صادف محررو NNN بعض المواد المثيرة للاهتمام جدًا المعروضة على مدونة المستخدم xtsarx، والمخصصة لعناصر النظرية فركتلاتوتطبيقه العملي . كما هو معروف، تلعب ثريا كسورية دورًا مهمًا في فيزياء وكيمياء الأنظمة النانوية. بعد أن ساهمنا في هذه المادة الجيدة، المقدمة بلغة في متناول مجموعة واسعة من القراء ومدعومة بكمية وفيرة من المواد الرسومية وحتى مواد الفيديو، فإننا نقدمها لاهتمامكم. نأمل أن يجد قراء NNN هذه المادة مثيرة للاهتمام.
الطبيعة غامضة جدًا لدرجة أنه كلما درستها أكثر، ظهرت أسئلة أكثر... البرق الليلي - "نفاثات" زرقاء من التصريفات المتفرعة، وأنماط فاترة على النافذة، ورقائق الثلج، والجبال، والسحب، ولحاء الأشجار - كل هذا يتجاوز المعتاد الهندسة الإقليدية. فلا يمكننا وصف صخرة أو حدود جزيرة بخطوط مستقيمة ودوائر ومثلثات. وهنا يأتون لمساعدتنا فركتلات. ما هؤلاء الغرباء المألوفين؟
"تحت المجهر اكتشف ذلك على البراغيث
البرغوث الذي يعض الحياة؛
على ذلك البرغوث هناك برغوث صغير،
السن يخترق البرغوث بغضب
البرغوث، وهكذا إلى ما لا نهاية. د. سويفت.
قليلا من التاريخ
الأفكار الأولى الهندسة الكسوريةنشأت في القرن التاسع عشر. قام كانتور، باستخدام إجراء متكرر (متكرر) بسيط، بتحويل الخط إلى مجموعة من النقاط غير المتصلة (ما يسمى بغبار كانتور). كان يأخذ خطًا ويزيل الثلث المركزي ثم يكرر نفس الشيء مع الأقسام المتبقية.
أرز. 1. منحنى البيانو 1.2-5 تكرارات.
رسم بيانو نوعًا خاصًا من الخط. قام بيانو بما يلي:: في الخطوة الأولى، أخذ خطاً مستقيماً واستبدله بـ 9 أجزاء أقصر بثلاث مرات من طول الخط الأصلي. ثم فعل الشيء نفسه مع كل جزء من السطر الناتج. وهكذا إلى ما لا نهاية. تفرده هو أنه يملأ المستوى بأكمله. لقد ثبت أنه لكل نقطة على المستوى يمكن العثور على نقطة تنتمي إلى خط بيانو. لقد تجاوز منحنى بيانو وغبار كانتور الأجسام الهندسية العادية. لم يكن لديهم بعدا واضحا. يبدو أن غبار كانتور مبني على أساس خط مستقيم أحادي البعد، ولكنه يتكون من نقاط (البعد 0). وتم بناء منحنى بيانو على أساس خط أحادي البعد، وكانت النتيجة مستوى. وفي العديد من مجالات العلوم الأخرى ظهرت مشاكل أدى حلها إلى نتائج غريبة مشابهة لتلك المذكورة أعلاه (الحركة البراونية، أسعار الأسهم). كل منا يستطيع أن يقوم بهذا الإجراء..
أبو الفركتلات
حتى القرن العشرين، تم تجميع البيانات حول مثل هذه الأشياء الغريبة، دون أي محاولة لتنظيمها. كان ذلك حتى أخذتهم بينوا ماندلبروت – والد الهندسة الفراكتلية الحديثة وكلمة كسورية.
أرز. 2. بينوا ماندلبروت.
أثناء عمله كمحلل رياضي في شركة IBM، درس الضوضاء في الدوائر الإلكترونية التي لا يمكن وصفها باستخدام الإحصائيات. وبمقارنة الحقائق تدريجيًا، توصل إلى اكتشاف اتجاه جديد في الرياضيات - الهندسة الكسورية.
تم تقديم مصطلح "فركتل" من قبل ب. ماندلبروت في عام 1975. ووفقا لماندلبروت، كسورية(من اللاتينية "fractus" - كسري، مكسور، مكسور) يسمى هيكل يتكون من أجزاء مماثلة للكل. إن خاصية التشابه الذاتي تميز بشكل حاد الفركتلات عن كائنات الهندسة الكلاسيكية. شرط التشابه الذاتيوسائل وجود بنية دقيقة ومتكررة، سواء على أصغر مقاييس الجسم أو على النطاق الكبير.
أرز. 3. نحو تعريف مفهوم "الفراكتل".
ومن أمثلة التشابه الذاتي: منحنيات كوخ، ليفي، مينكوفسكي، مثلث سيربينسكي، إسفنجة مينجر، شجرة فيثاغورس، إلخ.
