سطح زائد ذو ورقة واحدة. السطح المحدد بالمعادلة
يسمى سطح زائد ذو ورقة واحدة. يحتوي هذا السطح على ثلاث مستويات تناظر - مستويات إحداثية، حيث أن الإحداثيات الحالية y وz مدرجة في المعادلة (55) في القوى الزوجية.
عند تقاطع القطع الزائد المكون من ورقة واحدة مع المستوى، نحصل على القطع الزائد ABCD الموجود في المستوى (الشكل 97)
وبالمثل، في قسم من القطع الزائد ذو الورقة الواحدة بجوار المستوى، نحصل على القطع الزائد EFGH
في الطائرة
عندما يتقاطع سطح زائد ذو ورقة واحدة مع مستوى، تكون النتيجة شكل بيضاوي BFCG، وتكون معادلاته بالشكل:
وتزداد أنصاف محاور هذا القطع الناقص بزيادة قيمه مطلقهح.
عندما تحصل على قطع ناقص ملقى في المستوى وله أصغر نصف محوري a و b. في نحصل على قطعة زائدة من ورقة واحدة للثورة
عندما تتقاطع الطائرات معها، سيتم الحصول على الدوائر
في الفقرات 2 و 3 تعتبر أسطوانية و الأسطح المخروطية، وكل منها يتكون من خطوط مستقيمة. لقد اتضح أن السطح الزائد ذو الورقة الواحدة يمكن أيضًا اعتباره سطحًا يتكون من خطوط مستقيمة. النظر في الخط المستقيم المحدد بالمعادلات
حيث a وb وc هي أنصاف محاور سطح زائد ذو ورقة واحدة، وk هو رقم تم اختياره عشوائيًا
وبضرب هذه المعادلات حدًا تلو الآخر، نحصل على المعادلة
أي معادلة سطح زائد ذو ورقة واحدة.
وبالتالي، فإن معادلة القطع الزائد ذو الورقة الواحدة هي نتيجة لنظام المعادلات (59). لذلك، فإن إحداثيات أي نقطة تحقق نظام المعادلات (59) تحقق أيضًا المعادلة (55) للشكل الزائد ذو الورقة الواحدة. بمعنى آخر، جميع نقاط الخط (59) تنتمي إلى القطع الزائد (55). من خلال تغيير قيم k، نحصل على عائلة كاملة من الخطوط ملقاة على السطح (55). وبالمثل، يمكن إثبات أن الشكل الزائد ذو الورقة الواحدة يحتوي على جميع الفصائل المباشرة
أين هي المعلمة التعسفية.
ويمكن أيضًا إثبات أنه من خلال كل نقطة من القطع الزائد المكون من صفيحة واحدة، يمر خط مستقيم واحد من كل عائلة محددة. وبالتالي، يمكن اعتبار السطح الزائد ذو الورقة الواحدة سطحًا يتكون من خطوط مستقيمة (الشكل 98). تسمى هذه الخطوط بالمولدات المستقيمة للسطح الزائد ذو الورقة الواحدة.
يتم استخدام القدرة على تكوين سطح سطح زائد ذو ورقة واحدة من خطوط مستقيمة في تكنولوجيا البناء.
لذلك، على سبيل المثال، وفقًا للتصميم الذي اقترحه المهندس V. G. Shukhov، تم بناء صاري راديوي في موسكو باستخدام حزم تقع على طول المولدات المستقيمة للسطح الزائد ذو التجويف الواحد.
سطح زائد ذو ورقتين. السطح المحدد بالمعادلة
يسمى سطح زائد ذو ورقتين.
المستويات الإحداثية هي مستويات تناظر لمقطع زائد مكون من صفحتين.
عند تقاطع هذا السطح مع المستويات الإحداثية، نحصل على القطع الزائدة على التوالي
سطح زائد ذو ورقة واحدة
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1.
سطح زائد ذو ورقتينهو سطح محدد في بعض نظام مستطيلإحداثيات Oxyz بواسطة المعادلة الأساسية
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1.
في المعادلات (4.48)، (4.49) a، b، c هي معلمات موجبة تميز الأجسام الزائدية، و a\geqslant b .
