أخطاء القياس لأجهزة الاستشعار. فئات الدقة

تتميز الكميات الفيزيائية بمفهوم "دقة الخطأ". هناك مقولة مفادها أنه من خلال أخذ القياسات يمكنك الوصول إلى المعرفة. بهذه الطريقة يمكنك معرفة ارتفاع المنزل أو طول الشارع، مثل العديد من الطرق الأخرى.

مقدمة

دعونا نفهم معنى مفهوم "قياس الكمية". وتتمثل عملية القياس في مقارنتها بكميات متجانسة تؤخذ كوحدة.

يتم استخدام اللتر لتحديد الحجم، ويتم استخدام الجرام لحساب الكتلة. ولجعل العمليات الحسابية أكثر ملاءمة، تم تقديم نظام SI للتصنيف الدولي للوحدات.

لقياس طول العصا بالأمتار، الكتلة - كجم، الحجم - لتر مكعب، الوقت - ثانية، السرعة - متر في الثانية.

عند حساب الكميات الفيزيائية، ليس من الضروري دائمًا استخدام الطريقة التقليدية؛ يكفي استخدام الحساب باستخدام صيغة. على سبيل المثال، لحساب مؤشرات مثل متوسط ​​السرعة، تحتاج إلى تقسيم المسافة المقطوعة على الوقت الذي تقضيه على الطريق. هذه هي الطريقة التي يتم بها حساب متوسط ​​السرعة.

عند استخدام وحدات قياس أعلى بعشر أو مائة أو ألف مرة من وحدات القياس المقبولة، فإنها تسمى مضاعفات.

يتوافق اسم كل بادئة مع رقمها المضاعف:

1. عشاري.
2. هيكتو.
3. كيلو.
4. ميجا.
5. جيجا.
6. تيرا.

في العلوم الفيزيائية، تُستخدم قوى العدد 10 لكتابة مثل هذه العوامل، على سبيل المثال، يُكتب المليون بالشكل 10 6 .

في المسطرة البسيطة، يكون للطول وحدة قياس - السنتيمترات. وهو أقل من المتر بـ 100 مرة. مسطرة طولها 15 سم وطولها 0.15 متر.

المسطرة هي أبسط أنواع أدوات القياس لقياس الأطوال. يتم تمثيل الأجهزة الأكثر تعقيدًا بواسطة مقياس الحرارة - مقياس الرطوبة - لتحديد الرطوبة، ومقياس التيار الكهربائي - لقياس مستوى القوة التي ينتشر بها التيار الكهربائي.

ما مدى دقة القياسات؟

خذ مسطرة وقلم رصاص بسيط. مهمتنا هي قياس طول هذه القرطاسية.

تحتاج أولاً إلى تحديد سعر القسمة المشار إليه على مقياس جهاز القياس. وعلى القسمين، وهما أقرب خطوط المقياس، تكتب الأرقام، على سبيل المثال، "1" و"2".

من الضروري حساب عدد الأقسام الموجودة بين هذه الأرقام. إذا تم حسابها بشكل صحيح سيكون "10". دعونا نطرح من الرقم الأكبر العدد الذي سيكون أصغر ونقسمه على الرقم الذي هو القسمة بين الأرقام:

(2-1)/10 = 0.1 (سم)

لذلك نحدد أن السعر الذي يحدد تقسيم القرطاسية هو الرقم 0.1 سم أو 1 ملم. يظهر بوضوح كيف يتم تحديد مؤشر سعر القسمة باستخدام أي أداة قياس.

عند قياس قلم رصاص بطول أقل بقليل من 10 سم، سنستخدم المعرفة المكتسبة. إذا لم تكن هناك تقسيمات دقيقة على المسطرة، فسيتم استنتاج أن طول الجسم هو 10 سم. وتسمى هذه القيمة التقريبية خطأ القياس. ويشير إلى مستوى عدم الدقة الذي يمكن تحمله عند إجراء القياسات.

من خلال تحديد معلمات طول قلم الرصاص بمستوى أعلى من الدقة، مع سعر تقسيم أكبر، يتم تحقيق دقة قياس أكبر، مما يضمن حدوث خطأ أقل.

في هذه الحالة، لا يمكن إجراء قياسات دقيقة تماما. ويجب ألا تتجاوز المؤشرات حجم سعر القسمة.

وقد ثبت أن خطأ القياس هو نصف السعر الموضح على تدرجات الجهاز المستخدم لتحديد الأبعاد.

وبعد أخذ قياسات قلم رصاص طوله 9.7 سم، سنحدد مؤشرات الخطأ الخاصة به. هذا هو الفاصل الزمني 9.65 - 9.85 سم.

الصيغة التي تقيس هذا الخطأ هي الحساب:

أ = أ ± د (أ)

أ - على شكل كمية لعمليات القياس.

أ هي قيمة نتيجة القياس؛

د - تعيين الخطأ المطلق.

عند طرح أو إضافة قيم بها خطأ فإن النتيجة ستكون مساوية لمجموع مؤشرات الخطأ وهي كل قيمة على حدة.

مقدمة للمفهوم

وإذا نظرنا إلى طريقة تعبيره فيمكننا أن نميز الأصناف التالية:

• مطلق.
• نسبي.
• منح.

يشار إلى خطأ القياس المطلق بالحرف "دلتا" بالأحرف الكبيرة. يتم تعريف هذا المفهوم على أنه الفرق بين القيم المقاسة والقيم الفعلية للكمية الفيزيائية التي يتم قياسها.

التعبير عن خطأ القياس المطلق هو وحدات الكمية التي يجب قياسها.

عند قياس الكتلة، سيتم التعبير عنها، على سبيل المثال، بالكيلوغرام. هذا ليس معيار دقة القياس.

