Forholdet mellem gensidige tal er 1. Det reciproke af en decimalbrøk

Kommunal uddannelsesinstitution "Parkanskaya gymnasiet nr. 2 opkaldt efter. DI. Mishchenko

Matematiktime i 6. klasse om emnet

"Gensidigt gensidige tal"

Udført af læreren

matematik og datalogi

I kvalifikationskategori

Balan V.M.

Parkans 2011

P.S. På grund af maksimale filstørrelsesbegrænsninger (ikke mere end 3MB), er præsentationen opdelt i 2 dele. Du skal kopiere diasene sekventielt til én præsentation.

Matematiktime i 6. klasse om emnet "Gensidige tal"

Mål:

1. Introducer begrebet gensidige tal.
2. Lær at identificere par af gensidige tal.
3. Gennemgå multiplikation og reduktion af brøker.

Lektionstype : undersøgelse og primær konsolidering af ny viden.

Udstyr:

• computere;
• signalkort;
• arbejdsbøger, øvelsesbøger, lærebog;
• tegning forsyninger;
• præsentation til lektionen (seAnsøgning ).

Individuel opgave:enhedsmeddelelse.

Under timerne

1. Organisatorisk øjeblik.(3 minutter)

Hej gutter, sæt dig ned! Lad os starte vores lektion! I dag har du brug for opmærksomhed, koncentration og selvfølgelig disciplin.(Slide 1 )

Jeg tog ordene som epigrafen til dagens lektion:

Det siges ofte, at tal styrer verden;

der er i hvert fald ingen tvivl

at tallene viser, hvordan den håndterer.

Og muntre små mænd skynder mig til hjælp: Karandash og Samodelkin. De vil hjælpe mig med at undervise i denne lektion.(Slide 2 )

Den første opgave fra blyanten er at løse anagrammer. (Slide 3 )

Lad os sammen huske, hvad et anagram er? (Et anagram er en omarrangering af bogstaver i et ord for at danne et andet ord. For eksempel "murren" - "økse").

(Børn svarer, hvad et anagram er, og løser ordene.)

Godt klaret! Emnet for dagens lektion: "Gensidige tal."

Vi åbner notesbøgerne, skriver nummeret ned, Klassearbejde og emnet for lektionen. (Slide 4 )

Gutter, fortæl mig venligst, hvad skal du lære i klassen i dag?

(Børn nævner formålet med lektionen).

Formålet med vores lektion:

• Find ud af, hvilke tal der kaldes gensidige.
• Lær at finde par af gensidigt omvendte tal.
• Gennemgå reglerne for multiplikation og reduktion af brøker.
• Udvikle logisk tænkning studerende.

2. Vi arbejder mundtligt.(3 minutter)

Lad os gentage reglen for at gange brøker. (Slide 5 )

Opgave fra Samodelkin (børn læser eksempler og udfører multiplikation):

Hvilken regel brugte vi?

Blyant har forberedt en sværere opgave (Slide 6 ):

Hvad er værdien af ​​et sådant produkt?

Gutter, vi gentog handlingerne med at multiplicere og reducere brøker, som er afgørende, når man studerer et nyt emne.

3. Forklaring af nyt materiale.(15 minutter) ( Slide 7 )

1. Tag brøken 8/17, sæt nævneren i stedet for tælleren og omvendt. Den resulterende fraktion er 17/8.

Vi skriver: brøken 17/8 kaldes den reciproke af brøken 8/17.

Opmærksomhed! Det omvendte af fraktionen m/n er fraktionen n/m. (Slide 8 )

Gutter, hvordan kan vi få det omvendte af en given brøk?(Børn svarer.)

2. Opgave fra Samodelkin:

Navngiv den brøk, der er den omvendte af den givne.(Børn ringer.)

Sådanne fraktioner siges at være gensidige af hinanden! (Slide 9 )

Hvad kan man så sige om brøkerne 8/17 og 17/8?

Svar: omvendt til hinanden (vi skriver det ned).

3. Hvad sker der, hvis du multiplicerer to brøker, der er deres gensidige?

(Arbejder med dias. (Slide 10 ))

Gutter! Se og fortæl mig, hvad m og n ikke kan være lig med?