من وجهة نظر رياضية، كسورية- وهذا أولاً وقبل كل شيء، تم ضبطها بأبعاد كسرية (متوسطة، "ليست عددًا صحيحًا").. في حين أن الخط الإقليدي الأملس يملأ مساحة ذات بعد واحد بالضبط، فإن المنحنى الكسري يمتد إلى ما وراء حدود الفضاء أحادي البعد، ويتعدى الحدود إلى الفضاء ثنائي الأبعاد، وبالتالي، فإن البعد الكسري لمنحنى كوخ سيكون بين 1 و 2 هذا، أولاً وقبل كل شيء، يعني أنه من المستحيل قياس طوله بدقة بالنسبة للكائنات الكسورية. من بين هذه الفركتلات الهندسية، الأول مثير جدًا للاهتمام ومشهور جدًا - ندفة الثلج كوخ.
أرز. 4. نحو تعريف مفهوم "الفراكتل".
تم بناؤه على الأساس مثلث متساوي الأضلاع. يتم استبدال كل سطر منها بأربعة أسطر، كل منها ثلث طوله الأصلي. وهكذا، مع كل تكرار، يزيد طول المنحنى بمقدار الثلث. وإذا قمنا بعدد لا حصر له من التكرارات، فسنحصل على كسورية - ندفة ثلج كوخ ذات طول لا نهائي. اتضح أن منحنىنا اللانهائي يغطي مساحة محدودة. حاول أن تفعل الشيء نفسه باستخدام طرق وأشكال من الهندسة الإقليدية.
أبعاد ندفة الثلج كوخ(عندما يزيد حجم ندفة الثلج بمقدار 3 مرات، يزداد طولها بمقدار 4 مرات) D=log(4)/log(3)=1.2619.
حول الفراكتل نفسه
تجد الفركتلات المزيد والمزيد من التطبيقات في العلوم والتكنولوجيا. والسبب الرئيسي لذلك هو أنهم يصفون العالم الحقيقي في بعض الأحيان بشكل أفضل من الفيزياء التقليدية أو الرياضيات. يمكنك تقديم أمثلة لا نهاية لها على الكائنات الكسورية في الطبيعة - وهي السحب ورقائق الثلج والجبال وميض البرق وأخيرًا القرنبيط. الفراكتل ككائن طبيعي هو حركة أبدية مستمرة وتكوين وتطور جديد.
أرز. 5. الفركتلات في الاقتصاد.
بجانب، تجد الفركتلات تطبيقًا في شبكات الكمبيوتر اللامركزية و "هوائيات كسورية" . إن ما يسمى بـ "الفركتلات البراونية" مثيرة للاهتمام للغاية وواعدة لنمذجة العمليات "العشوائية" العشوائية (غير الحتمية) المختلفة. وفي حالة تكنولوجيا النانو، تلعب الفركتلات أيضًا دورًا مهمًا ، لأنه بسبب التنظيم الذاتي الهرمي للكثيرين الأنظمة النانوية لها بعد غير صحيحأي أنها فركتلات في طبيعتها الهندسية أو الفيزيائية والكيميائية أو الوظيفية. على سبيل المثال، من الأمثلة الصارخة على أنظمة الفراكتلات الكيميائية جزيئات "التشعبات" . بالإضافة إلى ذلك، فإن مبدأ الكسورية (التشابه الذاتي، بنية القياس) هو انعكاس للبنية الهرمية للنظام، وبالتالي فهو أكثر عمومية وعالمية من الأساليب القياسية لوصف بنية وخصائص الأنظمة النانوية.
أرز. 6. جزيئات "Dendrimer".
أرز. 7. النموذج الرسومي للاتصال في العملية المعمارية والإنشائية. المستوى الأول من التفاعل من منظور العمليات الدقيقة.
أرز. 8. النموذج الرسومي للاتصال في العملية المعمارية والإنشائية. المستوى الثاني من التفاعل من منظور العمليات الكلية (جزء من النموذج).
أرز. 9. النموذج الرسومي للاتصال في العملية المعمارية والإنشائية. المستوى الثاني من التفاعل من منظور العمليات الكلية (نموذج كامل)
أرز. 10. التطوير المستوي للنموذج الرسومي. أول حالة استتبابية.
معرض صور فركتلات جميلة وغير عادية
أرز. 11.
أرز. 12.
أرز. 13.
أرز. 14.
أرز. 15.
أرز. 16.
أرز. 17.
أرز. 18.
أرز. 19.
أرز. 20.
أرز. 21.
أرز. 22.
أرز. 23.
أرز. 24.
أرز. 25.
أرز. 26.
أرز. 27.
أرز. 28.
أرز. 29.
أرز. 30.
أرز. 31.
أرز. 32.
أرز. 33.
أرز. 34.
أرز. 35.
تم الانتهاء من التصحيح والتحرير فيليبوف يو.بي.
كسورية
كسورية (lat. fractus- مكسور، مكسور، مكسور) هو شكل هندسي له خاصية التشابه الذاتي، أي يتكون من عدة أجزاء، كل منها يشبه الشكل بأكمله في الرياضيات، تُفهم الفركتلات على أنها مجموعات من النقاط في الإقليدية الفضاء الذي له بعد متري كسري (بمعنى مينكوفسكي أو هاوسدورف)، أو بعد متري يختلف عن البعد الطوبولوجي. Fractasm هو علم دقيق مستقل لدراسة وتكوين الفركتلات.
