نسبة العرض إلى الارتفاع للمثلث. مثلثات متشابهة

تقاس بوحدة واحدة، ثم مربع الرقم المعبر عن الوتر يساوي المبلغمربعات الأرقام، الارتفاع الضغط على الساقين.

وعادة ما يتم التعبير عن هذه النظرية باختصار على النحو التالي:

مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين.

تم ملاحظة هذه العلاقة لأول مرة من قبل عالم الهندسة اليوناني فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وبالتالي تحمل اسمه - نظرية فيثاغورس .

نظرية.

زاوية حادة، تساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين دون ضعف ناتج أي من هذه الجوانب في قطعتها من الرأس زاوية حادةيصل إلى الارتفاع.

يترك بمع- جانب المثلث أ.بمع(الشكل 1 والشكل 2)، يقعان مقابل الزاوية الحادة أ، و دينار بحريني- الارتفاع منخفض على أي من الجوانب الأخرى، على سبيل المثال أمع(أو استمراره) ويشترط إثبات ما يلي:

قبل الميلاد 2 = أ.ب 2 + أج2 - 2أس.أد.

من المثلثات القائمة بي دي سيو أ.بدنحن نخرج:

قبل الميلاد 2= دينار بحريني 2+دمع 2 [ 1 ] ;

دينار بحريني 2= أ ب 2 - أد 2 [ 2] .

على الجانب الآخر: دمع= ايه سي-أد(الشكل 1) أو دمع= أد-مثل(الصورة 2). في كلتا الحالتين ل دمع 2 نحصل على نفس التعبير:

دمع 2 = (أمع-أد) 2 = أمع 2 - 2 أمع . أد + أد 2 ;

دمع 2 = (أد-أمع) 2 = أد 2 - 2 أد . أمع + أمع 2 .

استبدال المساواة بدلا من ذلك دينار بحريني 2و دج2تعبيراتهم من المساواة و نحصل على:

قبل الميلاد 2= أ ب 2 - أ د 2 + أمع 2 - 2 أمع . أد + أ د 2 .

هذه هي المساواة بعد تخفيض الأعضاء -أد 2 و + أد 2 ، وهو نفس الشيء الذي يحتاج إلى إثبات.

تعليق.تبقى النظرية المثبتة صحيحة حتى عند الزاوية معمستقيم. ثم سينتقل القرص المضغوط للقطعة إلى الصفر، أي. سيصبح AC مساوياً لـ AD، وسيكون لدينا:

قبل الميلاد 2= أ ب 2+ أمع 2 - 2 أمع 2 = أ ب 2 - أمع 2 .

وهو ما يتفق مع نظرية حول الوتر المربع.

نظرية.

في المثلث، مربع الضلع المقابل للزاوية المنفرجة يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مضافًا إليه ضعف حاصل ضرب أي من هذين الضلعين في قطعة استمراره من رأس الزاوية المنفرجة إلى الارتفاع.والدليل مشابه للبرهان السابق.

عاقبة.

ومن النظريات الثلاث الأخيرة نستنتج أن مربع أحد أضلاع المثلث يساوي أو أقل من أو أكثر من المبلغمربعات ذات أضلاع أخرى، حسب ما إذا كانت الزاوية المقابلة قائمة أم حادة أم منفرجة.

هذا يعني العرض العكسي: زاوية المثلث تكون قائمة أو حادة أو منفرجة حسب ما إذا كانت مربعة الجانب الآخريساوي أو أصغر أو أكبر من مجموع مربعات الأضلاع الأخرى.

حساب ارتفاع المثلث بناءً على أضلاعه.

دعونا نشير إلى الارتفاع الذي انخفض إلى جانب المثلث أ.بمع، خلال ح أ. لحسابها أولا من المعادلة:

ب 2 = أ 2 + من 2 - 2أمع’ .

ابحث عن الجزء الأساسي c':

.

ثم من DABD نحدد الارتفاع كساق:

.

بنفس الطريقة، يمكنك تحديد الارتفاعات h b و h c، وخفضها إلى الجانبين b و c.

حساب متوسطات المثلث بناءً على أضلاعه.

