Аксиома има очевидна истина, която не изисква доказателства.
Теорема или твърдението е истина, която изисква доказателство.
Доказателство е набор от разсъждения, които правят това предложение очевидно.
Доказателството постига целта си, когато с негова помощ се установи, че даденото твърдение е необходимо следствие от аксиомите или някое друго твърдение, което вече е доказано.
Всяко доказателство се основава на принципа, че при правилен извод не може да се направи невярно заключение от истинско изречение.
Състав на теоремата. Всяка теорема се състои от две части, а) условия и б) заключение или следствие.
Условието понякога се нарича предположение. Дава се и затова понякога получава даденото име.
Обратна теорема. Изречение, в което заключението на дадена теорема става условие, а условието става заключение, се нарича обратна теорема..
В този случай тази теорема се нарича директна.
Две теореми заедно, пряка и обратна, се наричат взаимно обратни теореми.
Те са в такава взаимна връзка, че, избрал някой от тях за пряк, човек може да приеме другия за обратен.
В две взаимно обратни съждения едното следва като необходимо следствие от другото.
Ако в теоремата означим условието с буквата на първо място, а заключението с буквата на второ място, тогава пряката теорема може да бъде представена схематично с израза (Aa), а обратната с израза (aA ).
Изразът (Aa) схематично представя предложението: ако A е случаят, тогава a е случаят.
Ако за това предложение(Aa) и теорема (aA) са валидни, тогава двете теореми (Aa) и (aA) се наричат взаимно обратни теореми.
Пример за две такива взаимно обратни теореми могат да бъдат следните теореми:
Първа теорема. В триъгълник равни ъгли лежат срещу равни страни.
Втора теорема. В триъгълник срещу равни ъглилъжа равни страни .
В първата теорема даденото условие ще бъде равенството на страните на триъгълника, а заключението ще бъде равенството на срещуположните ъгли, а във втората - обратното.
Не всяка теорема има обратното.
Пример за аритметично изречение, което няма обратното, е следното: теорема. Ако факторите в два продукта са равни, тогава продуктите са равни.
Обратното предположение не е вярно. Наистина, от факта, че продуктите са равни, не следва, че факторите са равни.
Пример за геометрично изречение, за което обратна офертаняма място, може да служи теорема: във всеки квадрат диагоналите са равни.
Обратното на това би било: ако диагоналите на четириъгълник са равни, тогава той ще бъде квадрат.
Това предположение е неправилно, тъй като диагоналите са равни в повече от един квадрат.
Тъй като обратното предположение не винаги е вярно, всеки път обратното предложение изисква специално доказателство.
В теорията на геометричните доказателства понякога е много важно да се знае кога дадено твърдение допуска своето обратно.
Следното може да служи за тази цел: правило за обратимост. Когато, ако приемем, че всичко е възможно и различни условиявсички възможни и различни заключения съответстват, важи обратното твърдение.
Нека да разгледаме това като пример.
Директна оферта. Ако два триъгълника имат две равни страни,тогава третата страна ще бъде по-голяма, равна или по-малка от третата страна на другия триъгълник, в зависимост от това дали ъгълът между равните страни е по-голям, равен или по-малък от съответния ъгъл на другия триъгълник.
В това изречение три различни и възможни предположения за ъгъла съответстват на три различни и възможни заключения за противоположната страна, следователно, в съответствие с правилото за обратимост, тази теорема позволява обратно предположение:
Когато два триъгълника имат две равни страни, ъгълът между тях ще бъде по-голям, равен или по-малък от съответния ъгъл на другия триъгълник, в зависимост от това дали третата страна е по-голяма, равна или по-малка от третата страна на дадения триъгълник.
В допълнение към обратната, директната теорема може да има своята противоположност.
Противоположна теорема има такъв, при който отрицанието на условието предполага отрицание на заключението.
Противоположната теорема може да има своята обратна.
За да обобщим всички тези теореми, ние ги представяме схематично в следната обща форма:
Пряка или основна теорема. Ако условието или свойството A е валидно, тогава е валидно заключение или свойство B.
Обратен. Ако се появи B, тогава се появява A.
Отсреща. Ако A не се появи, тогава B не се появи.
Обратно обратно. Ако B не се появи, тогава A не се появи.
Следните примери илюстрират взаимната връзка на тези теореми в конкретни случаи:
Директна теорема. Ако, когато две дадени прави пресичат трета, съответните ъгли са равни, тогава дадените прави са успоредни.
Обратна теорема. Ако две прави са успоредни, тогава когато пресичат третата, съответните ъгли са равни.
Отсреща. Ако, когато две прави пресичат трета, съответните ъгли не са равни, правите не са успоредни.
Обратно обратно. Ако правите не са успоредни, съответните ъгли не са равни.