يسمى أصل الإحداثيات مركز القطع الزائد. تسمى نقاط تقاطع القطع الزائد مع محاور الإحداثيات برؤوسه. هذه هي أربع نقاط (\pm a,0,0)، (0,\pm b,0) من السطح الزائد ذو الورقة الواحدة (4.48) ونقطتين (0,0,\pm c) من السطح الزائد المكون من صفحتين (4.49). تسمى الأجزاء الثلاثة من محاور الإحداثيات التي تربط رؤوس القطع الزائدية بمحاور القطع الزائد. تسمى محاور الأجسام الزائدية التي تنتمي إلى محاور الإحداثيات Ox,\,Oy بالمحاور العرضية للأجسام الزائدية، ويسمى المحور الذي ينتمي إلى المحور التطبيقي Oz بالمحور الطولي للأجسام الزائدية. الأرقام أ،\،ب،\،ج، يساوي نصفينتسمى أطوال المحاور أنصاف محاور القطع الزائد.
المقاطع المستوية من سطح زائد ذو ورقة واحدة
بالتعويض z=0 في المعادلة (4.48)، نحصل على المعادلة \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1خط تقاطع سطح زائد ذو ورقة واحدة مع المستوى الإحداثي أوكسي. تحدد هذه المعادلة في مستوى أوكسي شكلًا ناقصًا يسمى الحلق. خطوط تقاطع القطع الزائد ذو الورقة الواحدة مع مستويات الإحداثيات الأخرى هي قطع زائدة. يطلق عليهم القطع الزائدة الرئيسية. على سبيل المثال، بالنسبة لـ x=0 نحصل على القطع الزائد الرئيسي \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1و لـ y=0 - القطع الزائد الرئيسي \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
دعونا الآن نفكر في قسم القطع الزائد ذو الورقة الواحدة بمستويات موازية لمستوى أوكسي. استبدال z=h، حيث h هو ثابت اعتباطي (معلمة)، في المعادلة (4.48)، نحصل على
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(x) ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2).
بالنسبة لأي قيمة للمعلمة h، تحدد المعادلة شكلًا بيضاويًا بأنصاف المحاور أ"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)))، ب"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)))،. وبالتالي، فإن قسم القطع الزائد ذو الورقة الواحدة بالمستوى z=h هو قطع ناقص، يقع مركزه على المحور المطبق، وتقع القمم على القطع الزائدة الرئيسية. من بين جميع القطع الناقص التي تم الحصول عليها في المقاطع بالطائرات z=h at معان مختلفةالمعلمة h، القطع الناقص الحلقي (عند h=0) هو القطع الناقص الذي يحتوي على أصغر أنصاف المحاور.
وبالتالي، يمكن تمثيل القطع الزائد ذو الورقة الواحدة كسطح مكون من قطع ناقص، تقع رؤوسها على القطع الزائدة الرئيسية (الشكل 4.42، أ)
مقاطع مستوية من سطح زائد مكون من صفحتين
أقسام القطع الزائد المكونة من صفحتين بواسطة المستويين الإحداثيين Oyz وOxz هي قطع زائدة (قطع زائدة رئيسية).
دعونا الآن نفكر في أقسام من سطح زائد مكون من صفحتين بمستويات موازية لمستوى أوكسي. استبدال z=h، حيث h هو ثابت اعتباطي (معلمة)، في المعادلة (4.49)، نحصل على
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1.
لـ |ح|
وبالتالي، يمكن تمثيل القطع الزائد المكون من صفحتين كسطح مكون من قطع ناقص، تقع رؤوسها على القطع الزائدة الرئيسية (الشكل 4.43، أ).
الزائدات من الدوران
يسمى الشكل الزائدي الذي تكون أنصاف محاوره المستعرضة متساوية (a=b). الزائدي للثورة. مثل هذا الشكل الزائد هو سطح دوران، وأقسامه بالمستويات z=h (بالنسبة للسطح القطعي المكون من صفحتين مع |h|>c) عبارة عن دوائر ذات مراكز على المحور المطبق. يمكن الحصول على القطع الزائدة ذات الورقة المفردة أو المزدوجة عن طريق تدوير القطع الزائد حول محور أوز \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(الشكل 4.42، ب) أو القطع الزائد المترافق \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(الشكل 4.43، ب) على التوالي. لاحظ أنه يمكن كتابة معادلة الأخير على الصورة -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
يُطلق على الشكل الزائد الذي تختلف محاوره العرضية (a\ne b) اسم ثلاثي المحاور (أو عام).
ملاحظات 4.9
1. طائرات X x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm cمحددة في الفضاء أساسي مكعباني شبيه بالمكعب ، يوجد خارجها سطح زائد مكون من ورقتين (الشكل 4.43، ج). وجهان (z=\pm c) من متوازي السطوح يلمسان القطع الزائد عند رؤوسه.
2. مقطع من سطح زائد ذو صفائح واحدة على مستوى، محور موازيتنطبق ولها نقطة مشتركة واحدة مع القطع الناقص الحلقي (أي مماس لها)، يمثل خطين مستقيمين متقاطعين عند نقطة التماس. على سبيل المثال، باستبدال x=\pm a في المعادلة (4.48)، نحصل على المعادلة \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0خطين متقاطعين (انظر الشكل 4.42، أ).
3. السطح الزائد ذو الورقة الواحدة هو سطح مسطر، أي. سطح، تشكلت عن طريق الحركةمستقيم (انظر الشكل 4.42، ج). على سبيل المثال، يمكن الحصول على سطح زائد دوراني مكون من صفيحة واحدة عن طريق تدوير خط حول خط آخر يتقاطع معه (لكنه ليس متعامدًا).
4. أصل نظام الإحداثيات المتعارف عليه هو مركز تناظر القطع الزائد، محاور الإحداثيات- محاور تماثل القطع الزائد، مستويات الإحداثيات - مستويات تماثل القطع الزائد.
في الواقع، إذا كانت النقطة M(x,y,z) تنتمي إلى سطح زائد، فإن النقاط ذات الإحداثيات (\pm x،\pm y،\pm z)لأن أي اختيار من العلامات ينتمي أيضًا إلى الشكل الزائد، نظرًا لأن إحداثياتها تلبي المعادلة (4.48) أو (4.49)، على التوالي.
تم تعطيل جافا سكريبت في المتصفح الخاص بك.لإجراء العمليات الحسابية، يجب عليك تمكين عناصر تحكم ActiveX!
الملحق 2
جسم زائدي للدوران ذو كهف واحد
(معلومات مختصرة)
وإذا كانت حركة خط المولد عبارة عن دوران حول خط مستقيم ثابت (محور)، فإن السطح المتكون في هذه الحالة يسمى سطح الدوران. يمكن أن يكون خط التوليد منحنى مسطحًا أو مكانيًا، بالإضافة إلى خط مستقيم.
كل نقطة من خط التوليد، عند دورانها حول محور، تصف دائرة تقع في مستوى متعامد مع محور الدوران. وتسمى هذه الدوائر المتوازيات. وبالتالي، فإن المستويات المتعامدة مع المحور تتقاطع مع سطح الثورة على طول خطوط التوازي. الخط الذي يتقاطع فيه سطح الدوران مع المستوى الذي يمر عبر المحور يسمى خط الطول. جميع خطوط الطول على سطح الثورة متطابقة.
تمثل مجموعة جميع المتوازيات أو خطوط الطول إطارًا مستمرًا لسطح الثورة. من خلال كل نقطة على السطح يمر خط مواز وخط زوال واحد. تقع إسقاطات النقطة على الإسقاطات المقابلة للتوازي أو خط الطول. يمكنك تعيين نقطة على السطح أو إنشاء إسقاط ثانٍ لنقطة ما، إذا تم إعطاؤها، باستخدام خط الطول أو خط الطول الذي يمر عبر هذه النقطة. يتكون الجزء الهندسي لمحدد سطح الدوران من محور الدوران والمولد.
السطوح التي تتكون من دوران خط مستقيم:
1. - تتشكل أسطوانة الدوران عن طريق تدوير خط مستقيم موازٍ للمحور؛
2. - مخروط الدوران يتكون من دوران خط مستقيم يتقاطع مع المحور.
