1. teoreem. Tsüklilise nelinurga vastasnurkade summa on 180°.
Olgu nelinurk ABCD kantud ringjoonele, mille keskpunkt on O (joonis 412). On vaja tõestada, et ∠A + ∠C = 180° ja ∠B + ∠D = 180°.
∠A, nagu on kirjutatud ringile O, mõõdab 1/2 \(\breve(BCD)\).
∠C, nagu on kirjutatud samasse ringi, mõõdab 1/2 \(\breve(BAD)\).
Järelikult mõõdetakse nurkade A ja C summat kaare BCD ja BAD poolsummaga, kokkuvõttes moodustavad need kaared ringi, s.t. on 360°.
Seega ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Samamoodi on tõestatud, et ∠B + ∠D = 180°. Seda saab aga järeldada ka muul viisil. Me teame seda summat sisemised nurgad kumer nelinurk võrdne 360°. Nurkade A ja C summa võrdub 180°, mis tähendab, et nelinurga ülejäänud kahe nurga summa jääb samuti 180°.
Teoreem 2 (vastupidine). Kui nelinurgas on kahe vastandnurga summa võrdne 180° , siis saab sellise nelinurga ümber kirjeldada ringi.
Olgu nelinurga ABCD vastasnurkade summa võrdne 180°, nimelt
∠A + ∠C = 180° ja ∠B + ∠D = 180° (joonis 412).
Tõestame, et sellise nelinurga ümber saab kirjeldada ringi.
Tõestus. Läbi selle nelinurga suvalise 3 tipu saab tõmmata ringi, näiteks läbi punktide A, B ja C. Kus asub punkt D?
Punkt D võib hõivata ainult ühe järgmised kolm positsioonid: olla ringi sees, olla väljaspool ringi, olla ringi ümbermõõdul.
Oletame, et tipp on ringi sees ja võtab positsiooni D’ (joonis 413). Siis on nelinurgas ABCD':
∠B + ∠D’ = 2 d.
Jätkates külge AD’ ristmikuni punktis E ning ühendades punktid E ja C, saame tsüklilise nelinurga ABCE, milles otsese teoreemi järgi
∠B + ∠E = 2 d.
Nendest kahest võrdsusest järeldub:
∠D' = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
kuid see ei saa olla, kuna ∠D’, olles kolmnurga CD’E suhtes väline, peab olema suurem kui nurk E. Seetõttu ei saa punkt D olla ringi sees.
Samuti on tõestatud, et tipp D ei saa võtta positsiooni D" väljaspool ringi (joonis 414).
Jääb üle tõdeda, et tipp D peab asuma ringi ümbermõõdul, st ühtima punktiga E, mis tähendab, et ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga ABCD.
Tagajärjed.
1. Ringi saab kirjeldada mis tahes ristküliku ümber.
2. Ümberringi võrdhaarne trapets oskab kirjeldada ringi.
Mõlemal juhul on vastasnurkade summa 180°.
Teoreem 3. Kirjeldatud nelinurgas summad vastasküljed on võrdsed. Olgu nelinurk ABCD kirjeldatud ringi ümber (joonis 415), st selle küljed AB, BC, CD ja DA on selle ringjoone puutujad.
On vaja tõestada, et AB + CD = AD + BC. Tähistame puutepunkte tähtedega M, N, K, P. Ühest punktist ringile tõmmatud puutujate omaduste põhjal saame:
Lisame need võrdsused terminite kaupa. Saame:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
st AB + CD = AD + BC, mida oli vaja tõestada.
Muud materjalidVideokursus “Get an A” sisaldab kõiki edu saavutamiseks vajalikke teemasid ühtse riigieksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik probleemid 1-13 Profiili ühtne riigieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.
Kõik vajalik teooria. Kiired viisidÜhtse riigieksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suured teemad, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaprobleemid ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. teooria, võrdlusmaterjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Visuaalne selgitus keerulised mõisted. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus keerulised ülesanded 2 osa ühtsest riigieksamist.
Teema: “Ümberringi kirjeldatud ring korrapärane hulknurk» on sees üksikasjalikult arutatud kooli õppekava. Vaatamata sellele, ülesanded, mis on seotud see jaotis planimeetria põhjustab paljudele keskkooliõpilastele teatud raskusi. Samal ajal mõista lahenduse põhimõtet Ühtse riigieksami probleemid polügooni ümber kirjeldatud ringiga peavad mis tahes koolitustasemega lõpetajad.
Kuidas valmistuda ühtseks riigieksamiks?
Selleks, et Ühtse riigieksami ülesanded teemal “Korrapärase hulknurga ümber piiratud ring” õpilastele raskusi ei valmistanud, õppige koos haridusportaaliga “Shkolkovo”. Meiega saate korrata teoreetiline materjal teemadel, mis teile raskusi valmistavad. Varem üsna keerulisena tundunud teoreemid ja valemid on esitatud juurdepääsetavalt ja arusaadavalt.