بمعنى آخر، الفركتلات هي كائنات هندسية ذات بعد كسري. على سبيل المثال، بُعد الخط هو 1، والمساحة هي 2، والحجم هو 3. بالنسبة للفركتل، يمكن أن تكون قيمة البعد بين 1 و2 أو بين 2 و3. على سبيل المثال، البعد الكسري لكسرية مجعدة الكرة الورقية حوالي 2.5. في الرياضيات، هناك صيغة معقدة خاصة لحساب أبعاد الفركتلات. فروع القصبة الهوائية، وأوراق الأشجار، والأوردة في اليد، والنهر - هذه فركتلات. بعبارات بسيطة، الفركتل هو شكل هندسي، يتكرر جزء معين منه مرارًا وتكرارًا، ويتغير في الحجم - وهذا هو مبدأ التشابه الذاتي. الفركتلات متشابهة مع نفسها، فهي متشابهة مع نفسها على جميع المستويات (أي على أي نطاق). هناك العديد من الأنواع المختلفة من الفركتلات. من حيث المبدأ، يمكن القول بأن كل ما هو موجود في العالم الحقيقي هو كسورية، سواء كانت سحابة أو جزيء الأكسجين.
كلمة "الفوضى" تجعل المرء يفكر في شيء لا يمكن التنبؤ به، ولكن في الواقع، الفوضى منظمة تمامًا وتخضع لقوانين معينة. الهدف من دراسة الفوضى والفركتلات هو التنبؤ بالأنماط التي قد تبدو للوهلة الأولى غير قابلة للتنبؤ وفوضوية تمامًا.
وكان الرائد في هذا المجال من المعرفة هو عالم الرياضيات الفرنسي الأمريكي البروفيسور بينوا ب. ماندلبروت. في منتصف الستينيات، طور الهندسة الكسورية، وكان الغرض منها تحليل الأشكال المكسورة والمتجعدة والغامضة. مجموعة ماندلبروت (الموضحة في الشكل) هي أول ارتباط ينشأ لدى الشخص عندما يسمع كلمة "فركتل". بالمناسبة، حدد ماندلبروت أن البعد الكسري للساحل الإنجليزي هو 1.25.
يتم استخدام الفركتلات بشكل متزايد في العلوم. إنهم يصفون العالم الحقيقي بشكل أفضل من الفيزياء أو الرياضيات التقليدية. الحركة البراونية هي، على سبيل المثال، الحركة العشوائية والفوضوية لجزيئات الغبار العالقة في الماء. ربما يكون هذا النوع من الحركة هو جانب الهندسة الكسورية الذي له الاستخدام العملي الأكثر. تتمتع الحركة البراونية العشوائية باستجابة ترددية يمكن استخدامها للتنبؤ بالظواهر التي تتضمن كميات كبيرة من البيانات والإحصائيات. على سبيل المثال، تنبأ ماندلبروت بالتغيرات في أسعار الصوف باستخدام الحركة البراونية.
يمكن استخدام كلمة "فركتل" ليس فقط كمصطلح رياضي. في الصحافة والأدبيات العلمية الشائعة، يمكن تسمية الكسورية بالشكل الذي يتمتع بأي من الخصائص التالية:
لديها بنية غير تافهة على جميع المستويات. وهذا على النقيض من الأشكال العادية (مثل الدائرة، القطع الناقص، الرسم البياني لوظيفة سلسة): إذا أخذنا في الاعتبار جزءًا صغيرًا من شكل منتظم على نطاق واسع جدًا، فسوف يبدو وكأنه جزء من خط مستقيم. بالنسبة للفراكتل، فإن زيادة الحجم لا تؤدي إلى تبسيط الهيكل؛ فسنرى صورة معقدة بنفس القدر على جميع المقاييس.
يشبه نفسه أو يشبه نفسه تقريبًا.
لها بعد متري كسري أو بعد متري يتجاوز البعد الطوبولوجي.
الاستخدام الأكثر فائدة للفركتلات في تكنولوجيا الكمبيوتر هو ضغط البيانات النمطي هندسي متكرر. وفي الوقت نفسه، يتم ضغط الصور بشكل أفضل بكثير من الطرق التقليدية - حتى 600:1. ميزة أخرى للضغط الكسري هو أنه عند تكبيره، لا يكون هناك تأثير بكسل، مما يؤدي إلى تفاقم الصورة بشكل كبير. علاوة على ذلك، غالبًا ما تبدو الصورة المضغوطة بشكل كسري أفضل بعد تكبيرها من ذي قبل. يعرف علماء الكمبيوتر أيضًا أن الفركتلات ذات التعقيد اللامتناهي والجمال يمكن توليدها من خلال صيغ بسيطة. تستخدم صناعة الأفلام على نطاق واسع تقنية الرسومات الكسورية لإنشاء عناصر طبيعية واقعية (السحب والصخور والظلال).