Jeg gentager endnu en gang, at produktet af alle fraktioner, der er gensidige i forhold til hinanden, er lig med 1. (Slide 11 )

4. Det viser sig, at det ene er et magisk tal!

Hvad ved vi om enheden?

Interessante domme om tallenes verden er kommet til os gennem århundreder fra den pythagoræiske skole, som Boyanzhi Nadya vil fortælle os om (kort besked).

5. Vi slog os fast på det faktum, at produktet af ethvert tal, der er omvendt til hinanden, er lig med 1.

Hvad hedder sådanne tal?(Definition.)

Lad os tjekke om brøkerne er gensidige tal: 1,25 og 0,8. (Slide 12 )

Du kan kontrollere på en anden måde, om tallene er gensidige (metode 2).

Lad os konkludere, gutter:

Hvordan kontrollerer man, om tal er gensidige?(Børn svarer.)

6. Lad os nu se på flere eksempler på at finde gensidige tal (vi betragter to eksempler). (Slide 13)

4. Konsolidering. (10 minutter)

1. Arbejde med signalkort. Du har signalkort på dit bord. (Slide 14)

Rød - nej. Grøn - ja.

(Sidste eksempel 0,2 og 5.)

Godt klaret! Vide, hvordan man identificerer par af gensidige tal.

2. Vær opmærksom på skærmen! – vi arbejder mundtligt. (Dias 15)

Find det ukendte tal (vi løser ligningerne, den sidste 1/3 x = 1).

Opmærksomhedsspørgsmål: Hvornår giver to tal i et produkt 1?(Børn svarer.)

5. Fysisk træningsmoment.(2 minutter)

Tag nu en pause fra skærmen – lad os slappe lidt af!

1. Luk øjnene, luk øjnene meget tæt, åbn øjnene skarpt. Gør dette 4 gange.
2. Vi holder hovedet lige, vores øjne løftet op, ned, kiggede til venstre, kiggede til højre (4 gange).
3. Vip dit hoved tilbage, sænk det fremad, så din hage hviler på dit bryst (2 gange).

6. Vi fortsætter med at konsolidere nyt materiale [3], [4].(5 minutter)

Vi har hvilet, og nu vil vi konsolidere det nye materiale.

I lærebog nr. 563, nr. 564 - ved tavlen. (Slide 16)

7. Lektionsopsummering, lektier. (3 minutter)

Vores lektion er ved at være slut. Fortæl mig, gutter, hvad nyt lærte vi i klassen i dag?

1. Hvordan får man tal, der er omvendt til hinanden?
2. Hvilke tal kaldes reciproke?
3. Sådan finder du det gensidige af et blandet tal decimal?

Har vi nået formålet med lektionen?

Lad os åbne vores dagbøger og skrive vores hjemmearbejde ned: nr. 591(a), 592(a,c), 595(a), punkt 16.

Og nu beder jeg dig om at løse dette puslespil (hvis der er tid tilbage).

Tak for lektionen! (Slide 17)

Litteratur:

1. Matematik 5-6: lærebog-samtaler. L.N. Shevrin, A.G. Gein, I.O. Koryakov, M.V. Volkov, - M.: Uddannelse, 1989.
2. Matematik 6. klasse: lektionsplaner ifølge lærebogen N.Ya. Vilenkina, V.I. Zhokhov. L.A. Tapilina, T.L. Afanasyeva. – Volgograd: Lærer, 2006.
3. Matematik: Lærebog 6. klasse. N.Ya.Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd.- M.: Mnemosyne, 1997.
4. Blyant og Samodelkins rejse. Yu Druzhkov. – M.: Dragonfly Press, 2003.

Eksempel:

For at bruge præsentationseksempler skal du oprette en konto til dig selv ( konto) Google og log ind: https://accounts.google.com

Slide billedtekster:

1 ”Det siges ofte, at tal styrer verden; der er i hvert fald ingen tvivl om, at tallene viser, hvordan det forvaltes." JOHANN WOLFGANG GOETHE

3 FOR AT FINDE UD AF EMNET I DAGENS LEKTION, SKAL DU LØSE ANAGRAMMER! 1) ICHLAS TAL 2) BDORB BRØK 3) YTEANBOR REVERSE 4) INOMZAV HAR I LØST GENSIDIGT? FJERN NU DET EKSTRA ORD OG PLACER RESTEN I DEN RIGTIGE RÆKKE!

