من أجل تحديد ما إذا كان هذا الرقممتوازي الاضلاع هناك عدد من الميزات. دعونا نلقي نظرة على السمات الرئيسية الثلاثة لمتوازي الأضلاع.
1 علامة متوازي الأضلاع
إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن هذا الشكل الرباعي سيكون متوازي أضلاع.
دليل:
خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. دع الجانبين AB و CD متوازيان. ودع AB = CD. لنرسم القطر BD فيه. سيتم تقسيم هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين متساويين: ABD وCBD.
وهذه المثلثات متساوية من الجانبين والزاوية بينهما (BD - الجانب المشترك، AB = CD حسب الحالة، angle1 = angle2 كزوايا عرضية مع BD المستعرض للخطوط المتوازية AB وCD.)، وبالتالي angle3 = angle4.
وستكون هذه الزوايا عرضية عندما يتقاطع الخطان BC وAD مع القاطع BD. ويترتب على ذلك أن BC و AD متوازيان مع بعضهما البعض. لدينا ذلك في الشكل الرباعي ABCD الأطراف المقابلةمتوازيان بشكل زوجي، وبالتالي فإن الشكل الرباعي ABCD هو متوازي أضلاع.
علامة متوازي الأضلاع 2
إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي سيكون متوازي الأضلاع.
دليل:
خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. لنرسم القطر BD فيه. سيتم تقسيم هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين متساويين: ABD وCBD.
سيكون هذان المثلثان متساويين لبعضهما البعض من ثلاثة جوانب (BD هو الضلع المشترك، AB = CD وBC = AD حسب الشرط). ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن الزاوية 1 = الزاوية 2. ويترتب على ذلك أن AB يوازي CD. وبما أن AB = CD وAB مواز لـ CD، فوفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع، فإن الشكل الرباعي ABCD سيكون متوازي أضلاع.
3 علامة متوازي الأضلاع
إذا تقاطعت أقطار الشكل الرباعي وتنصفت بنقطة التقاطع، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.
خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. دعونا نرسم فيه قطرين AC وBD، اللذين سيتقاطعان عند النقطة O وينصفان بهذه النقطة.
المثلثان AOB و COD سيكونان متساويين لبعضهما البعض، وفقًا للعلامة الأولى لتساوي المثلثات. (AO = OC، BO = OD حسب الحالة، الزاوية AOB = الزاوية COD كـ الزوايا العمودي.) لذلك، AB = CD والزاوية 1 = الزاوية 2. ومن تساوي الزاويتين 1 و 2، لدينا أن AB يوازي CD. ثم لدينا أنه في الشكل الرباعي ABCD الأضلاع AB متساوية مع CD ومتوازية، ووفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع، فإن الرباعي ABCD سيكون متوازي أضلاع.
أنا. إذا كان ضلعان متقابلان في شكل رباعي متوازيين ومتساويين، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
مهمة 1.من الرؤوس B وD لمتوازي الأضلاع ABCD، حيث AB≠ BC والزاوية A حادة، يتم رسم العمودين BK وDM على الخط المستقيم AC. أثبت أن الشكل الرباعي BMDK هو متوازي أضلاع.
دليل.
بما أن VC وDM متعامدان على نفس الخط المستقيم AC، فإن VC II DM. بالإضافة إلى ذلك، يتم رسم ارتفاعات VK وDM مثلثات متساويةΔ ABC و Δ CDA من القمم زوايا متساوية∠B و∠D على نفس الجانب AC، وبالتالي BC = DM. لدينا: الضلعان BC وDM للشكل الرباعي BMDK متوازيان ومتساويان، مما يعني أن BMDK متوازي أضلاع، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
ثانيا. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.
المهمة 2.على الجوانب AB وBC وCD وDA من الشكل الرباعي ABCD، تم تحديد النقاط M وN وP وQ على التوالي بحيث AM=CP، BN=DQ، BM=DP، NC=QA. أثبت أن ABCD وMNPQ متوازيان أضلاع.
دليل.