تتكيف دراسة الاضطراب في التدفقات بشكل جيد مع الفركتلات. وهذا يسمح لنا بفهم ديناميكيات التدفقات المعقدة بشكل أفضل. باستخدام الفركتلات يمكنك أيضًا محاكاة النيران. يتم تمثيل المواد المسامية بشكل جيد في شكل كسورية بسبب حقيقة أن لديها هندسة معقدة للغاية. لنقل البيانات عبر المسافات، يتم استخدام هوائيات ذات أشكال كسورية، مما يقلل بشكل كبير من حجمها ووزنها. تستخدم الفركتلات لوصف انحناء الأسطح. يتميز السطح غير المستوي بمزيج من فركتلتين مختلفتين.
العديد من الكائنات في الطبيعة لها خصائص كسورية، على سبيل المثال، السواحل، السحب، تيجان الأشجار، رقاقات الثلج، الجهاز الدوري والجهاز السنخي للإنسان أو الحيوان.
تحظى الفركتلات، خاصة على متن الطائرة، بشعبية كبيرة بسبب الجمع بين الجمال وسهولة البناء باستخدام الكمبيوتر.
ظهرت الأمثلة الأولى للمجموعات المتشابهة ذاتيًا ذات الخصائص غير العادية في القرن التاسع عشر (على سبيل المثال، دالة بولزانو، دالة فايرستراس، مجموعة كانتور). مصطلح "فركتل" صاغه بينوا ماندلبروت في عام 1975 واكتسب شعبية واسعة النطاق مع نشر كتابه "الهندسة الكسورية للطبيعة" في عام 1977.
تُظهر الصورة الموجودة على اليسار مثالًا بسيطًا لكسورية Darer Pentagon، والتي تبدو وكأنها مجموعة من الأشكال الخماسية المضغوطة معًا. في الواقع، يتم تشكيلها باستخدام البنتاغون كبادئ ومثلثات متساوية الساقين، حيث تكون نسبة الضلع الأكبر إلى الضلع الأصغر تساوي تمامًا ما يسمى النسبة الذهبية (1.618033989 أو 1/(2cos72°)) كما مولد. يتم قطع هذه المثلثات من منتصف كل خماسي، مما ينتج عنه شكل يشبه 5 خماسيات صغيرة ملتصقة بمخماس واحد كبير. 
تقول نظرية الفوضى أن الأنظمة غير الخطية المعقدة لا يمكن التنبؤ بها وراثيا، ولكنها تدعي في الوقت نفسه أن طريقة التعبير عن مثل هذه الأنظمة التي لا يمكن التنبؤ بها تبين أنها صحيحة ليس في المساواة الدقيقة، ولكن في تمثيل سلوك النظام - في الرسوم البيانية لجاذبات غريبة ، والتي لها شكل فركتلات. وهكذا، فإن نظرية الفوضى، التي يعتقد الكثير من الناس أنها عدم القدرة على التنبؤ، تبين أنها علم القدرة على التنبؤ حتى في أكثر الأنظمة غير المستقرة. تظهر دراسة الأنظمة الديناميكية أن المعادلات البسيطة يمكن أن تؤدي إلى سلوك فوضوي حيث لا يعود النظام أبدًا إلى حالة مستقرة ولا يظهر أي نمط. في كثير من الأحيان، تتصرف هذه الأنظمة بشكل طبيعي تمامًا حتى قيمة معينة لمعلمة رئيسية، ثم تمر بمرحلة انتقالية يكون فيها احتمالان لمزيد من التطوير، ثم أربعة، وأخيرًا مجموعة فوضوية من الاحتمالات.
مخططات العمليات التي تحدث في الكائنات التقنية لها بنية كسورية محددة بوضوح. يتضمن هيكل النظام الفني البسيط (TS) حدوث نوعين من العمليات داخل TS - العملية الرئيسية والعمليات الداعمة، وهذا التقسيم مشروط ونسبي. يمكن لأي عملية أن تكون هي الرئيسية بالنسبة للعمليات الداعمة، ويمكن اعتبار أي من العمليات الداعمة هي الرئيسية بالنسبة للعمليات الداعمة لها. تشير الدوائر الموجودة في الرسم التخطيطي إلى التأثيرات المادية التي تضمن حدوث تلك العمليات التي ليس من الضروري إنشاء مركبات "خاصة" لها بشكل خاص. هذه العمليات هي نتيجة التفاعلات بين المواد والحقول والمواد والمجالات. على وجه الدقة، التأثير المادي هو مركبة لا يمكننا التأثير على مبدأ تشغيلها، ولا نريد أو لا تتاح لنا الفرصة للتدخل في تصميمها. 
يتم ضمان تدفق العملية الرئيسية الموضحة في الرسم البياني من خلال وجود ثلاث عمليات داعمة، وهي العمليات الرئيسية لـ TS التي تولدها. لكي نكون منصفين، نلاحظ أنه من الواضح أن ثلاث عمليات ليست كافية لتشغيل حتى الحد الأدنى من TS، أي. المخطط مبالغ فيه للغاية.
