Brug af koordinatmetoden til at beregne en vinkel
mellem flyene
Mest generel metode finde vinklenmellem planer - koordinatmetoden (nogle gange ved hjælp af vektorer). Det kan bruges, når alle andre er blevet prøvet. Men der er situationer, hvor koordinatmetoden giver mening at anvende med det samme, nemlig når koordinatsystemet naturligt er relateret til det polyeder, der er angivet i problemformuleringen, dvs. Tre parvis vinkelrette linjer er tydeligt synlige, på hvilke koordinatakser kan angives. Sådanne polyedre er et rektangulært parallelepipedum og et regulært firkantet pyramide. I det første tilfælde kan koordinatsystemet specificeres af kanter, der strækker sig fra et toppunkt (fig. 1), i det andet - ved basens højde og diagonaler (fig. 2).
Anvendelsen af koordinatmetoden er som følger.
Et rektangulært koordinatsystem i rummet introduceres. Det er tilrådeligt at introducere det på en "naturlig" måde - at "linke" det til en trio af parvise vinkelrette linjer, der har et fælles punkt.
For hvert af planerne, vinklen mellem hvilke der søges, opstilles en ligning. Den nemmeste måde at lave sådan en ligning på er at kende koordinaterne for tre punkter på planet, der ikke ligger på samme linje.
Planets ligning i generel opfattelse ligner Axe + By + Cz + D = 0.
Koefficienterne A, B, C i denne ligning er koordinaterne for normalvektoren i planet (vektor, vinkelret på planet). Vi bestemmer så længderne og skalært produkt normalvektorer til planerne, vinklen mellem hvilke søges. Hvis koordinaterne for disse vektorer(A 1, B 1; C 1) og (A 2; B 2; C 2 ), derefter den ønskede vinkelberegnet med formlen
Kommentar. Det skal huskes, at vinklen mellem vektorer (i modsætning til vinklen mellem planer) kan være stump, og for at undgå mulig usikkerhed indeholder tælleren på højre side af formlen et modul.
Løs dette problem ved hjælp af koordinatmetoden.
Opgave 1. Givet en terning ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punkt K er midten af kant AD, punkt L er midten af kant CD. Hvad er vinklen mellem planerne A? 1 KL og A 1 AD?
Løsning . Lad oprindelsen af koordinatsystemet være ved punktet EN, og koordinatakserne går langs strålerne AD, AB, AA 1 (Fig. 3). Lad os tage kanten af terningen til at være lig med 2 (det er praktisk at dele det i to). Derefter punkternes koordinater A1, K, L er som følger: A1 (0; 0; 2), K(1; 0; 0), L(2; 1; 0).
Ris. 3
Lad os skrive flyets ligning ned En 1 K L generelt. Derefter erstatter vi koordinaterne for de valgte punkter i dette plan i det. Vi får et system af tre ligninger med fire ukendte:
Lad os udtrykke koefficienterne A, B, C til D og vi når frem til ligningen
Opdeling af begge dele i D (hvorfor D = 0?) og derefter gange med -2, får vi flyets ligning A 1 KL: 2x - 2 y + z - 2 = 0. Så har normalvektoren til dette plan koordinater (2: -2; 1). Planligning A 1 AD er: y=0, og koordinaterne for den normale vektor til den er for eksempel (0; 2: 0). Ifølge ovenstående formel for cosinus af vinklen mellem planer får vi:
Videokurset "Få et A" indeholder alle de emner, du har brug for vellykket afslutning Unified State Examination i matematik for 60-65 point. Fuldstændig alle problemer 1-13 Profil Unified State Examination matematik. Også velegnet til at bestå Basic Unified State Examination i matematik. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!
Forberedelseskursus til Unified State Examen for klasse 10-11, samt for lærere. Alt hvad du behøver for at løse del 1 af Unified State-eksamenen i matematik (de første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og det er mere end 70 point på Unified State Exam, og hverken en 100-point studerende eller en humaniora-studerende kan undvære dem.