دع جوانب المثلث تعطى أ.بمعوتحتاج إلى حساب متوسطها دينار بحريني. للقيام بذلك، دعونا تمديده إلى مسافة دي = دينار بحرينيوالفترة همتصل مع أو مع. ثم نحصل على متوازي الأضلاع ABCE.

وبتطبيق النظرية السابقة عليها نجد: يكون 2 = 2 أ.ب 2 + 2 بج2-أج2.

الأسئلة الأكثر شيوعاً

هل من الممكن عمل ختم على مستند حسب العينة المقدمة؟ إجابة انه من الممكن. أرسل إلى موقعنا عنوان البريد الإلكترونينسخة أو صورة ممسوحة ضوئيًا جودة جيدة، وسوف نقوم بعمل التكرار اللازم.

ما هي أنواع الدفع التي تقبلونها؟ إجابة يمكنك دفع ثمن الوثيقة عند استلامها عن طريق البريد، بعد التحقق من صحة إكمال الدبلوم وجودته. ويمكن القيام بذلك أيضًا في مكاتب شركات البريد التي تقدم خدمات الدفع نقدًا عند التسليم.
جميع شروط التسليم والدفع للمستندات موضحة في قسم "الدفع والتسليم". نحن أيضًا على استعداد للاستماع إلى اقتراحاتكم فيما يتعلق بشروط التسليم والدفع مقابل المستند.

هل يمكنني التأكد من أنك بعد تقديم الطلب لن تختفي بأموالي؟ إجابة لدينا خبرة طويلة في مجال إنتاج الدبلومات. لدينا العديد من المواقع التي يتم تحديثها باستمرار. يعمل المتخصصون لدينا في زوايا مختلفةالبلدان، وتنتج أكثر من 10 وثائق يوميا. على مر السنين، ساعدت وثائقنا العديد من الأشخاص على حل مشاكل التوظيف أو الانتقال إلى وظائف ذات رواتب أعلى. لقد اكتسبنا الثقة والتقدير بين العملاء، لذلك لا يوجد أي سبب على الإطلاق للقيام بذلك. بطريقة مماثلة. علاوة على ذلك، من المستحيل القيام بذلك فعليًا: فأنت تدفع ثمن طلبك في اللحظة التي تستلمه فيها بين يديك، ولا يوجد دفع مسبق.

هل يمكنني طلب دبلوم من أي جامعة؟ إجابة بشكل عام، نعم. نحن نعمل في هذا المجال منذ ما يقرب من 12 عامًا. خلال هذا الوقت، تم تشكيل قاعدة بيانات كاملة تقريبًا للوثائق الصادرة عن جميع الجامعات تقريبًا في الدولة وخارجها. سنوات مختلفةإصدار. كل ما عليك هو اختيار الجامعة والتخصص والمستند وتعبئة نموذج الطلب.

ماذا تفعل إذا وجدت أخطاء مطبعية وأخطاء في المستند؟ إجابة عند استلام مستند من شركة البريد السريع أو البريد لدينا، نوصيك بالتحقق بعناية من جميع التفاصيل. إذا تم العثور على خطأ مطبعي أو خطأ أو عدم دقة، فيحق لك عدم استلام الدبلوم، ويجب عليك الإشارة إلى العيوب المكتشفة شخصيًا إلى شركة الشحن أو إلى في الكتابةعن طريق إرسال رسالة إلى بريد إلكتروني.
في في أسرع وقت ممكنسنقوم بتصحيح المستند وإعادة إرساله إلى العنوان المحدد. وبطبيعة الحال، سيتم دفع تكاليف الشحن من قبل شركتنا.
لتجنب سوء الفهم هذا، قبل ملء النموذج الأصلي، نرسل إلى العميل عبر البريد الإلكتروني نموذجًا بالحجم الطبيعي للوثيقة المستقبلية للتحقق من النسخة النهائية والموافقة عليها. قبل إرسال المستند عن طريق البريد أو البريد، نقوم أيضًا بالتقاط صور ومقاطع فيديو إضافية (بما في ذلك الضوء فوق البنفسجي) بحيث يكون لديك التمثيل البصريحول ما سوف تحصل عليه في النهاية.