4 VENDBARE TAL

5 MULTIPLICERING AF BRØKKER BEREGN ORAL: Godt gået!

6 OG NU ER OPGAVEN MERE KOMPLICERET! BEREGNET: GODT GÅET!

1 Hvad sker der, hvis du multiplicerer to brøker, der er deres gensidige? Lad os tage et kig (skriv med mig): OBS! PRODUKTET AF FRAKTIONER, DER ER HINANDENS OMSTAND, ER LIG MED EN! HVAD VED VI OM UNIT? HUSK!

2 TO TAL, HVOR PRODUKTET ER LIGE MED ET, KALDES GJENDIGE TAL. LAD OS KONTROLLER, OM BRØKKERNE ER GENSIDIG GJENSIDIGE TAL: 1,25 OG 0,8 VIL SKRIVE DEM I FORM AF ALMINDELIGE TAL, RECIFRAKTION, kan multipliceres gensidigt. :

3 Lad os bevise, at den reciproke af tallet er 0,75. Vi skriver: , og det omvendte til det Lad os finde nummeret, det omvendte af tallet Vi skriver blandet antal som ukorrekt fraktion: Det omvendte af dette tal

4 ARBEJDE MED SIGNALKORT JA NEJ ER TALLENE OMSTILLENDE?

5 ARBEJDE MUNDTLIGT: FIND ET UKENDT NUMMER:

6 VI ARBEJDER I NOTESBØGER. LÆREBOGSSIDE 8 9 nr. 5 63

7 TAK FOR LEKTIONEN?

Eksempel:

Analyse

matematiktime i 6. klasse

Kommunal uddannelsesinstitution "Parkanskaya gymnasiet nr. 2 opkaldt efter. D.I. Mishchenko"

Lærer Balan V.M.

Lektionens emne: "Gensidige tal."

Lektionen var bygget på tidligere lektioner, elevernes viden blev testet ved hjælp af forskellige metoder for at finde ud af, hvordan eleverne lærte det tidligere materiale, og hvordan denne lektion vil "fungere" i de efterfølgende lektioner.

Lektionens stadier spores logisk, en glidende overgang fra den ene til den anden. Du kan spore lektionens integritet og fuldstændighed. Assimileringen af ​​nyt materiale forløb selvstændigt gennem skabelsen problematisk situation og hendes beslutning. Jeg mener, at den valgte struktur i lektionen er rationel, fordi den giver os mulighed for at implementere alle lektionens mål og målsætninger på en omfattende måde.

I øjeblikket er brugen af ​​IKT i undervisningen meget aktivt brugt, så Balan V.M. brugt multimedie for større klarhed.

Undervisningen blev afholdt i 6. klasse, hvor præstationsniveauet, kognitiv interesse og hukommelsen er ikke særlig høj, der er også fyre, der har huller i faktuel viden. Derfor brugte vi på alle trin af lektionen forskellige metoder aktivering af elever, hvilket ikke tillod dem at blive trætte af materialets monotoni.

Til at teste og vurdere elevernes viden blev der brugt slides med færdige svar til selvtest og gensidig test.

Under lektionen forsøgte læreren at intensivere mental aktivitet elever, der bruger følgende teknikker og metoder: anagram i begyndelsen af ​​lektionen, samtale, elevernes historie "hvad ved vi om enheden?", synlighed, arbejde med signalkort.

Jeg mener således, at lektionen er kreativ og repræsenterer hele systemet. De mål, der blev sat under lektionen, blev nået.

Kategori 1 matematiklærer /Kurteva F.I./

Takket være det faktum, at i næsten alle moderne skoler Der er nødvendigt udstyr For at vise børns videoer og forskellige elektroniske læringsressourcer i undervisningen, bliver det muligt at interessere eleverne bedre for et bestemt emne eller emne. Som følge heraf forbedres elevernes præstationer og skolens samlede vurdering.