كيفية حساب خطأ القياسات المباشرة؟

هناك طرق لتصوير أخطاء القياس وحسابها. للقيام بذلك، من المهم أن تكون قادرًا على تحديد الكمية الفيزيائية بالدقة المطلوبة، ومعرفة ما هو خطأ القياس المطلق، والذي لن يتمكن أحد من العثور عليه على الإطلاق. يمكن حساب قيمتها الحدودية فقط.

حتى لو تم استخدام هذا المصطلح بشكل تقليدي، فإنه يشير بدقة إلى البيانات الحدودية. يشار إلى أخطاء القياس المطلقة والنسبية بنفس الحروف، والفرق هو في كتابتها.

عند قياس الطول، سيتم قياس الخطأ المطلق بالوحدات التي يتم حساب الطول بها. ويتم حساب الخطأ النسبي بدون أبعاد، حيث أنه نسبة الخطأ المطلق إلى نتيجة القياس. غالبًا ما يتم التعبير عن هذه القيمة كنسبة مئوية أو جزء.

أخطاء القياس المطلقة والنسبية لها عدة طرق مختلفة للحساب، اعتمادًا على الكمية الفيزيائية.

مفهوم القياس المباشر

تعتمد الأخطاء المطلقة والنسبية للقياسات المباشرة على فئة دقة الجهاز والقدرة على تحديد خطأ الوزن.

وقبل أن نتحدث عن كيفية حساب الخطأ لا بد من توضيح التعريفات. القياس المباشر هو القياس الذي تتم فيه قراءة النتيجة مباشرة من مقياس الجهاز.

عندما نستخدم مقياس الحرارة أو المسطرة أو الفولتميتر أو مقياس التيار الكهربائي، فإننا نقوم دائمًا بإجراء قياسات مباشرة، لأننا نستخدم جهازًا بمقياس مباشر.

هناك عاملان يؤثران على فعالية القراءات:

• خطأ في الصك.
• خطأ في النظام المرجعي

وسيكون حد الخطأ المطلق للقياسات المباشرة مساوياً لمجموع الخطأ الذي يظهره الجهاز والخطأ الذي يحدث أثناء عملية العد.

د = د (مستقيم) + د (صغير)

مثال مع مقياس الحرارة الطبي

يشار إلى مؤشرات الخطأ على الجهاز نفسه. خطأ في مقياس الحرارة الطبي هو 0.1 درجة مئوية. خطأ العد هو نصف قيمة القسمة.

د. = ج/2

إذا كانت قيمة القسمة 0.1 درجة، فيمكنك إجراء الحسابات التالية بالنسبة لمقياس الحرارة الطبي:

د = 0.1 درجة مئوية + 0.1 درجة مئوية / 2 = 0.15 درجة مئوية

يوجد على الجزء الخلفي من مقياس حرارة آخر مواصفات ويشار إلى أنه لإجراء القياسات الصحيحة، من الضروري غمر الجزء الخلفي بالكامل من مقياس الحرارة. غير محدد. كل ما تبقى هو خطأ العد.

إذا كانت قيمة تقسيم المقياس لمقياس الحرارة هذا هي 2 درجة مئوية، فمن الممكن قياس درجة الحرارة بدقة 1 درجة مئوية. هذه هي حدود خطأ القياس المطلق المسموح به وحساب خطأ القياس المطلق.

يستخدم نظام خاص لحساب الدقة في أجهزة القياس الكهربائية.

دقة أدوات القياس الكهربائية

لتحديد دقة هذه الأجهزة، يتم استخدام قيمة تسمى فئة الدقة. ويستخدم حرف "غاما" للإشارة إليه. لتحديد خطأ القياس المطلق والنسبي بدقة، تحتاج إلى معرفة فئة دقة الجهاز، المشار إليها على المقياس.

لنأخذ مقياس التيار الكهربائي على سبيل المثال. يشير مقياسها إلى فئة الدقة التي تظهر الرقم 0.5. إنها مناسبة للقياسات على التيار المباشر والمتناوب وتنتمي إلى أجهزة النظام الكهرومغناطيسي.

هذا جهاز دقيق إلى حد ما. إذا قارنته مع الفولتميتر المدرسي، يمكنك أن ترى أن درجة دقته تبلغ 4. ويجب أن تعرف هذه القيمة لإجراء المزيد من الحسابات.

تطبيق المعرفة

وبالتالي، D c = c (max) X γ /100

سوف نستخدم هذه الصيغة لأمثلة محددة. دعونا نستخدم الفولتميتر ونجد الخطأ في قياس الجهد الذي توفره البطارية.

لنقم بتوصيل البطارية مباشرة بمقياس الفولتميتر، والتحقق أولاً مما إذا كانت الإبرة عند الصفر. عند توصيل الجهاز، انحرفت الإبرة بمقدار 4.2 قسم. ويمكن وصف هذه الحالة على النحو التالي:

1. يمكن ملاحظة أن الحد الأقصى لقيمة U لهذا العنصر هو 6.
2. فئة الدقة -(γ) = 4.
3. U(س) = 4.2 فولت.
4. ج = 0.2 فولت

وباستخدام بيانات الصيغة هذه، يتم حساب خطأ القياس المطلق والنسبي على النحو التالي:

D U = DU (على سبيل المثال) + C/2

D U (مثال) = U (حد أقصى) X γ /100

D U (على سبيل المثال) = 6 فولت × 4/100 = 0.24 فولت

وهذا هو خطأ الجهاز.

وسيتم حساب خطأ القياس المطلق في هذه الحالة على النحو التالي:

د يو = 0.24 فولت + 0.1 فولت = 0.34 فولت

باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، يمكنك بسهولة معرفة كيفية حساب خطأ القياس المطلق.