ماذا علي أن أفعل لطلب دبلوم من شركتك؟ إجابة لطلب وثيقة (شهادة، دبلوم، شهادة الأكاديميةوما إلى ذلك) يتعين عليك ملء نموذج الطلب عبر الإنترنت على موقعنا الإلكتروني أو تقديم بريدك الإلكتروني حتى نتمكن من إرسال نموذج طلب إليك والذي يتعين عليك تعبئته وإرساله إلينا مرة أخرى.
إذا كنت لا تعرف ما يجب الإشارة إليه في أي حقل من استمارة الطلب/الاستبيان، فاتركها فارغة. لذلك سنوضح كافة المعلومات الناقصة عبر الهاتف.

آخر مراجعات

اليكسي:

كنت بحاجة للحصول على دبلوم للحصول على وظيفة كمدير. والشيء الأكثر أهمية هو أن لدي الخبرة والمهارات، لكن لا يمكنني الحصول على وظيفة بدون وثيقة. بمجرد أن عثرت على موقعك، قررت أخيرًا شراء دبلوم. الدبلومة خلصت في يومين !! الآن لدي وظيفة لم أحلم بها من قبل !! شكرًا لك!

كقاعدة عامة، يعتبر المثلثان متشابهين إذا كان لديهما نفس الشكل، حتى لو كانت بأحجام مختلفة، مدورة أو حتى مقلوبة.

التمثيل الرياضي لمثلثين متشابهين A 1 B 1 C 1 و A 2 B 2 C 2 الموضح في الشكل مكتوب على النحو التالي:

Δأ 1 ب 1 ج 1 ~ Δ أ 2 ب 2 ج 2

يتشابه المثلثان إذا:

1. كل زاوية في مثلث تساوي الزاوية المقابلة لمثلث آخر:
∠أ 1 = ∠أ 2 , ∠ب 1 = ∠ب 2و ∠ج 1 = ∠ج 2

2. نسب أضلاع أحد المثلثات إلى الأضلاع المقابلة لمثلث آخر متساوية:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. العلاقات جانبينمثلث واحد للأضلاع المقابلة لمثلث آخر متساويان مع بعضهما البعض وفي نفس الوقت
الزوايا بين هذه الجوانب متساوية:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ و $\زاوية A_1 = \زاوية A_2$
أو
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ و $\زاوية B_1 = \زاوية B_2$
أو
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ و$\angle C_1 = \angle C_2$

لا تخلط بين المثلثات المتشابهة والمثلثات المتساوية. المثلثات المتساوية لها أطوال أضلاع متساوية. وبالتالي فإن المثلثات المتطابقة:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

ويترتب على ذلك أن كل شيء مثلثات متساويةمتشابهة. ومع ذلك، ليست كل المثلثات المتشابهة متساوية.

على الرغم من أن التدوين أعلاه يوضح أنه لمعرفة ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا، يجب علينا معرفة قيم الزوايا الثلاث أو أطوال الأضلاع الثلاثة لكل مثلث، لحل المسائل مع المثلثات المتشابهة يكفي أن نعرف أي ثلاث من القيم المذكورة أعلاه لكل مثلث. يمكن أن تكون هذه الكميات في مجموعات مختلفة:

1) ثلاث زوايا لكل مثلث (لا تحتاج إلى معرفة أطوال أضلاع المثلثات).

أو يجب أن تكون زاويتان لمثلث واحد على الأقل مساوية لزاويتين لمثلث آخر.
لأنه إذا كانت الزاويتان متساويتين فإن الزاوية الثالثة ستكون متساوية أيضاً (قيمة الزاوية الثالثة هي 180 - angle1 - angle2)

2) أطوال أضلاع كل مثلث (لا تحتاج إلى معرفة الزوايا)؛

3) طول الضلعين والزاوية بينهما.

بعد ذلك، سنتناول حل بعض المسائل المتعلقة بالمثلثات المتشابهة. أولاً سننظر إلى المشكلات التي يمكن حلها الاستخدام المباشرالقواعد المذكورة أعلاه، ومن ثم مناقشة بعض مشاكل عمليةوالتي يتم حلها باستخدام طريقة المثلثات المتشابهة.

تدرب على المسائل المتعلقة بالمثلثات المتشابهة

مثال 1: بيّن أن المثلثين في الشكل أدناه متشابهان.