Alle nødvendig teori. Hurtige måder løsninger, faldgruber og hemmeligheder ved Unified State Exam. Alle aktuelle opgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er blevet analyseret. Kurset overholder fuldt ud kravene i Unified State Exam 2018.
Kurset indeholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og tydeligt.
Hundredvis af Unified State Exam-opgaver. Ordproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og nemme at huske algoritmer til løsning af problemer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer Unified State Examination opgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige snydeark, udvikling rumlig fantasi. Trigonometri fra bunden til opgave 13. Forståelse i stedet for at proppe. Visuel forklaring komplekse begreber. Algebra. Rødder, potenser og logaritmer, funktion og afledet. Grundlag for løsning komplekse opgaver 2 dele af Unified State-eksamenen.
Denne artikel handler om vinklen mellem fly og hvordan man finder den. Først gives definitionen af vinklen mellem to planer, og der gives en grafisk illustration. Herefter blev princippet om at finde vinklen mellem to skærende planer ved hjælp af koordinatmetoden analyseret, og der blev opnået en formel, der gør det muligt at beregne vinklen mellem skærende planer ved hjælp af de kendte koordinater for disse planers normalvektorer. Afslutningsvis er det vist detaljerede løsninger karakteristiske opgaver.
Sidenavigation.
Vinkel mellem planer - definition.
Lad os præsentere argumenter, der vil give os mulighed for gradvist at nærme os bestemmelsen af vinklen mellem to krydsende planer.
Lad os få to krydsende planer og . Disse planer skærer hinanden langs en lige linje, som vi betegner med bogstavet c. Lad os konstruere et plan, der går gennem punkt M på linje c og vinkelret på linje c. I dette tilfælde vil flyet skære flyene og. Lad os betegne den rette linje, langs hvilken planerne skærer, som a, og den rette linje, langs hvilken planerne skærer, som b. Det er klart, at linjerne a og b skærer hinanden i punktet M.
Det er let at vise, at vinklen mellem skærende linjer a og b ikke afhænger af placeringen af punktet M på linjen c, som planet passerer igennem.
Lad os konstruere et plan vinkelret på linjen c og forskelligt fra planet. Planen er gennemskåret af planer og langs rette linjer, som vi betegner som henholdsvis a 1 og b 1.
Af metoden til at konstruere planer følger det, at linjerne a og b er vinkelrette på linje c, og linjerne a 1 og b 1 er vinkelrette på linje c. Da linjerne a og a 1 ligger i samme plan og er vinkelrette på linje c, så er de parallelle. På samme måde ligger linjerne b og b 1 i samme plan og er vinkelrette på linje c, derfor er de parallelle. Så du kan gøre parallel overførsel plan til plan, hvor den rette linie a 1 falder sammen med den rette linie a, og den rette linie b med den rette linie b 1. Derfor er vinklen mellem to skærende linjer a 1 og b 1 lig med vinkel mellem skærende linjer a og b.
Dette beviser, at vinklen mellem skærende linjer a og b, der ligger i skærende planer, og ikke afhænger af valget af punkt M, som planet passerer igennem. Derfor er det logisk at tage denne vinkel som vinklen mellem to skærende planer.
Nu kan du udtrykke definitionen af vinklen mellem to skærende planer og.
Definition.
Vinklen mellem to planer, der skærer hinanden i en ret linje og- dette er vinklen mellem to skærende linjer a og b, langs hvilke planerne og skærer med planet vinkelret på linjen c.
Definitionen af vinklen mellem to planer kan gives lidt forskelligt. Hvis på den rette linie c, langs hvilken planerne og skærer, markerer du et punkt M og tegner lige linjer a og b gennem det, vinkelret på den rette linie c og liggende i henholdsvis planerne og så vinklen mellem de rette linjer a og b er vinklen mellem planerne og. Normalt i praksis udføres netop sådanne konstruktioner for at opnå vinklen mellem planerne.