هناك قاعدة لتقريب الأخطاء. يسمح لك بإيجاد المتوسط ​​بين حدود الخطأ المطلقة والنسبية.

تعلم كيفية تحديد خطأ الوزن

وهذا أحد الأمثلة على القياسات المباشرة. الوزن له مكانة خاصة بعد كل شيء، موازين الرافعة ليس لها مقياس. دعونا نتعلم كيفية تحديد الخطأ في مثل هذه العملية. وتتأثر دقة قياس الكتلة بدقة الأوزان وكمال الموازين نفسها.

نستخدم الموازين الرافعة مع مجموعة من الأوزان التي يجب وضعها على الكفة اليمنى من الميزان. للوزن، خذ مسطرة.

قبل البدء بالتجربة، عليك موازنة الميزان. ضع المسطرة على الوعاء الأيسر.

ستكون الكتلة مساوية لمجموع الأوزان المثبتة. دعونا نحدد الخطأ في قياس هذه الكمية.

D m = D m (الموازين) + D m (الأوزان)

الخطأ في قياس الكتلة يتكون من مصطلحين مرتبطين بالموازين والأوزان. ولمعرفة كل من هذه القيم، تقوم المصانع المنتجة للموازين والأوزان بتزويد المنتجات بمستندات خاصة تسمح بحساب الدقة.

باستخدام الجداول

دعونا نستخدم الجدول القياسي. يعتمد خطأ المقياس على الكتلة الموضوعة على المقياس. وكلما كان أكبر، كلما كان الخطأ أكبر في المقابل.

حتى لو وضعت جسمًا خفيفًا جدًا، فسيكون هناك خطأ. ويرجع ذلك إلى عملية الاحتكاك التي تحدث في المحاور.

الجدول الثاني مخصص لمجموعة الأوزان. ويشير إلى أن كل واحد منهم لديه خطأ جماعي خاص به. الـ 10 جرام بها خطأ قدره 1 ملجم، وهو نفس الـ 20 جرام. لنحسب مجموع أخطاء كل من هذه الأوزان المأخوذة من الجدول.

من الملائم كتابة الخطأ الكتلي والكتلي في سطرين يقع أحدهما أسفل الآخر. كلما كانت الأوزان أصغر، كلما كان القياس أكثر دقة.

نتائج

وفي سياق المواد التي تمت مراجعتها، ثبت أنه من المستحيل تحديد الخطأ المطلق. يمكنك فقط ضبط مؤشرات الحدود الخاصة بها. للقيام بذلك، استخدم الصيغ الموضحة أعلاه في الحسابات. هذه المادة مقترحة للدراسة في المدرسة للطلاب في الصفوف 8-9. واستنادا إلى المعرفة المكتسبة، يمكنك حل المسائل لتحديد الأخطاء المطلقة والنسبية.

الخطأ المطلق والنسبي للأرقام.

كخصائص دقة الكميات التقريبية من أي أصل، يتم تقديم مفاهيم الأخطاء المطلقة والنسبية لهذه الكميات.

دعونا نشير بالتقريب إلى الرقم الدقيق A.

يُعرِّف. تسمى القيمة خطأ الرقم التقريبيأ.

تعريف. الخطأ المطلق الرقم التقريبي أ يسمى الكمية
.

عادة ما يكون الرقم الدقيق A غير معروف، ولكن يمكننا دائمًا الإشارة إلى الحدود التي يتغير ضمنها الخطأ المطلق.

تعريف. الحد الأقصى للخطأ المطلق الرقم التقريبي a يسمى أصغر الحدود العليا للكمية والتي يمكن العثور عليها باستخدام هذه الطريقة للحصول على الرقم أ.

في الممارسة العملية، كما اختر أحد الحدود العليا لـ ، قريب جدًا من الأصغر.

بسبب ال
، الذي - التي
. في بعض الأحيان يكتبون:
.

الخطأ المطلقهو الفرق بين نتيجة القياس

والقيمة الحقيقية (الحقيقية). الكمية المقاسة.

الخطأ المطلق والحد الأقصى للخطأ المطلق لا يكفيان لوصف دقة القياس أو الحساب. ومن الناحية النوعية، يكون حجم الخطأ النسبي أكثر أهمية.

تعريف. خطأ نسبي الرقم التقريبي a دعنا نسمي الكمية:

تعريف. الحد الأقصى للخطأ النسبي الرقم التقريبي لنسميه الكمية

لأن
.

وبالتالي، فإن الخطأ النسبي يحدد فعليًا حجم الخطأ المطلق لكل وحدة من الرقم التقريبي المقاس أو المحسوب a.

مثال.تقريب الأعداد الدقيقة A إلى ثلاثة أرقام معنوية، حدد

الأخطاء المطلقة D والأخطاء النسبية للتقريبية التي تم الحصول عليها

منح:

يجد:

∆- الخطأ المطلق

δ – خطأ نسبي

حل:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

،أ 0

*100%=0.203%

إجابة:=0.027; δ=0.203%

2. التدوين العشري لعدد تقريبي. شخصية هامة. الأرقام الصحيحة من الأرقام (تعريف الأرقام الصحيحة والمهمة، أمثلة؛ نظرية العلاقة بين الخطأ النسبي وعدد الأرقام الصحيحة).

علامات الأرقام الصحيحة.

تعريف. الرقم المهم للرقم التقريبي a هو أي رقم غير الصفر، والصفر إذا كان يقع بين أرقام مهمة أو يمثل منزلة عشرية مخزنة.

على سبيل المثال، في الرقم 0.00507 =
لدينا 3 أرقام معنوية، وفي الرقم 0.005070=
أرقام مهمة، أي الصفر الموجود على اليمين، مع الحفاظ على العلامة العشرية، له أهمية كبيرة.