كل شيء أبعد ما يكون عن البساطة كما هو موضح في الرسم البياني. لا يمكن تنفيذ العملية المفيدة (التي يحتاجها الإنسان) بكفاءة مائة بالمائة. يتم إنفاق الطاقة المتبددة على إنشاء عمليات ضارة - التدفئة والاهتزاز وما إلى ذلك. ونتيجة لذلك، تنشأ الأشياء الضارة بالتوازي مع العملية المفيدة. ليس من الممكن دائمًا استبدال العملية "السيئة" بعملية "جيدة"، لذلك من الضروري تنظيم عمليات جديدة تهدف إلى التعويض عن العواقب الضارة بالنظام. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك الحاجة إلى مكافحة الاحتكاك، الأمر الذي يفرض على المرء تنظيم مخططات تزييت بارعة، أو استخدام مواد باهظة الثمن مضادة للاحتكاك، أو قضاء بعض الوقت في تشحيم المكونات والأجزاء أو استبدالها بشكل دوري.
ونظرًا لوجود التأثير الحتمي للبيئة المتغيرة، فقد تكون هناك حاجة إلى إدارة عملية مفيدة. يمكن إجراء التحكم إما باستخدام أجهزة أوتوماتيكية أو مباشرة بواسطة شخص. مخطط العملية هو في الواقع مجموعة من الأوامر الخاصة، أي. خوارزمية. جوهر (وصف) كل أمر هو مجمل عملية واحدة مفيدة، والعمليات الضارة المصاحبة لها، ومجموعة من عمليات التحكم الضرورية. في مثل هذه الخوارزمية، تكون مجموعة العمليات الداعمة روتينًا فرعيًا عاديًا - وهنا نكتشف أيضًا كسورية. تم إنشاء طريقة R. Koller منذ ربع قرن، مما يجعل من الممكن إنشاء أنظمة بمجموعة محدودة إلى حد ما من 12 زوجًا فقط من الوظائف (العمليات).
مجموعات متشابهة ذاتيا مع خصائص غير عادية في الرياضيات
منذ نهاية القرن التاسع عشر، ظهرت في الرياضيات أمثلة على كائنات متشابهة ذات خصائص مرضية من وجهة نظر التحليل الكلاسيكي. وتشمل هذه ما يلي:
مجموعة كانتور هي مجموعة مثالية كثيفة لا تعد ولا تحصى. عن طريق تعديل الإجراء، يمكن للمرء أيضًا الحصول على مجموعة كثيفة من الطول الإيجابي.
يعتبر مثلث Sierpinski ("مفرش المائدة") وسجادة Sierpinski نظائرها من مجموعة Cantor على الطائرة.
إسفنجة منجر هي نظير لإسفنجة كانتور الموجودة في مساحة ثلاثية الأبعاد؛
أمثلة على Weierstrass وVan der Waerden للدالة المستمرة التي لا يمكن تفاضلها في أي مكان.
منحنى كوخ هو منحنى مستمر غير متقاطع ذاتيًا وطوله لا نهائي ولا يوجد له مماس عند أي نقطة؛
منحنى البيانو هو منحنى مستمر يمر بجميع نقاط المربع.
كما أن مسار الجسيم البراوني لا يمكن تمييزه في أي مكان بالاحتمال 1.
البعد Hausdorff هو اثنان
بناء منحنى كوخ
هناك إجراء عودي بسيط للحصول على منحنيات كسورية على المستوى. دعونا نحدد خطًا متقطعًا عشوائيًا يحتوي على عدد محدود من الروابط، يسمى المولد. بعد ذلك، دعونا نستبدل كل قطعة فيه بمولد (بتعبير أدق، خط متقطع يشبه المولد). في الخط المتقطع الناتج، نستبدل كل قطعة بمولد مرة أخرى. بالاستمرار إلى ما لا نهاية، في الحد نحصل على منحنى كسورية. يوضح الشكل الموجود على اليمين الخطوات الأربع الأولى لهذا الإجراء لمنحنى كوخ.
ومن أمثلة هذه المنحنيات:
منحنى التنين,
منحنى كوخ (ندفة الثلج كوخ)،
منحنى ليوي,
منحنى مينكوفسكي,
منحنى هيلبرت,
كسر (منحنى) التنين (هاتر-هايثواي كسورية)،
منحنى البيانو.
باستخدام إجراء مماثل، يتم الحصول على شجرة فيثاغورس.
الفركتلات كنقاط ثابتة لتعيينات الضغط
يمكن التعبير عن خاصية التشابه الذاتي رياضيا بدقة على النحو التالي. اسمحوا أن تكون خرائط تقلصية للطائرة. خذ بعين الاعتبار التعيين التالي على مجموعة جميع المجموعات الفرعية المدمجة (المغلقة والمحدودة) للمستوى:
يمكن إثبات أن رسم الخرائط عبارة عن رسم خرائط انكماشي على مجموعة كومباكتا بمقياس هاوسدورف. لذلك، وفقًا لنظرية باناخ، فإن هذا التعيين له نقطة ثابتة فريدة. هذه النقطة الثابتة ستكون فراكتلنا.
يعد الإجراء العودي للحصول على منحنيات كسورية الموصوفة أعلاه حالة خاصة لهذا البناء. جميع التعيينات الموجودة فيه عبارة عن تعيينات تشابه و- عدد روابط المولد.