Da vinklen mellem skærende linjer ikke overstiger , følger det af den angivne definition, at gradsmål vinklen mellem to skærende planer udtrykkes reelle tal fra intervallet. I dette tilfælde kaldes skærende planer vinkelret, hvis vinklen mellem dem er halvfems grader. Vinkel mellem parallelle planer enten bestemmer de det slet ikke, eller også anser de det for lig med nul.
Finde vinklen mellem to skærende planer.
Normalt, når man finder en vinkel mellem to skærende planer, skal man først udføre yderligere konstruktioner for at se de skærende rette linjer, hvor mellem vinklen er lig med den ønskede vinkel, og derefter forbinde denne vinkel med de originale data ved hjælp af lighedstest, lighed test, cosinussætningen eller definitioner af sinus, cosinus og tangens af vinklen. I løbet af geometrien Gymnasium lignende problemer opstår.
Lad os som et eksempel give løsningen på opgave C2 fra Unified State Exam in Mathematics for 2012 (betingelsen blev bevidst ændret, men dette påvirker ikke princippet om løsningen). I den skulle man bare finde vinklen mellem to krydsende planer.
Eksempel.
Løsning.
Lad os først lave en tegning.
Lad os udføre yderligere konstruktioner for at "se" vinklen mellem flyene.
Lad os først definere en lige linje, langs hvilken planerne ABC og BED 1 skærer hinanden. Punkt B er et af deres fælles punkter. Lad os finde det andet fælles punkt for disse fly. Linjerne DA og D 1 E ligger i samme plan ADD 1, og de er ikke parallelle, og skærer derfor hinanden. På den anden side ligger linje DA i planet ABC, og linje D 1 E - i planet BED 1, derfor vil skæringspunktet mellem linjerne DA og D 1 E være fælles punkt ABC fly og SENG 1. Så lad os fortsætte linjerne DA og D 1 E til deres skæringspunkt, der angiver punktet for deres skæringspunkt med bogstavet F. Så er BF den rette linje, langs hvilken planerne ABC og BED 1 skærer hinanden.
Det er tilbage at konstruere to linjer, der ligger i henholdsvis planerne ABC og BED 1, der går gennem et punkt på linjen BF og vinkelret på linjen BF - vinklen mellem disse linjer vil per definition være lig med den ønskede vinkel mellem fly ABC og BED 1. Lad os gøre det.
Prik A er projektionen af punkt E på plan ABC. Lad os tegne en ret linje, der skærer linje BF vinkelret i punktet M. Så er den rette linje AM projektionen af den rette linie EM på planen ABC, og ved sætningen af tre vinkelrette.
Således er den nødvendige vinkel mellem planerne ABC og BED 1 lig med .
Vi kan bestemme sinus, cosinus eller tangens for denne vinkel (og derfor selve vinklen) ud fra den retvinklede trekant AEM, hvis vi kender længden af dens to sider. Ud fra betingelsen er det let at finde længden AE: da punkt E deler side AA 1 i forholdet 4 til 3, tællet fra punkt A, og længden af side AA 1 er 7, så er AE = 4. Lad os finde længden AM.
For at gøre dette, overvej retvinklet trekant ABF med ret vinkel A, hvor AM er højden. Ved betingelse AB = 2. Vi kan finde længden af side AF ud fra ligheden mellem retvinklede trekanter DD 1 F og AEF: 
Ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi fra trekant ABF. Vi finder længden AM gennem arealet af trekanten ABF: på den ene side er arealet af trekanten ABF lig med 
, på den anden side 
, hvor 
.
Således har vi fra den retvinklede trekant AEM 
.
Så er den nødvendige vinkel mellem planerne ABC og BED 1 lig (bemærk at 
).
Svar:
I nogle tilfælde, for at finde vinklen mellem to skærende planer, er det praktisk at indstille Oxyz og bruge koordinatmetoden. Lad os stoppe der.
Lad os sætte opgaven: find vinklen mellem to krydsende planer og . Lad os betegne den ønskede vinkel som .