حل:
وبما أن أطوال أضلاع المثلثين معروفة، فيمكن تطبيق القاعدة الثانية هنا:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

المثال رقم 2: وضح أن مثلثان معلومين متشابهان وحدد أطوال أضلاعهما PQو العلاقات العامة.

حل:
∠أ = ∠Pو ∠B = ∠Q، ∠C = ∠R(بما أن ∠C = 180 - ∠A - ∠B و ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

ويترتب على ذلك أن المثلثين ΔABC و ΔPQR متشابهان. لذلك:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8 دولار و
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14$

المثال رقم 3: تحديد الطول أ.بفي هذا المثلث.

حل:

∠ABC = ∠ADE، ∠ACB = ∠AEDو ∠أعام => مثلثات ΔABCو ΔADEمتشابهة.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

المثال رقم 4: تحديد الطول م (خ) الشكل الهندسيعلى الصورة.

المثلثان ΔABC و ΔCDE متشابهان لأن AB || DE ولديهم شيء مشترك الزاوية العلياج.
نرى أن أحد المثلثين هو نسخة مصغرة من المثلث الآخر. ومع ذلك، نحن بحاجة إلى إثبات ذلك رياضيا.

أ ب || دي، سي دي || ايه سي و بي سي || الجماعة الأوروبية.
∠BAC = ∠EDC و∠ABC = ∠DEC

وبناء على ما سبق ومع مراعاة التوفر الزاوية الكلية جيمكننا القول أن المثلثين ΔABC و ΔCDE متشابهان.

لذلك:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \مرات 11)(7) ) = 23.57 دولار
س = التيار المتردد - التيار المستمر = 23.57 - 15 = 8.57

أمثلة عملية

المثال رقم 5: يستخدم المصنع حزام ناقل مائل لنقل المنتجات من المستوى 1 إلى المستوى 2 وهو أعلى بـ 3 أمتار من المستوى 1، كما هو موضح في الشكل. تتم صيانة الناقل المائل من أحد الأطراف إلى المستوى 1 ومن الطرف الآخر إلى مكان العمل الواقع على مسافة 8 أمتار من نقطة التشغيل من المستوى 1.

يرغب المصنع في ترقية الناقل للوصول إلى المستوى الجديد وهو 9 أمتار فوق المستوى 1، مع الحفاظ على زاوية ميل الناقل.

حدد المسافة التي يجب تركيب محطة العمل الجديدة عندها للتأكد من أن الناقل سيعمل عند نهايته الجديدة عند المستوى 2. واحسب أيضًا المسافة الإضافية التي سيقطعها المنتج عند الانتقال إلى المستوى الجديد.

حل:

أولاً، دعونا نسمي كل نقطة تقاطع بحرف معين، كما هو موضح في الشكل.

استنادا إلى المنطق المذكور أعلاه في الأمثلة السابقة، يمكننا أن نستنتج أن المثلثين ΔABC و ΔADE متشابهان. لذلك،

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \مرات 9)(3 ) = 24 م$
س = أ ب - 8 = 24 - 8 = 16 م

هكذا، عنصر جديديجب تركيبها على مسافة 16 مترًا من نقطة موجودة.

وبما أن الهيكل يتكون من مثلثات قائمة، فيمكننا حساب مسافة حركة المنتج على النحو التالي:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8.54 م$

وبالمثل، $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25.63 m$
وهي المسافة التي ينتقل فيها المنتج هذه اللحظةعند الوصول إلى المستوى الحالي.

ص = AC - AE = 25.63 - 8.54 = 17.09 م
هذه هي المسافة الإضافية التي يجب أن يقطعها المنتج للوصول إلى مستوى جديد.

المثال رقم 6: يريد ستيف زيارة صديقه الذي انتقل مؤخرًا إلى منزل جديد. خريطة الطريقتظهر في الشكل الاتجاهات المؤدية إلى منزل ستيف وصديقه، بالإضافة إلى المسافات المعروفة لستيف. ساعد ستيف في الوصول إلى منزل صديقه بأقصر الطرق الممكنة.

حل:

يمكن تمثيل خريطة الطريق بشكل هندسي النموذج التالي، كما هو موضح في الصورة.