من الآن فصاعدا، دعونا نتفق على كتابة الأصفار على اليمين إذا كانت ذات أهمية فقط. ثم، بمعنى آخر،

جميع أرقام a مهمة، باستثناء الأصفار الموجودة على اليسار.

في نظام الأعداد العشرية، يمكن تمثيل أي رقم a كمجموع نهائي أو لا نهائي (كسر عشري):

أين
,
- أول رقم مهم، م - عدد صحيح يسمى العلامة العشرية الأكثر أهمية للرقم أ.

على سبيل المثال، 518.3 =، م = 2.

باستخدام الترميز، نقدم مفهوم المنازل العشرية الصحيحة (بالأرقام المهمة) تقريبًا -

في اليوم الأول.

تعريف. يقال أنه في عدد تقريبي a من النموذج n هي أول أرقام مهمة ,

حيث i= m, m-1,..., m-n+1 صحيحة إذا كان الخطأ المطلق لهذا الرقم لا يتجاوز نصف وحدة رقمية معبرًا عنها بالرقم المهم n:

وإلا الرقم الأخير
يسمى مشكوك فيه.

عند كتابة رقم تقريبي دون الإشارة إلى خطأه، يشترط أن تكون جميع الأرقام المكتوبة

كانوا مخلصين. يتم استيفاء هذا الشرط في جميع الجداول الرياضية.

المصطلح "n الأرقام الصحيحة" يصف فقط درجة دقة الرقم التقريبي ولا ينبغي أن يُفهم على أنه يعني أن أول n أرقام مهمة من الرقم التقريبي تتزامن مع الأرقام المقابلة للرقم الدقيق A. على سبيل المثال، ل الأرقام A = 10، a = 9.997، جميع الأرقام المهمة مختلفة، لكن الرقم a يحتوي على 3 أرقام صالحة معنوية. وبالفعل هنا m=0 وn=3 (نجدها بالاختيار).

كما ذكرنا سابقًا، عندما نقارن دقة قياس لقيمة تقريبية ما، فإننا نستخدم الخطأ المطلق.

مفهوم الخطأ المطلق

الخطأ المطلق للقيمة التقريبية هو حجم الفرق بين القيمة الدقيقة والقيمة التقريبية.
يمكن استخدام الخطأ المطلق لمقارنة دقة التقديرات التقريبية لنفس الكميات، ولكن إذا أردنا مقارنة دقة التقديرات التقريبية لكميات مختلفة، فإن الخطأ المطلق وحده لا يكفي.

على سبيل المثال:طول الورقة A4 هو (29.7 ± 0.1) سم والمسافة من سانت بطرسبرغ إلى موسكو هي (650 ± 1) كم. الخطأ المطلق في الحالة الأولى لا يتجاوز ملليمتر واحد، وفي الثانية - كيلومتر واحد. والسؤال هو مقارنة دقة هذه القياسات.

إذا كنت تعتقد أن طول الورقة يتم قياسه بشكل أكثر دقة لأن الخطأ المطلق لا يتجاوز 1 مم. إذن أنت مخطئ. لا يمكن مقارنة هذه القيم مباشرة. دعونا نفعل بعض المنطق.

عند قياس طول الورقة فإن الخطأ المطلق لا يتجاوز 0.1 سم لكل 29.7 سم، أي كنسبة مئوية هي 0.1/29.7 * 100% = 0.33% من القيمة المقاسة.

عندما نقيس المسافة من سانت بطرسبرغ إلى موسكو، فإن الخطأ المطلق لا يتجاوز 1 كم لكل 650 كم، وهي كنسبة مئوية هي 1/650 * 100% = 0.15% من القيمة المقاسة. نرى أن المسافة بين المدن يتم قياسها بشكل أكثر دقة من طول ورقة A4.

مفهوم الخطأ النسبي

هنا، لتقييم جودة التقريب، تم تقديم مفهوم جديد، الخطأ النسبي. خطأ نسبي- هذا هو حاصل قسمة الخطأ المطلق على وحدة القيم التقريبية للقيمة المقاسة. عادة، يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية. في مثالنا، تلقينا خطأين نسبيين يساويان 0.33% و0.15%.

كما كنت قد خمنت، فإن قيمة الخطأ النسبي تكون دائمًا موجبة. يأتي هذا من حقيقة أن الخطأ المطلق هو دائمًا قيمة موجبة، ونقسمه على الوحدة، وتكون الوحدة أيضًا موجبة دائمًا.

ومن الناحية العملية، عادة ما تكون الأرقام التي يتم إجراء الحسابات عليها هي قيم تقريبية لكميات معينة. للإيجاز، تسمى القيمة التقريبية للكمية رقمًا تقريبيًا. تسمى القيمة الحقيقية للكمية بالرقم الدقيق. يكون للرقم التقريبي قيمة عملية فقط عندما نتمكن من تحديد درجة الدقة المعطاة له، أي. تقدير خطأه. دعونا نتذكر المفاهيم الأساسية من دورة الرياضيات العامة.

دعنا نشير إلى: س- الرقم الدقيق (القيمة الحقيقية للكمية)، أ- العدد التقريبي (القيمة التقريبية للكمية).

التعريف 1. الخطأ (أو الخطأ الحقيقي) لعدد تقريبي هو الفرق بين الرقم سوقيمتها التقريبية أ. خطأ في الرقم التقريبي أسوف نشير . لذا،

العدد الدقيق سوفي أغلب الأحيان يكون غير معروف، لذلك لا يمكن العثور على الخطأ الحقيقي والمطلق. ومن ناحية أخرى، قد يكون من الضروري تقدير الخطأ المطلق، أي. تشير إلى الرقم الذي لا يمكن للخطأ المطلق أن يتجاوزه. على سبيل المثال، عند قياس طول كائن بهذه الأداة، يجب أن نتأكد من أن الخطأ في القيمة الرقمية الناتجة لن يتجاوز رقمًا معينًا، على سبيل المثال 0.1 مم. بمعنى آخر، يجب أن نعرف حد الخطأ المطلق. سوف نسمي هذا الحد الحد الأقصى للخطأ المطلق.