3. - يتكون الشكل الزائد للثورة من ورقة واحدة عن طريق دوران خط مستقيم يعبر المحور ؛
متوازيات السطح هي الدوائر.
خط الطول من السطح هو القطع الزائد.
جميع الأسطح المسطرة للثورة المدرجة هي أسطح من الدرجة الثانية.
الأسطح التي تتكون من دوران منحنيات من الدرجة الثانية حول محاورها
1. تتشكل الكرة بتدوير دائرة حول قطرها.
2. يتشكل الشكل الإهليلجي للثورة عن طريق تدوير القطع الناقص حول محور رئيسي أو ثانوي.
3. يتشكل القطع المكافئ للثورة عن طريق تدوير القطع المكافئ حول محوره.
4. يتكون الشكل الزائد للثورة من ورقة واحدة عن طريق تدوير القطع الزائد حول محوره التخيلي (يتم تشكيل هذا السطح أيضًا عن طريق تدوير خط مستقيم: الخطوة أ-1).
السطح الزائد ذو الورقة الواحدة هو سطح المعادلة الكنسيةوالذي له الشكل:
حيث a، b، c أرقام موجبة.
لديها ثلاث مستويات من التماثل، وثلاثة محاور التماثل ومركز التماثل. وهي، على التوالي، مستويات الإحداثيات ومحاور الإحداثيات وأصل الإحداثيات. لبناء سطح زائد، نجد أقسامه بمستويات مختلفة. دعونا نجد خط التقاطع مع مستوى xOy. على هذا المستوى ض = 0، لذلك
تحدد هذه المعادلة على المستوى xOy شكلًا ناقصًا بنصف المحورين a وb (الشكل 1). دعونا نجد خط التقاطع مع مستوى yOz. على هذا المستوى س = 0، لذلك
هذه هي معادلة القطع الزائد في مستوى yOz، حيث نصف المحور الحقيقي هو b وشبه المحور التخيلي هو c. دعونا نبني هذا المبالغة.
القسم الموجود على مستوى xOz هو أيضًا قطع زائد في المعادلة
سنقوم أيضًا برسم هذا القطع الزائد، ولكن حتى لا نثقل الرسم بخطوط إضافية، لن نصور الخطوط المقاربة الخاصة به وسنقوم بإزالة الخطوط المقاربة في القسم بواسطة مستوى yOz.
دعونا نوجد خطوط تقاطع السطح مع المستويات z = ± h, h > 0.
أرز. 1. مقطع من سطح زائد ذو ورقة واحدة
معادلات هذه الخطوط هي:
دعونا نحول المعادلة الأولى إلى النموذج
هذه المعادلة هي معادلة قطع ناقص مشابه للقطع الناقص في المستوى xOy، مع معامل تشابه وأنصاف المحاور a 1 و b 1 . لنرسم الأقسام الناتجة (الشكل 2).
أرز. 2. صورة للسطح الزائد ذو الورقة الواحدة باستخدام المقاطع
يمكن الحصول على سطح زائد ذو ورقة واحدة عن طريق تدوير خط مستقيم يتقاطع مع المحور الوهمي الذي يدور حوله الخط. في هذه الحالة اتضح الشكل المكاني(الشكل 3)، الذي يتكون سطحه من مواضع متتالية لخط مستقيم أثناء الدوران.
أرز. 3. سطح زائد ذو لوح واحد يتم الحصول عليه عن طريق تدوير خط مستقيم يعبر محور الدوران
خط الطول لمثل هذا السطح هو القطع الزائد. سيكون الفضاء داخل شكل الدوران هذا حقيقيًا، وخارجه سيكون خياليًا. يُطلق على المستوى المتعامد مع المحور الوهمي والذي يقوم بتشريح سطح زائد ذو ورقة واحدة في قسمه الأدنى المستوى البؤري.
تظهر في الشكل 1 صورة مألوفة للسطح الزائد ذو الورقة الواحدة للعين. 6.4.
إذا كان في المعادلة a=b، فإن أقسام القطع الزائد ذات المستويات الموازية للمستوى xOy هي دوائر. في هذه الحالة، يُطلق على السطح اسم سطح زائد من ورقة واحدة ويمكن الحصول عليه عن طريق تدوير القطع الزائد الموجود في مستوى yOz حول محور Oz (الشكل 4).
أرز. 4. سطح زائد ذو ورقة واحدة للثورة،
سطح زائد أحادي الشريط x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0;عبرت مستويات المحاور الإحداثية x=0,y=0,z=0 بالقطع الزائد y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 والإهليلجي x 2 /a 2 + ص 2 /ب 2 =1 على التوالي. في أقسام القطع الزائد أحادي الشريط بالمستويات z=h، القطع الناقص x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 مع أنصاف المحاور ويتم الحصول عليها دائمًا.
المعادلة الكنسية:
أ = ب- سطح زائد ذو ورقة واحدة يدور حول محور أوز.
القطع الناقص للرقبة:
المخروط المقارب: 
تكون أقسام القطع الزائد ذات الورقة الواحدة حسب المستويات إما قطع ناقص، أو قطع مكافئ، أو قطع زائد، أو زوج من الخطوط المستقيمة (مولدات مستقيمة).
مولدات مستقيمة
من خلال نقطة تعسفية 
تمرير توليدين مستقيمين مع متجهات الاتجاه وأين:
على وجه الخصوص، إذا تم اختيار نقطة على القطع الناقص الحلق 
فإن معادلات المولدات المستقيمة ستكون:
سطح زائد ذو ورقتين، معادلته الأساسية.
سطح زائد ذو ورقتين x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h النتيجة هي شكل بيضاوي x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 مع أنصاف المحاور b*Root(h 2 /a 2 -1) و c*Root(h 2/أ2 - 1). عندما h=a نحصل على نقاط (±a,0,0) في المقطع العرضي - رؤوس الصفحتين. في أقسام مربع الإحداثيات. z=0 و y=0 نحصل على القطع الزائد x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 و x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1، على التوالي.
المعادلة الكنسية:
أ = ب- سطح زائد مكون من صفحتين يدور حول محور أوز.
المخروط المقارب: 
أقسام القطع الزائد المكون من صفحتين حسب المستويات: إما قطع ناقص، أو قطع زائد، أو قطع مكافئ، أو نقطة، أو.
القطع المكافئ الإهليلجي، معادلته القانونية.
قطع مكافئ بيضاوي الشكلس 2 /أ 2 + ص 2 /ب 2 =2pz a>0,b>0;
المعادلة الكنسية: 
ع = ف- قطع مكافئ للدوران حول محور أوز.
أقسام القطع المكافئ الإهليلجي بواسطة المستويات هي إما قطع ناقص، أو قطع مكافئ، أو نقطة، أو. 
القطع المكافئ الزائدي، معادلته القانونية. عائلات المولدات المستقيمة للقطع المكافئ الزائدي.
القطع المكافئ القطعي x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;
المعادلة الكنسية:
أقسام القطع المكافئ الزائدي بواسطة المستويات هي إما قطع زائد أو قطع مكافئ أو زوج من الخطوط المستقيمة (مولدات مستقيمة).
مولدات مستقيمة
من خلال كل نقطة يمر خطان مستقيمان:
 |
أسطح الدوران.
السطح الدوراني هو السطح الذي يتكون من دوران خط مسطح حول خط مستقيم يقع في مستوى هذا الخط.
لاشتقاق معادلة سطح الثورة، يجب عليك تحديد نظام الإحداثيات. لجعل معادلة سطح الدوران تبدو أبسط، يتم أخذ محور الدوران كأحد محاور الإحداثيات.
اتركه خطة تنسيقيتم تعريف Oyz بواسطة المنحنى L بالمعادلة F(Y, Z)=0 (الشكل 24). نقوم بتدوير المنحنى L حول محور Oy. دعونا نحصل على بعض السطح. دع M(x، y، z) - نقطة تعسفيةالسطح الناتج. ثم
، لكن 
لأن إذا أخذنا النقطة M 1 بتطبيق سلبي، إذن
لذلك، لدينا Y = ذ، 
وإحداثيات النقطة M(x, y, z) تحقق المعادلة
المعادلة (62) هي المعادلة المطلوبة لسطح الثورة.
وبالتالي، للحصول على المعادلة السطحية، تتشكل عن طريق الدورانالخط L الموجود في مستوى Oyz حول محور Oy، تحتاج إلى استبدال z في معادلة هذا الخط بـ
سيتم تطبيق قواعد مماثلة على معادلات الأسطح التي تم الحصول عليها عن طريق الدوران خطوط مسطحةحول محاور الإحداثيات الأخرى.
اسطوانات.
أسطوانات الدرجة الثانية: أسطوانة بيضاوية x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; اسطوانة زائدية x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; اسطوانة مكافئة y 2 =2px; زوج من المستويات المتقاطعة a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 زوج من المستويات المتوازية أو المتطابقة x-a=0 a>=0; خط مستقيم × 2 + ص 2 = 0
المخاريط.
مخروط الدرجة الثانية x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0;عبور الساحة ض=ح -> س 2 /أ 2 + ص 2 /ب 2 =1. في القسم حسب المستويات x=0 y=0 لدينا أزواج من الخطوط المتقاطعة y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; س 2 /أ 2 - ض 2 /ج 2 =0 على التوالي.
المساحات الخطية
©2015-2019 الموقع
جميع الحقوق تنتمي إلى مؤلفيها. لا يدعي هذا الموقع حقوق التأليف، ولكنه يوفر الاستخدام المجاني.
تاريخ إنشاء الصفحة: 12-02-2016
حول المحور الذي يتقاطع معه (حول المحور الحقيقي).
د 
للانتقال من المعادلة الخطية (43) إلى معادلة سطح الثورة نستبدل Xعلى 
، نحصل على معادلة القطع الزائد للثورة المكون من صفحتين
.
ونتيجة لضغط هذا السطح، يتم الحصول على السطح الذي تعطيه المعادلة
.
(44)
يسمى السطح الذي في بعض أنظمة الإحداثيات الديكارتية المستطيلة بمعادلة بالشكل (44). سطح زائد ذو ورقتين.يتوافق فرعي القطع الزائد هنا مع جزأين غير متصلين ("تجويف") من السطح، بينما عند إنشاء قطعة زائدة من ورقة واحدة، يصف كل فرع من القطع الزائد السطح بأكمله (الشكل 60).
يتم تحديد المخروط المقارب للسطح الزائد المكون من ورقتين بنفس الطريقة المستخدمة في الشكل الزائد ذو الورقة الواحدة (الشكل 61).
دعونا الآن نفكر في تقاطعات القطع الزائد المكون من صفحتين (44) مع مستويات موازية للإحداثيات.
طائرة ض = حفي | ح| < جيتقاطع مع السطح (44) مع القطع الناقص الوهمي مع | ح| > جوفقا لتلك الحقيقية. لو أ = ب، فإن هذه القطع الناقص هي دوائر، والقطع الزائد هو شكل زائد للثورة. متى | ح| = جنحن نحصل
,
أي زوج من الخطوط المترافقة بنقطة حقيقية واحدة (0; 0; مع) (أو (0; 0; – مع) على التوالى).
طائرات س= α و ذ= β يتقاطع مع القطع الزائد (44) على طول القطع الزائد
و 
.
8. قطع مكافئ بيضاوي الشكل
عند تدوير القطع المكافئ س 2 = 2pzحول محور التماثل نحصل على سطح بالمعادلة
س 2 + ذ 2 = 2pz,
ن 
مُسَمًّى القطع المكافئ للثورة. ضغط إلى الطائرة في= 0 يحول القطع المكافئ للثورة إلى سطح بالمعادلة
.
(45)
يسمى السطح الذي يحتوي على مثل هذه المعادلة في بعض أنظمة الإحداثيات المستطيلة الديكارتية قطع مكافئ بيضاوي الشكل.
إن مظهر القطع المكافئ الإهليلجي واضح من طريقة بنائه. وكلها تقع على جانب واحد من الطائرة ض= 0، في نصف المساحة ض > 0 (الشكل 62). أقسام بالطائرات ض = ح, ح> 0 لديك المعادلة:
وهي علامات الحذف.
أقسام القطع المكافئ الإهليلجي (45) بواسطة الطائرات في= 0 و X= 0 هي القطع المكافئة
س 2 = 2أ 2 ض, ذ = 0; (46)
ذ 2 = 2ب 2 ض, س = 0. (47)
تسمى هذه القطع المكافئة القطع المكافئة الرئيسيةسيتم تسمية القطع المكافئ الإهليلجي والقطع المكافئ (46) بشكل تقليدي بلا حراكوالقطع المكافئ (47) - متحرك.
يمكن الحصول على البناء التالي الواضح جدًا للقطع المكافئ الإهليلجي عن طريق تحريك القطع المكافئ على طول الآخر (من المفترض أن يكون نظام الإحداثيات مستطيلًا).
دعونا نأخذ قسم القطع المكافئ (45) بالمستوى س= α، نحصل على هذا المستوى الذي يحتوي على نظام الإحداثيات يا 0 ه 2 ه 3 حيث يا 0 = (α، 0، 0)، المنحنى الذي ستكون معادلته
,
س
= α
ذ 2 = 2ب 2 (ض – γ), س= ألفا، (48)
أين 
.
دعنا ننتقل إلى الطائرة س= α من نظام الإحداثيات ياه 2 ه 3 نظام التنسيق يا′ ه 2 ه 3 حيث يا′ = (α, 0, γ) هي نقطة تقاطع المستوى س= α مع قطع مكافئ ثابت س 2 = 2أ 2 ض, ذ = 0.
عن طريق تحريك أصل النظام يا 0 ه 2 ه 3 إلى هذه النقطة يا′، أجرى تحويل الإحداثيات التالي:
ذ = ذ′, ض = ض′ + γ.
ونتيجة لهذا التحول تأخذ المعادلة (48) الشكل التالي:
ذ′ 2 = 2 pz′, س = α.
المنحنى (48) هو نفس القطع المكافئ "المتحرك"، ولكنه ينتقل بالتوازي مع نفسه إلى المستوى س= ألفا. يمكن إجراء هذا النقل على النحو التالي. ينزلق رأس القطع المكافئ المتحرك على طول القطع المكافئ الثابت من نقطة ما عنبالضبط يا′، والقطع المكافئ نفسه يتحرك هكذا صلب، والبقاء طوال الوقت في مستوى موازٍ للطائرة يوز.
ويمكن صياغة هذه النتيجة على النحو التالي.
القطع المكافئ الإهليلجي هو سطح يوصف بحركة أحد القطع المكافئة ("المتحركة") (47) على طول قطع مكافئ آخر ثابت (46)، بحيث ينزلق رأس القطع المكافئ المتحرك على طول القطع المكافئ الثابت، وينزلق مستوى ومحور الشكل. يظل القطع المكافئ المتحرك موازيًا لنفسه طوال الوقت، ويفترض أن كلا القطع المكافئة (المتحركة والثابتة) موجهة بشكل مقعر في نفس الاتجاه (أي في جانب إيجابيمحاور أوز).
لاحظ أن القطع المكافئ الإهليلجي لا يحتوي على مولدات مستقيمة. في الواقع، على التوالي موازية للطائرة xOy، لا يمكن أن يتقاطع إلا مع جزء من القطع المكافئ بمستوى معين ض = ح، وهذا القسم، كما أشرنا سابقًا، عبارة عن قطع ناقص. وهذا يعني أن الخط المستقيم لا يحتوي على أكثر من خطين النقاط المشتركةمع القطع المكافئ.
إذا كان الخط غير موازي للمستوى xOy، فإن نصف خطها يقع في نصف المساحة ض < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.
9. القطع المكافئ الزائدي
وبالقياس على المعادلة (45) يمكننا كتابة المعادلة
.
(49)
سيتم استدعاء السطح الذي له معادلة بالشكل (49) في بعض أنظمة الإحداثيات قطع مكافئ زائدي.
دعونا نفحص مظهر القطع المكافئ القطعي باستخدام المقاطع (الشكل 63). قسم الطائرة ض
= حهو القطع الزائد، والذي في هذا المستوى لديه المعادلة:
أو 
.
للقيم الكبيرة حأنصاف محاور القطع الزائد 
و 
كبيرة وتتناقص مع التناقص ح. في هذه الحالة، يكون محور القطع الزائد الذي يتقاطع معه موازيًا للمتجه ه
1 .
في ح= 0 يتحول القطع الزائد إلى زوج من الخطوط المتقاطعة
=>
,
.
لو ح < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору ه 2. أعمدة المحور تنمو مع زيادة | ح|. نسبة أنصاف المحاور لجميع القطع الزائد التي لها نفس الإشارة حنفس. ولذلك، إذا رسمنا جميع أقسام القطع المكافئ القطعي على نفس المستوى، فسنحصل على عائلة من جميع القطع الزائد التي تحتوي على خطوط مقاربة لزوج من الخطوط المتقاطعة مع المعادلات
,
.
أقسام القطع المكافئ القطعي مع الطائرات في= 0 و X= 0 هما "القطع المكافئ الرئيسي":
س 2 = 2أ 2 ض, ذ = 0 (50)
هو قطع مكافئ ثابت، و
ذ 2 = –2ب 2 ض, س = 0 (51)
- قطع مكافئ متحرك.
هذه القطع المكافئة مقعرة في اتجاهين متعاكسين: الثابت هو "لأعلى" (أي في الاتجاه الموجب للمحور) أوز)، والمتحرك "لأسفل" (أي في الاتجاه السلبي للمحور أوز). قسم الطائرة س= α موجود في نظام الإحداثيات يا 0 ه 2 ه 3 حيث يا 0 = (α، 0، 0)، المعادلة
,
س
= α
ذ 2 = –2ب 2 (ض – ض 0), س= ألفا، (52)
أين 
.
بعد نقل أصل الإحداثيات إلى هذه النقطة يا′ = (α, 0, ض 0)، المعادلة (51) سوف تأخذ الشكل:
ذ′ 2 = -2 ب 2 ض′, س = α,
أين ذ = ذ′, ض = ض′ + ض 0 . توضح المعادلة الأخيرة أن المنحنى (52) هو نفس القطع المكافئ المتحرك (51)، ولا ينزاح بالتوازي مع نفسه إلا عندما ينزلق رأسه على طول القطع المكافئ الثابت من النقطة عنالخامس يا′.
البيان التالي يتبع من هذا. القطع المكافئ القطعي، المحدد (في نظام إحداثيات مستطيل) بالمعادلة (49) هو سطح موصوف بقطع مكافئ ذ 2
= –2ب 2 ض,
X= 0 عندما يتحرك على طول القطع المكافئ الثابت (50) بحيث ينزلق الجزء العلوي من القطع المكافئ المتحرك على طول القطع المكافئ الثابت، ويظل مستوى ومحور القطع المكافئ المتحرك متوازيين مع نفسيهما طوال الوقت، في حين أن كلا القطعين المكافئين مع تقعرهما دائمًا الوجهان في اتجاهين متضادين: الثابتان مع تقعرهما "لأعلى" أي في الاتجاه الموجب للمحور يا 
ض، والحركة "لأسفل".
من هذا البناء يتضح أن القطع المكافئ القطعي له شكل سرج.
يحتوي القطع المكافئ القطعي، مثل القطع الزائد ذو الورقة الواحدة، على عائلتين من المولدات المستقيمة (الشكل 64). من خلال كل نقطة من القطع المكافئ الزائدي، يمر خطان مستقيمان، يقعان جميعًا على هذا المستوى.
دعونا نجد معادلات المولدات المستقيمة. دعونا نعيد كتابة المعادلة (49) في الصورة
.
النظر في خط مستقيم يعرف بأنه تقاطع طائرتين
(53)
ومن الواضح أن أي نقطة تحقق المعادلات (53) تحقق أيضا المعادلة (49) وهي حاصل ضرب المعادلتين (53)
.
وهذا يعني أن كل نقطة من الخط المستقيم (53) تنتمي إلى القطع المكافئ القطعي (49).
يتم التعامل مع الخط المستقيم بالمثل
يقع الخط (54) أيضًا بجميع نقاطه على القطع المكافئ الزائدي.