Hulknurga ümber piiratud ringi nurkade ja keskpunkti põhimääratluste ja mõistete ning lõikude pikkusega seotud teoreemide mälu värskendamiseks peavad lõpetajad minema jaotisse „Teoreetiline abi”. Siia oleme postitanud meie kogenud töötajate poolt spetsiaalselt õpilastele koostatud materjali erinevad tasemed ettevalmistus.
Õpitud teabe kinnistamiseks saavad gümnasistid harjutada harjutuste tegemist. Peal haridusportaal"Shkolkovo" jaotises "Kataloog" pakub suurt andmebaasi erineva keerukusega ülesannetest maksimaalselt tõhus ettevalmistusühtsele riigieksamile. Iga saidi ülesanne sisaldab lahendusalgoritmi ja õiget vastust. Shkolkovo õppuste andmebaasi uuendatakse ja täiendatakse regulaarselt.
Moskva ja teiste riikide õpilased harjutavad meie veebisaidil ülesannete täitmist Venemaa linnad saab teha võrgus. Vajadusel saab mis tahes harjutuse salvestada jaotisesse "Lemmikud". Edaspidi on võimalik selle ülesande juurde tagasi pöörduda ja näiteks selle lahendamise algoritmi läbi arutada. kooli õpetaja või juhendaja.
KIRJELDATUD JA RINGJAD HULKnurgad,
§ 106. KIRJELDATUD JA KIRJELDATUD NELIKOND OMADUSED.
1. teoreem. Tsüklilise nelinurga vastasnurkade summa on 180°.
Olgu nelinurk ABCD kantud ringjoonele, mille keskpunkt on O (joonis 412). Seda on vaja tõestada / A+ / C = 180° ja / B + / D = 180°.
/
A, nagu on kirjutatud ringile O, mõõdab 1/2 BCD.
/
C, nagu on kirjutatud samasse ringi, mõõdab 1/2 BAD.
Järelikult mõõdetakse nurkade A ja C summat kaare BCD ja BAD poolsummaga; kokkuvõttes moodustavad need kaared ringi, st nende kaared on 360°.
Siit /
A+ /
C = 360°: 2 = 180°.
Samamoodi on tõestatud, et / B + / D = 180°. Seda saab aga järeldada ka muul viisil. Teame, et kumera nelinurga sisenurkade summa on 360°. Nurkade A ja C summa võrdub 180°, mis tähendab, et nelinurga ülejäänud kahe nurga summa jääb samuti 180°.
2. teoreem(tagurpidi). Kui nelinurgas on kahe vastandnurga summa võrdne 180° , siis saab sellise nelinurga ümber kirjeldada ringi.
Olgu nelinurga ABCD vastasnurkade summa võrdne 180°, nimelt
/
A+ /
C = 180° ja /
B + /
D = 180° (joonis 412).
Tõestame, et sellise nelinurga ümber saab kirjeldada ringi.
Tõestus. Läbi selle nelinurga suvalise 3 tipu saab tõmmata ringi, näiteks läbi punktide A, B ja C. Kus asub punkt D?
Punkt D võib hõivata ainult ühe järgmistest kolm positsiooni: olema ringi sees, olema väljaspool ringi, olema ringi ümbermõõdul.
Oletame, et tipp on ringi sees ja võtab positsiooni D" (joonis 413). Siis nelinurgas ABCD" saame:
/ B + / D" = 2 d.
Jätkates külge AD" ristmikuni punktis E ning ühendades punktid E ja C, saame tsüklilise nelinurga ABCE, milles otsese teoreemi järgi
/ B+ / E = 2 d.
Nendest kahest võrdsusest järeldub:
/
D" = 2 d - /
B;
/
E=2 d - /
B;
/ D" = / E,
aga see ei saa olla, sest / D", mis on kolmnurga CD"E suhtes väline, peab olema suurem kui nurk E. Seetõttu ei saa punkt D olla ringi sees.
Samuti on tõestatud, et tipp D ei saa võtta positsiooni D" väljaspool ringi (joonis 414).
Jääb üle tõdeda, et tipp D peab asuma ringi ümbermõõdul, st ühtima punktiga E, mis tähendab, et ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga ABCD.
Tagajärjed. 1. Ringi saab kirjeldada mis tahes ristküliku ümber.
2. Võrdhaarse trapetsi ümber saab kirjeldada ringi.
Mõlemal juhul on vastasnurkade summa 180°.
3. teoreem. Piiratud nelinurgas on vastaskülgede summad võrdsed. Olgu nelinurk ABCD kirjeldatud ringi ümber (joonis 415), st selle küljed AB, BC, CD ja DA on selle ringi puutujad.
On vaja tõestada, et AB + CD = AD + BC. Tähistame puutepunkte tähtedega M, N, K, P. Ühest punktist ringile tõmmatud puutujate omaduste põhjal (§ 75) saame:
AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.
Lisame need võrdsused terminite kaupa. Saame:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
st AB + CD = AD + BC, mida oli vaja tõestada.
Harjutused.