نرى أن المثلثين ΔABC و ΔCDE متشابهان، وبالتالي:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

ينص بيان المشكلة على ما يلي:

AB = 15 كم، AC = 13.13 كم، CD = 4.41 كم، DE = 5 كم

باستخدام هذه المعلومات يمكننا حساب المسافات التالية:

$BC = \frac(AB \مرات CD)(DE) = \frac(15 \مرات 4.41)(5) = 13.23 كم$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

يستطيع ستيف الوصول إلى منزل صديقه باستخدام الطرق التالية:

أ -> ب -> ج -> ه -> ز، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 كم

F -> B -> C -> D -> G، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 كم

F -> A -> C -> E -> G، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 كم

F -> A -> C -> D -> G، المسافة الإجمالية هي 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 كم

ولذلك فإن الطريق رقم 3 هو الأقصر ويمكن تقديمه لستيف.

مثال 7:
تريد تريشا قياس ارتفاع المنزل، لكنها لا تملك ذلك الأدوات الصحيحة. لاحظت وجود شجرة تنمو أمام المنزل وقررت استخدام براعتها ومعرفتها بالهندسة المكتسبة في المدرسة لتحديد ارتفاع المبنى. قامت بقياس المسافة من الشجرة إلى المنزل، وكانت النتيجة 30 متراً، ثم وقفت أمام الشجرة وبدأت في التراجع حتى ظهرت الحافة العلوية للمبنى فوق قمة الشجرة. حددت تريشا هذا المكان وقامت بقياس المسافة منه إلى الشجرة. وكانت هذه المسافة 5 م.

ارتفاع الشجرة 2.8 م وارتفاع مستوى عين تريشا 1.6 م ساعد تريشا في تحديد ارتفاع المبنى.

حل:

يظهر التمثيل الهندسي للمشكلة في الشكل.

أولاً نستخدم تشابه المثلثات ΔABC و ΔADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 مرات AC = 1.6 مرات (5) + AC) = 8 + 1.6 × AC$

$(2.8 - 1.6) \مرات AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1.2) = 6.67$

يمكننا بعد ذلك استخدام تشابه المثلثات ΔACB وΔAFG أو ΔADE وΔAFG. دعونا نختار الخيار الأول.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6) )(0.16) = 10 مليون دولار

228. سنفهم في هذا الفصل بشكل أساسي من خلال تسميات القطاعات AB وAC وما إلى ذلك، والأرقام التي تعبر عنها.

ونحن نعلم (البند 226) أنه إذا تم إعطاء قطعتين a وb هندسيا، فيمكننا بناء متوسط ​​متناسب بينهما. دعنا الآن نعطي المقاطع ليس هندسيًا، ولكن بالأرقام، أي بواسطة a وb نعني الأرقام التي تعبر عن جزأين محددين. ثم إيجاد المتوسط الجزء النسبيسنتوصل إلى إيجاد الرقم x من النسبة a/x = x/b، حيث a وb وx أرقام. ومن هذه النسبة لدينا:

س 2 = أب
س = √أب

229. دعونا نحصل على مثلث قائم الزاوية ABC (الرسم 224).

دعونا نخفضه من الأعلى زاوية مستقيمة(∠B خط مستقيم) عمودي BD على الوتر AC. ثم من الفقرة 225 نعرف:

1) AC/AB = AB/AD و2) AC/BC = BC/DC.

ومن هنا نحصل على:

AB 2 = AC AD و BC 2 = AC DC.

وبجمع المعادلات الناتجة قطعة قطعة نحصل على:

أ ب 2 + ق 2 = تيار متردد أد + تيار متردد تيار مستمر = تيار متردد (أد + تيار مستمر).

أي. مربع الرقم الذي يعبر عن الوتر يساوي مجموع مربعات الأرقام التي تعبر عن الأرجل مثلث قائم .

باختصار يقولون: مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي الساقين.

إذا أعطينا الصيغة الناتجة تفسيرا هندسيا، فسنحصل على نظرية فيثاغورس المعروفة لنا بالفعل (البند 161):

المربع المبني على الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع المربعات المبنية على الساقين.

