjutada logaritm läbi selle liikmete summa

See on alles meie tutvumise algus logaritmide ja nende omadustega. Harjutage arvutusi, rikastage oma praktilisi oskusi – peagi vajate saadud teadmisi logaritmiliste võrrandite lahendamiseks. Olles uurinud selliste võrrandite lahendamise põhimeetodeid, laiendame teie teadmisi teise jaoks oluline teema- logaritmiline ebavõrdsus...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Üleminek uuele vundamendile

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdus tõene mis tahes arvu c puhul, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajasse.

Neid valemeid leidub tavalistes arvavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhiline logaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Jätkame logaritmide uurimist. Selles artiklis räägime sellest logaritmide arvutamine, seda protsessi nimetatakse logaritm. Kõigepealt mõistame logaritmide arvutamist definitsiooni järgi. Järgmisena vaatame, kuidas leitakse logaritmide väärtused nende omaduste abil. Pärast seda keskendume algselt logaritmide arvutamisele seadke väärtused muud logaritmid. Lõpuks õpime kasutama logaritmitabeleid. Kogu teooria on varustatud näidetega koos üksikasjalike lahendustega.

Leheküljel navigeerimine.

Logaritmide arvutamine definitsiooni järgi

Lihtsamal juhul on võimalik teostada üsna kiiresti ja lihtsalt logaritmi leidmine definitsiooni järgi. Vaatame lähemalt, kuidas see protsess toimub.

Selle olemus on esitada arvu b kujul a c, millest logaritmi definitsiooni järgi on arv c logaritmi väärtus. See tähendab, et definitsiooni järgi vastab logaritmi leidmisele järgmine võrduste ahel: log a b=log a a c =c.

Seega taandub logaritmi arvutamine definitsiooni järgi sellise arvu c leidmisele, et a c = b ja arv c ise on logaritmi soovitud väärtus.

Võttes arvesse eelmistes lõikudes esitatud teavet, kui logaritmi märgi all olev arv on antud logaritmi aluse teatud astmega, saate kohe näidata, millega logaritm võrdub - see võrdne indikaatoriga kraadid. Näitame näidetele lahendusi.

Näide.

Leidke log 2 2 −3 ja arvutage ka arvu e naturaallogaritm 5,3.

Lahendus.

Logaritmi definitsioon võimaldab kohe öelda, et log 2 2 −3 =−3. Tõepoolest, logaritmi märgi all olev arv võrdub baasiga 2 astmega −3.

Samamoodi leiame teise logaritmi: lne 5.3 =5.3.

Vastus:

log 2 2 −3 = −3 ja lne 5,3 =5,3.

Kui logaritmi märgi all olev arv b pole määratud logaritmi aluse astmena, peate hoolikalt uurima, kas on võimalik arvu b esitus esitada kujul a c . Sageli on see esitus üsna ilmne, eriti kui logaritmimärgi all olev arv on võrdne baasiga astmel 1, 2 või 3, ...

Näide.

Arvutage logaritmid log 5 25 ja .

Lahendus.

On lihtne näha, et 25=5 2, see võimaldab arvutada esimese logaritmi: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Liigume edasi teise logaritmi arvutamise juurde. Arvu võib esitada astmena 7: (vaata vajadusel). Seega .

Kirjutame kolmanda logaritmi ümber järgmine vorm. Nüüd näete seda , millest järeldame, et . Seega logaritmi definitsiooni järgi .

Lühidalt võiks lahenduse kirjutada järgmiselt: .

Vastus:

log 5 25=2, Ja .

Kui logaritmi märgi all on piisavalt suur naturaalarv, siis poleks valus seda lagundada peamised tegurid. Sageli aitab sellist arvu esitada logaritmi aluse mõne astmena ja seetõttu arvutada see logaritm definitsiooni järgi.

Näide.

Leidke logaritmi väärtus.

Lahendus.

Mõned logaritmide omadused võimaldavad kohe määrata logaritmide väärtuse. Need omadused hõlmavad ühiku logaritmi omadust ja arvu logaritmi omadust, võrdne alusega: log 1 1=log a a 0 =0 ja log a a=log a a 1 =1 . See tähendab, et kui logaritmi märgi all on arv 1 või arv a, mis on võrdne logaritmi alusega, siis nendel juhtudel on logaritmid võrdsed vastavalt 0 ja 1-ga.

Näide.

Millega võrdub logaritm ja log10?

Lahendus.

Kuna , siis logaritmi definitsioonist järeldub .

Teises näites langeb logaritmimärgi all olev arv 10 kokku selle alusega, seega kümnendlogaritm kümnend on võrdne ühega, st lg10=lg10 1 =1.

Vastus:

JA lg10=1 .

Pange tähele, et logaritmide arvutamine definitsiooni järgi (mida me käsitlesime eelmine lõik) eeldab võrdusloga a a a p =p kasutamist, mis on üks logaritmide omadusi.

Praktikas, kui logaritmi märgi all olev arv ja logaritmi alus on hõlpsasti esitatavad teatud arvu astmena, on väga mugav kasutada valemit , mis vastab logaritmide ühele omadusele. Vaatame selle valemi kasutamist illustreeriva logaritmi leidmise näidet.

Näide.

Arvutage logaritm.

Lahendus.

Vastus:

Arvutustes kasutatakse ka ülalmainimata logaritmide omadusi, kuid sellest räägime järgmistes lõikudes.

Logaritmide leidmine teiste teadaolevate logaritmide kaudu

Selle lõigu teave jätkab logaritmide omaduste kasutamise teemat nende arvutamisel. Siin on aga põhiline erinevus selles, et logaritmide omadusi kasutatakse algse logaritmi väljendamiseks teise logaritmi kaudu, mille väärtus on teada. Toome selgituseks näite. Oletame, et teame, et log 2 3≈1.584963, siis leiame näiteks log 2 6, tehes logaritmi atribuute kasutades väikese teisenduse: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Ülaltoodud näites piisas, kui kasutasime korrutise logaritmi omadust. Palju sagedamini on aga vaja kasutada laiemat logaritmide omaduste arsenali, et arvutada algne logaritm läbi etteantud.

Näide.

Arvutage logaritm 27-st aluseni 60, kui teate, et log 60 2=a ja log 60 5=b.

Lahendus.

Seega peame leidma logi 60 27 . On lihtne näha, et 27 = 3 3 ja algse logaritmi saab astme logaritmi omaduse tõttu ümber kirjutada 3·log 60 3-ks.

Nüüd vaatame, kuidas väljendada log 60 3 tuntud logaritmide kaudu. Alusega võrdse arvu logaritmi omadus võimaldab kirjutada võrduslogi 60 60=1. Teisest küljest log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Seega 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Seega log 60 3=1–2·log 60 2–log 60 5=1–2·a–b.

Lõpuks arvutame algse logaritmi: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Vastus:

log 60 27=3·(1–2·a-b)=3–6·a-3·b.

Eraldi tasub mainida valemi tähendust üleminekuks vormi uuele logaritmi alusele . See võimaldab liikuda mis tahes alusega logaritmidelt kindla baasiga logaritmidele, mille väärtused on teada või neid on võimalik leida. Tavaliselt liiguvad nad algsest logaritmist üleminekuvalemi abil logaritmidesse ühes alustest 2, e või 10, kuna nende aluste jaoks on olemas logaritmitabelid, mis võimaldavad nende väärtusi teatud määral arvutada. täpsust. IN järgmine punkt näitame teile, kuidas seda tehakse.

Logaritmitabelid ja nende kasutamine

Ligikaudseks arvutamiseks võib kasutada logaritmi väärtusi logaritmi tabelid. Kõige sagedamini kasutatav 2 aluse logaritmi tabel, naturaallogaritmi tabel ja kümnendlogaritmid. Sisse töötades kümnendsüsteem Arvutamiseks on mugav kasutada kümne baasil põhinevat logaritmide tabelit. Tema abiga õpime leidma logaritmide väärtusi.

Esitatud tabel võimaldab leida kümnendkoha täpsusega arvude kümnendlogaritmide väärtused vahemikus 1000 kuni 9999 (kolme kümnendkohaga). Analüüsime kümnendlogaritmide tabeli abil logaritmi väärtuse leidmise põhimõtet konkreetne näide- nii on selgem. Leiame log1.256.

Kümnendlogaritmide tabeli vasakpoolsest veerust leiame arvu 1,256 kaks esimest numbrit, st leiame 1,2 (selguse huvides on see arv sinisega ümbritsetud). Leiame kolmanda numbri 1,256 (number 5) esimesest või viimane rida topeltjoonest vasakul (see number on punasega ümbritsetud). Algarvu 1.256 neljas number (number 6) asub topeltreast paremal esimesel või viimasel real (sellele numbrile on ümbritsetud roheline joon). Nüüd leiame numbrid logaritmide tabeli lahtritest märgitud rea ja märgitud veergude ristumiskohalt (need numbrid on esile tõstetud oranž). Märgitud arvude summa annab kümnendlogaritmi soovitud väärtuse neljanda kümnendkoha täpsusega, st log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Kas ülaltoodud tabeli abil on võimalik leida arvude kümnendlogaritmide väärtusi, mille pärast koma on rohkem kui kolm numbrit, samuti nende arvude kümnendlogaritmide väärtused, mis ületavad vahemikku 1 kuni 9,999? Jah, sa saad. Näitame näitega, kuidas seda tehakse.

