Sætning 1. Summen af de modsatte vinkler af en cyklisk firkant er 180°.
Lad en firkant ABCD indskrives i en cirkel med centrum O (fig. 412). Det er nødvendigt at bevise, at ∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180°.
∠A, som indskrevet i cirklen O, måler 1 / 2 \(\breve(BCD)\).
∠C, som indskrevet i samme cirkel, måler 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Som følge heraf måles summen af vinklerne A og C ved halvsummen af buerne BCD og BAD; i sum udgør disse buer en cirkel, dvs. har 360°.
Derfor ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Det er ligeledes bevist, at ∠B + ∠D = 180°. Dette kan dog udledes på en anden måde. Vi ved, at beløbet indvendige hjørner konveks firkant lig med 360°. Summen af vinklerne A og C er lig med 180°, hvilket betyder, at summen af firkantens to andre vinkler også forbliver 180°.
Sætning 2 (omvendt). Hvis summen af to modsatte vinkler i en firkant er lig 180° , så kan en cirkel beskrives omkring en sådan firkant.
Lad summen af de modsatte vinkler af firkanten ABCD være lig med 180°, nemlig
∠A + ∠C = 180° og ∠B + ∠D = 180° (fig. 412).
Lad os bevise, at en cirkel kan beskrives omkring en sådan firkant.
Bevis. Gennem hvilke som helst 3 hjørner af denne firkant kan du tegne en cirkel, for eksempel gennem punkterne A, B og C. Hvor vil punkt D være placeret?
Punkt D kan kun optage én af næste tre positioner: at være inde i cirklen, at være uden for cirklen, at være på cirklens omkreds.
Lad os antage, at toppunktet er inde i cirklen og indtager position D’ (fig. 413). Så i firkanten ABCD' vil vi have:
∠B + ∠D’ = 2 d.
Fortsætter vi side AD’ til skæringspunktet med cirklen i punkt E og forbinder punkterne E og C, får vi den cykliske firkant ABCE, hvori ved den direkte sætning
∠B + ∠E = 2 d.
Af disse to ligheder følger:
∠D’ = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
men dette kan ikke være, da ∠D’, der er ekstern i forhold til trekanten CD’E, skal være større end vinkel E. Derfor kan punkt D ikke være inde i cirklen.
Det er også bevist, at toppunktet D ikke kan tage stilling D" uden for cirklen (fig. 414).
Det er tilbage at erkende, at toppunktet D skal ligge på cirklens omkreds, dvs. falde sammen med punktet E, hvilket betyder, at en cirkel kan beskrives omkring firkanten ABCD.
Konsekvenser.
1. En cirkel kan beskrives omkring ethvert rektangel.
2. Rundt om ligebenet trapez kan beskrive en cirkel.
I begge tilfælde er summen af modsatte vinkler 180°.
Sætning 3. I den beskrevne firkant er summerne modsatte sider er lige. Lad firkanten ABCD beskrives om en cirkel (fig. 415), det vil sige, at dens sider AB, BC, CD og DA tangerer denne cirkel.
Det er nødvendigt at bevise, at AB + CD = AD + BC. Lad os betegne tangenspunkterne med bogstaverne M, N, K, P. Baseret på egenskaberne for tangenter tegnet til en cirkel fra et punkt, har vi:
Lad os tilføje disse ligheder sigt for sig. Vi får:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
dvs. AB + CD = AD + BC, hvilket er det, der skulle bevises.
Andre materialerVideokurset "Få et A" indeholder alle de emner, der er nødvendige for succes bestå Unified State-eksamenen i matematik for 60-65 point. Fuldstændig alle problemer 1-13 Profil Unified State Examination matematik. Også velegnet til at bestå Basic Unified State Examination i matematik. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 point, skal du løse del 1 på 30 minutter og uden fejl!
Forberedelseskursus til Unified State Examen for klassetrin 10-11, samt for lærere. Alt hvad du behøver for at løse del 1 af Unified State Examen i matematik (de første 12 opgaver) og opgave 13 (trigonometri). Og det er mere end 70 point på Unified State Exam, og hverken en 100-point studerende eller en humaniora-studerende kan undvære dem.
Alle nødvendig teori. Hurtige måder løsninger, faldgruber og hemmeligheder ved Unified State Exam. Alle aktuelle opgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er blevet analyseret. Kurset overholder fuldt ud kravene i Unified State Exam 2018.
Kurset indeholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er givet fra bunden, enkelt og overskueligt.
Hundredvis af Unified State Exam-opgaver. Ordproblemer og sandsynlighedsteori. Enkle og nemme at huske algoritmer til løsning af problemer. Geometri. Teori, referencemateriale, analyse af alle typer Unified State Examination opgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige snydeark, udvikling rumlig fantasi. Trigonometri fra bunden til opgave 13. Forståelse i stedet for at proppe. Visuel forklaring komplekse begreber. Algebra. Rødder, potenser og logaritmer, funktion og afledet. Grundlag for løsning komplekse opgaver 2 dele af Unified State-eksamenen.
Emne: “Cirkel beskrevet rundt regulær polygon» er diskuteret i nogle detaljer inden for skolepensum. På trods af dette, opgaver vedr dette afsnit planimetri forårsager visse vanskeligheder for mange gymnasieelever. Forstå samtidig princippet om løsningen Unified State Exam problemer med en cirkel beskrevet omkring en polygon, skal kandidater med ethvert uddannelsesniveau.
Hvordan forbereder man sig til Unified State-eksamenen?
For at Unified State Exam-opgaver om emnet "En cirkel afgrænset om en almindelig polygon" forårsagede ingen vanskeligheder for studerende, studere sammen med uddannelsesportalen "Shkolkovo". Hos os kan du gentage teoretisk materiale om emner, der giver dig vanskeligheder. Sætninger og formler, der tidligere virkede ret komplicerede, præsenteres på en tilgængelig og forståelig måde.
For at genopfriske din hukommelse om de grundlæggende definitioner og begreber om vinklerne og midten af en cirkel, der er afgrænset omkring en polygon, såvel som sætninger relateret til længderne af segmenter, skal kandidater bare gå til afsnittet "Teoretisk hjælp". Her har vi lagt materiale opsat af vores erfarne personale specielt til elever med forskellige niveauer forberedelse.
For at konsolidere den lærte information kan gymnasieelever øve sig i at lave øvelser. På uddannelsesportal"Shkolkovo" i afsnittet "Katalog" præsenterer en stor database med opgaver af varierende kompleksitet for maksimal effektiv forberedelse til Unified State-eksamenen. Hver opgave på siden indeholder en løsningsalgoritme og det rigtige svar. Shkolkovo træningsdatabasen bliver løbende opdateret og suppleret.
Studerende fra Moskva og andre lande øver sig i at udføre opgaver på vores hjemmeside russiske byer kan gøres online. Hvis det er nødvendigt, kan enhver øvelse gemmes i sektionen "Favoritter". Fremover vil det være muligt at vende tilbage til denne opgave og fx diskutere algoritmen til at løse den med skole lærer eller en underviser.
INDSKRIVET OG CIRKULÆRE POLYGONER,
§ 106. EGENSKABER FOR INDSKRIVTE OG BESKRIVEDE KVADRIAGONER.
Sætning 1. Summen af de modsatte vinkler af en cyklisk firkant er 180°.
Lad en firkant ABCD indskrives i en cirkel med centrum O (fig. 412). Det er påkrævet at bevise det / A+ / C = 180° og / B+ / D = 180°.
/
A, som indskrevet i cirkel O, måler 1/2 BCD.
/
C, som indskrevet i samme cirkel, måler 1/2 DÅRLIG.
Som følge heraf måles summen af vinklerne A og C ved halvsummen af buerne BCD og BAD; i sum udgør disse buer en cirkel, dvs. de har 360°.
Herfra /
A+ /
C = 360°: 2 = 180°.
På samme måde er det bevist / B+ / D = 180°. Dette kan dog udledes på en anden måde. Vi ved, at summen af de indre vinkler af en konveks firkant er 360°. Summen af vinklerne A og C er lig med 180°, hvilket betyder, at summen af firkantens to andre vinkler også forbliver 180°.
Sætning 2(baglæns). Hvis summen af to modsatte vinkler i en firkant er lig 180° , så kan en cirkel beskrives omkring en sådan firkant.
Lad summen af de modsatte vinkler af firkanten ABCD være lig med 180°, nemlig
/
A+ /
C = 180° og /
B+ /
D = 180° (tegning 412).
Lad os bevise, at en cirkel kan beskrives omkring en sådan firkant.
Bevis. Gennem hvilke som helst 3 hjørner af denne firkant kan du tegne en cirkel, for eksempel gennem punkterne A, B og C. Hvor vil punkt D være placeret?
Punkt D kan kun optage en af følgende tre stillinger: at være inde i cirklen, at være uden for cirklen, at være på cirklens omkreds.
Lad os antage, at toppunktet er inde i cirklen og indtager position D" (fig. 413). Så vil vi i firkanten ABCD" have:
/ B+ / D" = 2 d.
Fortsætter side AD" til skæringspunktet med cirklen ved punkt E og forbinder punkterne E og C, får vi den cykliske firkant ABCE, hvori ved den direkte sætning
/ B+ / E = 2 d.
Af disse to ligheder følger:
/
D" = 2 d - /
B;
/
E=2 d - /
B;
/ D" = / E,
men dette kan ikke være, fordi / D", der er ekstern i forhold til trekanten CD"E, skal være større end vinkel E. Derfor kan punkt D ikke være inde i cirklen.
Det er også bevist, at toppunktet D ikke kan tage stilling D" uden for cirklen (fig. 414).
Det er tilbage at erkende, at toppunktet D skal ligge på cirklens omkreds, dvs. falde sammen med punktet E, hvilket betyder, at en cirkel kan beskrives omkring firkanten ABCD.
Konsekvenser. 1. En cirkel kan beskrives omkring ethvert rektangel.
2. En cirkel kan beskrives omkring en ligebenet trapez.
I begge tilfælde er summen af modsatte vinkler 180°.
Sætning 3. I en afgrænset firkant er summen af modstående sider lige store. Lad firkanten ABCD beskrives om en cirkel (fig. 415), det vil sige, at dens sider AB, BC, CD og DA tangerer denne cirkel.
Det er nødvendigt at bevise, at AB + CD = AD + BC. Lad os betegne tangenspunkterne med bogstaverne M, N, K, P. Baseret på egenskaberne for tangenter tegnet til en cirkel fra et punkt (§ 75), har vi:
AR = AK;
VR = VM;
DN = DK;
CN = CM.
Lad os tilføje disse ligheder sigt for sig. Vi får:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
dvs. AB + CD = AD + BC, hvilket er det, der skulle bevises.
Øvelser.
1. I en cyklisk firkant er der to modsatte vinkler forholdet er 3:5,
og de to andre er i forholdet 4: 5. Bestem størrelsen af disse vinkler.
2. I den beskrevne firkant er summen af to modstående sider 45 cm. De resterende to sider er i forholdet 0,2:0,3. Find længden af disse sider.
En cirkel siges at være indskrevet i en firkant, hvis alle sider af firkanten er tangent til cirklen.
Centrum af denne cirkel er skæringspunktet for halveringslinjen af firkantens hjørner. I dette tilfælde er radierne trukket til tangentpunkterne vinkelrette på siderne af firkanten
En cirkel kaldes omskrevet om en firkant, hvis den passerer gennem alle sine hjørner.
Centrum af denne cirkel er skæringspunktet mellem de vinkelrette halveringslinjer på siderne af firkanten
Ikke alle firkanter kan indskrives med en cirkel, og ikke alle firkanter kan indskrives med en cirkel.
EGENSKABER FOR INDSKRIVTE OG CIRKULære firkanter
SÆTNING I en konveks indskrevet firkant er summen af modstående vinkler lig med hinanden og lig med 180°.
SÆTNING Omvendt: hvis summen af modstående vinkler i en firkant er lige store, så kan en cirkel beskrives omkring firkanten. Dens centrum er skæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjer til siderne.
SÆTNING Hvis en cirkel er indskrevet i en firkant, så er summen modstående sider dens lige.
SÆTNING Omvendt: hvis summen af modstående sider i en firkant er lige store, så kan en cirkel indskrives i den. Dens centrum er skæringspunktet mellem halveringslinjerne.
Følger: af alle parallelogrammer er det kun omkring et rektangel (især omkring en firkant) der kan beskrives en cirkel.
Af alle parallelogrammer er det kun en rombe (især en firkant) der kan indskrive en cirkel (centret er skæringspunktet mellem diagonalerne, radius er lig med halvdelen højde).
Hvis en cirkel kan beskrives omkring en trapez, så er den ligebenet. En cirkel kan beskrives omkring enhver ligebenet trapez.
Hvis en cirkel er indskrevet i en trapez, så er dens radius lig med halvdelen af højden.
Opgaver med løsninger
1. Find diagonalen af et rektangel indskrevet i en cirkel, hvis radius er 5.
Centrum af en cirkel, der er afgrænset omkring et rektangel, er skæringspunktet for dets diagonaler. Derfor diagonalen AC er lig med 2 R. Det er AC=10
Svar: 10.
2. En cirkel er beskrevet omkring en trapez, hvis basis er 6 cm og 8 cm, og højden er 7 cm. Find arealet af denne cirkel.
Lade DC=6, AB=8. Da en cirkel er afgrænset omkring et trapez, er den ligebenet.
Lad os tegne to højder DM og CN.Da trapezet er ligebenet, altså AM=NB=
Derefter AN=6+1=7
Fra en trekant ANS ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi AC.
Fra en trekant CВN ved hjælp af Pythagoras sætning finder vi Sol.
Den omskrevne cirkel af en trapez er også den omskrevne cirkel af en trekant. DIA
Lad os finde arealet af denne trekant på to måder ved hjælp af formlerne
Hvor h- højde og - base af trekant
Hvor R er radius af den omskrevne cirkel.
Ud fra disse udtryk får vi ligningen. Hvor
Cirklens areal vil være lig med
3. Vinkler og firkanter er relaterede som . Find vinklen, hvis en cirkel kan beskrives omkring en given firkant. Giv dit svar i grader
Det følger af betingelsen, at .Da en cirkel kan beskrives omkring en firkant, så
Vi får ligningen 
. Derefter . Summen af alle vinklerne på en firkant er 360º. Derefter
. hvor får vi det fra
4.Siderne af et trapez omkranset omkring en cirkel er 3 og 5. Find midtlinjen af trapezet.
Derefter midterste linje svarende til 
5. Omkreds rektangulær trapez afgrænset omkring en cirkel er 22, dens større side er lig med 7. Find radius af cirklen.
I en trapez er radius af den indskrevne cirkel lig med halvdelen af højden. Lad os tegne højden af SC.
Derefter 
.
Da en cirkel er indskrevet i en trapez, er summen af længderne af modsatte sider lige store. Derefter
Derefter omkredsen
Vi får ligningen
6. Baserne for et ligebenet trapez er 8 og 6. Radius af den omskrevne cirkel er 5. Find højden af trapez.
Lad O være midten af cirklen omkranset om trapez. Derefter .
Lad os tegne højden KH gennem punkt O
Derefter 
, hvor KO og OH er højder og samtidig medianer ligebenede trekanter DOC og AOB. Derefter 
Ifølge Pythagoras sætning.