التعريف 3. الحد الأقصى للخطأ المطلق للرقم التقريبي أهو رقم موجب بحيث ، على سبيل المثال

وسائل، Xبالنقص وبالزيادة. يتم استخدام الترميز التالي أيضًا:

.

(2.5)

من الواضح أن الحد الأقصى للخطأ المطلق يتم تحديده بشكل غامض: إذا كان رقم معين هو الحد الأقصى للخطأ المطلق، فإن أي رقم أكبر هو أيضًا الحد الأقصى للخطأ المطلق. ومن الناحية العملية، يحاولون اختيار أصغر وأبسط رقم كتابيًا (مع 1-2 أرقام مهمة) يرضي عدم المساواة (2.3).

مثال.حدد الأخطاء الحقيقية والمطلقة والحد الأقصى المطلق للرقم a = 0.17، باعتبارها قيمة تقريبية للرقم.

الخطأ الحقيقي:

الخطأ المطلق:

يمكن اعتبار الحد الأقصى للخطأ المطلق كرقم وأي رقم أكبر. بالتدوين العشري سيكون لدينا: استبدال هذا الرقم بتدوين أكبر وربما أبسط، نقبل:

تعليق. لو أهي قيمة تقريبية للرقم X، والحد الأقصى للخطأ المطلق يساوي ح، ثم يقولون ذلك أهي قيمة تقريبية للرقم Xيصل إلى ح.

إن معرفة الخطأ المطلق لا تكفي لوصف جودة القياس أو الحساب. لنفترض، على سبيل المثال، أن يتم الحصول على مثل هذه النتائج عند قياس الطول. المسافة بين مدينتين س 1=500 1 كم والمسافة بين مبنيين في المدينة س 2=10 1 كم. على الرغم من أن الأخطاء المطلقة لكلتا النتيجتين هي نفسها، إلا أن الأمر المهم هو أنه في الحالة الأولى، يقع خطأ مطلق قدره كيلومتر واحد على مسافة 500 كيلومتر، وفي الحالة الثانية - على مسافة 10 كيلومترات. جودة القياس في الحالة الأولى أفضل منها في الثانية. تتميز جودة نتيجة القياس أو الحساب بالخطأ النسبي.

التعريف 4.الخطأ النسبي للقيمة التقريبية أأعداد Xتسمى نسبة الخطأ المطلق لعدد ما أإلى القيمة المطلقة للرقم X:

التعريف 5.الحد الأقصى للخطأ النسبي للرقم التقريبي أويسمى عددا موجبا بحيث .

وبما أنه يترتب على الصيغة (2.7) أنه يمكن حسابها باستخدام الصيغة

.

(2.8)

من أجل الإيجاز، في الحالات التي لا يسبب فيها هذا سوء فهم، بدلاً من "الحد الأقصى للخطأ النسبي" نقول ببساطة "الخطأ النسبي".

غالبًا ما يتم التعبير عن الحد الأقصى للخطأ النسبي كنسبة مئوية.

مثال 1. . بافتراض أنه يمكننا قبول = . بالقسمة والتقريب (بالضرورة للأعلى)، نحصل على =0.0008=0.08%.

مثال 2.عند وزن الجسم تم الحصول على النتيجة: ع = 23.4 0.2 جم لدينا = 0.2. . وبالقسمة والتقريب نحصل على =0.9%.

تحدد الصيغة (2.8) العلاقة بين الأخطاء المطلقة والنسبية. من الصيغة (2.8) يلي:

.

(2.9)

وباستخدام الصيغتين (2.8) و(2.9)، يمكننا ذلك إذا كان الرقم معروفًا أباستخدام الخطأ المطلق، أوجد الخطأ النسبي والعكس صحيح.

لاحظ أنه غالبًا ما يتعين تطبيق الصيغتين (2.8) و(2.9) حتى عندما لا نعرف العدد التقريبي بعد أبالدقة المطلوبة، لكننا نعرف قيمة تقريبية تقريبية أ. على سبيل المثال، تحتاج إلى قياس طول كائن بخطأ نسبي لا يزيد عن 0.1%. والسؤال هو: هل من الممكن قياس الطول بالدقة المطلوبة باستخدام الفرجار الذي يسمح لك بقياس الطول بخطأ مطلق يصل إلى 0.1 ملم؟ ربما لم نقم بقياس جسم ما بأداة دقيقة بعد، لكننا نعلم أن التقريب التقريبي للطول يبلغ حوالي 12 سم.باستخدام الصيغة (1.9) نجد الخطأ المطلق:

يوضح هذا أنه باستخدام الفرجار من الممكن إجراء القياسات بالدقة المطلوبة.

في عملية العمل الحسابي، غالبا ما يكون من الضروري التبديل من الخطأ المطلق إلى الخطأ النسبي، والعكس بالعكس، ويتم ذلك باستخدام الصيغ (1.8) و (1.9).

لا يوجد قياس خالٍ من الأخطاء، أو بتعبير أدق، احتمال إجراء قياس بدون أخطاء يقترب من الصفر. تتنوع أنواع الأخطاء وأسبابها بشكل كبير وتتأثر بعدة عوامل (الشكل 1.2).

يمكن تنظيم الخصائص العامة للعوامل المؤثرة من وجهات نظر مختلفة، على سبيل المثال، وفقًا لتأثير العوامل المدرجة (الشكل 1.2).

وبناء على نتائج القياس يمكن تقسيم الأخطاء إلى ثلاثة أنواع: أخطاء منهجية وعشوائية وأخطاء.

أخطاء منهجية وهي بدورها تنقسم إلى مجموعات حسب حدوثها وطبيعة ظهورها. ويمكن القضاء عليها بطرق مختلفة، على سبيل المثال، عن طريق إدخال التعديلات.

أرز. 1.2

أخطاء عشوائية تنتج عن مجموعة معقدة من العوامل المتغيرة، والتي عادة ما تكون غير معروفة ويصعب تحليلها. ويمكن تقليل تأثيرها على نتيجة القياس، على سبيل المثال، عن طريق القياسات المتكررة مع مزيد من المعالجة الإحصائية للنتائج التي تم الحصول عليها باستخدام طريقة نظرية الاحتمالية.

ل يخطئ وتشمل هذه الأخطاء الجسيمة التي تنشأ من التغيرات المفاجئة في الظروف التجريبية. كما أن هذه الأخطاء عشوائية بطبيعتها، ويجب إزالتها بمجرد تحديدها.

يتم تقييم دقة القياسات من خلال أخطاء القياس، والتي تنقسم حسب طبيعة حدوثها إلى مفيدة ومنهجية وبحسب طريقة الحساب إلى مطلقة ونسبي ومخفضة.

مفيدة يتميز الخطأ بفئة دقة جهاز القياس الواردة في جواز سفره في شكل أخطاء رئيسية وإضافية طبيعية.

المنهجي او نظامى يرجع الخطأ إلى النقص في طرق وأدوات القياس.

مطلق الخطأ هو الفرق بين قيم G u المقاسة وقيم G الحقيقية للكمية، والتي تحددها الصيغة:

Δ=ΔG=G u -G

لاحظ أن الكمية لها البعد الخاص بالكمية التي يتم قياسها.

نسبي تم العثور على الخطأ من المساواة

δ=±ΔG/G u ·100%

منح يتم حساب الخطأ باستخدام الصيغة (فئة دقة جهاز القياس)

δ=±ΔG/G القاعدة · 100%

حيث G المعايير هي القيمة التطبيعية للكمية المقاسة. يؤخذ على قدم المساواة:

أ) القيمة النهائية لميزان الآلة إذا كانت علامة الصفر على حافة الميزان أو خارجه.

ب) مجموع القيم النهائية للمقياس دون مراعاة العلامات، إذا كانت علامة الصفر موجودة داخل المقياس؛

ج) طول الميزان إذا كان الميزان متفاوتا.

يتم تحديد فئة دقة الجهاز أثناء اختباره وهي عبارة عن خطأ قياسي يتم حسابه باستخدام الصيغ

γ=±ΔG/G القاعدة · 100%، إذاΔG م = ثابت

حيث ΔG m هو أكبر خطأ مطلق محتمل للجهاز؛

G k – القيمة النهائية لحد قياس الجهاز؛ c و d عبارة عن معاملات تأخذ في الاعتبار معلمات التصميم وخصائص آلية القياس الخاصة بالجهاز.

على سبيل المثال، بالنسبة للفولتميتر الذي يحتوي على خطأ نسبي ثابت، تكون المساواة صحيحة

δ م = ± ج

ترتبط الأخطاء النسبية والمخفضة بالتبعيات التالية:

أ) لأي قيمة للخطأ المخفض

δ=±γ·قواعد G/G u

ب) لأكبر خطأ مخفض

δ=±γ m ·قواعد G/G u

ويترتب على هذه العلاقات أنه عند إجراء القياسات، على سبيل المثال باستخدام الفولتميتر، في دائرة لها نفس قيمة الجهد، كلما انخفض الجهد المقاس، زاد الخطأ النسبي. وإذا تم اختيار هذا الفولتميتر بشكل غير صحيح، فإن الخطأ النسبي يمكن أن يتناسب مع القيمةز ن ، وهو أمر غير مقبول. لاحظ أنه وفقًا لمصطلحات المشكلات التي يتم حلها، على سبيل المثال، عند قياس الجهد G = U، عند قياس التيار C = I، يجب استبدال تسميات الحروف في صيغ حساب الأخطاء بالرموز المقابلة.

مثال 1.1.الفولتميتر مع القيم γ م = 1.0%، U n = معايير G، G k = 450 فولت، قم بقياس الجهد U u الذي يساوي 10 فولت. دعنا نقدر أخطاء القياس.

حل.

إجابة.خطأ القياس هو 45%. مع مثل هذا الخطأ، لا يمكن اعتبار الجهد المقاس موثوقًا به.

إذا كانت إمكانيات اختيار جهاز (الفولتميتر) محدودة فيمكن مراعاة الخطأ المنهجي عن طريق التعديل المحسوب باستخدام الصيغة

مثال 1.2. احسب الخطأ المطلق للفولتميتر V7-26 عند قياس الجهد في دائرة التيار المستمر. يتم تحديد فئة دقة الفولتميتر بواسطة الحد الأقصى للخطأ المخفض γ m = ±2.5%. حد مقياس الفولتميتر المستخدم في العمل هو U القاعدة = 30 فولت.

حل.يتم حساب الخطأ المطلق باستخدام الصيغ المعروفة:

(نظرًا لأن الخطأ المنخفض، بحكم التعريف، يتم التعبير عنه بالصيغة ، ومن هنا يمكنك العثور على الخطأ المطلق:

إجابة.ΔU = ±0.75 فولت.