Det er ingen hemmelighed, at visuel demonstration under en lektion hjælper med bedre at huske og assimilere definitioner, opgaver og teori. Hvis dette er ledsaget af stemmeføring, så har eleven både visuel og auditiv hukommelse. Derfor betragtes videotutorials som en af ​​de mest effektive materialer til træning.

Der er en række regler og krav, som videolektioner skal opfylde for at være så effektive og nyttige som muligt for elever i den passende alder. Tekstens baggrund og farve bør vælges i overensstemmelse hermed, skriftstørrelsen må ikke være for lille, så teksten kan læses af synshandicappede elever, men ikke for stor til at irritere synet og skabe gener mv. Særlig opmærksomhed Der lægges også vægt på illustrationer - de skal holdes med måde og ikke distrahere fra hovedemnet.

Videolektionen "Gensidige tal" er et glimrende eksempel på en sådan undervisningsressource. Takket være det kan en elev i 6. klasse fuldt ud forstå, hvad gensidige tal er, hvordan man genkender dem, og hvordan man arbejder med dem.

Lektionen starter med simpelt eksempel, hvor to almindelige brøker 8/15 og 15/8 ganges med hinanden. Det bliver muligt at huske reglen, ifølge hvilken brøker, som tidligere lært, skal ganges. Det vil sige, at du i tælleren skal skrive produktet af tællere, og i nævneren - produktet af nævnerne. Som følge af reduktionen, som også er værd at huske, får vi en.

Efter dette eksempel, giver announceren en generaliseret definition, som vises parallelt på skærmen. Den siger, at tal, der, når de ganges med hinanden, resulterer i et, kaldes reciproke. Definitionen er meget enkel at huske, men den vil være mere fast i hukommelsen, hvis du giver nogle eksempler.

Efter at have defineret begrebet gensidige tal, vises en række produkter af tal på skærmen, som i sidste ende giver en.

For at give et generelt eksempel, der ikke afhænger af visse numeriske værdier, anvendes variablerne a og b, som er forskellige fra 0. Hvorfor? Når alt kommer til alt, bør skolebørn i 6. klasse godt være klar over, at nævneren af ​​enhver brøk ikke kan være lig med nul, og for at vise gensidige tal kan man ikke undvære at placere disse værdier i nævneren.

Efter at have udledt denne formel og kommenteret den, begynder taleren at overveje den første opgave. Pointen er, at du skal finde det omvendte af en given blandet fraktion. For at løse det skrives brøken ind i den forkerte form, og tæller og nævner byttes om. Det opnåede resultat er svaret. Eleven kan kontrollere det selvstændigt ved hjælp af definitionen af ​​gensidige tal.

Videotutorialen er ikke begrænset til dette eksempel. Efter den foregående vises en anden opgave på skærmen, hvor du skal finde produktet af tre fraktioner. Hvis eleven er opmærksom, vil han opdage, at to af disse fraktioner er gensidige, derfor vil deres produkt lig med én. Baseret på egenskaben multiplikation kan du først gange indbyrdes omvendte brøker og til sidst gange resultatet, dvs. 1, med den første brøk. Melderen forklarer i detaljer, og viser hele processen trin for trin på skærmen fra start til slut. Afslutningsvis gives en teoretisk generaliseret forklaring på egenskaben multiplikation, som man brugte ved løsningen af ​​eksemplet.

For at konsolidere din viden med sikkerhed, bør du prøve at besvare alle de spørgsmål, der vil blive præsenteret i slutningen af ​​lektionen.

Gensidige - eller gensidigt gensidige - tal er et par tal, der, når de ganges, giver 1. Faktisk generel opfattelse de gensidige er tal. Egenskab særlig situation gensidige tal - et par. De omvendte er f.eks. tal; .

Sådan finder du det gensidige af et tal

Regel: du skal dividere 1 (en) med et givet tal.

Eksempel nr. 1.

Tallet 8 er givet. Dets inverse er 1:8 eller (den anden mulighed er at foretrække, fordi denne notation er matematisk mere korrekt).

Når man leder efter det omvendte tal for almindelig brøk, så er det ikke særlig praktisk at dividere det med 1, fordi optagelsen er besværlig. I dette tilfælde er det meget nemmere at gøre tingene anderledes: Brøken vendes simpelthen ved at skifte tæller og nævner. Hvis givet rigtig brøkdel, så efter vending er den resulterende fraktion ukorrekt, dvs. en, hvorfra en hel del kan isoleres. Om du vil gøre dette eller ej, skal du beslutte i hver konkret sag især. Så hvis du så skal udføre nogle handlinger med den resulterende inverterede brøk (for eksempel multiplikation eller division), så skal du ikke vælge hele delen. Hvis den resulterende fraktion er endeligt resultat, så er det måske ønskeligt at isolere hele delen.

Eksempel nr. 2.

Givet en brøkdel. Omvendt til det:.

Hvis du skal finde det reciproke af en decimalbrøk, skal du bruge den første regel (dividere 1 med tallet). I denne situation kan du handle på en af ​​2 måder. Den første er simpelthen at dividere 1 med det tal i en kolonne. Den anden er at danne en brøk med et 1 i tælleren og en decimal i nævneren, og derefter gange tælleren og nævneren med 10, 100 eller et andet tal bestående af et 1 og så mange nuller som nødvendigt for at slippe af med decimaltegnet i nævneren. Resultatet bliver en almindelig brøk, som er resultatet. Hvis det er nødvendigt, skal du muligvis forkorte den, vælge en hel del fra den eller konvertere den til decimalform.

Eksempel nr. 3.

Det angivne tal er 0,82. Det gensidige nummer er: . Lad os nu reducere brøken og vælge hele delen: .

Sådan kontrolleres om to tal er gensidige

Verifikationsprincippet er baseret på at bestemme gensidige tal. Det vil sige, at for at sikre, at tallene er gensidige, skal du gange dem. Hvis resultatet er ét, så er tallene indbyrdes omvendte.

Eksempel nr. 4.

Givet tallene 0,125 og 8. Er de gensidige?

Undersøgelse. Det er nødvendigt at finde produktet af 0,125 og 8. Lad os for klarhedens skyld præsentere disse tal i form af almindelige brøker: (reducer 1. brøk med 125). Konklusion: tallene 0,125 og 8 er gensidige.

Egenskaber for gensidige tal

Ejendom nr. 1

En gensidig findes for ethvert tal undtagen 0.

Denne begrænsning skyldes, at man ikke kan dividere med 0, og ved bestemmelse af det gensidige tal for nul, vil det skulle flyttes til nævneren, dvs. faktisk dividere med det.

Ejendom nr. 2

Summen af ​​et par gensidige tal er altid ikke mindre end 2.

Matematisk kan denne egenskab udtrykkes ved uligheden: .

Ejendom nr. 3

Gang et tal med to gensidige tal svarer til at gange med en. Lad os udtrykke denne egenskab matematisk: .

Eksempel nr. 5.

Find værdien af ​​udtrykket: 3,4·0,125·8. Da tallene 0,125 og 8 er gensidige (se eksempel nr. 4), er det ikke nødvendigt at gange 3,4 med 0,125 og derefter med 8. Så svaret her vil være 3.4.

Lad os give en definition og give eksempler på gensidige tal. Lad os se på, hvordan man finder det inverse af et naturligt tal og det omvendte af en fælles brøk. Derudover nedskriver og beviser vi en ulighed, der afspejler egenskaben ved summen af ​​gensidige tal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gensidige tal. Definition

Definition. Gensidige tal

Gensidige tal er tal, hvis produkt er lig med et.

Hvis a · b = 1, så kan vi sige, at tallet a er det omvendte af tallet b, ligesom tallet b er det omvendte af tallet a.

Det enkleste eksempel på gensidige tal er to enheder. Faktisk er 1 · 1 = 1, derfor er a = 1 og b = 1 gensidigt omvendte tal. Et andet eksempel er tallene 3 og 1 3, - 2 3 og - 3 2, 6 13 og 13 6, log 3 17 og log 17 3. Produktet af ethvert talpar ovenfor er lig med én. Hvis denne betingelse ikke er opfyldt, som for eksempel for tallene 2 og 2 3, så er tallene ikke gensidigt inverse.