من المعادلة AB 2 + BC 2 = AC 2، يتعين عليك أحيانًا العثور على أحد أضلاع المثلث القائم الزاوية باستخدام الوتر وضلع آخر. فنحصل على سبيل المثال:

AB 2 = AC 2 – BC 2 وهكذا

230. وجدت النسبة العدديةبين جوانب المثلث الأيمن يسمح لك بحل العديد من المشاكل الحسابية. دعونا نحل بعض منهم:

1. احسب المساحة مثلث متساوي الاضلاععلى هذا الجانب منه.

دع ∆ABC (الرسم 225) متساوي الأضلاع ويتم التعبير عن كل جانب برقم a (AB = BC = AC = a). ولحساب مساحة هذا المثلث عليك أولاً معرفة ارتفاعه BD، والذي سنسميه h. نحن نعلم أنه في المثلث متساوي الأضلاع، الارتفاع BD يشطر القاعدة AC، أي AD = DC = a/2. لذلك، من المثلث الأيمن DBC لدينا:

دينار بحريني 2 = BC 2 - DC 2،

ح 2 = أ 2 – أ 2 /4 = 3أ 2 /4 (إجراء عملية الطرح).

ومن هنا لدينا:

(نخرج المضاعف من تحت الجذر).

ولذلك فبالاتصال بالرقم الذي يعبر عن مساحة مثلثنا بدلالة Q ومعرفة أن المساحة ∆ABC = (AC BD)/2 نجد:

يمكننا النظر إلى هذه الصيغة كإحدى طرق قياس مساحة مثلث متساوي الأضلاع: نحتاج إلى قياس جانبها بالوحدات الخطية، وتربيع الرقم الموجود، وضرب الرقم الناتج في √3 وتقسيمه على 4 - نحن احصل على تعبير المنطقة بالوحدات المربعة (المقابلة).
2. أضلاع المثلث 10، 17، 21 سطرًا. وحدة احسب مساحتها.

دعونا نخفض الارتفاع h في مثلثنا (الرسم 226) إلى الجانب الأكبر - سوف يمر بالتأكيد داخل المثلث، لأنه في المثلث زاوية منفرجةلا يمكن إلا أن يتم وضعها ضد الجانب الأكبر. ثم سيتم تقسيم الجانب الأكبر، = 21، إلى جزأين، نشير إلى أحدهما بـ x (انظر الرسم) - ثم الآخر = 21 - x. نحصل على مثلثين قائمين، ومنهما:

ح 2 = 10 2 - س 2 و ح 2 = 17 2 - (21 - س) 2

وبما أن الأطراف اليسرى من هذه المعادلات هي نفسها إذن

10 2 - س 2 = 17 2 - (21 - س) 2

تنفيذ الإجراءات التي نحصل عليها:

10 2 - س 2 = 289 - 441 + 42 س - س 2

وبتبسيط هذه المعادلة نجد:

ثم من المعادلة ح 2 = 10 2 - س 2 نحصل على:

ح 2 = 10 2 – 6 2 = 64

وبالتالي

ومن ثم سيتم العثور على المنطقة المطلوبة:

س = (21 8)/2 مربع. وحدة = 84 متر مربع وحدة

3. يمكنك حل مشكلة عامة:

كيف تحسب مساحة المثلث بناءا على أضلاعه؟

دع أضلاع المثلث ABC يتم التعبير عنها بالأرقام BC = a و AC = b و AB = c (الرسم 227). لنفترض أن AC هو الضلع الأكبر؛ ثم سيدخل الارتفاع BD إلى ∆ABC. دعنا نسمي: BD = h، DC = x ثم AD = b - x.

من ∆BDC لدينا: h 2 = a 2 – x 2 .

من ∆ABD لدينا: ح 2 = ج 2 – (ب – س) 2،

من حيث أ 2 - س 2 = ج 2 - (ب - س) 2.

وبحل هذه المعادلة نحصل باستمرار على:

2بx = أ 2 + ب 2 - ج 2 و س = (أ 2 + ب 2 - ج 2)/2ب.

(يتم كتابة الأخير على أساس أن البسط 4أ 2 ب 2 – (أ 2 + ب 2 – ج 2) 2 يمكن اعتباره مساواة للمربعات، والتي نحللها إلى حاصل ضرب المجموع والفرق).

