الخطأ المطلق والنسبي للأرقام.

كخصائص دقة الكميات التقريبية من أي أصل، يتم تقديم مفاهيم الأخطاء المطلقة والنسبية لهذه الكميات.

دعونا نشير بالتقريب إلى الرقم الدقيق A.

يُعرِّف. تسمى القيمة خطأ الرقم التقريبيأ.

تعريف. الخطأ المطلق الرقم التقريبي أ يسمى الكمية
.

عادة ما يكون الرقم الدقيق A غير معروف، ولكن يمكننا دائمًا الإشارة إلى الحدود التي يتغير ضمنها الخطأ المطلق.

تعريف. الحد الأقصى للخطأ المطلق الرقم التقريبي a يسمى أصغر الحدود العليا للكمية والتي يمكن العثور عليها باستخدام هذه الطريقة للحصول على الرقم أ.

في الممارسة العملية، كما اختر أحد الحدود العليا لـ ، قريب جدًا من الأصغر.

بسبب ال
، الذي - التي
. في بعض الأحيان يكتبون:
.

الخطأ المطلقهو الفرق بين نتيجة القياس

والقيمة الحقيقية (الحقيقية). الكمية المقاسة.

الخطأ المطلق والحد الأقصى للخطأ المطلق لا يكفيان لوصف دقة القياس أو الحساب. والأهم من الناحية النوعية هو الكمية خطأ نسبي.

تعريف. خطأ نسبي نسمي الرقم التقريبي بالكمية:

تعريف. الحد الأقصى للخطأ النسبي الرقم التقريبي دعنا نسمي الكمية

لأن
.

وبالتالي، فإن الخطأ النسبي يحدد فعليًا حجم الخطأ المطلق لكل وحدة من الرقم التقريبي المقاس أو المحسوب a.

مثال.تقريب الأعداد الدقيقة A إلى ثلاثة أرقام معنوية، حدد

الأخطاء المطلقة D والأخطاء النسبية للتقريبية التي تم الحصول عليها

منح:

يجد:

∆- الخطأ المطلق

δ – خطأ نسبي

حل:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

،أ 0

*100%=0.203%

إجابة:=0.027; δ=0.203%

2. التدوين العشري لعدد تقريبي. شخصية هامة. الأرقام الصحيحة من الأرقام (تعريف الأرقام الصحيحة والمهمة، أمثلة؛ نظرية العلاقة بين الخطأ النسبي وعدد الأرقام الصحيحة).

علامات حقيقيةأعداد.

تعريف. الرقم المهم للرقم التقريبي a هو أي رقم غير الصفر، والصفر إذا كان يقع بين أرقام مهمة أو يمثل منزلة عشرية مخزنة.

على سبيل المثال، في الرقم 0.00507 =
لدينا 3 أرقام معنوية، وفي الرقم 0.005070=
أرقام مهمة، أي الصفر الموجود على اليمين، مع الحفاظ على العلامة العشرية، له أهمية كبيرة.

من الآن فصاعدا، دعونا نتفق على كتابة الأصفار على اليمين إذا كانت ذات أهمية فقط. ثم، بمعنى آخر،

جميع أرقام a مهمة، باستثناء الأصفار الموجودة على اليسار.

في نظام الأعداد العشرية، يمكن تمثيل أي رقم a كمجموع نهائي أو لا نهائي (كسر عشري):

أين
,
- أول رقم مهم، م - عدد صحيح يسمى العلامة العشرية الأكثر أهمية للرقم أ.

على سبيل المثال، 518.3 =، م = 2.

باستخدام الترميز، نقدم مفهوم المنازل العشرية الصحيحة (في شخصيات مهمة) تقريبًا

في اليوم الأول.

تعريف. يقال أنه في عدد تقريبي a من النموذج n هي أول أرقام مهمة ,

حيث i= m, m-1,..., m-n+1 صحيحة إذا كان الخطأ المطلق لهذا الرقم لا يتجاوز نصف وحدة رقمية معبرًا عنها بالرقم المهم n:

وإلا الرقم الأخير
يسمى مشكوك فيه.

عند كتابة رقم تقريبي دون الإشارة إلى خطأه، يشترط أن تكون جميع الأرقام المكتوبة

كانوا مخلصين. يتم استيفاء هذا الشرط في جميع الجداول الرياضية.

المصطلح "n الأرقام الصحيحة" يصف فقط درجة دقة الرقم التقريبي ولا ينبغي أن يُفهم على أنه يعني أن أول n أرقام مهمة من الرقم التقريبي تتزامن مع الأرقام المقابلة للرقم الدقيق A. على سبيل المثال، ل الأرقام A = 10، a = 9.997، جميع الأرقام المهمة مختلفة، لكن الرقم a يحتوي على 3 أرقام صالحة معنوية. وبالفعل هنا m=0 وn=3 (نجدها بالاختيار).

مدرس رياضيات في المؤسسة التعليمية البلدية "مدرسة Upshinskaya الثانوية"

منطقة أورشا في جمهورية ماري إل

(إلى الكتاب المدرسي لـ Yu.A. Makarychev الجبر 8)

الخطأ المطلق

لنجد قيمة y عند x = 1.5 من الرسم البياني

ص=س 2

ص ≈2.3

لنوجد قيمة y عند x = 1.5 باستخدام الصيغة

ص = 1.5 2 = 2,25

تختلف القيمة التقريبية عن القيمة الدقيقة بمقدار 2.3 – 2.25 = 0.05

الخطأ المطلق

لنجد قيمة y عند x = 1.8 من الرسم البياني

ص=س 2

ص ≈3.2

لنوجد قيمة y عند x = 1.8 باستخدام الصيغة

ص = 1.8 2 = 3,24

تختلف القيمة التقريبية عن القيمة الدقيقة بمقدار 3.24 – 3.2 = 0.04

الخطأ المطلق

X

1,5

القيمة الدقيقة في

(حسب الصيغة)

1,8

2,25

تقريب في (في الموعد المحدد)

3,24

2,3

3,2

ص=س 2

تعريف. الخطأ المطلق

ص = 2.3 أ.ب. = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05

ص = 3,2 أ.ب. = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04

الخطأ المطلق

تعريف. الخطأ المطلق تسمى القيمة التقريبية وحدة الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية.

مثال 1 بود يساوي 16.38.قم بتقريب هذه القيمة إلى أرقام صحيحة وابحث عن الخطأ المطلق للقيمة التقريبية.

حل. 1 6.38 ≈ 16

16,38 – القيمة الدقيقة;

16 هي قيمة تقريبية.

أ.ب. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

الخطأ المطلق

تعريف. الخطأ المطلق تسمى القيمة التقريبية وحدة الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية.

مثال 2 فيرستتساوي 1067 م. قرب هذه القيمة إلى العشرات وأوجد الخطأ المطلق للقيمة التقريبية.

حل. 10 6 7 ≈ 1070

1067 - القيمة الدقيقة؛

1070 هي قيمة تقريبية.

أ.ب. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

الخطأ المطلق

تعريف. الخطأ المطلق تسمى القيمة التقريبية وحدة الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية.

مثال 3. مقياس الطول الروسي القديم فهمتساوي 2.13 م. قرب هذه القيمة إلى أعشار وأوجد الخطأ المطلق للقيمة التقريبية.

حل. 2.1 3 ≈ 2.1

2.13 - القيمة الدقيقة؛

2.1 قيمة تقريبية.

أ.ب. = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03

الخطأ المطلق

مثال 4. تمثيل الكسر على أنه كسر لا نهائي جزء دوري. قم بتقريب النتيجة إلى أجزاء من المئات وابحث عن الخطأ المطلق للقيمة التقريبية.

دقة التقريب

هل من الممكن دائما العثور على الخطأ المطلق؟

أب ≈ 5.3 سم

أوجد طول القطعة AB

لا يمكننا تحديد القيمة الدقيقة لطول القطعة AB، لذلك من المستحيل العثور على الخطأ المطلق للقيمة التقريبية.

في مثل هذه الحالات، تتم الإشارة إلى الخطأ كرقم لا يمكن أن يكون الخطأ المطلق أكبر بعده.

في مثالنا، يمكننا أن نأخذ الرقم 0.1 على هذا النحو.

لماذا؟ قيمة قسمة المسطرة هي 0.1 سم وبالتالي فإن الخطأ المطلق للقيمة التقريبية 5.3 لا يزيد عن 0.1.

دقة التقريب

يقولون أن الرقم 5.3 هو قيمة تقريبية لطول القطعة AB (بالسنتيمتر) بدقة 0.1

أب ≈ 5.3 سم

ر ≈ 28 0 دقيقة إلى 1

ر ≈ 14 0 بدقة 2

تحديد دقة القيم التقريبية للكميات التي تم الحصول عليها عند القياس بالأجهزة الموضحة في الأشكال 1-4

دقة التقريب

يقولون أن الرقم 5.3 هو قيمة تقريبية لطول القطعة AB (بالسنتيمتر) بدقة 0.1

أب ≈ 5.3 سم

لو س ≈ أ والخطأ المطلق للقيمة التقريبية لا يتجاوز رقما معينا ح ، الذي - التيرقم أتسمى قيمة تقريبية Xدقيقة إلى ح

X ≈ أ يصل إلى ح

X = أ ± ح

دقة التقريب

أب ≈ 5.3 سم

دقيقة إلى 0.1

ر ≈ 28 0 دقيقة إلى 1

دقيقة إلى 2

تعريف. الخطأ النسبي (الدقة) للقيمة التقريبية هو نسبة الخطأ المطلق (الدقة) إلى وحدة القيمة التقريبية

يمكن استخدام التعريفات لتقييم جودة القياس خطأ نسبي و الدقة النسبية

ل = 100.0 ± 0.1

ب = 0.4 ± 0.1

خطأ نسبي

تعريف .

مثال 5. قياس الكتلة الروسية القديمة بود يساوي 16.38.قم بتقريب هذه القيمة إلى أرقام صحيحة وابحث عن الخطأ النسبي للقيمة التقريبية.

حل. 1 6.38 ≈ 16

16.38 - القيمة الدقيقة؛

16 هي قيمة تقريبية.

أ.ب. = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

خطأ نسبي

تعريف . الخطأ النسبي للقيمة التقريبية هو نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة المطلقة للقيمة التقريبية

مثال 6. مقياس الطول الروسي القديم فيرستتساوي 1067 م. قرب هذه القيمة إلى العشرات وأوجد الخطأ النسبي للقيمة التقريبية.

حل. 10 6 7 ≈ 1070

1067 - القيمة الدقيقة؛

1070 هي قيمة تقريبية.

أ.ب. = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

خطأ نسبي

مثال 7. فكر في الكسر باعتباره كسرًا دوريًا لا نهائيًا. قم بتقريب النتيجة إلى أجزاء من المئات وابحث عن الخطأ النسبي للقيمة التقريبية.

يتم استخدام الأخطاء المطلقة والنسبية لتقييم عدم الدقة في الحسابات التي تم إجراؤها تعقيد عالية. كما أنها تستخدم في قياسات مختلفة ولتقريب نتائج الحساب. دعونا نلقي نظرة على كيفية تحديد الخطأ المطلق والنسبي.

الخطأ المطلق

الخطأ المطلق في الرقماستدعاء الفرق بين هذا الرقم وقيمته الدقيقة.
لنلقي نظرة على مثال : هناك 374 طالبا في المدرسة. إذا قمنا بتقريب هذا الرقم إلى 400، فإن خطأ القياس المطلق هو 400-374=26.

لحساب الخطأ المطلق فمن الضروري من أكثراطرح الأقل.

هناك صيغة للخطأ المطلق. دعونا نشير إلى الرقم الدقيق بالحرف A، والحرف a هو التقريب للرقم الدقيق. الرقم التقريبي هو رقم يختلف قليلاً عن الرقم المحدد وعادةً ما يحل محله في العمليات الحسابية. ثم ستبدو الصيغة كما يلي:

Δأ=أ-أ. ناقشنا أعلاه كيفية العثور على الخطأ المطلق باستخدام الصيغة.

ومن الناحية العملية، الخطأ المطلق لا يكفي لتقييم القياس بدقة. نادراً ما يكون من الممكن معرفة القيمة الدقيقة للكمية المقاسة من أجل حساب الخطأ المطلق. قياس كتاب بطول 20 سم مع السماح بخطأ 1 سم، يمكنك النظر في القياس معه خطأ كبير. ولكن إذا حدث خطأ بمقدار 1 سم عند قياس جدار بطول 20 مترًا، فيمكن اعتبار هذا القياس دقيقًا قدر الإمكان. لذلك، في الممارسة العملية أكثر مهملديه تعريف لخطأ القياس النسبي.

سجل الخطأ المطلق للرقم باستخدام العلامة ±. على سبيل المثال يبلغ طول لفة ورق الحائط 30 م ± 3 سم ويسمى حد الخطأ المطلق بالحد الأقصى للخطأ المطلق.

خطأ نسبي

خطأ نسبييسمون نسبة الخطأ المطلق للرقم إلى الرقم نفسه. لحساب الخطأ النسبي في المثال مع الطلاب نقسم 26 على 374. نحصل على الرقم 0.0695 ونحوله إلى نسبة ونحصل على 6%. ويشار إلى الخطأ النسبي كنسبة مئوية لأنه كمية بلا أبعاد. الخطأ النسبي هو تقدير دقيقأخطاء القياس. إذا أخذنا خطأ مطلقًا قدره 1 سم عند قياس طول المقاطع 10 سم و10 م، فإن الأخطاء النسبية ستكون 10٪ و0.1٪ على التوالي. بالنسبة لقطعة بطول 10 سم، يكون الخطأ 1 سم كبيرًا جدًا، وهذا خطأ بنسبة 10٪. ولكن بالنسبة لقطعة من عشرة أمتار، لا يهم 1 سم، فقط 0.1٪.

هناك أخطاء منهجية وعشوائية. المنهجي هو الخطأ الذي يظل دون تغيير أثناء القياسات المتكررة. يحدث الخطأ العشوائي نتيجة التأثير على عملية القياس عوامل خارجيةويمكن أن يغير معناها.

قواعد حساب الأخطاء

هناك عدة قواعد لتقدير الأخطاء الاسمية:

• عند جمع وطرح الأرقام، من الضروري إضافة أخطائها المطلقة؛
• عند قسمة وضرب الأرقام، من الضروري إضافة أخطاء نسبية؛
• عند رفعه إلى قوة، يتم ضرب الخطأ النسبي بالأس.

تتم كتابة الأرقام التقريبية والدقيقة باستخدام الكسور العشرية. يتم أخذ القيمة المتوسطة فقط، حيث أن القيمة الدقيقة يمكن أن تكون طويلة بلا حدود. لفهم كيفية كتابة هذه الأرقام، عليك أن تتعرف على الأرقام الحقيقية والمشكوك فيها.

الأرقام الحقيقية هي تلك الأرقام التي تتجاوز رتبتها الخطأ المطلق للرقم. إذا كان رقم الشكل أقل من الخطأ المطلق، فإنه يسمى مشكوك فيه. على سبيل المثال ، بالنسبة للكسر 3.6714 مع خطأ 0.002، فإن الأرقام الصحيحة ستكون 3،6،7، والمشكوك فيها ستكون 1 و 4. ولم يتبق سوى الأرقام الصحيحة في تسجيل الرقم التقريبي. سيبدو الكسر في هذه الحالة هكذا - 3.67.

يسمى الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية للكمية خطأ تقريبي (يُشار إليه بـ x)،

أولئك. س = س- أ- خطأ تقريبي

حيث س= أ+ س،

أولئك. القيمة الحقيقية تساوي مجموع القيمة التقريبية وخطأ التقريب.

يسمى معامل الفرق بين القيم الدقيقة والتقريبية للكمية الخطأ المطلقالقيمة التقريبية للرقم X.

أولئك. - خطأ تقريبي مطلق

اكتب س= و h يعني أن القيمة الحقيقية لـ x تقع بين الحدود، أي. آه X أ + ح

مثال 1.تضم المؤسسة 1284 عاملاً وموظفًا. عند تقريب هذا الرقم إلى 1300، يكون الخطأ المطلق 1300 -1284 = 16. وعند التقريب إلى 1280، يكون الخطأ المطلق 1284 - 1280 = 4.

مثال 2.القيم التقريبية للرقم x = ; أي من هذه التقريبات الثلاثة هو الأفضل؟

حل:

نجد ; أفضل تقريب للرقم Xيكون

مثال 3.طول الجزء س (سم)محاطة بحدود 33 × 34. أوجد حد خطأ القياس المطلق للجزء.

حل:لنأخذ الوسط الحسابي للحدود كقيمة تقريبية لطول الجزء: أ = (33 + 34)/2 = 33.5 (سم).

ثم لن يتجاوز حد الخطأ المطلق للقيمة التقريبية لطول الجزء 0.5 (سم). يمكن أيضًا العثور على القيمة على أنها نصف الفرق بين الجزء العلوي و الحدود الدنيا، أي. = (34-33)/2 = 0.5 (سم). طول الجزء X، تم العثور عليها بدقة =0.5 (سم)، وهي موجودة بين القيم التقريبية للرقم X:

33.5-0.5 × 33.5+0.5؛

س = 33.5 0.5 (سم).

تسمى نسبة الخطأ المطلق في التقريب إلى القيمة المطلقة للقيمة التقريبية للكمية خطأ نسبيالنهج ويشار إليه ب .

هو الخطأ النسبي للتقريب

مثال 1.عند قياس الطول لوتم الحصول على قطر الموصل ل=(10.0 0.1) م ،د= (2.5 0.1) ملم. أي من هذه القياسات أكثر دقة؟

حل:تم قياس طول الموصل بدقة 0.1m=100mm، وتم قياس قطر الموصل بدقة 0.1mm.

عند قياس طول الموصل، يسمح بوجود خطأ مطلق قدره 100 مم لكل 10000 مم، وبالتالي فإن الخطأ المطلق المسموح به هو

الكمية المقاسة.

عند قياس القطر، الخطأ المطلق المسموح به هو

الكمية المقاسة. ولذلك، فإن قياس طول الموصل أكثر دقة.

مثال 2.ومن المعروف أن 0.111 هي قيمة تقريبية لإيجاد الأخطاء المطلقة والنسبية لهذا التقريب.

حل:هنا س =، أ=0.111. ثم = س- أ= 1/9 - 0.111 = 1/9000-a.p.p.،

-o.p.p

مثال 3.تضم المدرسة 197 طالبًا. نقوم بتقريب هذا الرقم إلى 200. الخطأ المطلق هو 200-197 = 3. الخطأ النسبي يساوي أو، مقربًا، %.
في معظم الحالات، من المستحيل معرفة القيمة الدقيقة للرقم التقريبي، وبالتالي القيمة الدقيقةأخطاء. ومع ذلك، فمن الممكن دائمًا إثبات أن الخطأ (المطلق أو النسبي) لا يتجاوز رقمًا معينًا.

مثال 4.

البائع يزن البطيخة على الميزان. أصغر وزن في المجموعة هو 50 جرامًا، وقد أعطى الوزن 3600 جرامًا. كتلة دقيقةالبطيخ غير معروف. ولكن الخطأ المطلق لا يتجاوز 50 جرام والخطأ النسبي لا يتجاوز %.

ارقام مركبة.

صورة بيانيةارقام مركبة.
صورة الأعداد المركبة.

ارقام مركبة مكتوبة في النموذج: أ+ ثنائية. هنا أو ب – أرقام حقيقية ، أ أنا – وحدة وهمية، أي. أنا 2 = -1.الرقم أمُسَمًّى الإحداثي السيني، أ ب – تنسيقعدد مركب أ+ ثنائية.المجمع رقم 0 + ثنائيةمُسَمًّى رقم وهمي بحت.سِجِلّ ثنائيةيعني نفس 0 + ثنائية.

وحدةالعدد المركب هو طول المتجه OP، يصور عدد مركبعلى التنسيق ( شامل) طائرة. الأعداد المركبة المترافقة لها نفس المعامل

دعونا نتأمل على متن الطائرة ديكارتيًا نظام مستطيلالإحداثيات xOy . يمكن ربط كل رقم مركب z = a + bi بنقطة ذات إحداثيات (a;b)، والعكس، يمكن ربط كل نقطة بإحداثيات (c;d) برقم مركب w = c + di. وهكذا يتم إنشاء تطابق واحد لواحد بين نقاط المستوى ومجموعة الأعداد المركبة. ولذلك، يمكن تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على المستوى. عادةً ما يُطلق على المستوى الذي تُصور عليه الأعداد المركبة اسم المستوى المركب.

مثال. دعونا نمثل الأرقام على المستوى المركب

ض 1 = 2 + ط؛ ض 2 = 3i; ض 3 = -3 + 2i; ض 4 = -1 – ط.

الخامس

أ

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة هي نفسها التي تتم على الأعداد الحقيقية: حيث يمكن جمعها وطرحها وضربها وقسمتها على بعضها البعض. الجمع والطرح يتم وفق القاعدة ( أ + ثنائية) ± ( ج + دي) = (أ ± ج) + (ب ± د)أنا، والضرب يتبع القاعدة ( أ + ثنائية) · ( ج + دي) = (تيار متردد – دينار بحريني) + (إعلان + قبل الميلاد)أنا(هنا يتم استخدامه ذلك أنا 2 = -1). الرقم = أ – ثنائيةمُسَمًّى المكورات معقدةل ض = أ + ثنائية. المساواة ض · = أ 2 + ب 2 يتيح لك فهم كيفية قسمة رقم مركب على رقم مركب آخر (غير صفر):

على سبيل المثال،

المهام ل قرار مستقل

الخطأ المطلق والنسبي

عناصر نظرية الخطأ

أرقام دقيقة وتقريبية

عادة لا تكون دقة الرقم موضع شك عندما نحن نتحدث عنحول قيم البيانات الصحيحة (قلم رصاص، 100 شجرة). ومع ذلك، في معظم الحالات، عندما يكون من المستحيل الإشارة إلى القيمة الدقيقة للرقم (على سبيل المثال، عند قياس كائن ما باستخدام المسطرة، أو أخذ النتائج من جهاز، وما إلى ذلك)، فإننا نتعامل مع بيانات تقريبية.

القيمة التقريبية هي رقم يختلف قليلاً عن القيمة الدقيقة ويحل محله في العمليات الحسابية. يتم تحديد الدرجة التي تختلف بها القيمة التقريبية للرقم عن قيمته الدقيقة خطأ .

يتم تمييز مصادر الخطأ الرئيسية التالية:

1. أخطاء في صياغة المشكلة، الناشئة نتيجة لوصف تقريبي ظاهرة حقيقيةمن حيث الرياضيات.

2. أخطاء الطريقة، المرتبطة بصعوبة أو استحالة حل مشكلة معينة واستبدالها بأخرى مماثلة، بحيث يمكن تطبيق معروف و الطريقة المتاحةالحلول والحصول على نتيجة قريبة من النتيجة المرجوة.

3. الأخطاء الفادحة، المرتبطة بالقيم التقريبية للبيانات الأصلية وبسبب أداء العمليات الحسابية على الأرقام التقريبية.

4. أخطاء التقريبالمرتبطة بتقريب قيم البيانات الأولية والنتائج المتوسطة والنهائية التي تم الحصول عليها باستخدام الأدوات الحسابية.

الخطأ المطلق والنسبي

المحاسبة عن الأخطاء هو جانب مهمالتطبيقات الطرق العددية، منذ الخطأ النتيجة النهائيةحل المشكلة بأكملها هو نتاج تفاعل جميع أنواع الأخطاء. لذلك، فإن إحدى المهام الرئيسية لنظرية الخطأ هي تقييم دقة النتيجة بناءً على دقة البيانات المصدر.

إذا كان رقمًا دقيقًا وهو قيمته التقريبية، فإن خطأ (خطأ) القيمة التقريبية هو درجة قرب قيمته من قيمته الدقيقة.

إن أبسط مقياس كمي للخطأ هو الخطأ المطلق، والذي يعرف بأنه

(1.1.2-1)

كما يتبين من الصيغة 1.1.2-1، الخطأ المطلق له نفس وحدات القياس مثل القيمة. لذلك، ليس من الممكن دائمًا استخلاص نتيجة صحيحة حول جودة التقريب بناءً على حجم الخطأ المطلق. على سبيل المثال، إذا ، ونحن نتحدث عن جزء من الآلة، فالقياسات تقريبية للغاية، وإذا كنا نتحدث عن حجم الوعاء فهي دقيقة للغاية. وفي هذا الصدد تم طرح مفهوم الخطأ النسبي الذي ترتبط فيه قيمة الخطأ المطلق بوحدة القيمة التقريبية ( ).

(1.1.2-2)

يعد استخدام الأخطاء النسبية أمرًا مناسبًا، على وجه الخصوص، لأنها لا تعتمد على مقياس الكميات ووحدات قياسات البيانات. يتم قياس الخطأ النسبي بالكسور أو النسب المئوية. لذلك، على سبيل المثال، إذا

،أ ، الذي - التي , و إذا و ,

وماذا بعد .

لتقدير خطأ دالة عدديًا، عليك معرفة القواعد الأساسية لحساب خطأ الإجراءات:

· عند جمع وطرح الأرقام تضيف الأخطاء المطلقة للأرقام

· عند ضرب وقسمة الأعداد وتضاف الأخطاء النسبية إلى بعضها البعض

· عند رفع رقم تقريبي إلى قوة يتم ضرب الخطأ النسبي بالأس

مثال 1.1.2-1. الوظيفة المعطاة: . ابحث عن الأخطاء المطلقة والنسبية للقيمة (خطأ نتيجة التنفيذ عمليات حسابية)، إذا كانت القيم معروفة، و1 هو رقم صحيح وخطأه صفر.

وبعد تحديد قيمة الخطأ النسبي، يمكننا إيجاد قيمة الخطأ المطلق كما يلي: , حيث يتم حساب القيمة باستخدام صيغة القيم التقريبية

وبما أن القيمة الدقيقة للكمية عادة ما تكون غير معروفة، فإن الحساب و وفقا للصيغ المذكورة أعلاه فمن المستحيل. لذلك، في الممارسة العملية، يتم تقييم الحد الأقصى لأخطاء النموذج:

(1.1.2-3)

أين و – الكميات المعروفةوهي الحدود العليا للأخطاء المطلقة والنسبية، وإلا فإنها تسمى الحد الأقصى للأخطاء المطلقة والحد الأقصى للأخطاء النسبية. وبالتالي فإن القيمة الدقيقة تكمن في:

إذا كانت القيمة معروف إذن وإذا كانت الكمية معروفة ، الذي - التي