Arvutame lg102,76332. Kõigepealt peate üles kirjutama number sisse standardvorm : 102,76332=1,0276332·10 2. Pärast seda tuleks mantiss ümardada kolmanda kümnendkohani 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, samas kui algne kümnendlogaritm on ligikaudu võrdne logaritmiga saadud arv, st võtame log102.76332≈lg1.028·10 2. Nüüd rakendame logaritmi omadusi: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Lõpuks leiame kümnendlogaritmide tabelist logaritmi lg1.028 väärtuse lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Selle tulemusena näeb kogu logaritmi arvutamise protsess välja järgmine: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Kokkuvõtteks väärib märkimist, et kümnendlogaritmide tabeli abil saate arvutada mis tahes logaritmi ligikaudse väärtuse. Selleks piisab üleminekuvalemi kasutamisest, et minna kümnendlogaritmidele, leida nende väärtused tabelist ja teha ülejäänud arvutused.

Näiteks arvutame log 2 3 . Vastavalt valemile üleminekuks uuele logaritmi alusele on meil . Kümnendlogaritmide tabelist leiame log3≈0,4771 ja log2≈0,3010. Seega .

Bibliograafia.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi alged: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Kontrollige, kas logaritmimärgi all on negatiivsed arvud või üks. See meetod kohaldatav vormi väljenditele log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Kuid see ei sobi teatud erijuhtudel:
- Logaritm negatiivne arv ei ole mingil alusel kindlaks määratud (näiteks log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) või log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4) (-5))). Sel juhul kirjutage "lahendus puudub".
- Samuti on määratlemata nulli logaritm mis tahes aluse suhtes. Kui vahele jääd ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), kirjutage üles "lahendus puudub".
- Logaritm ühest mis tahes baasi ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) on alati null, sest x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) kõigi väärtuste jaoks x. Kirjuta selle logaritmi asemel 1 ja ära kasuta allolevat meetodit.
- Kui logaritmidel on erinevad põhjused, Näiteks l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ja neid ei taandata täisarvudeks, ei saa avaldise väärtust käsitsi leida.
Teisenda avaldis üheks logaritmiks. Kui väljend ei ole üks ülaltoodutest erilistel puhkudel, saab seda esitada ühe logaritmina. Kasutage selleks järgmine valem: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).
- Näide 1: kaaluge väljendit log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
  Esmalt esitame avaldise ühe logaritmina, kasutades ülaltoodud valemit: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2) (16)).
- See logaritmi "aluse asendamise" valem on tuletatud logaritmide põhiomadustest.
Võimalusel hinnake avaldise väärtust käsitsi. Leidma logi a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), kujutage ette väljendit " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)“ ehk küsi endalt järgmine küsimus: "Millisele võimule peaksime tõstma a, Et saada x?. Sellele küsimusele vastamiseks võib olla vaja kalkulaatorit, kuid kui teil veab, võite selle võib-olla käsitsi leida.
- Näide 1 (jätkub): Kirjuta ümber kui 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Peate leidma, milline number peaks seisma märgi "?" asemel. Seda saab teha katse-eksituse meetodil:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^ (4) = 8 * 2 = 16)
  Nii et number, mida otsime, on 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2) (16)) = 4 .
Kui te ei saa seda lihtsustada, jätke oma vastus logaritmilises vormis. Paljusid logaritme on käsitsi väga raske arvutada. Sel juhul vajate täpse vastuse saamiseks kalkulaatorit. Kui aga tunnis ülesande lahendad, jääb õpetaja vastusega suure tõenäosusega rahule logaritmiline vorm. Allpool käsitletud meetodit kasutatakse keerukama näite lahendamiseks:
- näide 2: mis on võrdne log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3) (58))(\log _(3) (7))))?
- Teisendame selle avaldise üheks logaritmiks: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3) (58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Pange tähele, et mõlema logaritmi jaoks ühine alus 3 kaob; see on igal põhjusel tõsi.
- Kirjutame avaldise vormis ümber 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ja proovime leida väärtust?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^ (3) = 49 * 7 = 343)
  Kuna 58 on nende kahe numbri vahel, ei väljendata seda täisarvuna.
- Jätame vastuse logaritmilises vormis: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7) (58)).