Vi vil antage, at vi i et givet rektangulært koordinatsystem Oxyz kender koordinaterne for normalvektorerne i skærende planer og eller har mulighed for at finde dem. Lade 
er normalvektoren for planet, og 
er normalvektoren for planet. Vi vil vise, hvordan man finder vinklen mellem skærende planer og gennem koordinaterne af disse planers normalvektorer.
Lad os betegne den rette linje, langs hvilken planerne og skærer som c. Gennem punkt M på linie c tegner vi et plan vinkelret på linie c. Planet skærer planerne og langs linje a og b skærer linjerne a og b henholdsvis punkt M. Per definition er vinklen mellem skærende planer og lig med vinklen mellem skærende linjer a og b.
Lad os plotte normalvektorerne og -planerne og fra punktet M i planen. I dette tilfælde ligger vektoren på en linje, der er vinkelret på linje a, og vektoren ligger på en linje, der er vinkelret på linje b. Således er vektoren i planet normalvektoren for linjen a, er normalvektoren for linjen b.
I artiklen om at finde vinklen mellem skærende linjer, modtog vi en formel, der giver os mulighed for at beregne cosinus af vinklen mellem skærende linjer ved hjælp af koordinaterne for normale vektorer. Således cosinus af vinklen mellem linje a og b, og følgelig, cosinus af vinklen mellem skærende planer og findes af formlen, hvor Og er normalvektorerne for planerne og hhv. Derefter beregnes det som 
.
Lad os løse det foregående eksempel ved hjælp af koordinatmetoden.
Eksempel.
Givet et rektangulært parallelepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, hvor AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 og punkt E deler side AA 1 i forholdet 4 til 3, tællet fra punkt A. Find vinklen mellem planerne ABC og BED 1.
Løsning.
Siden siderne rektangulær parallelepipedum når et toppunkt er parvis vinkelret, er det praktisk at indføre rektangulært system koordinerer Oxyz således: begyndelsen er justeret med toppunktet C, og koordinatakser Ox, Oy og Oz er rettet til henholdsvis siderne CD, CB og CC 1.
Vinklen mellem ABC- og BED 1-planerne kan findes gennem koordinaterne for normalvektorerne for disse planer ved hjælp af formlen , hvor og er normalvektorerne for henholdsvis ABC- og BED 1-planerne. Lad os bestemme koordinaterne for normale vektorer.
Målingen af vinklen mellem planer er skarpt hjørne, dannet af to rette linjer, der ligger i disse planer og tegnet vinkelret på linjen i deres skæringspunkt.
Konstruktionsalgoritme
- Fra et vilkårligt punkt K tegnes perpendikulære til hver af de givne planer.
- Ved at dreje rundt om niveaulinjen bestemmes vinklen γ° med toppunktet i punktet K.
- Beregn vinklen mellem planerne ϕ° = 180 – γ°, forudsat at γ° > 90°. Hvis γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.
Figuren viser tilfældet, når planerne α og β er givet ved spor. Alle nødvendige konstruktioner blev udført i henhold til algoritmen og er beskrevet nedenfor.
Løsning
- Marker punktet K på et vilkårligt sted på tegningen. Fra det sænker vi vinkelrette henholdsvis m og n til planerne α og β. Retningen af fremspringene m og n er som følger: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
- Vi bestemmer den faktiske størrelse ∠γ° mellem linjerne m og n. For at gøre dette drejer vi rundt om fronten f vinklens plan med toppunktet K til en position parallelt med det frontale projektionsplan. Venderadius R for punkt K lig med værdien hypotenusen af en retvinklet trekant O""K""K 0, hvis side er K""K 0 = y K – y O.
- Den ønskede vinkel er ϕ° = ∠γ°, da ∠γ° er spids.
Nedenstående figur viser løsningen på et problem, hvor det kræves at finde vinklen γ° mellem planerne α og β, givet ved henholdsvis parallelle og skærende linjer.