يتم تحويل هذه الصيغة عن طريق إدخال محيط المثلث، الذي نشير إليه بـ 2p، أي.

بطرح 2c من طرفي المساواة نحصل على:

أ + ب + ج – 2ج = 2ع – 2ج أو أ + ب – ج = 2(ع – ج):

وسنجد أيضاً:

ج + أ – ب = 2(ع – ب) و ج – أ + ب = 2(ع – أ).

ثم نحصل على:

(ع يعبر عن نصف محيط المثلث).
يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب مساحة المثلث بناءً على أضلاعه الثلاثة.

231. تمارين.

232. في الفقرة 229 وجدنا العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. يمكنك العثور على علاقة مماثلة لجوانب (مع إضافة قطعة أخرى) للمثلث المائل.

دعونا أولاً نحصل على ∆ABC (الرسم 228) بحيث تكون ∠A حادة. دعونا نحاول العثور على تعبير لمربع الضلع BC الواقع مقابل هذه الزاوية الحادة (على غرار الطريقة التي وجدنا بها في الفقرة 229 التعبير لمربع الوتر).

وبإنشاء BD ⊥ AC نحصل على المثلث القائم BDC:

ق 2 = 2 دينار بحريني + 2 تيار مستمر

لنستبدل BD2 بتعريفه من ABD، والذي لدينا منه:

دينار بحريني 2 = أ ب 2 - م 2،

واستبدل المقطع DC عبر AC – AD (من الواضح أن DC = AC – AD). ثم نحصل على:

ق 2 = أ ب 2 – أ د 2 + ( أ – أ د ) 2 = أ ب 2 – أ د 2 + أ ب 2 – 2 أ ج أد + أد 2

وبتخفيض المصطلحات المتشابهة نجد:

ق2 = أ ب 2 + أس 2 – 2AC م.

تنص هذه الصيغة على ما يلي: مربع ضلع المثلث المقابل للزاوية الحادة يساوي مجموع مربعي ضلعيه الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب أحد هذين الضلعين في قطعته من رأس الزاوية الحادة إلى الارتفاع.

233. الآن دع ∠A و ∆ABC (الرسم 229) يكونان منفرجين. دعونا نجد تعبيرًا لمربع الضلع BC الواقع مقابل الزاوية المنفرجة.

بعد إنشاء الارتفاع BD، سيتم تحديد موقعه الآن بشكل مختلف قليلاً: عند النقطة 228 حيث تكون ∠A حادة، وتقع النقطتان D وC على جانب واحد من A، وهنا، حيث تكون ∠A منفرجة، سيتم تحديد موقع النقطتين D وC على امتداد جوانب مختلفةمن A. ثم من المستطيل ∆BDC نحصل على:

ق 2 = 2 دينار بحريني + 2 تيار مستمر

يمكننا استبدال BD2 بتعريفه من الشكل المستطيل ∆BDA:

دينار بحريني 2 = أ ب 2 - م 2،

والقطعة DC = AC + AD، وهو أمر واضح. بالتعويض نحصل على:

ق 2 = أ ب 2 – أد 2 + (أ أ + أد) 2 = أ ب 2 – أ د 2 + أ أ 2 + 2 أ ج أد + أد 2

وبإجراء التخفيض للمصطلحات المتشابهة نجد:

ق 2 = أ ب 2 + أ 2 + 2 أ م،

أي. مربع ضلع المثلث المقابل للزاوية المنفرجة يساوي مجموع مربعي ضلعيه الآخرين، مضافًا إليه ضعف حاصل ضرب أحدهما في قطعته من رأس الزاوية المنفرجة إلى الارتفاع.
تسمح هذه الصيغة، وكذلك صيغة الفقرة 232، بتفسير هندسي يسهل العثور عليه.

234. استخدام خصائص الفقرات. 229، 232، 233، يمكننا، إذا أعطيت أضلاع المثلث بالأرقام، معرفة ما إذا كان للمثلث زاوية قائمة أم زاوية منفرجة.