1. حسب الشرط، في الشكل الرباعي ABCD يتكون الضلعان المتقابلان من شرائح متساوية، وبالتالي متساوية، أي. AD=BC، AB=CD. وبالتالي فإن ABCD هو متوازي أضلاع.
2. فكر في Δ MBN و Δ PDQ. BM=DP وBN=DQ حسب الحالة. ∠B =∠D كزاويتين متقابلتين متوازي الأضلاع ABCD. وهذا يعني أن Δ MBN = Δ PDQ على الجانبين والزاوية بينهما (العلامة الأولى لتساوي المثلثات). وفي مثلثات متساوية متقابلة زوايا متساوية تقع جوانب متساوية. وبالتالي MN=PQ. لقد أثبتنا أن الجانبين المتقابلين MN وPQ للشكل الرباعي MNPQ متساويان. وبالمثل، من تساوي المثلثات Δ MAQ و Δ PCN يترتب على ذلك أن الجانبين MQ و PN متساويان، وهما ضلعان متقابلان للشكل الرباعي MNPQ. لدينا: الجوانب المتقابلة من الشكل الرباعي MNPQ متساوية في أزواج. ولذلك، فإن الشكل الرباعي MNPQ هو متوازي أضلاع. حلت المشكلة.
ثالثا. إذا تقاطعت قطرا الشكل الرباعي وتقاطعتا في نقطة التقاطع، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
المهمة 3.تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع ABCD عند النقطة O. أثبت أن الشكل الرباعي MNPQ، الذي تكون رؤوسه نقاط منتصف القطع OA وOB وOC وOD، هو متوازي أضلاع.
دليل.
وفقًا لخاصية أقطار متوازي الأضلاع ABCD، يتم تقسيم قطريه AC وBD إلى النصف بواسطة نقطة التقاطع، أي. الزراعة العضوية = نظام التشغيل وOB = التطوير التنظيمي. تتقاطع أقطار الشكل الرباعي MNPQ أيضًا عند النقطة O، والتي ستكون نقطة المنتصف لكل منها. في الواقع، نظرًا لأن رؤوس الشكل الرباعي MNPQ هي حسب نقاط المنتصف للقطاعات OA وOC وOB وOD، فإن BN=ON=OQ=DQ وAM=OM=OP=CP. وبالتالي، فإن القطرين MP وNQ للشكل الرباعي MNPQ منقسمان عند نقطة التقاطع، وبالتالي فإن الشكل الرباعي MNPQ هو متوازي أضلاع، وهو ما يجب إثباته.
العودة إلى الأمام
انتباه! معاينات الشرائح هي لأغراض إعلامية فقط وقد لا تمثل جميع ميزات العرض التقديمي. إذا كنت مهتم هذا العمل، يرجى تنزيل النسخة الكاملة.
الغرض من الدرس:النظر في خصائص متوازي الأضلاع وتوحيد المعرفة المكتسبة في عملية حل المشكلات.
مهام:
- التعليمية:تطوير القدرة على تطبيق ميزات متوازي الأضلاع لحل المشكلات؛
- النامية:تطوير التفكير المنطقي، الاهتمام، المهارات عمل مستقلمهارات احترام الذات؛
- التعليمية:تنمية الاهتمام بالموضوع والقدرة على العمل ضمن فريق وثقافة التواصل.
نوع الدرس: تعلم مواد جديدة، الدمج الأساسي.
معدات: لوحة تفاعلية، جهاز عرض، بطاقات المهام، العرض التقديمي.
خلال الفصول الدراسية
1. اللحظة التنظيمية.
يو: مساء الخير يا رفاق! اليوم في الفصل سنتحدث مرة أخرى عن متوازيات الأضلاع. يتعين علينا إكمال العديد من المهام وإثبات النظريات ومعرفة كيفية تطبيقها عند حل المشكلات. سيكون شعار درسنا هو كلمات لو كاربوزييه: "كل شيء حولنا عبارة عن هندسة".
2. تحديث معارف الطلاب.
المسح النظري
أعط بعض الطلاب مهام فردية على بطاقات حول الموضوع خصائص متوازي الأضلاع(يختار كل شخص المهام بشكل مستقل على شريحة العرض التقديمي عبر ارتباط تشعبي، ويشير بمؤشر الماوس إلى الشكل، ولكن ليس إلى الرقم)، واستمع إلى كل مستجيب بشكل فردي.
مع الباقي - إثبات خصائص إضافية لمتوازي الأضلاع. (ناقش البرهان شفهيًا أولاً، ثم قم بمراجعته باستخدام السبورة التفاعلية).
1°. منصف زاوية متوازي الأضلاع يقطع منه مثلثًا متساوي الساقين.
2°. منصفات الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع متعامدة، والمنصفات الزوايا المتقابلة متوازية أو تقع على نفس الخط المستقيم.
بعد التحضير، استمع إلى الأدلة حول الخصائص الإضافية لمتوازي الأضلاع.
ABCD - متوازي الأضلاع،
AE هو منصف الزاوية BAD.
إثبات: ABE متساوي الساقين.
دليل:
بما أن ABCD متوازي أضلاع، إذن BC || AD، ثم الزاوية EAD = الزاوية BEA التي تقع بالعرض مع الخطوط المتوازية BC وAD والقاطع AE. AE هو منصف الزاوية BAD، مما يعني أن الزاوية BAE = الزاوية EAD، وبالتالي فإن الزاوية BAE = الزاوية BEA.
في ABE، الزاوية BAE = الزاوية BEA، مما يعني أن ABE متساوي الساقين وقاعدته AE.
أسئلة مقترحة:
صياغة علامة مثلث متساوي الساقين.
ما هي الزوايا في BAE التي يمكن أن تكون متساوية؟ لماذا؟
ABCD - متوازي الأضلاع،
BE هو منصف الزاوية CBA،
AE هو منصف الزاوية BAD.
أسئلة مقترحة:
متى سيكون الخطان AE وCK متوازيين؟
هل الزوايا BEA و<3? Почему?
في أي حالة سوف يتزامن AE وCK؟
الاستعداد لدراسة مادة جديدة
العمل الأمامي مع الفصل (شفهيا).
- ماذا تعني كلمتي "خصائص" و"شخصية"؟ أعط أمثلة.
- ما هي النظرية العكسية؟
- هل عكس هذا البيان صحيح دائما؟ أعط أمثلة.
3. شرح المواد الجديدة.
ش: كل كائن له خصائصه وخصائصه. من فضلك قل لي كيف تختلف الخصائص عن العلامات.
دعونا نحاول فهم هذه المشكلة باستخدام مثال بسيط. الكائن المحدد هو الخريف. سم خصائصه: خصائصه:
- ما هي البيانات هي خاصية وسمة كائن فيما يتعلق ببعضها البعض؟ (الجواب: معكوس)
- ما هي الخصائص التي سبق أن درسناها في مقرر الهندسة؟ اذكرهم. (غيض من فيض)
هل من الممكن بناء عبارة عكسية صحيحة لأي عقار؟ (إجابات مختلفة).
دعونا نتحقق من ذلك على الخصائص التالية:
استنتج: هل من الممكن بناء عبارة عكسية صحيحة لأي عقار؟ (لا، ليس لأحد)
والآن لنعود إلى شكلنا الرباعي ونتذكر خواصه ونصيغ عبارات عكسها، أي:.. (الجواب - خصائص متوازي الأضلاع). لذا، موضوع درس اليوم هو: "علامات متوازي الأضلاع".
لذا، قم بتسمية خصائص متوازي الأضلاع.
صياغة العبارات التي تكون عكسية للخصائص. (يقوم الطلاب بصياغة العلامات، ويقوم المعلم بتصحيحها وصياغتها مرة أخرى)
دعونا نثبت هذه العلامات. العلامة الأولى بالتفصيل، والثانية مختصرة، والثالثة بمفردك في المنزل.
4. توحيد المادة المدروسة.
العمل في المصنفات: حل المشكلة رقم 11 على السبورة التفاعلية، واستدعاء طالب أقل استعدادًا إلى السبورة.
حل المشكلة رقم 379 (اكتب الحل على السبورة التفاعلية). من الرؤوس B وD لمتوازي الأضلاع ABCD، حيث يكون AB BC وA حادين، يتم رسم العمودين BC وDM على الخط المستقيم AC. أثبت أن الشكل الرباعي BMDK هو متوازي أضلاع.
أنا. إذا كان ضلعان متقابلان في شكل رباعي متوازيين ومتساويين، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
مهمة 1.من الرؤوس B وD لمتوازي الأضلاع ABCD، حيث AB≠ BC والزاوية A حادة، يتم رسم العمودين BK وDM على الخط المستقيم AC. أثبت أن الشكل الرباعي BMDK هو متوازي أضلاع.
دليل.
بما أن VC وDM متعامدان على نفس الخط المستقيم AC، فإن VC II DM. بالإضافة إلى ذلك، BC و DM هما الارتفاعان المرسومان في مثلثات متساوية Δ ABC و Δ CDA من رءوس الزاويتين المتساويتين ∠B و ∠D على نفس الجانب AC، وبالتالي، BC = DM. لدينا: الضلعان BC وDM للشكل الرباعي BMDK متوازيان ومتساويان، مما يعني أن BMDK متوازي أضلاع، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
ثانيا. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.
المهمة 2.على الجوانب AB وBC وCD وDA من الشكل الرباعي ABCD، تم تحديد النقاط M وN وP وQ على التوالي بحيث AM=CP، BN=DQ، BM=DP، NC=QA. أثبت أن ABCD وMNPQ متوازيان أضلاع.
دليل.
1. بشرط، في الشكل الرباعي ABCD، تتكون الأضلاع المتقابلة من قطع متساوية، وبالتالي فهي متساوية، أي. AD=BC، AB=CD. وبالتالي فإن ABCD هو متوازي أضلاع.
2. فكر في Δ MBN و Δ PDQ. BM=DP وBN=DQ حسب الحالة. ∠B = ∠D كزوايا متقابلة في متوازي الأضلاع ABCD. وهذا يعني أن Δ MBN = Δ PDQ على الجانبين والزاوية بينهما (العلامة الأولى لتساوي المثلثات). وفي المثلثات المتساوية، الأضلاع المتساوية تقع مقابل زوايا متساوية. وبالتالي MN=PQ. لقد أثبتنا أن الجانبين المتقابلين MN وPQ للشكل الرباعي MNPQ متساويان. وبالمثل، من تساوي المثلثات Δ MAQ و Δ PCN يترتب على ذلك أن الجانبين MQ و PN متساويان، وهما ضلعان متقابلان للشكل الرباعي MNPQ. لدينا: الجوانب المتقابلة من الشكل الرباعي MNPQ متساوية في أزواج. ولذلك، فإن الشكل الرباعي MNPQ هو متوازي أضلاع. حلت المشكلة.
ثالثا. إذا تقاطعت قطرا الشكل الرباعي وتقاطعتا في نقطة التقاطع، فإن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.
المهمة 3.تتقاطع أقطار متوازي الأضلاع ABCD عند النقطة O. أثبت أن الشكل الرباعي MNPQ، الذي تكون رؤوسه نقاط منتصف القطع OA وOB وOC وOD، هو متوازي أضلاع.
دليل.
وفقًا لخاصية أقطار متوازي الأضلاع ABCD، يتم تقسيم قطريه AC وBD إلى النصف بواسطة نقطة التقاطع، أي. الزراعة العضوية = نظام التشغيل وOB = التطوير التنظيمي. تتقاطع أقطار الشكل الرباعي MNPQ أيضًا عند النقطة O، والتي ستكون نقطة المنتصف لكل منها. في الواقع، نظرًا لأن رؤوس الشكل الرباعي MNPQ هي حسب نقاط المنتصف للقطاعات OA وOC وOB وOD، فإن BN=ON=OQ=DQ وAM=OM=OP=CP. وبالتالي، فإن القطرين MP وNQ للشكل الرباعي MNPQ منقسمان عند نقطة التقاطع، وبالتالي فإن الشكل الرباعي MNPQ هو متوازي أضلاع، وهو ما يجب إثباته.