Løsning
- Vi bestemmer retningen af projektioner af vandrette h 1, h 2 og fronter f 1, f 2, tilhørende flyα og β, i den rækkefølge, der er angivet med pilene. Fra et vilkårligt punkt K på pladsen. α og β udelader vi perpendikulærerne e og k. I dette tilfælde e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 og k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
- Vi definerer ∠γ° mellem linjerne e og k. For at gøre dette skal du tegne en vandret linje h 3 og rundt om den roterer vi punktet K til position K 1, hvor △CKD bliver parallel med det vandrette plan og vil blive reflekteret på det i naturlig størrelse - △C"K" 1 D ". Projektionen af rotationscentret O" er placeret på tegnet til h" 3 vinkelret på K"O". Radius R bestemmes ud fra den retvinklede trekant O"K"K 0, hvis side K"K 0 = Z O – Z K.
- Værdien af den ønskede værdi er ∠ϕ° = ∠γ°, da vinklen γ° er spids.
\(\blacktriangleright\) Dihedral vinkel er en vinkel dannet af to halvplaner og en ret linje \(a\), som er deres fælles grænse.
\(\blacktriangleright\) For at finde vinklen mellem planerne \(\xi\) og \(\pi\) skal du finde lineær vinkel(og krydret eller lige) dihedral vinkel dannet af planerne \(\xi\) og \(\pi\):
Trin 1: lad \(\xi\cap\pi=a\) (skæringslinjen for planerne). I planet \(\xi\) noterer vi vilkårligt punkt\(F\) og udfør \(FA\perp a\) ;
Trin 2: udfør \(FG\perp \pi\) ;
Trin 3: ifølge TTP (\(FG\) – vinkelret, \(FA\) – skrå, \(AG\) – projektion) har vi: \(AG\perp a\) ;
Trin 4: Vinklen \(\vinkel FAG\) kaldes den lineære vinkel på den dihedrale vinkel dannet af planerne \(\xi\) og \(\pi\) .
Bemærk, at trekanten \(AG\) er retvinklet.
Bemærk også, at planet \(AFG\) konstrueret på denne måde er vinkelret på begge planer \(\xi\) og \(\pi\) . Derfor kan vi sige det anderledes: vinkel mellem planer\(\xi\) og \(\pi\) er vinklen mellem to skærende linjer \(c\in \xi\) og \(b\in\pi\), der danner et plan vinkelret på og \(\xi\ ), og \(\pi\) .
Opgave 1 #2875
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
Givet en firkantet pyramide, hvis alle kanter er lige store, og basen er en firkant. Find \(6\cos \alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinklen mellem dens tilstødende sideflader.
Lad \(SABCD\) – denne pyramide(\(S\) er et toppunkt), hvis kanter er lig med \(a\) . Derfor alt sideflader er ens ligesidede trekanter. Lad os finde vinklen mellem flader \(SAD\) og \(SCD\) .
Lad os gøre \(CH\perp SD\) . Fordi \(\triangle SAD=\triangle SCD\), så vil \(AH\) også være højden af \(\triangle SAD\) . Derfor er \(\angle AHC=\alpha\) per definition den lineære vinkel af den dihedriske vinkel mellem fladerne \(SAD\) og \(SCD\) .
Da grundfladen er et kvadrat, så \(AC=a\sqrt2\) . Bemærk også, at \(CH=AH\) er højden ligesidet trekant med siden \(a\) , derfor \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Derefter ved cosinussætningen fra \(\trekant AHC\): \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]
Svar: -2
Opgave 2 #2876
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
Planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) skærer hinanden i en vinkel, hvis cosinus er lig med \(0,2\) . Planerne \(\pi_2\) og \(\pi_3\) skærer hinanden i rette vinkler, og skæringslinjen for planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) er parallel med skæringslinjen for planerne \(\pi_2\) og \(\ pi_3\) . Find sinus for vinklen mellem planerne \(\pi_1\) og \(\pi_3\) .
Lad skæringslinjen for \(\pi_1\) og \(\pi_2\) være en ret linje \(a\), skæringslinjen for \(\pi_2\) og \(\pi_3\) være en ret linje linje \(b\), og skæringslinjen \(\pi_3\) og \(\pi_1\) – lige linje \(c\) . Siden \(a\parallel b\) , så \(c\parallel a\parallel b\) (ifølge sætningen fra afsnittet i den teoretiske reference "Geometri i rummet" \(\højrepil\) "Introduktion til stereometri, parallelitet").
Lad os markere punkterne \(A\i a, B\i b\) så \(AB\perp a, AB\perp b\) (dette er muligt siden \(a\parallel b\) ). Lad os markere \(C\in c\) så \(BC\perp c\) , derfor \(BC\perp b\) . Derefter \(AC\perp c\) og \(AC\perp a\) .
Faktisk, da \(AB\perp b, BC\perp b\) , så er \(b\) vinkelret på planet \(ABC\) . Da \(c\parallel a\parallel b\), så er linjerne \(a\) og \(c\) også vinkelrette på planet \(ABC\), og derfor på enhver linje fra dette plan, især , linjen \ (AC\) .
Den følger det \(\vinkel BAC=\vinkel (\pi_1, \pi_2)\), \(\vinkel ABC=\vinkel (\pi_2, \pi_3)=90^\cirkel\), \(\vinkel BCA=\vinkel (\pi_3, \pi_1)\). Det viser sig, at \(\trekant ABC\) er rektangulær, hvilket betyder \[\sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]
Svar: 0,2
Opgave 3 #2877
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
Givet rette linjer \(a, b, c\), der skærer hinanden i et punkt, og vinklen mellem to af dem er lig med \(60^\circ\) . Find \(\cos^(-1)\alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinklen mellem planen dannet af linjer \(a\) og \(c\) og planen dannet af linjer \( b\) og \(c\) . Giv dit svar i grader.
Lad linjerne skære hinanden i punktet \(O\) . Da vinklen mellem to af dem er lig med \(60^\cirkel\), kan alle tre rette linjer ikke ligge i samme plan. Lad os markere punktet \(A\) på linjen \(a\) og tegne \(AB\perp b\) og \(AC\perp c\) . Derefter \(\triangle AOB=\triangle AOC\) som rektangulær langs hypotenusen og den spidse vinkel. Derfor \(OB=OC\) og \(AB=AC\) .
Lad os gøre \(AH\perp (BOC)\) . Derefter ved sætningen om tre perpendikulære \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Siden \(AB=AC\) , så \(\trekant AHB=\trekant AHC\) som rektangulær langs hypotenusen og benet. Derfor \(HB=HC\) . Det betyder, at \(OH\) er halveringslinjen for vinklen \(BOC\) (da punktet \(H\) er lige langt fra vinklens sider).
Bemærk, at vi på denne måde også konstruerede den lineære vinkel på den dihedrale vinkel, dannet af et fly, dannet af linjer \(a\) og \(c\), og planet dannet af linjer \(b\) og \(c\) . Dette er vinklen \(ACH\) .
Lad os finde denne vinkel. Da vi valgte punktet \(A\) vilkårligt, så lad os vælge det således, at \(OA=2\) . Derefter i rektangulær \(\triangle AOC\): \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Da \(OH\) er en halveringslinje, så er \(\vinkel HOC=30^\cirkel\) , derfor i en rektangulær \(\trekant HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Derefter fra den rektangulære \(\trekant ACH\): \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
Svar: 3
Opgave 4 #2910
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
Planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) skærer langs den rette linje \(l\), hvorpå punkterne \(M\) og \(N\) ligger. Segmenterne \(MA\) og \(MB\) er vinkelrette på den rette linie \(l\) og ligger i henholdsvis planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\), og \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Find \(3\cos\alpha\) , hvor \(\alpha\) er vinklen mellem planerne \(\pi_1\) og \(\pi_2\) .
Trekanten \(AMN\) er retvinklet, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), hvorfra \ Trekanten \(BMN\) er retvinklet, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), hvorfra \Vi skriver cosinussætningen for trekanten \(AMB\): \ Derefter \ Da vinklen \(\alpha\) mellem planerne er en spids vinkel, og \(\angle AMB\) viste sig at være stump, så er \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Derefter \
Svar: 1,25
Opgave 5 #2911
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) er et parallelepipedum, \(ABCD\) er et kvadrat med siden \(a\), punktet \(M\) er bunden af vinkelret faldet fra punktet \(A_1\) til planet \ ((ABCD)\) , desuden er \(M\) skæringspunktet mellem diagonalerne i kvadratet \(ABCD\) . Det er kendt, at \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Find vinklen mellem planerne \((ABCD)\) og \((AA_1B_1B)\) . Giv dit svar i grader.
Lad os konstruere \(MN\) vinkelret på \(AB\) som vist på figuren.
Da \(ABCD\) er et kvadrat med siden \(a\) og \(MN\perp AB\) og \(BC\perp AB\) , så \(MN\parallel BC\) . Da \(M\) er skæringspunktet for kvadratets diagonaler, så er \(M\) midtpunktet af \(AC\), derfor er \(MN\) midterste linje Og \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) er projektionen af \(A_1N\) på planet \((ABCD)\), og \(MN\) er vinkelret på \(AB\), og derefter, ved sætningen af tre vinkelrette, \ (A_1N\) er vinkelret på \(AB \) og vinklen mellem planerne \((ABCD)\) og \((AA_1B_1B)\) er \(\vinkel A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angle A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
Svar: 60
Opgave 6 #1854
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
I en firkant \(ABCD\) : \(O\) – skæringspunktet for diagonalerne; \(S\) – ligger ikke i kvadratets plan, \(SO \perp ABC\) . Find vinklen mellem planerne \(ASD\) og \(ABC\) hvis \(SO = 5\) og \(AB = 10\) .
Rette trekanter \(\triangle SAO\) og \(\triangle SDO\) er lige store i to sider og vinklen mellem dem (\(SO \perp ABC\) \(\Højrepil\) \(\angle SOA = \angle SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , fordi \(O\) – skæringspunktet for kvadratets diagonaler, \(SO\) – fælles side) \(\Højrepil\) \(AS = SD\) \(\Højrepil\) \(\trekant ASD\) – ligebenet. Punkt \(K\) er midten af \(AD\), så er \(SK\) højden i trekanten \(\trekant ASD\), og \(OK\) er højden i trekanten \( AOD\) \(\ Højrepil\) plan \(SOK\) er vinkelret på planerne \(ASD\) og \(ABC\) \(\Højrepil\) \(\vinkel SKO\) – lineær vinkel lig med den ønskede dihedral vinkel.
I \(\triangle SKO\): \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Højrepil\) \(\trekant SOK\) – ligebenet retvinklet trekant \(\Højrepil\) \(\vinkel SKO = 45^\cirkel\) .
Svar: 45
Opgave 7 #1855
Opgaveniveau: Sværere end Unified State-eksamenen
I en firkant \(ABCD\) : \(O\) – skæringspunktet for diagonalerne; \(S\) – ligger ikke i kvadratets plan, \(SO \perp ABC\) . Find vinklen mellem planerne \(ASD\) og \(BSC\) hvis \(SO = 5\) og \(AB = 10\) .
Retvinklede trekanter \(\trekant SAO\) , \(\trekant SDO\) , \(\trekant SOB\) og \(\trekant SOC\) er ens i to sider og vinklen mellem dem (\(SO \perp ABC \) \(\Højre pil\) \(\angle SOA = \angle SOD = \angle SOB = \angle SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), fordi \(O\) – skæringspunktet for kvadratets diagonaler, \(SO\) – fælles side) \(\Højrepil\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Højrepil\) \( \triangle ASD\) og \(\triangle BSC\) er ligebenede. Punkt \(K\) er midten af \(AD\), så er \(SK\) højden i trekanten \(\trekant ASD\), og \(OK\) er højden i trekanten \( AOD\) \(\ Højrepil\) plan \(SOK\) er vinkelret på plan \(ASD\) . Punkt \(L\) er midten af \(BC\), så er \(SL\) højden i trekanten \(\trekant BSC\), og \(OL\) er højden i trekanten \( BOC\) \(\ Højrepil\) plan \(SOL\) (alias plan \(SOK\)) er vinkelret på planet \(BSC\) . Således opnår vi, at \(\vinkel KSL\) er en lineær vinkel lig med den ønskede dihedriske vinkel.
\(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\(\Højrepil\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – lige høje ligebenede trekanter, som kan findes ved hjælp af Pythagoras sætning: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Det kan man mærke \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Højrepil\) for en trekant \(\trekant KSL\) indeholder den omvendte Pythagoras sætning \(\Højrepil\) \(\trekant KSL\) – retvinklet \(\Højrepil\) \(\vinkel KSL = 90 ^\ cirk\) .
Svar: 90
Forberedelse af elever til at tage Unified State-eksamen i matematik begynder som regel med at gentage grundlæggende formler, herunder dem, der giver dig mulighed for at bestemme vinklen mellem fly. På trods af det faktum, at dette afsnit af geometri er dækket tilstrækkeligt detaljeret inden for skolepensum, skal mange kandidater gentage grundmateriale. Ved at forstå, hvordan man finder vinklen mellem fly, vil gymnasieelever hurtigt kunne beregne det rigtige svar, når de løser et problem, og regne med at modtage anstændige score på resultaterne af at bestå den unified state-eksamen.
Vigtigste nuancer
Så spørgsmålet er, hvordan man finder dihedral vinkel, ikke forårsagede nogen vanskeligheder, anbefaler vi at følge løsningsalgoritmen, som vil hjælpe dig med at klare opgaverne i Unified State Exam.
Først skal du bestemme den lige linje, langs hvilken flyene skærer hinanden.
Derefter skal du vælge et punkt på denne linje og tegne to vinkelrette på det.
Næste skridt- at finde trigonometrisk funktion dihedral vinkel dannet af perpendikulære. Den mest bekvemme måde at gøre dette på er ved hjælp af den resulterende trekant, som vinklen er en del af.
Svaret vil være værdien af vinklen eller dens trigonometriske funktion.
Forberedelse til eksamensprøven med Shkolkovo er nøglen til din succes
Under undervisningen dagen før bestå Unified State-eksamenen Mange skolebørn står over for problemet med at finde definitioner og formler, der giver dem mulighed for at beregne vinklen mellem 2 planer. Skole lærebog Det er ikke altid lige ved hånden, når du har brug for det. Og at finde nødvendige formler og eksempler på deres korrekte brug, herunder til at finde vinklen mellem fly på internettet online, hvilket nogle gange kræver at bruge meget tid.
Den matematiske portal "Shkolkovo" tilbyder ny tilgang at forberede sig til statseksamen. Klasser på vores hjemmeside vil hjælpe eleverne med at identificere de sværeste sektioner for sig selv og udfylde huller i viden.
Vi har forberedt og tydeligt præsenteret alt det nødvendige materiale. Grundlæggende definitioner og formler præsenteres i afsnittet "Teoretisk information".
For bedre at forstå materialet foreslår vi også at øve de passende øvelser. Stort udvalg af opgaver varierende grader kompleksitet præsenteres for eksempel i afsnittet "Katalog". Alle opgaver indeholder en detaljeret algoritme til at finde det rigtige svar. Listen over øvelser på hjemmesiden bliver løbende suppleret og opdateret.
Mens de øver sig i at løse problemer, der kræver at finde vinklen mellem to planer, har eleverne mulighed for at gemme enhver opgave online som "Favoritter". Takket være dette vil de være i stand til at vende tilbage til ham påkrævet beløb tid og diskutere forløbet af sin beslutning med skole lærer eller en underviser.