Et matematisk pendul er en model af et almindeligt pendul. Et matematisk pendul er en materialespids ophængt på en lang vægtløs og uudvidelig tråd.
Lad os flytte bolden ud af dens ligevægtsposition og slippe den. To kræfter vil virke på bolden: tyngdekraften og trådens spænding. Når pendulet bevæger sig, vil luftfriktionskraften stadig virke på det. Men vi vil betragte det som meget lille.
Lad os opdele tyngdekraften i to komponenter: en kraft rettet langs tråden og en kraft rettet vinkelret på tangenten til boldens bane.
Disse to kræfter lægger op til tyngdekraften. De elastiske kræfter fra tråden og tyngdekraftskomponenten Fn bibringer bolden centripetal acceleration. Arbejdet udført af disse kræfter vil være nul, og derfor vil de kun ændre retningen af hastighedsvektoren. På ethvert tidspunkt vil den blive rettet tangentielt til cirklens bue.
Under påvirkning af tyngdekraftskomponenten Fτ vil bolden bevæge sig langs en cirkulær bue med en hastighed stigende i størrelse. Værdien af denne kraft ændrer sig altid i størrelse; når den passerer gennem ligevægtspositionen, er den lig nul.
Dynamik af oscillerende bevægelse
Ligning for bevægelse af et legeme, der svinger under påvirkning af en elastisk kraft.
Generel bevægelsesligning:
Oscillationer i systemet opstår under påvirkning af elastisk kraft, som ifølge Hookes lov er direkte proportional med belastningens forskydning
Så vil kuglens bevægelsesligning have følgende form:
Divider denne ligning med m, vi får følgende formel:
Og da massen og elasticitetskoefficienten er konstante størrelser, vil forholdet (-k/m) også være konstant. Vi har fået en ligning, der beskriver et legemes vibrationer under påvirkning af elastisk kraft.
Projektionen af kroppens acceleration vil være direkte proportional med dens koordinat, taget med det modsatte fortegn.
Bevægelsesligning af et matematisk pendul
Bevægelsesligning matematisk pendul beskrives med følgende formel:
Denne ligning har samme form som ligningen for bevægelse af en masse på en fjeder. Følgelig opstår pendulets svingninger og kuglens bevægelser på fjederen på samme måde.
Kuglens forskydning på fjederen og forskydningen af pendullegemet fra ligevægtspositionen ændrer sig over tid efter de samme love.
FOREDRAG nr. 8
Mekanik
Oscillationer
Oscillerende bevægelse. Kinematiske og dynamiske egenskaber oscillerende bevægelse. Matematisk, fysisk og fjederpendul.
Vi lever i en verden, hvor oscillerende processer er en integreret del af vores verden og findes overalt.
En oscillerende proces eller oscillation er en proces karakteriseret ved varierende grader af repeterbarhed.
Hvis en oscillerende størrelse gentager sine værdier med lige store tidsintervaller, kaldes sådanne svingninger periodiske, og disse tidsintervaller kaldes oscillationsperioden.
Afhængigt af fænomenets fysiske karakter skelnes der mellem vibrationer: mekaniske, elektromekaniske, elektromagnetiske osv.
Oscillationer er udbredte i natur og teknologi. Oscillerende processer ligger til grund for nogle grene af mekanikken. I dette forelæsningsforløb vil vi kun tale om mekaniske vibrationer.
Afhængigt af arten af påvirkningen på svingningssystemet skelnes der mellem vibrationer: 1. Frie eller naturlige, 2. Forcerede vibrationer, 3. Selvsvingninger, 4. Parametriske vibrationer.
Frie vibrationer er vibrationer, der opstår uden ydre påvirkning og er forårsaget af et indledende "skub".
Tvangssvingninger opstår under påvirkning af en periodisk ydre kraft
Selvsvingninger forekommer også under påvirkning af en ydre kraft, men kraftens påvirkningsmoment på systemet bestemmes af selve oscillatorsystemet.
Ved parametriske svingninger sker der på grund af ydre påvirkninger en periodisk ændring i systemets parametre, hvilket forårsager denne type svingning.
Den enkleste form er harmoniske vibrationer
Harmoniske svingninger er vibrationer, der opstår ifølge lovensynd ellercos . Et eksempel på harmoniske svingninger er oscillationen af et matematisk pendul
Den maksimale afvigelse af en oscillerende størrelse under oscillationsprocessen kaldes amplitude af svingninger(EN) . Den tid det tager at fuldføre en komplet svingning kaldes svingningsperiode(T) . Det reciproke af oscillationsperioden kaldes vibrationsfrekvens(). Ofte kaldes vibrationer ganget med 2 cyklisk frekvens(). Således beskrives harmoniske vibrationer af udtrykket
Her ( t+ 0 ) oscillationsfase, og 0 – indledende fase
De enkleste mekaniske svingningssystemer er de såkaldte matematiske, fjeder- og fysiske penduler. Lad os se på disse penduler mere detaljeret
8.1. Matematik pendul
Et matematisk pendul er et oscillerende system, der består af et massivt punktlegeme, der er ophængt i et tyngdefelt på en uudvidelig vægtløs tråd.
Ved det nederste punkt har pendulet et minimum af potentiel energi. Lad os afbøje pendulet med en vinkel . Tyngdepunktet for et massivt punktlegeme vil stige til en højde h og samtidig vil pendulets potentielle energi stige med mængden mg h. Derudover påvirkes belastningen i en afbøjet stilling af tyngdekraften og gevindets spænding. Disse kræfters virkningslinjer falder ikke sammen, og en resulterende kraft virker på belastningen og har en tendens til at returnere den til ligevægtspositionen. Hvis belastningen ikke holdes, vil den under påvirkning af denne kraft begynde at bevæge sig til sin oprindelige ligevægtsposition, dens kinetiske energi vil stige på grund af en stigning i hastigheden, mens den potentielle energi vil falde. Når ligevægtspunktet er nået, vil den resulterende kraft ikke længere virke på kroppen (tyngdekraften på dette punkt kompenseres af trådens spændingskraft). Kroppens potentielle energi på dette tidspunkt vil være minimal, og den kinetiske energi vil tværtimod have sin egen maksimal værdi. Kroppen, der bevæger sig ved inerti, vil passere ligevægtspositionen og begynde at bevæge sig væk fra den, hvilket vil føre til fremkomsten af en resulterende kraft (fra spændings- og tyngdekraften), som vil være rettet mod kroppens bevægelse , bremse den. Samtidig begynder belastningens kinetiske energi at falde og dens potentiel energi. Denne proces vil fortsætte, indtil reserverne af kinetisk energi er fuldstændig opbrugt og omdannet til potentiel energi. I dette tilfælde vil belastningens afvigelse fra ligevægtspositionen nå sin maksimale værdi, og processen gentages. Hvis der ikke er friktion i systemet, vil belastningen svinge i det uendelige.
Oscillerende mekaniske systemer er således kendetegnet ved, at når de afviger fra ligevægtspositionen, opstår der en genopretningskraft i systemet, som har tendens til at returnere systemet til ligevægtspositionen. I dette tilfælde opstår vibrationer, ledsaget periodisk overgang et systems potentielle energi til dets kinetiske energi og omvendt.
Lad os beregne oscillerende proces. kraftmoment M at handle på pendulet er åbenbart lig med - mglsin Minustegnet afspejler det faktum, at kraftmomentet har en tendens til at returnere belastningen til ligevægtspositionen. På den anden side ifølge den grundlæggende lov om rotationsbevægelse M=ID 2 / dt 2 . Dermed opnår vi ligestillingen
B 
Vi vil kun overveje små vinkler af afvigelse af pendulet fra ligevægtspositionen. Derefter synd
≈
.
Og vores ligestilling vil tage formen:
D 
For et matematisk pendul er det sandt jeg=
ml 2
. Ved at erstatte denne lighed med det resulterende udtryk får vi en ligning, der beskriver oscillationsprocessen for et matematisk pendul:
Denne differentialligning beskriver den oscillerende proces. Løsningen på denne ligning er harmoniske funktioner synd( t+ 0 ) eller cos ( t+ 0 ) Faktisk erstatter vi enhver af disse funktioner i ligningen og får: 2 = g/ l. Så hvis denne betingelse er opfyldt, så fungerer funktionerne synd( t+ 0 ) eller cos( t+ 0 ) transformere differentialligningen for oscillationer til en identitet.
OM 
Her udtrykkes den cykliske frekvens og oscillationsperiode for et harmonisk pendul som:
Amplituden af oscillationer findes ud fra begyndelsesbetingelser opgaver.
Som vi kan se, afhænger frekvensen og perioden for oscillation af et matematisk pendul ikke af belastningens masse og afhænger kun af accelerationen af det frie fald og længden af ophængsgevindet, hvilket gør det muligt at bruge pendulet som en enkel, men meget nøjagtig anordning til bestemmelse af accelerationen af frit fald.
En anden type pendul er enhver fysisk krop, der er suspenderet fra et eller andet punkt af kroppen og har evnen til at udføre en oscillerende bevægelse.
8.2. Fysisk pendul
I 
Lad os tage en vilkårlig krop, gennembore den på et tidspunkt med en akse, der ikke falder sammen med dens massecenter, omkring hvilken kroppen frit kan rotere. Lad os ophænge kroppen på denne akse og afbøje den fra ligevægtspositionen med en bestemt vinkel
.
T 
når man er på en krop med et inertimoment jeg i forhold til aksen OM der vil være et øjeblik tilbage til ligevægtspositionen M = -
mglsin
og udsving fysisk pendul ligesom den matematiske vil de blive beskrevet med en differentialligning:
Da inertimomentet for forskellige fysiske pendler vil blive udtrykt forskelligt, vil vi ikke beskrive det som i tilfældet med et matematisk pendul. Denne ligning har også form af en oscillationsligning, hvis løsning er de funktioner, der beskriver harmoniske svingninger. I dette tilfælde den cykliske frekvens ( ) , svingningsperiode (T) er defineret som:
Vi ser, at i tilfælde af et fysisk pendul afhænger svingningsperioden af pendullegemets geometri og ikke af dets masse, som i tilfældet med et matematisk pendul. Faktisk inkluderer udtrykket for inertimomentet pendulets masse til første potens. Inertimomentet i udtrykket for svingningsperioden er i tælleren, mens pendulets masse er i nævneren og også i første potens. Således ophæves massen i tælleren med massen i nævneren.
Et fysisk pendul har endnu en egenskab: reduceret længde.
Den reducerede længde af et fysisk pendul er længden af et matematisk pendul, hvis periode falder sammen med perioden for det fysiske pendul.
Denne definition gør det nemt at definere et udtryk for den givne længde.
Ved at sammenligne disse udtryk får vi
Hvis vi på en linje trukket fra ophængningspunktet gennem det fysiske penduls massecenter plotter (startende fra ophængningspunktet) den reducerede længde af det fysiske pendul, så vil der i slutningen af dette segment være et punkt, der har bemærkelsesværdig ejendom. Hvis et fysisk pendul er ophængt fra dette punkt, så vil dets svingningsperiode være den samme som i tilfældet med at hænge pendulet ved det forrige ophængningspunkt. Disse punkter kaldes det fysiske penduls svingcentre.
Lad os overveje et andet simpelt oscillerende system, der udfører harmoniske svingninger
8.3. Fjeder pendel
P 
Lad os forestille os det i slutningen af en fjeder med en stivhedskoefficient k vedhæftede masse m.
Hvis vi flytter belastningen langs x-aksen ved at strække fjederen, vil en kraft, der vender tilbage til ligevægtspositionen, virke på belastningen F Vend tilbage = - kx. Hvis belastningen slippes, vil denne kraft forårsage acceleration d 2 x / dt 2 . Ifølge Newtons anden lov får vi:
md 2 x / dt 2 = - kx fra denne ligning får vi ligningen for oscillationen af en belastning på en fjeder i dens endelige form: d 2 x / dt 2 + (k/ m) x = 0
E 
så har oscillationsligningen samme form som oscillationsligningerne i de allerede behandlede tilfælde, hvilket betyder at løsningen på denne ligning vil være de samme harmoniske funktioner. Hyppigheden og perioden af svingninger vil være henholdsvis ens
Desuden påvirker tyngdekraften på ingen måde vibrationerne fjederpendul. Da det i dette tilfælde er en konstant virkende faktor, der hele tiden virker i én retning og ikke har noget at gøre med genoprettelseskraften.
Således, som vi ser den oscillerende proces i et mekanisk oscillerende system, er den primært karakteriseret ved tilstedeværelsen i systemet genskabende kraft virker på systemet, og selve oscillationerne er karakteriseret ved: amplitude af oscillationer, deres periode, frekvens og fase af svingninger.
lunger
hjerte
Lektionens emne: "Gratis og tvangssvingninger. Dynamik af oscillerende bevægelse".
- Mekaniske vibrationer – det er bevægelser, der gentages nøjagtigt eller tilnærmelsesvis med bestemte tidsintervaller.
Hovedtyper af vibrationer
tvunget
gratis
kaldet vibrationer af kroppe under påvirkning af ydre periodisk skiftende kræfter.
kaldet oscillationer i et system under påvirkning indre kræfter, efter at systemet er blevet taget ud af ligevægt og derefter overladt til sig selv.
Pendulum - et legeme ophængt i et gevind eller fastgjort til en akse, der kan svinge under påvirkning af tyngdekraften
Typer af penduler
Forår- et legeme ophængt i en fjeder og oscillerende under påvirkning af fjederens elastiske kraft.
Matematisk (tråd) er en materialespids ophængt i en vægtløs og uudvidelig tråd.
Betingelser for forekomsten af svingninger
- Når et legeme fjernes fra en ligevægtsposition, opstår der en kraft i systemet, rettet mod ligevægtspositionen og derfor har en tendens til at returnere kroppen til ligevægtspositionen.
- Friktionen i systemet bør være ret lav.
- Amplitude – modul for den største forskydning af kroppen fra ligevægtspositionen.
x max eller EN
Målt i meter
- Periode T – tidspunktet for en komplet svingning.
Målt i sekunder
Oscillationsperiode
Til matematik
pendul
Til foråret
pendul
(Huygens formel)
Frekvens - antallet af komplette svingninger pr. tidsenhed.
Målt i Hertz
- Cyklisk (cirkulær) vibrationsfrekvens – frekvens, lig med tallet foretaget svingninger materiale punkt bag
Målt i radianer pr. sekund
En verden af udsving
- Oscillationer er en af de mest almindelige processer i naturen og teknologien.
- vinger af insekter og fugle i flugt,
- højhuse og højspændingsledninger udsat for vind,
- pendul af et såret ur og en bil på fjedre under kørsel
- flodniveau hele året og temperatur menneskelige legeme i tilfælde af sygdom.
Lidt historie...
Galileo Galilei (1564-1642)
Den store italienske videnskabsmand er en af skaberne af eksakt naturvidenskab.
En dag i kirken han Jeg så den enorme lysekrone svinge og målte tiden efter min puls. Han opdagede senere, at den tid, det tager at svinge én gang, afhænger af længden af pendulet – tiden reduceres til det halve, hvis pendulet forkortes med tre fjerdedele.
Lidt historie...
Mest berømte praktisk brug Brugen af et pendul i et ur til at måle tid. Dette blev først gjort af den hollandske fysiker H. Huygens. Videnskabsmanden arbejdede på opgaven med at skabe og forbedre ure, primært pendul, i næsten fyrre år: fra 1656 til 1693 udledte Huygens en formel til bestemmelse af svingningsperioden for et matematisk pendul. Før dette blev tiden målt ved strømmen af vand, afbrændingen af en fakkel eller stearinlys.
Foucault pendul
I 1850 hængte J. Foucault et pendul under kuplen Høj bygning således at spidsen af pendulet, når det svingede, efterlod et mærke på det sand, der blev hældt på gulvet. Det viste sig, at spidsen for hver rulle efterlader et nyt mærke i sandet.
Foucaults eksperiment viste således, at Jorden roterer om sin akse.
I første omgang blev forsøget udført i snæver cirkel, men Napoleon var så interesseret III, den franske kejser, at han foreslog Foucault, at det blev gentaget offentligt i stor skala under Pantheonets kuppel i Paris. Denne offentlige demonstration kaldes normalt Foucault-eksperimentet.
I geologi er et pendul vant til eksperimentel bestemmelse numerisk værdi g V forskellige punkter jordens overflade. Nok til dette et stort antal svingninger af pendulet på det sted, hvor de måles g , find perioden for dens svingninger T, og g beregnet ved hjælp af formlen:
Mærkbar afvigelse i værdi g fra normen for ethvert område kaldes en gravitationel anomali. Anomalidetektion hjælper med at lokalisere mineralaflejringer.
Laboratoriearbejde"Definition af acceleration frit fald ved hjælp af et pendul"
Målet med arbejdet: Lær eksperimentelt at måle accelerationen af frit fald ved hjælp af et matematisk pendul.
Udstyr: stativ, kugle på en snor, ur, lineal.
Fra de tre foreslåede vers skal du vælge et, der kendetegner din tilstand i slutningen af lektionen .
1. Øjnene glimter Sjælen griner Og mit sind synger: "Frem til viden"!
2. Jeg er ikke glad i dag I stilheden følte jeg mig trist, Alt om udsving blinkede i det fjerne.
3. At huske alt din viden, Og fysikere forstår verden, Jeg er taknemmelig for moder skæbne, At der er udsving i verden
og vi kan ikke tælle dem alle!
>> Dynamik af oscillerende bevægelse
§21 DYNAMIK AF VIBRATIONSBEVÆGELSE
For kvantitativt at beskrive et legemes vibrationer under påvirkning af fjederens elastiske kraft eller vibrationerne fra en kugle ophængt i en tråd, bruger vi Newtons mekaniske love.
Ligning for bevægelse af et legeme, der svinger under påvirkning af en elastisk kraft. Ifølge Newtons anden lov er produktet af et legemes masse m og dets acceleration lig med resultanten af alle kræfter påført kroppen:
Ved at dividere venstre og højre side af denne ligning med m, får vi
Tidligere blev det antaget, at afbøjningsvinklerne af penduletråden fra lodret kunne være enhver. I fremtiden vil vi betragte dem som små. For små vinkler, hvis vinklen måles i radianer,
Hvis vinklen er lille, så er accelerationsprojektionen omtrent lig med accelerationsprojektionen på OX-aksen: (se fig. 3.5). Fra trekant ABO for lille vinkel a har vi:
Ved at erstatte dette udtryk med lighed (3.8) i stedet for vinklen får vi
Denne ligning har samme form som ligning (3.4) for accelerationen af en kugle fastgjort til en fjeder. Følgelig vil løsningen til denne ligning have samme form som løsningen til ligning (3.4). Det betyder, at boldens bevægelse og pendulets svingninger sker på samme måde. Kuglens forskydninger på fjederen og pendullegemet fra ligevægtspositionerne ændrer sig over tid efter samme lov, på trods af at kræfterne, der forårsager svingningerne, har forskellige fysisk natur. Ved at gange ligningerne (3.4) og (3.10) med m og huske Newtons anden lov ma x = Fх res, kan vi konkludere, at svingninger i disse to tilfælde opstår under påvirkning af kræfter, hvis resultant er direkte proportional med forskydningen af det oscillerende legeme fra ligevægtspositionen og er rettet mod siden modsat denne forskydning.
Ligning (3.4) er ligesom (3.10) tilsyneladende meget enkel: acceleration er direkte proportional med koordinaten (forskydning fra ligevægtspositionen).
Lektionens indhold lektionsnoter understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Øve sig opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests hjemmeopgaver kontroversielle spørgsmål retoriske spørgsmål fra studerende Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og supplerende ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for et år retningslinier diskussionsprogrammer Integrerede lektionerFor kvantitativt at beskrive et legemes vibrationer under påvirkning af fjederens elastiske kraft eller vibrationerne fra en kugle ophængt på en tråd, vil vi bruge Newtons mekaniklove. Bevægelsesligning af et legeme, der svinger under påvirkning af elastiske kræfter. Ifølge Newtons anden lov er produktet af kropsmasse m og acceleration a lig med den resulterende F af alle kræfter påført kroppen: Lad os skrive bevægelsesligningen for en kugle, der bevæger sig retlinet langs vandret under påvirkning af elastikken. kraft F af fjederen (se fig. 56). Lad os rette Ox-aksen mod højre. Lad oprindelsen af koordinaterne svare til ligevægtspositionen (se fig. 56, a). I projektioner på Ox-aksen vil ligning (3.1) blive skrevet som følger: max = Fxynp, hvor ax og Fxyn er henholdsvis projektioner af acceleration og elastisk kraft. Ifølge Hookes lov er projektionen Fx direkte proportional med boldens forskydning fra dens ligevægtsposition. Forskydningen er lig med kuglens x-koordinat, og kraftprojektionen og koordinaten har modsatte tegn(se fig. 56, b, c). Fx m=~kx, (3.2) hvor k er fjederstivheden. Kuglens bevægelsesligning vil så have formen: max=~kx. (3.3) Ved at dividere venstre og højre side af ligning (3.3) med m, får vi a = - - x. + (3.4) x m v " Da masse m og stivhed k er konstante størrelser, er deres forhold - " k-forhold også konstant. t Vi har fået ligningen for bevægelse af et legeme, der svinger under påvirkning af en elastisk kraft. Det er meget enkelt: projektionsaksen for et legemes acceleration er direkte proportional med dets koordinat x, taget med det modsatte fortegn. Bevægelsesligning af et matematisk pendul. Når en kugle svinger på en uudvidelig tråd, bevæger den sig konstant langs en cirkelbue, hvis radius er lig med længde tråde/. Derfor bestemmes boldens position på ethvert tidspunkt af en mængde - vinklen a for trådens afvigelse fra lodret. Vi vil betragte vinkel a for at være positiv, hvis pendulet vippes til højre fra ligevægtspositionen, og negativ, hvis det vippes til venstre (se fig. 58). Tangenten til banen vil blive betragtet som rettet mod den positive vinkelreference. Lad os betegne tyngdekraftens projektion på tangenten til pendulets bane ved Fz. Denne projektion i det øjeblik, hvor penduletråden afbøjes fra ligevægtspositionen med en vinkel a, udtrykkes som følger: Fl=-Fs\na=-mgs"ma. (3.5) Her er tegnet "-" fordi Fx og a har modsatte fortegn Når pendulet afbøjes til højre (a>0), er komponenten Fx af tyngdekraften rettet mod venstre, og dens projektion er negativ: Fx 0. Lad os betegne projektionen af accelerationen af pendul på tangenten til sin bane gennem aT Denne projektion karakteriserer ændringshastigheden i modulus af pendulets hastighed.I henhold til Newtons anden lov, dividere venstre og højre side af denne ligning på m, får vi jf. axe ~-g sin a. (3.7) Indtil nu har man antaget, at vinklerne for afvigelsen af pendultråden fra lodret kan være enhver. I det følgende vil vi betragte dem som små. Ved små vinkler, hvis vinklen måles i radianer , sin a~a. Derfor kan vi tage a=~ga. (3.8) Ved at angive længden af buen OA med s (se fig. 58), kan vi skrive s=al, hvorfra a=y. (3.9) ) Ved at erstatte dette udtryk med lighed (3.8) i stedet for vinkel a, får vi ax = - js (3.10) Denne ligning har samme form som ligning (3.4) for bevægelsen af en kugle fastgjort til en fjeder. Her er der kun i stedet for accelerationens projektionsakse en projektion aT af accelerationen, og i stedet for koordinaten x er der værdien s. Og proportionalitetskoefficienten afhænger ikke længere af fjederens stivhed og kuglens masse, men af accelerationen af frit fald og længden af tråden. Men som før er accelerationen direkte proportional med kuglens forskydning (bestemt af buen) fra ligevægtspositionen. Vi kom til en bemærkelsesværdig konklusion: bevægelsesligningerne, der beskriver oscillationerne af sådanne forskellige systemer, som en kugle på en fjeder og et pendul, er de samme. Det betyder, at boldens bevægelse og pendulets svingninger sker på samme måde. Kuglens forskydninger på fjederen og pendulkuglen fra ligevægtspositionerne ændrer sig over tid efter samme lov, på trods af at de kræfter, der forårsager svingningerne, har forskellig fysisk karakter. I det første tilfælde er dette fjederens elastiske kraft, og i det andet er det tyngdekraftens komponent. Bevægelsesligningen (3.4) er ligesom ligning (3.10) tilsyneladende meget enkel: acceleration er direkte proportional med koordinaten. Men at løse det, det vil sige at bestemme, hvordan positionen af et oscillerende legeme i rummet ændrer sig over tid, er langt fra let.