При геометрично представяне на теореми е достатъчно да се докажат само две от тези три теореми, тогава останалите две теореми са валидни без доказателство.
Тази връзка на теоремите се основава на техниката, чрез която, за да се докаже обратната теорема, човек често се ограничава само до доказване на противоположната теорема.
Методи за геометрични доказателства
За доказателство геометрични теоремиИма два основни начина: синтетиченИ аналитичен.
Тези методи понякога се наричат съкратено синтезИ анализ.
Синтез има метод на доказателство, при който дадено твърдение е необходимо следствие от друго, вече доказано.
В синтез, верига от доказателства започва с известно изречение и завършва с това изречение. По време на доказателството оригиналното изречение се сравнява с аксиома или с друго вече известно изречение. Синтетичният метод е удобен за извеждане на нови изречения, които не са посочени предварително. За доказателство на това твърдение, то създава много неудобства. Той не показва: а) коя от известните теореми трябва да бъде избрана, за да следва твърдението, което трябва да бъде доказано, като необходимо следствие и б) кое от следствията на избраното твърдение води до доказаното твърдение.
Следователно синтезът се нарича не метод за откриване на нови истини, а метод за представянето им.
Но дори когато се представят теореми чрез синтетичния метод, има неудобство в смисъл, че не е ясно защо това, а не друго твърдение или това, а не друго следствие от него, е избрано като първоначална истина във веригата от доказателства .
Пример за синтетичен метод на доказателство е следната теорема.
Теорема. Сборът от ъглите на триъгълник е равен на два прави ъгъла.
Дан триъгълник ABC(чертеж 224).
Трябва да докажем, че A + B + C = 2d.
Доказателство. Нека начертаем права DE, успоредна на AC.
Сумата от ъглите, лежащи от едната страна на права линия, е равна на два прави ъгъла, следователно,
α + B + γ = 2d
тогава, замествайки ъглите α и γ в предишното равенство с ъгли, равни на тях, имаме:
A + B + C = 2d (CHD).
Тук първоначалното твърдение във веригата на доказателство е теоремата за сумата от ъгли, лежащи от едната страна на права линия.
Поставя се във връзка с теореми за равенството на напречните ъгли при пресичане на два успоредни и трети косвени.
Доказваната теорема е необходимо следствие от всички предложени теореми и е последното заключение във веригата от доказателства.
Анализ Има начин, противоположен на синтеза. При анализа веригата от разсъждения започва с теорема, която трябва да бъде доказана, и завършва с друга вече известна истина..
Анализът се предлага в две форми. От твърдението, което се доказва, можем да преминем към предложението, което служи като негова непосредствена основа или нейно непосредствено следствие.
Преминавайки от дадена пропозиция към пропозицията, която служи като негова непосредствена основа, ние разглеждаме тази пропозиция като необходимо следствие.
Преминавайки от дадено твърдение към неговото непосредствено следствие, ние разглеждаме това твърдение като основа за верига от изводи.
Първи метод за анализ. Извършвайки анализа чрез преминаване към основата, те търсят първото най-близко изречение, от което даденото следва като необходимо следствие. Ако това твърдение е било доказано преди това, то това предложение също е доказано, но ако не, тогава потърсете второто предложение, лежащ в основатаза първия.
Този преход към основата трябва да продължи, докато стигнем до напълно доказано предложение. Това твърдение ще се появи като необходимо следствие от последното доказано твърдение.
Като обозначим всяко изречение с буква и го поставим пред или зад другото, в зависимост от това дали ще служи като основа или следствие на друго изречение, можем схематично да изразим този метод на анализ във формата
където M е даденото твърдение, L е неговата най-близка основа, а H е напълно доказано твърдение. Ако твърдението H е вярно, тогава предложението K е вярно; ако K е вярно, тогава L е вярно; ако L е вярно, тогава M също е вярно.
Втори метод за анализсе състои в прехода от дадено предложение към неговото следствие. Тази техника се използва по-често, защото е по-лесно да се намери необходимото следствие, отколкото да се намери основата на някаква истина. Използвайки този метод, човек извлича от дадено твърдение теоремата, която служи като негово непосредствено следствие. Ако това следствие е предварително доказано твърдение, тогава те спират дотук; ако не, те преминават към следващото най-близко следствие и обикновено продължават това последователно извеждане на следствия, докато достигнат до напълно доказано твърдение.
Ако последното изречение не е вярно, то това не е вярно, защото от правилно изречение не може да се получи неправилно следствие.
Ако последното изречение е вярно, тогава, за да повярвате в истинността на това изречение, трябва да бъдат изпълнени определени условия.