1. Tsüklilises nelinurgas on kaks vastasnurgad suhe on 3:5,
ja ülejäänud kaks on vahekorras 4 : 5. Määrake nende nurkade suurus.
2. Kirjeldatud nelinurga kahe vastaskülje summa on 45 cm, ülejäänud kaks külge on vahekorras 0,2: 0,3. Leidke nende külgede pikkus.
Ringjoont nimetatakse nelinurka kantuks, kui nelinurga kõik küljed on ringjoone puutujad.
Selle ringi keskpunkt on nelinurga nurkade poolitajate lõikepunkt. Sel juhul on puutujapunktidesse tõmmatud raadiused risti nelinurga külgedega
Ringjoont nimetatakse nelinurga ümber piiratuks, kui see läbib kõik selle tipud.
Selle ringi keskpunkt on nelinurga külgedega risti olevate poolitajate lõikepunkt
Mitte iga nelinurka ei saa kirjutada ringiga ja mitte iga nelinurka ei saa kirjutada ringiga.
KIRJE- JA RINGKURADE OMADUSED
TEOREEM Kumera sissekirjutatud nelinurga puhul on vastasnurkade summad üksteisega võrdsed ja 180°.
TEOREEM Vastupidiselt: kui nelinurga vastasnurkade summad on võrdsed, siis saab nelinurga ümber kirjeldada ringjoont. Selle keskpunkt on külgedega risti asetsevate poolitajate lõikepunkt.
TEOREEM Kui ringjoon on kirjutatud nelinurka, siis summad vastandlikud pooled selle võrdne.
TEOREEM Vastupidiselt: kui nelinurga vastaskülgede summad on võrdsed, siis saab sellesse kirjutada ringjoone. Selle keskpunkt on poolitajate lõikepunkt.
Järeldused: kõigist rööpkülikutest saab ringjoont kirjeldada ainult ristküliku ümber (eriti ruudu ümber).
Kõigist rööpkülikutest saab ringi kirjutada ainult romb (eriti ruut) (keskpunkt on diagonaalide lõikepunkt, raadius on võrdne poolega kõrgus).
Kui ringi saab kirjeldada ümber trapetsi, siis on see võrdhaarne. Ringjoont saab kirjeldada mis tahes võrdhaarse trapetsi ümber.
Kui ringjoon on kantud trapetsi, on selle raadius võrdne poole kõrgusega.
Ülesanded lahendustega
1. Leidke ristküliku diagonaal, mis on kirjutatud ringi, mille raadius on 5.
Ristküliku ümber piiritletud ringi keskpunkt on selle diagonaalide lõikepunkt. Seetõttu diagonaal AC võrdub 2 R. See on AC=10
Vastus: 10.
2. Trapetsi ümber on kirjeldatud ring, mille põhjad on 6 cm ja 8 cm ning kõrgus 7 cm. Leidke selle ringi pindala.
Lase DC=6, AB=8. Kuna ringjoon on ümbritsetud trapetsi ümber, on see võrdhaarne.
Joonistame kaks kõrgust DM ja CN.Kuna trapets on võrdhaarne, siis AM = NB=
Siis AN=6+1=7
Kolmnurgast ANS kasutades Pythagorase teoreemi leiame AC.
Kolmnurgast CВN kasutades Pythagorase teoreemi leiame Päike.
Trapetsi piiritletud ringjoon on ka kolmnurga piiratud ringjoon. DIA
Leiame selle kolmnurga pindala kahel viisil, kasutades valemeid
Kus h- kõrgus ja - kolmnurga alus
Kus R on piiritletud ringi raadius.
Nendest avaldistest saame võrrandi. Kus
Ringi pindala on võrdne
3. Nurgad ja nelinurgad on seotud nagu . Leia nurk, kui ringjoont saab kirjeldada antud nelinurga ümber. Esitage oma vastus kraadides
Tingimusest järeldub, et .Kuna ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga, siis
Saame võrrandi 
. Siis . Nelinurga kõigi nurkade summa on 360º. Siis
. kust me selle saame
4. Ümberringi ümbritsetud trapetsi küljed on 3 ja 5. Leidke trapetsi keskjoon.
Siis keskmine joon võrdne 
5. Ümbermõõt ristkülikukujuline trapets ringi ümber piiratud on 22, selle suur pool on võrdne 7. Leidke ringi raadius.
Trapetsis on sisse kirjutatud ringi raadius võrdne poole kõrgusega. Joonistame SC kõrguse.
Siis 
.
Kuna ringjoon on trapetsi sisse kirjutatud, on vastaskülgede pikkuste summad võrdsed. Siis
Siis perimeeter
Saame võrrandi
6. Võrdhaarse trapetsi alused on 8 ja 6. Piiratud ringi raadius on 5. Leidke trapetsi kõrgus.
Olgu O trapetsi ümber piiritletud ringi keskpunkt. Siis .
Joonistame kõrguse KH läbi punkti O
Siis 
, kus KO ja OH on kõrgused ja samal ajal mediaanid võrdhaarsed kolmnurgad DOC ja AOB. Siis 
Pythagorase teoreemi järgi.