لا يمكن وضع الزاوية القائمة أو المنفرجة في المثلث إلا مقابل الجانب الأكبر؛ ومن السهل معرفة ما هي الزاوية المقابلة: هذه الزاوية حادة أو قائمة أو منفرجة، اعتمادًا على ما إذا كان مربع الجانب الأكبر أقل من , يساوي أو أكبر من مجموع مربعي الضلعين الآخرين .

اكتشف ما إذا كانت المثلثات التالية، المحددة بواسطة أضلاعها، لها زاوية قائمة أم زاوية منفرجة:

1) 15 م، 13 م. و14 بوصة؛ 2) 20 و 29 و 21؛ 3) 11 و 8 و 13؛ 4) 7 و 11 و 15.

235. دعونا نفعل متوازي الأضلاع ABCD(مشروع 230)؛ دعونا نبني قطريه AC و BD وارتفاعاته BK ⊥ AD و CL ⊥ AD.

بعد ذلك، إذا كان ∠A (∠BAD) حادًا، فإن ∠D (∠ADC) منفرج بالتأكيد (نظرًا لأن مجموعهما = 2d). من ∆ABD، حيث ∠A تعتبر حادة، لدينا:

دينار بحريني 2 = أ ب 2 + م 2 – 2 م أك،

ومن ∆ACD، حيث ∠D منفرجة، لدينا:

أس 2 = م 2 + سي دي 2 + 2 أد دي.

في الصيغة الأخيرة، دعونا نستبدل القطعة AD بالقطعة BC المساوية لها وDL بالقطعة AK المساوية لها (DL = AK، لأن ∆ABK = ∆DCL، وهو أمر يسهل رؤيته). ثم نحصل على:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

إضافة التعبير لـ BD2 مع التعبير الأخيربالنسبة لـ AC2 نجد:

دينار بحريني 2 + أ 2 = أ ب 2 + أد 2 + ق 2 + سد 2،

نظرًا لأن المصطلحين -2AD · AK و+2AD · AK يلغي كل منهما الآخر. يمكننا قراءة المساواة الناتجة:

مجموع مربعات أقطار متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه.

236. حساب الوسيط والمنصف للمثلث من أضلاعه. اتركه المثلث ABC(الرسم 231) تم إنشاء متوسط ​​BM (أي AM = MC). بمعرفة الجوانب ∆ABC: ​​​​BC = a وAC = b وAB = c، احسب متوسط ​​BM.

دعنا نواصل BM ونضع جانبًا المقطع MD = BM. من خلال توصيل D مع A وD مع C، نحصل على متوازي الأضلاع ABCD (من السهل معرفة ذلك، حيث أن ∆AMD = ∆BMC و∆AMB = ∆DMC).

باستدعاء الوسيط BM بدلالة m، نحصل على BD = 2m وبعد ذلك، باستخدام الفقرة السابقة، لدينا:

237. حساب نصف القطر المحيط بمثلث الدائرة. لنرسم دائرة O حول ∆ABC (الرسم 233)، لنبني قطر الدائرة BD والوتر AD وارتفاع المثلث BH.

ثم ∆ABD ~ ∆BCH (∠A = ∠H = d - الزاوية A هي زاوية قائمة، لأنها محفورة، على أساس القطر BD و∠D = ∠C، كما هو منقوش، على أساس قوس واحد AB). لذلك لدينا:

أو، نسمي نصف القطر OB بـ R، والارتفاع BH بـ h، والجانبين AB وBC، كما كان من قبل، على التوالي بـ c وa:

لكن المساحة ∆ABC = Q = bh/2، حيث h = 2Q/b.

وبالتالي، R = (abc) / (4Q).

يمكننا (البند 230 من المسألة 3) حساب مساحة المثلث Q بناءً على أضلاعه. من هنا يمكننا حساب R من أضلاع المثلث الثلاثة.

238. حساب نصف قطر الدائرة المدرج في المثلث. دعونا نكتب بـ ∆ABC، التي تم إعطاء أضلاعها (الرسم 234)، دائرة O. وبربط مركزها O مع رؤوس المثلث ومع نقاط الظل D وE وF من جوانب الدائرة، نحن اكتشف أن نصف قطر الدائرة OD وOE وOF بمثابة ارتفاعات المثلثات BOC وCOA وAOB.

استدعاء نصف قطر الدائرة المنقوشة من خلال r، لدينا: