For at finde ud af, hvordan man finder højden af et parallelepipedum, lad os først forstå begreberne.
Definitioner:
Et parallelepipedum er et polyeder, der har seks sider, som hver er et parallelogram.
- Parallelepipeds kan være skrå eller lige.
- Skråtstillet parallelepipedum- dette er et parallelepipedum, hvor siderne ikke er vinkelrette på bunden.
- Et rektangulært parallelepipedum er særlig situation, hvor alle figurens flader ikke bare er parallellogrammer, men rektangler, og de er vinkelrette på basen.
- Højden af et parallelepipedum er afstanden mellem dets to modsatte planer (et segment vinkelret på baserne).
Lad os overveje forskellige veje hvordan man finder højden af et parallelepipedum.
Løsninger:
Lad os betegne højden med bogstavet h.
Metode 1. Givet volumen og areal af basen
Formel:
- h = V/S
- Hvor V er volumenet af parallelepipedet
- S er arealet af basen, hvortil højden er tegnet.
Eksempel:
Volumenet af den skrå parallelepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er 36 cm 3, arealet af basen ABCD, hvortil højden er tegnet, er 9 cm 2. Find højden.
Løsning:
- h = 36/9 = 4 (cm)
- Svar: 4 cm.
Metode 2: kanternes volumen og længde er angivet
Eksempel:
Rumfanget af parallelepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er 36 cm 3, længden af basen ABCD hvortil højden er 4 cm, bredden er 3 cm Find højden.
Løsning:
Formlen for højde forbliver den samme:
- h = V/S
S er arealet af basen, og vi kan finde det ved hjælp af formlen:
- S = a*b,
hvor a og b er siderne af parallelogrammet, i vores tilfælde AB og BC. Baseret på dette kan vi ændre formlens form ved at erstatte udtrykket a*b i stedet for S
Vi får formlen: h=V/ (a*b)
Erstatning af tal:
- h = 36/ (3*4)= 36/12 = 3 (cm)
- Svar: 3 cm
Metode 3: rektangulær parallelepipedum
Som vi allerede har fundet ud af ovenfor, er et sådant parallelepiped et særligt tilfælde. Sådan finder du højden rektangulær parallelepipedum? Det er meget enkelt - højden matcher altid 
fra et af ansigterne. Derfor kræves ingen specielle formler for at finde det. Her skal du bruge formler for at finde længden af ansigterne. For eksempel formlen for volumen af et parallelepipedum:
- V = a*b*c, hvor a, b og c er figurens flader.
Ethvert af ansigterne kan findes ved hjælp af formlen:
- a = V / (b*c), og siden h in I dette tilfælde er altså lig med a
- h = V / (b*c)
Og dette spørgsmål er ikke enkelt, se selv:
Kanterne på et rektangulært parallelepipedum, der strækker sig fra det ene toppunkt, er 1, 2, 3. Find dets overfladeareal. Fortæl mig, hvordan man fordøjer dette?
Spørgsmålet er selvfølgelig ikke enkelt - hvad er et rektangulært parallelepipedum, hvordan og med hvad spises det? Især hvordan finder man en opskrift til at forberede overfladearealet af denne frugt eller grøntsag? Så lad os først se på, hvad det faktisk er - et rektangulært parallelepipedum? Her er et billede af et rektangulært parallelepipedum.
Som du kan se, er et rektangulært parallelepipedum i virkeligheden en almindelig mursten. Forresten, hvis ikke en æbleformet kugle, men et rektangulært parallelepipedum i form af en mursten, var faldet på Newtons hoved, så ville vi næppe have lært hans love i skolen. Et rektangulært rum er også et rektangulært parallelepipedum, der giver dig mulighed for sightseeingtur gennem sine seværdigheder direkte indefra. Hvis du vil foretage en ekstern inspektion af seværdighederne i dette matematiske mirakel, så tag en skoæske, og du kan vende den rundt, så meget du vil.
Og så giver det rektangulære parallelepipedum på billedet os mulighed for at se hjørnerne, kanterne og diagonalerne. Vi kan røre hjørnerne med vores finger, vi kan måle kanterne, vi kan beregne diagonalen. Vi har ikke brug for en diagonal nu. Kender du loven om elevbevægelse i klasseværelset? Hvis den kvindelige lærer forlader klassen, bevæger klassen sig hurtigere. Loven om problemløsning ligner meget: Jo mindre nonsens vi skal lede efter, jo enklere er problemet.
Det første problem, vi støder på i problemet, er problemet med slang. Problemstillingen er formuleret i dagligdags slang, og alle formler og definitioner i matematik er formuleret i matematisk slang. Derfor skal vi selv udføre oversættelsen. Lad os begynde trin-for-trin-oversættelsen, sætning for sætning.
"Kanter af et rektangulært parallelepipedum, der strækker sig fra et toppunkt..."- faktisk her taler vi om de kanter, der giver os mulighed for at bestemme dimensionerne af et rektangulært parallelepiped og, baseret på disse dimensioner, udføre alle de nødvendige beregninger. Det er ribbenene på billedet -en, b Og c. Hvem ville tvivle på, at disse tre ribben ville blive givet til os efter betingelserne, men ikke mig. Ikke en eneste matematiker vil fortælle dig dette (ikke fordi de ikke ved det, men af frygt for at løbe ind i meget akavede spørgsmål), men hvis du i problemformuleringen angiver to længder parallel ribben og en vinkelret dem, så vil det i princippet være umuligt at løse vores problem. I et rektangulært parallelepiped kommer der altid tre indbyrdes vinkelrette kanter frem fra ethvert toppunkt. Derfor taler vores opgave direkte om dette. Hvis du tror skrifter forskellige religioner, så er det fra en sådan kant, at alle rektangulære parallelepipeder skabes, hvis problemer løses af det hele rimelig halvdel menneskelighed.
Næste sætning "...lig med 1, 2, 3" betyder, at vi ikke behøver at lede efter denne skæbnesvangre cuboid og vores lineal for at måle længden af dens ansigter, som vist på figuren. Den, der kom med dette problem, har allerede målt alt selv (eller opfundet disse dimensioner, som i dette tilfælde ikke er af grundlæggende betydning). Hvem er hvem på denne liste over tal? Hvor er længden, bredden og højden af vores parallelepipedum? Det er lige meget for os. Uanset hvordan vi vrider dette rektangulære parallelepipedum, vil dets overfladeareal altid forblive det samme. Tidligere generationer af matematikere har bekræftet dette faktum mere end én gang. Når vi kommer til løsningen, vil vi selv se.
Nu er spørgsmålet, hvad præcist er vores rektangulære parallelepipedum og dets overfladeareal målt i? I hvilke måleenheder? Svaret er ganske enkelt - i alle længdeenheder. Briterne og amerikanerne elsker inches, feet, miles. Vi foretrækker centimeter, meter, kilometer. Hvordan måles længden? Vi ved det slet ikke. Ja, disse måleenheder er ikke vigtige for os. Uanset hvor vi måler længden af kanterne, vil tallene ved siden af længderne og arealet være de samme. Tallene forbliver, men måleenhederne ændres. Her er to måder at få et resultat i matematik.
forskellige tal + samme enheder = forskellige resultater
identiske tal + forskellige enheder mål = andet resultat
Omtrent det samme som i denne tæller. Vi drejer det ene hjul, og tallene ændres. Vi drejer endnu et hjul, og måleenhederne ændres. Sådan fungerer rigtig matematik, et lille stykke, som vi nu overvejer.
Dette er ikke længere børns matematik, opfundet specifikt for at plage os med problemer. Dette er det samme for alle.
I vores opgave måler vi alt i abstrakte længdeenheder. I overensstemmelse hermed vil det areal, vi opnår, blive målt i de samme måleenheder, kvadreret.
Nu skal vi bare ud af vores dybe lomme et snydeark med formler for et rektangulært parallelepipedum og se, hvad der er nyttigt for os der.
Hvad er der præcist i dette snydeark? Formel for diagonalen af en rektangulær parallelepipedum, volumenformel. Der er flere formler for overfladeareal: total, basis, lateral. Vi mangler bare en af disse formler. Lad os se på områder ved at bruge eksemplet med en skoæske. Basisområdet er området af bunden eller låget af æsken. Det laterale overfladeareal er boksens sidevægge uden bund og låg. Det fulde område er sidevæggene sammen med bunden og låget.
Nu ser vi på betingelserne for problemet og bestemmer "hvad har du brug for, ældste?" Og han (hun, de) har brug for "overfladeareal". Hvis der ikke er nogen specifikationer som "side" eller "base", skal du kigge efter det samlede overfladeareal af det rektangulære parallelepipedum. Vi har længderne af de tre flader, formlen også, vi kan lave beregningen. Det giver ingen mening for os at bøvle med baserne og siderne.
Som vi ser, samlet areal overfladen af vores rektangulære parallelepipedum viste sig at være lig med 22 enheder i kvadrat. Hvilke enheder præcist? Og hvilke du ikke gider, eller hvilke du elsker mest.
På opfordring fra eleverne tilføjer jeg et billede om summen af længderne af kanterne på et rektangulært parallelepipedum.
Jeg betegnede summen af længderne af alle parallellepipedets kanter med bogstavet "P", da det ligner meget omkredsen af et rektangel. Det har jeg i øvrigt ikke skrevet ned i formlen for længderne af alle kanterne, men hvis vi tager de tre figurdannende flader af et rektangulært parallelepipedum, som er rektangler, så er summen af længderne af alle de kanterne af parallelepipedet vil være lig med summen af omkredsen af disse rektangler.