الخطوات المهمة في عملية القياس هي معالجة النتائج وقواعد التقريب. تسمح نظرية الحسابات التقريبية، بمعرفة درجة دقة البيانات، بتقييم درجة دقة النتائج حتى قبل تنفيذ الإجراءات: اختيار البيانات بدرجة مناسبة من الدقة، كافية لضمان الدقة المطلوبة للنتيجة، ولكنها ليست كبيرة جدًا بحيث لا يمكن حفظ الآلة الحاسبة من العمليات الحسابية عديمة الفائدة؛ ترشيد عملية الحساب نفسها، وتحريرها من تلك الحسابات التي لن تؤثر على الأرقام والنتائج الدقيقة.

عند معالجة النتائج، يتم تطبيق قواعد التقريب.

• المادة 1. إذا كان الرقم الأول الذي تم تجاهله أكبر من خمسة، فسيتم زيادة الرقم الأخير الذي تم الاحتفاظ به بمقدار واحد.

• القاعدة 2. إذا كان أول رقم من الأرقام المحذوفة أقل من خمسة، فلا تتم الزيادة.

• القاعدة 3. إذا كان الرقم المهمل هو خمسة ولا توجد أرقام مهمة خلفه، فسيتم التقريب إلى أقرب رقم زوجي، أي. يبقى الرقم الأخير المخزن كما هو إذا كان زوجيًا ويزداد إذا لم يكن زوجيًا.

إذا كانت هناك أرقام مهمة خلف الرقم خمسة، فسيتم التقريب وفقًا للقاعدة 2.

ومن خلال تطبيق القاعدة 3 على تقريب رقم واحد، فإننا لا نزيد من دقة التقريب. ولكن مع عمليات التقريب العديدة، ستحدث أعداد زائدة بقدر ما تحدث أعداد غير كافية. سيضمن تعويض الأخطاء المتبادلة أكبر قدر من الدقة في النتيجة.

يتم استدعاء الرقم الذي يتجاوز بوضوح الخطأ المطلق (أو في أسوأ الحالات يساويه). الحد الأقصى للخطأ المطلق

حجم الخطأ الأقصى ليس مؤكدًا تمامًا. ويجب معرفة الحد الأقصى لخطأه (المطلق أو النسبي) لكل رقم تقريبي.

عندما لا تتم الإشارة إليه بشكل مباشر، فمن المفهوم أن الحد الأقصى للخطأ المطلق هو نصف وحدة من الرقم الأخير المكتوب. لذلك، إذا تم إعطاء رقم تقريبي 4.78 دون الإشارة إلى الحد الأقصى للخطأ، فمن المفترض أن الحد الأقصى للخطأ المطلق هو 0.005. نتيجة لهذه الاتفاقية، يمكنك دائمًا الاستغناء عن الإشارة إلى الحد الأقصى لخطأ الرقم المقرب وفقًا للقواعد من 1 إلى 3، أي إذا تمت الإشارة إلى الرقم التقريبي بالحرف α، إذن

حيث Δn هو الحد الأقصى للخطأ المطلق؛ و δ n هو الحد الأقصى للخطأ النسبي.

بالإضافة إلى ذلك، عند معالجة النتائج، نستخدم قواعد للعثور على الخطأ المجموع والفرق والناتج والحاصل.

• المادة 1. الحد الأقصى للخطأ المطلق للمجموع يساوي مجموع الأخطاء المطلقة القصوى للمصطلحات الفردية، ولكن مع وجود عدد كبير من أخطاء المصطلحات، عادة ما يحدث التعويض المتبادل للأخطاء، وبالتالي فإن الخطأ الحقيقي للمجموع فقط في حالات استثنائية الحالات التي تتطابق مع الحد الأقصى للخطأ أو تكون قريبة منه.

• القاعدة 2. الحد الأقصى للخطأ المطلق للفرق يساوي مجموع الأخطاء المطلقة القصوى للخطأ الذي يتم تخفيضه أو طرحه.

يمكن العثور على الحد الأقصى للخطأ النسبي بسهولة عن طريق حساب الحد الأقصى للخطأ المطلق.

• القاعدة 3. الحد الأقصى للخطأ النسبي للمجموع (ولكن ليس الفرق) يقع بين أصغر وأكبر الأخطاء النسبية للمصطلحات.

إذا كانت جميع الحدود لها نفس الحد الأقصى للخطأ النسبي، فإن المجموع له نفس الحد الأقصى للخطأ النسبي. بمعنى آخر، في هذه الحالة، دقة المبلغ (من حيث النسبة المئوية) ليست أقل شأنا من دقة المصطلحات.

وعلى النقيض من المجموع، قد يكون الفرق بين الأرقام التقريبية أقل دقة من الطرح والمطرح. يكون فقدان الدقة كبيرًا بشكل خاص عندما يختلف المطرح والمطروح قليلاً عن بعضهما البعض.

• القاعدة 4. الحد الأقصى للخطأ النسبي للمنتج يساوي تقريبًا مجموع الأخطاء النسبية القصوى للعوامل: δ=δ 1 +δ 2، أو بشكل أكثر دقة، δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 حيث δ الخطأ النسبي للمنتج، δ 1 δ 2 - عوامل الأخطاء النسبية.

ملحوظات:

1. إذا تم ضرب أرقام تقريبية بنفس عدد الأرقام المهمة، فيجب الاحتفاظ بنفس عدد الأرقام المهمة في المنتج. لن يكون الرقم الأخير المخزن موثوقًا به تمامًا.

2. إذا كانت بعض العوامل تحتوي على أرقام أكثر أهمية من غيرها، فقبل الضرب، يجب تقريب الأرقام الأولى، مع الاحتفاظ بعدد من الأرقام مثل العامل الأقل دقة أو رقم آخر (كاحتياطي)، ولا فائدة من حفظ المزيد من الأرقام.

3. إذا كان مطلوبًا أن يكون لمنتج رقمين رقم محدد مسبقًا يمكن الاعتماد عليه تمامًا، فيجب أن يكون عدد الأرقام الدقيقة (التي تم الحصول عليها عن طريق القياس أو الحساب) في كل عامل واحدًا آخر. إذا كان عدد العوامل أكثر من اثنين وأقل من عشرة، فيجب أن يكون عدد الأرقام الدقيقة للضمان الكامل في كل عامل أكثر بوحدتين من العدد المطلوب من الأرقام الدقيقة. في الممارسة العملية، يكفي أن تأخذ رقمًا إضافيًا واحدًا فقط.

• القاعدة 5. الحد الأقصى للخطأ النسبي للقسم يساوي تقريبًا مجموع الأخطاء النسبية القصوى للمقسوم والمقسوم عليه. دائمًا ما تتجاوز القيمة الدقيقة للخطأ النسبي الأقصى القيمة التقريبية. نسبة الفائض تساوي تقريبًا الحد الأقصى للخطأ النسبي للمقسم.

مثال 1.3. أوجد الحد الأقصى للخطأ المطلق للحاصل 2.81: 0.571.

حل.الحد الأقصى للخطأ النسبي لتوزيع الأرباح هو 0.005:2.81=0.2%؛ المقسوم عليه - 0.005:0.571=0.1%؛ خاص – 0.2% + 0.1% = 0.3%. سيكون الحد الأقصى للخطأ المطلق للحاصل حوالي 2.81:0.571·0.0030=0.015

وهذا يعني أنه في الحاصل 2.81:0.571=4.92 الرقم المهم الثالث غير موثوق به.

إجابة. 0,015.

مثال 1.4. احسب الخطأ النسبي لقراءات الفولتميتر المتصل بالدائرة (الشكل 1.3)، والذي يتم الحصول عليه إذا افترضنا أن الفولتميتر لديه مقاومة كبيرة بلا حدود ولا يسبب تشوهات في الدائرة المقاسة. تصنيف خطأ القياس لهذه المشكلة.

أرز. 1.3

حل.دعونا نشير إلى قراءات الفولتميتر الحقيقي بالرمز AND، والفولتميتر ذو المقاومة العالية اللانهائية بالرمز AND ∞. مطلوب خطأ نسبي

لاحظ أن

ثم نحصل

بما أن R AND >>R و R > r، فإن الكسر الموجود في مقام المساواة الأخيرة أقل بكثير من واحد. لذلك، يمكنك استخدام الصيغة التقريبية ، صالحة لـ ≥1 لأي ​​α. بافتراض أنه في هذه الصيغة α = -1 و lect= rR (r+R) -1 R و -1، نحصل على δ ≈ rR/(r+R) R And.

كلما زادت مقاومة الفولتميتر مقارنة بالمقاومة الخارجية للدائرة، قل الخطأ. لكن شرط ر<

إجابة.خطأ منهجي منهجي.

مثال 1.5. تشتمل دائرة التيار المستمر (الشكل 1.4) على الأجهزة التالية: A - مقياس التيار الكهربائي من النوع M 330، فئة الدقة K A = 1.5 مع حد قياس I k = 20 A؛ A 1 - مقياس التيار الكهربائي من النوع M 366، فئة الدقة K A1 = 1.0 مع حد قياس I k1 = 7.5 A. أوجد أكبر خطأ نسبي ممكن في قياس التيار I 2 والحدود المحتملة لقيمته الفعلية، إذا أظهرت الأجهزة أنني = 8,0أ. وأنا 1 = 6.0A. تصنيف القياس.

أرز. 1.4

حل.نحدد التيار I 2 من قراءات الجهاز (دون الأخذ بعين الاعتبار أخطاءها): I 2 =I-I 1 =8.0-6.0=2.0 A.

لنجد وحدات الخطأ المطلق للأميتر A و A 1

بالنسبة لـ A لدينا المساواة للأميتر

لنجد مجموع وحدات الخطأ المطلق:

وبالتالي، فإن أكبر قيمة ممكنة لنفس القيمة، معبرًا عنها بكسور هذه القيمة، تساوي 1. 10 3 - لجهاز واحد؛ 2·10 3 – لجهاز آخر. أي من هذه الأجهزة سيكون الأكثر دقة؟

حل.تتميز دقة الجهاز بمقلوبية الخطأ (كلما زادت دقة الجهاز قل الخطأ) أي. بالنسبة للجهاز الأول، سيكون هذا 1/(1 .10 3) = 1000، وللجهاز الثاني – 1/(2 .10 3) = 500. لاحظ أن 1000 > 500. وبالتالي، فإن دقة الجهاز الأول تبلغ ضعف دقة الجهاز الأول. الثانية.

ويمكن التوصل إلى نتيجة مماثلة من خلال التحقق من اتساق الأخطاء: 2. 10 3 / 1. 10 3 = 2.

إجابة.الجهاز الأول دقة ضعف دقة الجهاز الثاني.

مثال 1.6. أوجد مجموع القياسات التقريبية للجهاز. أوجد عدد الأحرف الصحيحة: 0.0909 + 0.0833 + 0.0769 + 0.0714 + 0.0667 + 0.0625 + 0.0588+ 0.0556 + 0.0526.

حل.وبجمع كل نتائج القياس نحصل على 0.6187. الحد الأقصى لخطأ المجموع هو 0.00005·9=0.00045. وهذا يعني أنه من الممكن حدوث خطأ يصل إلى 5 وحدات في الرقم الرابع الأخير من المجموع. لذلك، نقوم بتقريب المبلغ إلى الرقم الثالث، أي. جزء من الألف، نحصل على 0.619 - وهي نتيجة تكون فيها جميع العلامات صحيحة.

إجابة. 0.619. عدد الأرقام الصحيحة هو ثلاث منازل عشرية.