بالنسبة لمثلث سيربنسكي والخريطة، فإنهما متجانستان بمراكز عند رؤوس مثلث منتظم ومعامل 1/2. من السهل أن نرى أن مثلث سيربينسكي يتحول إلى نفسه عند تعيينه.
في الحالة التي تكون فيها التعيينات عبارة عن تحويلات تشابه مع المعاملات، يمكن حساب بُعد الفراكتل (في ظل بعض الشروط الفنية الإضافية) كحل للمعادلة. وهكذا نحصل على مثلث Sierpinski 
.
وبنفس نظرية باناخ، بدءًا من أي مجموعة مدمجة وتطبيق تكرارات الخريطة عليها، نحصل على سلسلة من المجموعات المدمجة المتقاربة (بمعنى مقياس هاوسدورف) مع الفراكتل الخاص بنا.
فركتلات في ديناميات معقدة
مجموعة جوليا
مجموعة جوليا أخرى
تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند دراسة الأنظمة الديناميكية غير الخطية. الحالة الأكثر دراسة هي عندما يتم تعريف النظام الديناميكي من خلال تكرارات دالة متعددة الحدود أو دالة هولومورفية لمتغير معقد على المستوى. تعود الدراسات الأولى في هذا المجال إلى بداية القرن العشرين وترتبط بأسماء فاتو وجوليا.
يترك ف(ض) - متعدد الحدود، ض 0 هو رقم مركب. النظر في التسلسل التالي: ض 0 , ض 1 =ف(ض 0), ض 2 =ف(ف(ض 0)) = ف(ض 1),ض 3 =ف(ف(ف(ض 0)))=ف(ض 2), …
نحن مهتمون بسلوك هذا التسلسل كما يميل نإلى ما لا نهاية. يمكن لهذا التسلسل:
نسعى نحو اللانهاية،
نسعى جاهدين للحد الأقصى
يُظهر سلوكًا دوريًا في الحد، على سبيل المثال: ض 1 , ض 2 , ض 3 , ض 1 , ض 2 , ض 3 , …
التصرف بشكل فوضوي، أي عدم إظهار أي من أنواع السلوك الثلاثة المذكورة.
مجموعات من القيم ض 0، حيث يُظهر التسلسل نوعًا معينًا من السلوك، بالإضافة إلى نقاط التشعب المتعددة بين الأنواع المختلفة، غالبًا ما يكون لها خصائص كسورية.
وبالتالي، فإن مجموعة جوليا هي مجموعة نقاط التشعب لكثيرة الحدود ف(ض)=ض 2 +ج(أو وظيفة أخرى مماثلة)، أي تلك القيم ض 0 الذي سلوك التسلسل ( ض ن) يمكن أن تتغير بشكل كبير مع تغييرات صغيرة بشكل تعسفي ض 0 .
هناك خيار آخر للحصول على مجموعات كسورية وهو إدخال معلمة في كثير الحدود ف(ض) والنظر في مجموعة قيم المعلمات التي يتم من خلالها التسلسل ( ض ن) يُظهر سلوكًا معينًا عند ثابت ض 0 . وهكذا، فإن مجموعة ماندلبروت هي مجموعة الكل، والتي ( ض ن) ل ف(ض)=ض 2 +جو ض 0 لا يذهب إلى ما لا نهاية.
مثال مشهور آخر من هذا النوع هو برك نيوتن.
من الشائع إنشاء صور رسومية جميلة تعتمد على ديناميكيات معقدة عن طريق تلوين نقاط المستوى اعتمادًا على سلوك الأنظمة الديناميكية المقابلة. على سبيل المثال، لإكمال مجموعة ماندلبروت، يمكنك تلوين النقاط اعتمادًا على سرعة الشفط ( ض ن) إلى ما لا نهاية (يتم تعريفه، على سبيل المثال، على أنه أصغر رقم ن، حيث | ض ن| سوف تتجاوز قيمة كبيرة ثابتة أ.
البيومورفات هي فركتلات مبنية على أساس ديناميكيات معقدة وتذكرنا بالكائنات الحية.
فركتلات العشوائية
كسورية عشوائية على أساس مجموعة جوليا
الكائنات الطبيعية غالبا ما يكون لها شكل كسورية. يمكن استخدام الفركتلات العشوائية (العشوائية) لصياغتها. أمثلة على فركتلات العشوائية:
مسار الحركة البراونية على المستوى وفي الفضاء؛
حدود مسار الحركة البراونية على المستوى. وفي عام 2001، أثبت لولر وشرام وفيرنر فرضية ماندلبروت بأن بعده هو 4/3.
تطورات شرام-لونر هي منحنيات فركتلية ثابتة امتثاليًا تنشأ في نماذج ثنائية الأبعاد هامة للميكانيكا الإحصائية، على سبيل المثال، في نموذج إيسينج والترشيح.
أنواع مختلفة من الفركتلات العشوائية، أي الفركتلات التي يتم الحصول عليها باستخدام إجراء متكرر يتم فيه إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة. تعد البلازما مثالاً على استخدام مثل هذا الفراكتل في رسومات الكمبيوتر.