Sponsor af siden: var der, men forsvandt.
Det kaldes et parallelepipedum firkantet prisme, hvis baser er parallelogrammer. Højden af et parallelepipedum er afstanden mellem planerne på dens baser. På figuren er højden vist ved segmentet . Der er to typer parallelepipeder: lige og skrånende. Som regel giver en matematikvejleder først de passende definitioner for et prisme og overfører dem derefter til et parallelepipedum. Vi vil gøre det samme.
Lad mig minde dig om, at et prisme kaldes lige, hvis dets sidekanter er vinkelrette på baserne; hvis der ikke er nogen vinkelrethed, kaldes prismet skrå. Denne terminologi er også nedarvet af parallelepipedet. Et højre parallelepipedum er intet andet end en type højre prisme, side rib som falder sammen med højden. Definitioner af sådanne begreber som ansigt, kant og toppunkt, som er fælles for hele familien af polyedere, er bevaret. Begrebet modsatte ansigter dukker op. Et parallelepipedum har 3 par modstående flader, 8 spidser og 12 kanter.
Diagonalen af et parallelepipedum (diagonalen af et prisme) er et segment, der forbinder to hjørner af et polyeder og ikke ligger på nogen af dets flader.
Diagonal sektion - en sektion af et parallelepipedum, der passerer gennem dens diagonal og diagonalen af dens base.
Egenskaber ved et skråtstillet parallelepipedum:
1) Alle dens flader er parallellogrammer, og de modstående flader er lige store parallelogrammer.
2)
Diagonalerne af et parallelepipedum skærer hinanden i et punkt og halverer på dette punkt.
3)
Hvert parallelepipedum består af seks trekantede pyramider med samme volumen. For at vise dem til eleven skal matematikvejlederen skære halvdelen af fra parallelepeden diagonalt snit og del den hver for sig i 3 pyramider. Deres grundlag skal ligge i forskellige ansigter det originale parallelepipedum. En matematikvejleder vil finde anvendelsen af denne egenskab i analytisk geometri. Det bruges til at vise volumen af pyramiden igennem blandet arbejde vektorer.
Formler for volumen af et parallelepipedum:
1) , hvor er arealet af basen, h er højden.
2) Volumen af et parallelepipedum lig med produktet areal tværsnit på sidekanten.
Matematik underviser: Som du ved, er formlen fælles for alle prismer, og hvis vejlederen allerede har bevist det, nytter det ikke noget at gentage det samme for et parallelepipedum. Men når man arbejder med en elev på gennemsnitsniveau (formlen er ikke nyttig for en svag elev), er det tilrådeligt for læreren at handle præcis det modsatte. Lad prismet være i fred og foretag en omhyggelig bevisning for parallelepipedummet.
3) , hvor er volumen af en af de seks trekantet pyramide hvoraf parallelepipedet består.
4) Hvis , så
Arealet af sidefladen af et parallelepipedum er summen af arealerne af alle dets flader:
Den samlede overflade af et parallelepiped er summen af arealerne af alle dets flader, det vil sige arealet + to områder af basen: .
Om en vejleders arbejde med et skråtstillet parallelepipedum:
En matematikvejleder arbejder ikke ofte med problemer, der involverer en skrå parallelepipedum. Sandsynligheden for at de optræder på Unified State Exam er ret lav, og didaktikken er uanstændigt dårlig. Et mere eller mindre anstændigt problem med lydstyrken af et skråtstillet parallelepipedum opkald alvorlige problemer, forbundet med at bestemme placeringen af punkt H - bunden af dets højde. I dette tilfælde kan matematikvejlederen rådes til at skære parallelepipedummet til en af dets seks pyramider (ca. vi taler om i egenskab nr. 3), prøv at finde dens volumen og gang den med 6.
Hvis sidekanten af et parallelepipedum har lige store vinkler med basens sider, så ligger H på halveringslinjen for vinkel A på basen ABCD. Og hvis for eksempel ABCD er en rombe, så
Matematikvejleder opgaver:
1) Fladerne på parallelepipedet er lig med hinanden med en side på 2 cm og Spids vinkel. Find volumenet af parallelepipedet.
2) I et skråtstillet parallelepipedum er sidekanten 5 cm. Snittet vinkelret på det er en firkant med indbyrdes vinkelrette diagonaler med længder på 6 cm og 8 cm. Beregn volumenet af parallelepipedet.
3) I en skrå parallelepipedum ved man, at , og i ABCD er basen en rombe med en side på 2 cm og en vinkel . Bestem volumenet af parallelepipedet.
Matematikvejleder, Alexander Kolpakov