Definitionen af ​​gensidige tal er gyldig for ethvert tal - naturligt, heltal, reelt og komplekst.

Hvordan finder man det omvendte af et givet tal

Lad os overveje almindelig sag. Hvis det oprindelige tal er lig med a, vil dets omvendte tal blive skrevet som 1 a eller a - 1. Faktisk er a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

For naturlige tal og almindelige brøker er det ret simpelt at finde det gensidige. Man kan endda sige, at det er indlysende. Hvis du finder et tal, der er det omvendte af et irrationelt eller komplekst tal, bliver du nødt til at lave en række udregninger.

Lad os overveje de mest almindelige tilfælde af at finde det gensidige nummer i praksis.

Det gensidige af en fælles brøk

Det er klart, at den reciproke af en almindelig brøk a b er brøken b a. Så for at finde det omvendte af en brøk, skal du blot vende brøken om. Det vil sige skift tæller og nævner.

Ifølge denne regel kan du skrive det gensidige af enhver almindelig brøk næsten med det samme. Så for brøken 28 57 vil det gensidige tal være brøken 57 28, og for brøken 789 256 - tallet 256 789.

Det gensidige af et naturligt tal

Du kan finde det inverse af ethvert naturligt tal på samme måde som at finde det inverse af en brøk. Det er nok at repræsentere det naturlige tal a i form af en almindelig brøk a 1. Så vil dets omvendte tal være tallet 1a. Til naturligt tal 3 dens reciproke er brøken 1 3, for tallet 666 er den reciproke 1 666, og så videre.

Der skal lægges særlig vægt på enheden, da den ental, hvis gensidighed er lig med sig selv.

Der er ingen andre par af gensidige tal, hvor begge komponenter er ens.

Det gensidige af et blandet tal

Det blandede tal ligner a b c. For at finde dets omvendte tal skal du repræsentere det blandede tal som en uægte brøk og derefter vælge det omvendte tal for den resulterende brøk.

Lad os for eksempel finde det gensidige tal for 7 2 5. Lad os først forestille os 7 2 5 som en uægte brøk: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

For den uægte brøk 37 5 er den reciproke 5 37.

Gensidig af en decimal

En decimal kan også repræsenteres som en brøk. At finde den reciproke af et decimaltal kommer ned til at repræsentere decimalen som en brøk og finde dens reciproke.

For eksempel er der en brøk 5, 128. Lad os finde dets omvendte tal. Konverter først decimalbrøken til en almindelig brøk: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. For den resulterende brøk vil det gensidige tal være brøken 125 641.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel. Find det gensidige af en decimal

Lad os finde det gensidige tal for den periodiske decimalbrøk 2, (18).

Konvertering af en decimalbrøk til en almindelig brøk:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Efter oversættelsen kan vi nemt skrive det gensidige tal for brøken 24 11. Dette tal vil naturligvis være 11 24.

For en uendelig og ikke-periodisk decimalbrøk skrives det gensidige tal som en brøk med en enhed i tælleren og selve brøken i nævneren. For eksempel for den uendelige brøk 3, 6025635789. . . det gensidige nummer vil være 1 3, 6025635789. . . .

Ligeledes for irrationelle tal, svarende til ikke-periodisk uendelige brøker, gensidige tal skrives som brøkudtryk.

For eksempel vil den reciproke for π + 3 3 80 være 80 π + 3 3, og for tallet 8 + e 2 + e vil den reciproke være brøken 1 8 + e 2 + e.

Gensidige tal med rødder

Hvis typen af ​​to tal er forskellig fra a og 1 a, så er det ikke altid let at afgøre, om tallene er gensidige. Dette gælder især for tal, der har et grundtegn i deres notation, da det normalt er kutyme at slippe af med roden i nævneren.

Lad os vende os til praksis.

Lad os besvare spørgsmålet: er tallene 4 - 2 3 og 1 + 3 2 gensidige?

For at finde ud af, om tallene er gensidige, lad os beregne deres produkt.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Produktet er lig med én, hvilket betyder, at tallene er gensidige.

Lad os se på et andet eksempel.

Eksempel. Gensidige tal med rødder

Skriv det gensidige af 5 3 + 1 ned.

Vi kan umiddelbart skrive, at det gensidige tal er lig med brøken 1 5 3 + 1. Men som vi allerede har sagt, er det sædvanligt at slippe af med roden i nævneren. For at gøre dette skal du gange tælleren og nævneren med 25 3 - 5 3 + 1. Vi får:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Gensidige tal med potenser

Lad os sige, at der er et tal lig med en potens af tallet a. Med andre ord er tallet a hævet til potensen n. Den reciproke af tallet a n er tallet a - n . Lad os tjekke det ud. Faktisk: a n · a - n = a n 1 · 1 a n = 1 .

Eksempel. Gensidige tal med potenser

Lad os finde det gensidige tal for 5 - 3 + 4.

Ifølge det, der blev skrevet ovenfor, er det nødvendige tal 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4

Gensidige tal med logaritmer

For logaritmen af ​​et tal til grundtal b, er det omvendte tal lig med logaritme tal b til grundtal a.

log a b og log b a er indbyrdes omvendte tal.

Lad os tjekke det ud. Af logaritmens egenskaber følger, at log a b = 1 log b a, hvilket betyder log a b · log b a.

Eksempel. Gensidige tal med logaritmer

Find det gensidige af log 3 5 - 2 3 .

I antal, invers logaritme tallet 3 til grundtal 3 5 - 2 er logaritmen af ​​tal 3 5 - 2 til grundtal 3.

Det omvendte af et komplekst tal

Som nævnt tidligere gælder definitionen af ​​gensidige tal ikke kun for reelle tal, men også for komplekse.

Komplekse tal er normalt repræsenteret i algebraisk form z = x + i y . Den reciproke af det givne tal er en brøkdel

1 x + i y . For nemheds skyld kan du forkorte dette udtryk ved at gange tælleren og nævneren med x - i y.

Eksempel. Det omvendte af et komplekst tal

Lad der være et komplekst tal z = 4 + i. Lad os finde det omvendte af det.

Den reciproke af z = 4 + i vil være lig med 1 4 + i.

Gang tælleren og nævneren med 4 - i og få:

1 4 + i = 4 - i 4 + i 4 - i = 4 - i 4 2 - i 2 = 4 - i 16 - (- 1) = 4 - i 17 .

Udover algebraisk form, kan et komplekst tal repræsenteres i trigonometrisk eller demonstrationsform på følgende måde:

z = r cos φ + i sin φ

z = r e i φ

Følgelig vil det omvendte tal se ud som:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Lad os sikre os dette:

r cos φ + i sin φ 1 r cos (- φ) + i sin (- φ) = r r cos 2 φ + sin 2 φ = 1 r e i φ 1 r e i (- φ) = r r e 0 = 1

Lad os se på eksempler med repræsentationen komplekse tal i trigonometrisk og eksponentiel form.

Lad os finde det omvendte tal for 2 3 cos π 6 + i · sin π 6 .

I betragtning af at r = 2 3, φ = π 6, skriver vi det omvendte tal

3 2 cos - π 6 + i sin - π 6

Eksempel. Find det omvendte af et komplekst tal

Hvilket tal vil være det gensidige af 2 · e i · - 2 π 5 .

Svar: 1 2 e i 2 π 5

Summen af ​​gensidige tal. Ulighed

Der er en sætning om summen af ​​to indbyrdes omvendte tal.

Summen af ​​gensidige tal

Summen af ​​to positive og gensidige tal er altid større end eller lig med 2.

Lad os give et bevis for sætningen. Som bekendt for evt positive tal a og b er den aritmetiske middelværdi større end eller lig med den geometriske middelværdi. Dette kan skrives som en ulighed:

a + b 2 ≥ a b

Hvis vi i stedet for tallet b tager det omvendte af a, vil uligheden have formen:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Lad os give praktisk eksempel, der illustrerer denne egenskab.

Eksempel. Find summen af ​​gensidige tal

Lad os beregne summen af ​​tallene 2 3 og dens inverse.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Som sætningen siger, er det resulterende tal større end to.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter