System af uligheder Det er sædvanligt at kalde ethvert sæt af to eller flere uligheder, der indeholder en ukendt størrelse.
Denne formulering er tydeligt illustreret, for eksempel af det følgende ulighedssystemer:
Løs ulighedssystemet - betyder at finde alle værdier af en ukendt variabel, ved hvilken hver ulighed i systemet er realiseret, eller at retfærdiggøre, at sådanne ikke eksisterer .
Det betyder, at for hver enkelt systemuligheder Vi beregner den ukendte variabel. Ud fra de resulterende værdier vælges dernæst kun dem, der er sande for både den første og anden ulighed. Derfor, når du erstatter den valgte værdi, bliver begge uligheder i systemet korrekte.
Lad os se på løsningen på flere uligheder:
Lad os placere et par tallinjer under hinanden; sæt værdien øverst x, for hvilken den første ulighed om ( x> 1) bliver sandt, og i bunden - værdien x, som er løsningen på den anden ulighed ( x> 4).
Ved at sammenligne data vedr tallinjer, bemærk, at løsningen for begge uligheder vilje x> 4. Svar, x> 4.
Eksempel 2.
Beregner den første ulighed vi får -3 x< -6, или x> 2, anden - x> -8, eller x < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения x, hvor den første realiseres ulighedssystem, og til den nederste tallinje, alle disse værdier x, hvorved den anden ulighed i systemet realiseres.
Ved at sammenligne dataene finder vi, at begge dele uligheder vil blive implementeret for alle værdier x, placeret fra 2 til 8. Sæt af værdier x betegne dobbelt ulighed 2 < x< 8.
Eksempel 3. Vi finder
System af uligheder.
Eksempel 1. Find et udtryks domæne
Løsning. Der skal være et ikke-negativt tal under kvadratrodstegnet, hvilket betyder, at to uligheder skal være opfyldt samtidigt: 
I sådanne tilfælde siger de, at problemet reduceres til at løse et system af uligheder
Men vi er endnu ikke stødt på sådan en matematisk model (system af uligheder). Det betyder, at vi endnu ikke er i stand til at færdiggøre løsningen på eksemplet.
De uligheder, der danner et system, er kombineret med en krøllet parentes (det samme gælder i ligningssystemer). For eksempel optage
betyder, at ulighederne 2x - 1 > 3 og 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.
Nogle gange er et system af uligheder skrevet i form af en dobbelt ulighed. For eksempel et system af uligheder
kan skrives som en dobbelt ulighed 3<2х-1<11.
I 9. klasses algebrakursus vil vi kun overveje systemer med to uligheder.
Overvej systemet med uligheder
Du kan vælge flere af dens særlige løsninger, for eksempel x = 3, x = 4, x = 3,5. Faktisk, for x = 3 har den første ulighed formen 5 > 3, og den anden har formen 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.
Samtidig er værdien x = 5 ikke en løsning på ulighedssystemet. Når x = 5, har den første ulighed formen 9 > 3 - en korrekt numerisk ulighed, og den anden har formen 13< 11- неверное числовое неравенство .
At løse et system af uligheder betyder at finde alle dets særlige løsninger. Det er klart, at det ovenfor viste gætteri ikke er en metode til at løse et system af uligheder. I det følgende eksempel vil vi vise, hvordan folk normalt ræsonnerer, når de løser et system af uligheder.
Eksempel 3. Løs ulighedssystemet:
Løsning.
EN) Ved at løse den første ulighed i systemet finder vi 2x > 4, x > 2; løser systemets anden ulighed, finder vi 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Løser vi den første ulighed i systemet, finder vi x > 2; at løse den anden ulighed i systemet, finder vi 
Lad os markere disse intervaller på én koordinatlinje, ved at bruge øvre skravering for det første interval og nedre skravering for det andet (fig. 23). Løsningen på systemet af uligheder vil være skæringspunktet mellem løsningerne på systemets uligheder, dvs. intervallet, hvor begge luger falder sammen. I det undersøgte eksempel får vi en stråle
V) Ved at løse den første ulighed i systemet finder vi x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.
Lad os generalisere ræsonnementet i det betragtede eksempel. Antag, at vi skal løse ulighedssystemet
Lad for eksempel intervallet (a, b) være en løsning til uligheden fx 2 > g(x), og intervallet (c, d) være en løsning til uligheden f 2 (x) > s 2 (x) ). Lad os markere disse intervaller på én koordinatlinje, ved at bruge øvre skravering for det første interval og nedre skravering for det andet (fig. 25). Løsningen på et system af uligheder er skæringspunktet mellem løsninger på systemets uligheder, dvs. intervallet, hvor begge luger falder sammen. I fig. 25 er intervallet (c, b).
Nu kan vi nemt løse systemet af uligheder, som vi opnåede ovenfor i eksempel 1:
Løser vi den første ulighed i systemet, finder vi x > 2; løser vi systemets anden ulighed, finder vi x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.