في الطبيعة
منظر أمامي للقصبة الهوائية والشعب الهوائية
شجرة الشعب الهوائية
شبكة الأوعية الدموية
طلب
العلوم الطبيعية
في الفيزياء، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية، مثل تدفق السوائل المضطرب، وعمليات الانتشار والامتزاز المعقدة، واللهب، والسحب، وما إلى ذلك. وتستخدم الفركتلات عند نمذجة المواد المسامية، على سبيل المثال، في البتروكيمياء. في علم الأحياء، يتم استخدامها لنمذجة السكان ووصف أجهزة الأعضاء الداخلية (نظام الأوعية الدموية).
هندسة الراديو
هوائيات كسورية
تم استخدام الهندسة الكسورية في تصميم أجهزة الهوائيات لأول مرة من قبل المهندس الأمريكي ناثان كوهين، الذي كان يعيش آنذاك في وسط مدينة بوسطن، حيث كان تركيب الهوائيات الخارجية على المباني محظورًا. قام ناثان بقص شكل منحنى كوخ من رقائق الألومنيوم وألصقه على قطعة من الورق، ثم ألصقه بجهاز الاستقبال. أسس كوهين شركته الخاصة وبدأ إنتاجها التسلسلي.
المعلوماتية
ضغط الصورة
المقال الرئيسي: خوارزمية الضغط الفراكتلية
شجرة كسورية
هناك خوارزميات ضغط الصور باستخدام فركتلات. وهي تستند إلى فكرة أنه بدلاً من الصورة نفسها، يمكن للمرء تخزين خريطة ضغط تكون فيها هذه الصورة (أو صورة قريبة منها) نقطة ثابتة. تم استخدام أحد المتغيرات لهذه الخوارزمية [ المصدر غير محدد 895 يوما] بواسطة مايكروسوفت عند نشر موسوعتها، لكن هذه الخوارزميات لم تكن مستخدمة على نطاق واسع.
رسومات الحاسوب
شجرة كسورية أخرى
تُستخدم الفركتلات على نطاق واسع في رسومات الكمبيوتر لإنشاء صور للأشياء الطبيعية، مثل الأشجار والشجيرات والمناظر الطبيعية الجبلية وأسطح البحار وما إلى ذلك. هناك العديد من البرامج المستخدمة لتوليد الصور الفراكتلية، انظر مولد الفراكتل (برنامج).
الشبكات اللامركزية
يستخدم نظام تعيين عنوان IP في شبكة Netsukuku مبدأ ضغط المعلومات النمطي هندسي متكرر لتخزين المعلومات حول عقد الشبكة بشكل مضغوط. تقوم كل عقدة في شبكة Netsukuku بتخزين 4 كيلوبايت فقط من المعلومات حول حالة العقد المجاورة، بينما تتصل أي عقدة جديدة بالشبكة المشتركة دون الحاجة إلى تنظيم مركزي لتوزيع عناوين IP، وهو أمر نموذجي على سبيل المثال إنترنت. وبالتالي، فإن مبدأ ضغط المعلومات الكسورية يضمن اللامركزية الكاملة، وبالتالي، التشغيل الأكثر استقرارًا للشبكة بأكملها.
الرياضيات,
إذا نظرت إليها بشكل صحيح،
لا يعكس الحقيقة فقط،
ولكن أيضًا جمال لا يضاهى.
برتراند راسل.
لقد سمعت، بالطبع، عن الفركتلات. من المؤكد أنك شاهدت هذه الصور المذهلة من Bryce3d والتي هي أكثر واقعية من الواقع نفسه. الجبال والسحب ولحاء الأشجار - كل هذا يتجاوز الهندسة الإقليدية المعتادة. فلا يمكننا وصف صخرة أو حدود جزيرة بخطوط مستقيمة ودوائر ومثلثات. وهنا تأتي الفركتلات لمساعدتنا. ما هؤلاء الغرباء المألوفين؟ متى ظهروا؟
تاريخ المظهر.
ظهرت الأفكار الأولى للهندسة الكسورية في القرن التاسع عشر. قام كانتور، باستخدام إجراء متكرر (متكرر) بسيط، بتحويل الخط إلى مجموعة من النقاط غير المتصلة (ما يسمى بغبار كانتور). كان يأخذ خطًا ويزيل الثلث المركزي ثم يكرر نفس الشيء مع الأقسام المتبقية. رسم بيانو خطًا من نوع خاص (الشكل رقم 1). لرسمه، استخدم بيانو الخوارزمية التالية.
في الخطوة الأولى، أخذ خطًا مستقيمًا واستبدله بـ 9 أجزاء أقصر بثلاث مرات من طول الخط الأصلي (الجزء 1 و 2 من الشكل 1). ثم فعل الشيء نفسه مع كل جزء من السطر الناتج. وهكذا إلى ما لا نهاية. تفرده هو أنه يملأ المستوى بأكمله. لقد ثبت أنه لكل نقطة على المستوى يمكن العثور على نقطة تنتمي إلى خط بيانو. لقد تجاوز منحنى بيانو وغبار كانتور الأجسام الهندسية العادية. لم يكن لديهم بعدا واضحا. يبدو أن غبار كانتور مبني على أساس خط مستقيم أحادي البعد، ولكنه يتكون من نقاط (البعد 0). وتم بناء منحنى بيانو على أساس خط أحادي البعد، وكانت النتيجة مستوى. وفي العديد من مجالات العلوم الأخرى ظهرت مشاكل أدى حلها إلى نتائج غريبة مشابهة لتلك المذكورة أعلاه (الحركة البراونية، أسعار الأسهم).