Схематично този метод на анализ може да бъде представен под формата
M - N - O - P - Q - R - S
където M е дадено изречение, N е изречение, което служи като негово непосредствено следствие, а S е последното изречение, в чиято валидност сме напълно убедени.
От две твърдения R и S, стоящи в такава връзка, че ако R е вярно, тогава твърдението S също е вярно, ние, както е известно, не можем винаги обратно да заключим, че ако S е вярно, тогава твърдението R също е вярно.
За да се приеме последното заключение, се изисква теоремите R и S да бъдат реципрочни предложения.
И така, за да се провери дали теоремите R и S стоят в такава връзка, че тя удовлетворява схемата R - S и схемата S - R, се изисква да се докаже, че предложенията R и S са реципрочни.
По този начин, за да можем да заключим от истинността на последното изречение S, че даденото изречение M е вярно, е необходимо да докажем, че всеки две съседни ценни оферти R и S, P и R, O и P, N и O, M и N отговарят на закона за обратимост.
Ако това се докаже, тогава веригата от предложения може да бъде обърната и до схемата M - N - O - P - Q - R - S схемата
S - R - Q - P - O - N - M
от което имаме право да заключим, че ако твърдението S е вярно, то твърдението M също е вярно.
Тъй като е трудно всеки път да се доказва обратимостта на две изречения, това се избягва чрез комбиниране на аналитичния метод със синтетичния. След като пропозицията S е била изведена от пропозиция M като негово следствие, те гледат да видят дали е възможно да изведат обратно пропозицията M като необходимо следствие от пропозицията S.
Ако синтезът е метод т.нар приспаданеили заключение, тогава анализът може да бъде извикан намаляване(кастинг, ръководство).
Пример аналитичен методЗа доказателство може да послужи следната теорема.
Теорема. Диагоналите на успоредник се пресичат наполовина.
Доказателство. Ако диагоналите се пресичат наполовина, тогава триъгълниците AOB и DOC са равни (фиг. 225). Равенството на триъгълниците AOB и DOC следва от факта, че AB = CD as противоположни страниуспоредник и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ като напречни ъгли.
Така виждаме, че дадено изречение последователно се заменя с друго и такава замяна се извършва, докато стигнем до вече доказано изречение.
Сравнение на синтеза с анализа. Аналитичният метод по-точно води до доказателството на дадена теорема, тъй като от дадена теорема е по-лесно да се премине към нейното най-близко основание или следствие.
Въпреки че анализът обяснява по-добре от синтеза защо е избран един или друг път за доказване на теоремата, несигурността в доказателствата не е напълно елиминирана в смисъл, че при последователна замяна на едно изречение с друго не винаги можем да стигнем до изречение, което ни е известно , защото понякога не е видимо кои от последиците или кои от основанията на дадено твърдение трябва да бъдат избрани, за да се докаже. Трудностите нарастват още повече, когато е необходимо да се начертаят нови спомагателни линии за доказателството. Понякога е трудно да се дадат правилни указания кои от тях улесняват доказателството на дадена теорема.
Анализът, подобно на всички логически техники, само улеснява и помага да се намери доказателството на дадено твърдение, но не винаги непременно води до самото доказателство.
В допълнение към тези преки има и косвен метод на доказване, известен като доказателство от противно или метод на свеждане до абсурд.
Метод на доказване от противно се състои в това, че за да се докаже дадено твърдение, човек е убеден в невъзможността да се приеме обратното.
На тази основа това доказателство се нарича доказателство от противно. То постига целта си винаги, когато от две предложения, дадени и противоположни, със сигурност се осъществи едно.
В този случай, за да докажат даденото, след като са допуснали обратното твърдение, те извеждат от него такива следствия, които противоречат на вече доказаните аксиоми или теореми. Ако едно от следствията на това изречение е невярно, то противоположното изречение е невярно и следователно даденото изречение е вярно.
Тази техника често се използва за доказване на теореми, които са обратни или противоположни на данните.
Не е трудно да се забележи, че този метод е вторият метод на анализ, при който се преминава последователно от дадено твърдение към неговите следствия.
Пример за приложението на този метод е доказателството на теоремата, дадена по-горе: равните страни лежат срещу равни ъгли в триъгълник (теорема 26).
В геометрията се използват и методи, които зависят от самото съдържание на геометричните истини. Геометричните истини се отнасят до геометричните разширения. Тези разширения имат определени свойства, подчинени на външни сетива. Геометричното разширение може да се разглежда като цяло, достъпно за наблюдение от външните сетива. За убедителността на доказателството допринася и най-чувственото съзерцание. Невъзможно е без него в геометрията.
Сред техниките, които се използват в геометрията, са: метод на налагане, метод на пропорционалност и метод на ограничения.
Метод на приложение се състои в това, че една геометрична величина се наслагва върху друга. По този начин човек се убеждава в равенството или неравнопоставеността на геометричните разширения в зависимост от това дали се комбинират или не се комбинират при наслагването.
Метод на пропорционалност се състои в прилагане на свойствата на пропорциите към геометрични разширения. Този метод се използва за доказване на теореми, свързани с подобни фигурии на пропорционални сегменти.
Метод на границитесе състои в това, че вместо дадени разширения се разглеждат свойствата на разширения, близки по свойствата си до даденото, и изводите, получени от разглеждането на някои, се прилагат към други подобни разширения.
Методи за решаване на геометрични задачи
При решаване геометрични задачисинтезът и анализът се използват по същия начин, както при доказването на теореми.
Когато решават синтетично даден проблем, те вземат друг проблем, който знаят как да решат, след което от неговото решение те извеждат решението на следващия проблем, като негово необходимо следствие, и правят това, докато стигнат до решението на този проблем.
Синтетичният метод за решаване на проблема има същите недостатъци като синтетичния метод за доказване.
Следователно анализът се използва по-често и по-успешно за решаване на проблеми.
При решаване на проблем анализът замества тази задачанов. Ще наречем този нов проблем заместване.
Ако два проблема са в такава връзка, че условията на втория са необходими следствия от условията на първия, тогава ще наречем първия проблем първичен, а второто - производна.
Има два начина за анализ.
Първи начин. Проблемът за заместване е избран така, че условията на този проблем да следват като необходимо следствие от условията на новия проблем за заместване, т.е., в нашата терминология, те преминават от този проблем към първия първоначална задача. Ако решението на този проблем е известно, тогава решението на този проблем се явява като необходимо следствие от решението на първоначалния проблем. Ако решението му е неизвестно, тогава те преминават от него към втория, третия първоначален проблем и продължават да правят това, докато получат проблем, чието решение е известно.
След като са решили този последен проблем, те последователно достигат до решението на този проблем.
Втори начин. Възможно е да се премине от даден проблем към друг, чиито условия са следствие от условията на този, тоест от даден проблем се премине към негова производна.
Заменяйки последователно една задача с друга нейна производна по този начин, можем да стигнем до задача, чието решение вече е известно. Решаването на този проблем понякога прави възможно решаването и на този проблем.
Този преход от даден проблем към негов производен се използва по-често, защото е по-лесно да се премине към следствие, отколкото да се търси основа за някаква истина.
В този конкретен случай на анализ обикновено се приема, че проблемът е решен и от това предположение се извеждат отношения, които правят възможно решаването на този проблем.
При преминаване от дадена задача към нейната замяна е много важно да се обърне внимание дали двете задачи ще имат свойството на взаимна обратимост. Тази реципрочност в условията на два проблема възниква, когато една задача, като първоначална за друга, може в същото време да бъде нейна производна; в противен случай, когато две задачи са в такава връзка, че условията на едната могат също да бъдат необходими последствия от другата и обратно.
Ако две задачи, текущата и новата, имат тези свойства, тогава нова задачанапълно замества този. В този случай всички решения на едното ще бъдат и решения на другото.
Ако условията на два проблема нямат свойствата на взаимна обратимост, тогава, заменяйки този проблем с нов, можем да намерим или допълнителни решения, или някои от решенията да бъдат загубени.
Ако проблемът със замяната е производен на дадения, тогава може да намерим някои допълнителни решения; ако е начална за дадена, тогава можем да намерим някои загубени решения.
Тъй като те често преминават от даден проблем към производен проблем, те често трябва да получат ненужни решения.
За отделяне на ненужните решения и намиране на изгубени, всички намерени решения се проверяват.
Проверка има ли начин за отделяне на странични (ненужни) решения. Допълва анализа.
Аналитичното решение на даден проблем показва конструкцията, която трябва да се направи, за да се реши проблемът. Когато правят тази конструкция, те действат при решаването на проблема обратно на анализа, т.е. прибягват до синтетичен метод. Този синтетичен метод често може да замести действителната проверка на намерените решения.
Комбинираното използване на синтез и анализ осигурява средство за избягване на онези грешки, които могат да възникнат при използване само на един от тези методи за решаване.
Нека решим същата задача синтетично и аналитично. За пример може да послужи следната задача.
Задача. Разделям този сегментАВ в крайно и средно отношение.
Решение. Нека построим перпендикуляра BO от края на отсечката AB равен на половината AB (чертеж 226). От центъра O описваме окръжност с радиус BO, свързваме центъра O с точка A и нанасяме върху отсечката AB отсечка AC, равна на AD, тогава отсечката AC или AD ще бъде търсената.
Доказателство. Следователно правата AB е допирателна към окръжността
където имаме:
(AE - AB)/AB = (AB - AD)/AD
Тъй като DE = AB и AD = AC, тогава в предишната пропорция имаме:
AE - AB = AE - DE = AD = AC
AB - AD = AB - AC = BC
откъде да вземем пропорцията
Това решение е синтетично. В нея се изхожда от добре познатата теорема за свойствата на допирателната и решението на тази задача следва като необходимо следствие от тази теорема.
Аналитично решение. Да приемем, че проблемът е решен и следователно сегментът AC е намерен
AB/AC = AC/CB (1)
(AB + AC)/AB = (AC + CB)/AC
(AB + AC)/AB = AB/AC (2).
От последната пропорция става ясно, че AB е допирателна, AB + AC е пресечна, AC е нейната външна отсечка, а AB е нейната вътрешна отсечка.
От това следва, че строителство. Необходимо е да се изгради перпендикуляр, равен на ½AB от края B, да се начертае окръжност, да се свърже O с A и да се постави част AC = AD върху сегмента AB.
В това аналитично решение заменяме този проблем, удовлетворяващ условие (1), със задача, удовлетворяваща условие (2).
Условие (2) също показва начина за решаване на самата задача чрез изграждане.
Обикновено, след като са намерили решение на проблем с помощта на аналитичен метод, те правят конструкция, в която, използвайки синтетичен метод на разсъждение, доказват, че тази конструкция действително решава проблема и с това доказателство те заместват проверката, която има за цел да елиминира външни решения.
IN в този примерСъществува пълна обратимост между проблемите, които отговарят на условия (1) и (2), тъй като условия (1) включват условия (2) като необходимо следствие и обратно, така че тук няма загубени или странични решения.
Изучаването на вторични и спомагателни методи за решаване на проблеми все още не е достигнало пълно и пълно завършване в лечението си. Засега ще избягваме да ги разглеждаме подробно.
Не само всеки ученик, но и всеки уважаващ себе си образован човектрябва да знае какво е теорема и доказателство на теореми. Може би такива концепции няма да бъдат намерени в Истински живот, но определено ще помогнат за структурирането на много знания, както и за изводите. Ето защо в тази статия ще разгледаме методите за доказване на теореми, а също така ще се запознаем с известната теорема на Питагор.
Какво е теорема?
Ако разгледаме училищен курс по математика, тогава много често има такива научни термини, като теорема, аксиома, определение и доказателство. За да навигирате в програмата, трябва да се запознаете с всяко от тези определения. Сега ще разгледаме какво е теорема и доказателство на теореми.
И така, теоремата е определено твърдение, което изисква доказателство. Обмисли тази концепциянеобходимо успоредно с аксиомата, тъй като последната не изисква доказателство. Определението му вече е вярно, така че се приема за даденост.
Обхват на приложение на теоремите
Грешка е да се мисли, че теоремите се използват само в математиката. Всъщност това далеч не е така. Например във физиката има просто невероятен брой теореми, които ни позволяват да разгледаме определени явления и понятия подробно и от всички страни. Това включва теоремите на Ампер, Щайнер и много други. Доказателствата на такива теореми ви позволяват да имате добро разбиране на моментите на инерция, статиката, динамиката и много други концепции на физиката.
Използване на теореми в математиката
Трудно е да си представим наука като математиката без теореми и доказателства. Например, доказателствата за триъгълни теореми ви позволяват да изучавате подробно всички свойства на фигурата. Много е важно да се разберат свойствата равнобедрен триъгълники в много други неща.
Доказателството на теоремата за площта ви позволява да разберете най-лесния начин за изчисляване на площта на фигура въз основа на някои данни. В крайна сметка, както знаете, има голям бройформули, които описват как да се намери площта на триъгълник. Но преди да ги използвате, е много важно да докажете, че това е възможно и рационално в конкретен случай.
Как се доказват теореми
Всеки ученик трябва да знае какво е теорема и доказателството на теоремите. Всъщност доказването на всяко твърдение не е толкова лесно. За да направите това, трябва да работите с много данни и да можете да го направите логически заключения. Разбира се, ако имате добри познания по информация за определена научна дисциплина, тогава доказването на теоремата няма да е трудно за вас. Основното нещо е процедурата за доказване да се извърши в определена логическа последователност.
За да научите как да доказвате теореми, използвайки такива научни дисциплини, подобно на геометрията и алгебрата, трябва да имате достатъчно познания, както и да знаете самия алгоритъм за доказване. Ако владеете тази процедура, решете задачи по математикавпоследствие няма да ви е трудно.
Какво трябва да знаете за доказването на теорема
Какво е теорема и доказателства за теореми? Това е въпрос, който вълнува много хора в модерно общество. Много е важно да се научите да доказвате математически теореми, това ще ви помогне в бъдеще да изградите логически вериги и да стигнете до определено заключение.
Така че, за да докажете правилно теоремата, е много важно да направите правилния чертеж. Той показва всички данни, които са посочени в условието. Също така е много важно да запишете цялата информация, предоставена в задачата. Това ще ви помогне правилно да анализирате задачата и да разберете какви точно количества са дадени в нея. И едва след такива процедури можем да започнем самото доказване. За да направите това, трябва логически да изградите верига от мисли, като използвате други теореми, аксиоми или определения. Резултатът от доказателството трябва да бъде резултат, чиято истинност е извън съмнение.
Основни начини за доказване на теореми
IN училищен курсВ математиката има два начина за доказване на теорема. Най-често задачите използват прекия метод, както и метода на доказателство от противно. В първия случай те просто анализират наличните данни и въз основа на тях правят подходящи заключения. Много често се използва и обратният метод. В този случай приемаме обратното твърдение и доказваме, че то е невярно. Въз основа на това получаваме обратния резултат и казваме, че нашата преценка е била неправилна, което означава, че информацията, посочена в условието, е вярна.
Всъщност много математически задачи могат да имат повече от едно решение. Например, теоремата на Ферма има няколко доказателства. Разбира се, някои се разглеждат само по един начин, но например в Питагоровата теорема могат да се разглеждат няколко от тях наведнъж.
Какво е Питагоровата теорема
Разбира се, всеки ученик знае, че теоремата на Питагор се отнася конкретно за правоъгълен триъгълник. И звучи така: „Квадрат на хипотенузата равно на суматаквадрати от крака." Въпреки името на тази теорема, тя не е открита от самия Питагор, а много преди него. Има няколко начина за доказване това твърдение, и ще разгледаме някои от тях.
Според научните данни в самото начало е разгледан равностранен правоъгълен триъгълник. Тогава от всичките му страни са построени площади. Квадрат, построен върху хипотенузата, ще се състои от четири триъгълника, равни един на друг. Докато фигурите, построени отстрани, ще се състоят само от два еднакви триъгълника. Това доказателство на Питагоровата теорема е най-простото.
Нека разгледаме друго доказателство на тази теорема. Изисква да се използват знания не само от геометрията, но и от алгебрата. За да се докаже тази теоремаПо този начин трябва да построим четири подобни правоъгълни триъгълника и да означим страните им като a, b и c.
Трябва да построим тези триъгълници по такъв начин, че да получим два квадрата. Външният ще има страни (a+b), но вътрешният ще има c. За да намерим площта на вътрешния квадрат, трябва да намерим продукта c*c. Но за да намерите площта на голям квадрат, трябва да съберете площите на малките квадрати и да добавите площите на получения правоъгълни триъгълници. Сега, след като направих някои алгебрични операции, можете да получите следната формула:
a 2 + b 2 = c 2
Всъщност има огромен брой методи за доказване на теореми. Перпендикуляр, триъгълник, квадрат или всякакви други форми и техните свойства могат да се считат за използване различни теоремии доказателства. Теоремата на Питагор само потвърждава това.
Вместо заключение
Много е важно да можете да формулирате теореми, както и да ги доказвате правилно. Разбира се, такава процедура е доста сложна, тъй като за извършването й е необходимо не само да можете да оперирате голяма сумаинформация, но и за изграждане на логически вериги. Математиката е много интересна наука, който няма нито край, нито ръб.
Започнете да го изучавате и не само ще увеличите нивото на интелигентност, но и ще спечелите огромна сума интересна информация. Започнете с образованието си днес. Като разберете основните принципи на доказателството на теоремата, ще можете да прекарате времето си с голяма полза.
Доказателството на математическо твърдение, като правило, е верига от правилни разсъждения с помощта на аксиоми и теореми, чиято валидност е предварително установена. Едно разсъждение се нарича правилно, ако истинността на всички предпоставки предполага истинността на заключението. Нека твърденията \(A_1,A_2, \ldots,A_n\) са предпоставки, а твърдението \(A\) е заключението. Разсъжденията се извършват по схемата \(\frac(A_1,A_2,\ldots, A_n)(B)\), т.е. от предположенията \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) следва заключението \(B\). Това разсъждение е правилно, ако формулата \((A_1\И A_2\И \ldots\И A_n)\Стрелка надясно B\)идентично вярно, т.е. вярно за всички стойности на истината на твърденията, включени в него \(A_1,A_2,\ldots,A_n,B\) .
Например, следните диаграми съответстват на правилно разсъждение:
\(\frac(A\Rightarrow B,A)(B)\)- правило за извод ( modus ponens);
\(\frac(A\Rightarrow B,B\Rightarrow C)(A \Rightarrow C)\)- правилото на силогизма;
\(\frac(A\Rightarrow B,\lnot B)(\lnot A)\)- правило за противопоставяне.
Въз основа на първата и третата схема се изграждат следните разсъждения:
– ако едно естествено число \(n\) се дели на 4, то е четно. Числото \(n\) се дели на 4. Следователно числото n е четно;
– ако едно естествено число \(n\) се дели на 4, то е четно. Числото \(n\) е нечетно. Следователно числото \(n\) не се дели на 4.
И двата аргумента са правилни за всякакви естествени числа \(n\). Всъщност, дори и при \(n=1\), въпреки привидната непоследователност, имаме правилното разсъждение: „ако числото 1 се дели на 4, то числото 1 се дели на 4. Следователно номер 1 е четен“, тъй като от неверни предпоставки могат да се използват всякакви заключения.
Нека разгледаме пример за разсъждение според схемата \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A):\)
– ако едно естествено число \(n\) се дели на 4, то е четно. Числото \(\) е четно. Следователно числото \(n\) се дели на 4.
За \(n=6\) и \(n=8\), съответно, получаваме:
– ако естественото число 6 се дели на 4, значи е четно. Числото 6 е четно. Следователно числото 6 се дели на 4;
– ако естественото число 8 се дели на 4, то е четно. Числото 8 е четно. Следователно числото 8 се дели на 4.
И двата аргумента са неверни, въпреки че заключението на втория аргумент е вярно (числото 8 всъщност се дели на 4), т.е. схема \(\frac(A\Rightarrow B,B)(A)\)не отговаря на правилното разсъждение.
Често, вместо да докажат теорема от вида \(A\Rightarrow B\), те доказват истинността на някое друго твърдение, еквивалентно на оригиналното. Тези форми на доказателство се наричат косвени. Един от тях е методът на доказателство от противно. За да докажем истинността на твърдението \(A\Rightarrow B\), приемаме, че това твърдение е невярно. Въз основа на това предположение стигаме до противоречие, а именно доказваме, че дадено твърдение е вярно и не е вярно едновременно. От това заключаваме, че предположението е невярно и първоначалното твърдение е вярно.
Използвайки описания метод, доказваме твърдението:
ако \(n\) нечетно число, тогава числото \(n^2\) е нечетно.
Да приемем обратното, т.е. Нека има нечетно число \(n\), така че числото \(n^2\) да е четно. Тогава, от една страна, разликата \(n^2-n\) ще бъде нечетно число, а от друга страна, числото \(n^2-n=n(n-1)\) очевидно е четен, като произведението на две последователни цели числа. Получава се противоречие, а именно: числото \(n^2-n\) е четно и нечетно едновременно. Това доказва, че направеното предположение е неправилно и следователно първоначалното твърдение е вярно.
Разгледаната схема на доказателство от противно не е единствената. Използват се и други схеми за доказателство от противно:
\(\frac(A,\lnot B)(\lnot A)\)или \(\frac(A,\lnot B)(B)\) .
Друга схема на косвено доказателство (според закона за противопоставянето) се основава на еквивалентността на две твърдения \(A\Rightarrow B\) и \(B\Rightarrow \lnot A\) . Всъщност тези твърдения са или верни, или и двете неверни. Например твърденията „ако вали, значи има облаци на небето" и "ако няма облаци на небето, значи не вали" са верни и твърденията "ако има облаци на небето, значи вали" и "ако не вали, тогава няма облаци на небето" са верни и неверни.
В много задачи трябва да докажете валидността на някакво твърдение (формула) за всяко естествено число\(н\) . Директната проверка на такива твърдения за всяка стойност на n е невъзможна, тъй като наборът от естествени числа е безкраен. За доказване на такива твърдения (формули) използваме метод математическа индукция , чиято същност е следната. Нека е необходимо да се докаже истинността на твърдението \(A(n)\) за всички \(n\в \mathbb(N)\) . За да направите това, достатъчно е да докажете две твърдения:
1) твърдението \(A(n)\) е вярно за \(n=1\) . Тази част от доказателството се нарича основа на индукцията;
2) за всяко естествено \(k\) от факта, че твърдението е вярно за \(n=k\) (индуктивно предположение), следва, че е вярно за следващата дата\(n=k+1\) , т.е. \(A(k)\Стрелка надясно A(k+1)\) . Тази част от доказателството се нарича индуктивна стъпка.
Ако точки 1, 2 са доказани, можем да заключим, че твърдението \(A(n)\) е вярно за всяко естествено число \(n\) .
Всъщност, ако твърдението \(A(1)\) е вярно (вижте точка 1), тогава твърдението \(A(2)\) също е вярно (вижте точка 2 за \(n=1\)). Тъй като \(A(2)\) е вярно, тогава \(A(3)\) също е вярно (вижте точка 2 за \(n=2\)) и т.н. По този начин можете да достигнете до всяко естествено число \(n\), като същевременно се уверите, че \(A(n)\) е вярно.
Забележка B.6.В редица случаи може да се наложи да се докаже валидността на определено твърдение \(A(n)\) не за всички естествени \(n\), а само за \(n\geqslant p\), т.е. започвайки от някакво фиксирано число \(p\) . Тогава методът на математическата индукция се модифицира, както следва:
1) основа на индукция: докажете верността на \(A(p)\) ;
2) стъпка на индукция: докажете \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) за всяко фиксирано \(k\geqslant p\) .
От точки 1, 2 следва, че твърдението \(A(n)\) е вярно за всички естествени числа \(n\geqslant p\) .
Пример Б.16.Докажете валидността на равенството \(1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2\) за всяко естествено число \(n\) .
Решение.Нека обозначим сумата от първите \(n\) нечетни числа с \(S_n=1+3+\ldots+(2n-1)\) . Изисква се да се докаже твърдението \(A(n):\) "равенството \(S_n=n^2\) е вярно за всяко \(n\in \mathbb(N)\) ". Ще проведем доказателството по индукция.
1) Тъй като \(S_1=1=1^2\) , то за \(n=1\) равенството \(S_n=n^2\) е вярно, т.е. твърдението \(A(1)\) е вярно. Основата на индукцията е доказана.
2) Нека \(k\) е произволно естествено число. Нека изпълним стъпката на индукция \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) . Ако приемем, че твърдението \(A(n)\) е вярно за \(n=k\), т.е. \(S_k=k^2\) , нека докажем, че твърдението \(A(n)\) е вярно за следващото естествено число \(n=k+1\) , тоест \(S_(k+ 1)=(k +1)^2\) . Наистина ли,
\(S_(k+1)= \под скоба(1+3+5+\ldots+(2k-1))_(S_k)+ \bigl= S_k+2k+1= k^2+2k+1= (k +1)^2.\)
Следователно \(A(k)\Rightarrow A(k+1)\) и въз основа на метода на математическата индукция заключаваме, че твърдението \(A(n)\) е вярно за всяко естествено число \(n\) , тоест формулата \( S_n=n^2\) е вярна за всяко \(n\в \mathbb(N)\) .
Пример Б.17.Пермутация от \(n\) числа е набор от първите \(n\) естествени числа, взети в някакъв ред. Докажете, че количеството различни пермутациие равно на \(n!\) . Изразът \(n!\) (чете се "\(n\) факториел") е равен на \(n!= 1\cdot2 \cdot3\cdot \ldots\cdot (n-1)\cdot n\). Две пермутации \((i_1,i_2,\ldots,i_n)\) и \((j_1,j_2,\ldots,j_n)\) на \(n\) числа се считат за равни, ако \(i_1=j_1, i_2=j_2,\ldots,i_n=j_n\), и ако поне едно от равенствата е нарушено, пермутациите се считат за различни.
Решение.Нека проведем доказателството с помощта на метода на математическата индукция.
1) За \(n=1\) има само една пермутация \((1)\), т.е. \(1!=1\) и твърдението е вярно.
2) Да предположим, че за всяко \(k\) броят на пермутациите е равен на \(k!\) . Нека докажем, че броят на пермутациите на \((k+1)\) числа е равен на \((k+1)!\) . Всъщност нека фиксираме числото \((k+1)\) на всяко място в пермутацията на \((k+1)\) числа и да поставим първите \(k\) естествени числа в останалите \ (k\) места. Броят на такива пермутации е равен на броя на пермутациите на \(k\) числа, т.е. \(k!\) чрез индуктивна хипотеза. Тъй като числото \((k+1)\) може да бъде поставено на което и да е от (k+1) места в пермутациите, заключаваме, че броят на различните пермутации на \((k+1)\) числа е равен към \((k+ 1)\cdot(k!)=(k+1)!\) . По този начин, ако приемем, че твърдението е вярно за \(n=k\) , беше възможно да се докаже, че е вярно за \(n=k+1\) .
От точки 1 и 2 следва, че твърдението е вярно за всяко естествено число \(n\) .
Забележка B.7. Формални методиизвеждането на теореми с помощта на многобройни схеми за правилни разсъждения се изучават в математическата логика. По правило тези методи генерират само нови формулировки на теореми, които отразяват старото съдържание. Следователно, за развитие математическа теорияте са неефективни. Законите обаче математическа логикаи схемите за правилно разсъждение трябва да се спазват при изучаване на който и да е математически проблем.
Javascript е деактивиран във вашия браузър.За да извършвате изчисления, трябва да активирате ActiveX контролите!