Ulighedssystemet behøver naturligvis ikke nødvendigvis at bestå af lineære uligheder, som det hidtil har været tilfældet; Enhver rationel (og ikke kun rationel) ulighed kan forekomme. Teknisk set er arbejdet med et system af rationelle ikke-lineære uligheder selvfølgelig mere kompliceret, men der er intet fundamentalt nyt (sammenlignet med systemer med lineære uligheder) her.
Eksempel 4. Løs ulighedssystemet
Løsning.
1) Løs den ulighed, vi har 
Lad os markere punkterne -3 og 3 på tallinjen (fig. 27). De opdeler linjen i tre intervaller, og på hvert interval bevarer udtrykket p(x) = (x- 3)(x + 3) et konstant fortegn - disse tegn er angivet i fig. 27. Vi er interesserede i de intervaller, hvor uligheden p(x) > 0 holder (de er skraveret i fig. 27), og de punkter, hvor ligheden p(x) = 0 holder, dvs. punkter x = -3, x = 3 (de er markeret i fig. 2 7 med mørke rande). Således i fig. Figur 27 viser en geometrisk model til løsning af den første ulighed.
2) Løs den ulighed, vi har
Lad os markere punkterne 0 og 5 på tallinjen (fig. 28). De inddeler linjen i tre intervaller, og på hvert interval udtrykket<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (skraveret i fig. 28), og de punkter, hvor ligheden g (x) - O er opfyldt, dvs. punkter x = 0, x = 5 (de er markeret i fig. 28 med mørke rande). Således i fig. Figur 28 viser en geometrisk model til løsning af den anden ulighed i systemet.
3)
Lad os markere de fundne løsninger til den første og anden ulighed i systemet på samme koordinatlinje, ved at bruge øvre skravering for løsninger til den første ulighed og nedre skravering for løsninger til den anden (fig. 29). Løsningen på systemet af uligheder vil være skæringspunktet mellem løsningerne på systemets uligheder, dvs. intervallet, hvor begge luger falder sammen. Et sådant interval er et segment.
Eksempel 5. Løs ulighedssystemet:
Løsning:
EN) Fra den første ulighed finder vi x >2. Lad os overveje den anden ulighed. Det kvadratiske trinomium x 2 + x + 2 har ingen reelle rødder, og dets ledende koefficient (koefficienten af x 2) er positiv. Det betyder, at for alle x gælder uligheden x 2 + x + 2>0, og derfor har systemets anden ulighed ingen løsninger. Hvad betyder det for ulighedssystemet? Det betyder, at systemet ikke har nogen løsninger.
b) Fra den første ulighed finder vi x > 2, og den anden ulighed er opfyldt for alle værdier af x. Hvad betyder det for ulighedssystemet? Det betyder, at dens løsning har formen x>2, dvs. falder sammen med løsningen på den første ulighed.
Svar:
a) ingen løsninger; b) x >2.
Dette eksempel er en illustration af følgende nyttige
1. Hvis en ulighed i et system med flere uligheder med én variabel ingen løsninger har, så har systemet ingen løsninger.
2. Hvis i et system med to uligheder med en variabel, en ulighed er opfyldt for enhver værdi af variablen, så er løsningen til systemet løsningen på den anden ulighed i systemet.
Afsluttende dette afsnit, lad os vende tilbage til problemet om det tilsigtede antal givet i begyndelsen og løse det, som de siger, i henhold til alle reglerne.
Eksempel 2(se s. 29). Et naturligt tal er beregnet. Det er kendt, at hvis man lægger 13 til kvadratet af det tilsigtede tal, så vil summen være større end produktet af det tilsigtede tal og tallet 14. Hvis man lægger 45 til kvadratet af det tilsigtede tal, så vil summen være være mindre end produktet af det tilsigtede tal og tallet 18. Hvilket tal er beregnet?
Løsning.
Første etape. Udarbejdelse af en matematisk model.
Det tilsigtede tal x, som vi så ovenfor, skal tilfredsstille systemet af uligheder
Anden fase. Arbejde med den kompilerede matematiske model. Lad os transformere den første ulighed i systemet til formen
x2- 14x+ 13 > 0.
Lad os finde rødderne til trinomiet x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Ved hjælp af parablen y = x 2 - 14x + 13 (fig. 30) konkluderer vi, at den ulighed, vi er interesseret i, er tilfreds ved x< 1 или x > 13.
Lad os transformere systemets anden ulighed til formen x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.
Lad os se på eksempler på, hvordan man løser et system med lineære uligheder.
4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
For at løse et system har du brug for hver af dets konstituerende uligheder. Kun beslutningen blev truffet ikke at skrive separat, men sammen, kombinere dem med en krøllet bøjle.
I hver af systemets uligheder flytter vi de ukendte til den ene side, de kendte til den anden med det modsatte fortegn:
Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
Efter forenkling skal begge sider af uligheden divideres med tallet foran X. Vi dividerer den første ulighed med et positivt tal, så fortegnet på uligheden ikke ændres. Vi dividerer den anden ulighed med et negativt tal, så ulighedstegnet skal vendes:
Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
Vi markerer løsningen på ulighederne på tallinjerne:
Som svar nedskriver vi skæringspunktet mellem løsningerne, det vil sige den del, hvor der er skygge på begge linjer.
Svar: x∈[-2;1).
I den første ulighed, lad os slippe af med brøken. For at gøre dette multiplicerer vi begge sider led for led med mindste fællesnævner 2. Når det ganges med et positivt tal, ændres ulighedstegnet ikke.
I den anden ulighed åbner vi parenteserne. Produktet af summen og forskellen mellem to udtryk er lig med forskellen mellem kvadraterne af disse udtryk. På højre side er kvadratet af forskellen mellem de to udtryk.
Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
Vi flytter de ukendte til den ene side, de kendte til den anden med det modsatte fortegn og forenkler:
Vi dividerer begge sider af uligheden med tallet foran X. I den første ulighed dividerer vi med et negativt tal, så fortegnet på uligheden er omvendt. I den anden dividerer vi med et positivt tal, ulighedstegnet ændres ikke:
Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
Begge uligheder har et "mindre end"-tegn (det gør ikke noget, at det ene tegn er strengt "mindre end", det andet er løst, "mindre end eller lig"). Vi kan ikke markere begge løsninger, men bruger reglen " ". Den mindste er 1, derfor reduceres systemet til uligheden
Vi markerer dens løsning på tallinjen:
Svar: x∈(-∞;1].
Åbning af parenteser. I den første ulighed -. Det er lig med summen af kuberne af disse udtryk.
I den anden, produktet af summen og forskellen af to udtryk, som er lig med forskellen af kvadrater. Da der her er et minustegn foran parenteserne, er det bedre at åbne dem i to trin: Brug først formlen, og først derefter åbne parenteserne, og ændre tegnet for hvert led til det modsatte.
Vi flytter de ukendte i den ene retning, de kendte i den anden med det modsatte fortegn:
Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
Begge er større end tegn. Ved at bruge "mere end mere"-reglen reducerer vi systemet med uligheder til én ulighed. Det største af de to tal er 5, derfor
Title="Gengivet af QuickLaTeX.com">!}
Vi markerer løsningen af uligheden på tallinjen og skriver svaret ned: 
Svar: x∈(5;∞).
Da lineære ulighedssystemer i algebra ikke kun forekommer som selvstændige opgaver, men også i løbet af løsningen af forskellige slags ligninger, uligheder osv., er det vigtigt at mestre dette emne rettidigt.
Næste gang vil vi se på eksempler på løsning af systemer med lineære uligheder i særlige tilfælde, hvor en af ulighederne ikke har nogen løsninger, eller dens løsning er et hvilket som helst tal.
Kategori: |er ethvert sæt af to eller flere lineære uligheder, der indeholder den samme ukendte størrelse
Her er eksempler på sådanne systemer:
Skæringsintervallet mellem to stråler er vores løsning. Derfor er løsningen på denne ulighed alt x ligger mellem to og otte.
Svar: x
Brugen af denne type kortlægning til at løse et system af uligheder kaldes nogle gange tag metode.
Definition: Skæringspunktet mellem to sæt EN Og I kaldes det tredje sæt, der indeholder alle de elementer, der indgår i EN og i I. Dette er betydningen af skæringspunktet mellem sæt af vilkårlig natur. Vi overvejer nu numeriske sæt i detaljer, derfor, når vi finder lineære uligheder, er sådanne sæt stråler - codirectional, counterdirectional, og så videre.
Lad os finde ud af det på ægte eksempler finde lineære systemer af uligheder, hvordan man bestemmer skæringspunkterne mellem sæt af løsninger til individuelle uligheder inkluderet i systemet.
Lad os beregne system af ulighed:
Lad os placere to kraftlinjer under hinanden. Øverst vil vi plotte disse værdier X, som tilfredsstiller den første ulighed x>7 , og på bunden - som fungerer som en løsning på den anden ulighed x>10 Lad os sammenligne resultaterne af tallinjerne og finde ud af, at begge uligheder vil blive opfyldt, når x>10.
Svar: (10;+∞).
Vi gør det analogt med den første prøve. På en given talakse plotter vi alle disse værdier x som den første eksisterer for ulighedssystem, og på den anden numeriske akse, placeret under den første, alle disse værdier x, for hvilken systemets anden ulighed er opfyldt. Lad os sammenligne disse to resultater og bestemme, at begge uligheder vil blive opfyldt samtidigt for alle værdier x ligger mellem 7 og 10, under hensyntagen til skiltene, får vi 7<x≤10
Svar: (7; 10].
Følgende problemer løses på lignende måde. ulighedssystemer.