أبو الفركتلات
حتى القرن العشرين، تم تجميع البيانات حول مثل هذه الأشياء الغريبة، دون أي محاولة لتنظيمها. كان ذلك حتى تناولها بينوا ماندلبروت، أبو الهندسة الكسورية الحديثة وكلمة كسورية. أثناء عمله كمحلل رياضي في شركة IBM، درس الضوضاء في الدوائر الإلكترونية التي لا يمكن وصفها باستخدام الإحصائيات. بمقارنة الحقائق تدريجيًا، توصل إلى اكتشاف اتجاه جديد في الرياضيات - الهندسة الكسورية.
ما هو الفراكتل؟ ماندلبروت نفسه اشتق كلمة كسورية من الكلمة اللاتينية fractus، والتي تعني مكسور (مقسم إلى أجزاء). وأحد تعريفات الفراكتل هو شكل هندسي مكون من أجزاء ويمكن تقسيمها إلى أجزاء، يمثل كل منها نسخة أصغر من الكل (تقريبًا على الأقل).
لتخيل كسورية بشكل أكثر وضوحًا، دعونا نفكر في المثال الوارد في كتاب ب. ماندلبروت "الهندسة الكسورية للطبيعة"، والذي أصبح كتابًا كلاسيكيًا - "ما هو طول ساحل بريطانيا؟" الإجابة على هذا السؤال ليست بسيطة كما يبدو. كل هذا يتوقف على طول الأداة التي سنستخدمها. وبقياس الشاطئ باستخدام مسطرة الكيلومتر، سنحصل على بعض الطول. ومع ذلك، سنفتقد العديد من الخلجان الصغيرة وشبه الجزيرة الأصغر حجمًا بكثير من خطنا. من خلال تقليل حجم المسطرة إلى متر واحد على سبيل المثال، سنأخذ في الاعتبار تفاصيل المناظر الطبيعية هذه، وبالتالي يصبح طول الساحل أكبر. دعنا نذهب أبعد من ذلك ونقيس طول الشاطئ باستخدام مسطرة المليمتر، وسنأخذ في الاعتبار التفاصيل التي يزيد حجمها عن المليمتر، وسيكون الطول أكبر. ونتيجة لذلك، فإن الإجابة على مثل هذا السؤال الذي يبدو بسيطا يمكن أن تحير أي شخص - طول ساحل بريطانيا لا نهاية له.
قليلا عن الأبعاد.
في حياتنا اليومية نواجه باستمرار أبعادًا. نقدر طول الطريق (250 م) ونكتشف مساحة الشقة (78 م2) ونبحث عن حجم زجاجة بيرة على الملصق (0.33 دسم3). هذا المفهوم بديهي تمامًا ويبدو أنه لا يحتاج إلى توضيح. الخط له البعد 1. هذا يعني أنه باختيار نقطة مرجعية، يمكننا تحديد أي نقطة على هذا الخط باستخدام رقم واحد - موجب أو سالب. علاوة على ذلك، ينطبق هذا على جميع الخطوط - الدائرة، المربع، القطع المكافئ، إلخ.
البعد 2 يعني أنه يمكننا تحديد أي نقطة بشكل فريد برقمين. لا أعتقد أن ثنائي الأبعاد يعني شقة. سطح الكرة أيضًا ثنائي الأبعاد (يمكن تعريفه باستخدام قيمتين - زوايا مثل العرض وخط الطول).
إذا نظرت إليها من وجهة نظر رياضية، يتم تحديد البعد على النحو التالي: بالنسبة للكائنات ذات البعد الواحد، فإن مضاعفة حجمها الخطي يؤدي إلى زيادة في الحجم (في هذه الحالة، الطول) بعامل اثنين (2^ 1).
بالنسبة للكائنات ثنائية الأبعاد، يؤدي مضاعفة الأبعاد الخطية إلى زيادة الحجم (على سبيل المثال، مساحة المستطيل) بمقدار أربعة أضعاف (2^2).
بالنسبة للكائنات ثلاثية الأبعاد، يؤدي مضاعفة الأبعاد الخطية إلى زيادة الحجم بمقدار ثمانية أضعاف (2^3) وهكذا.
وبالتالي، يمكن حساب البعد D على أساس اعتماد الزيادة في "حجم" الكائن S على الزيادة في الأبعاد الخطية L. D=log(S)/log(L). بالنسبة للسطر D=log(2)/log(2)=1. بالنسبة للمستوى D=log(4)/log(2)=2. بالنسبة للمجلد D=log(8)/log(2)=3. قد يكون الأمر مربكًا بعض الشيء، لكنه بشكل عام ليس معقدًا ومفهومًا.
لماذا أقول كل هذا؟ ومن أجل فهم كيفية فصل الفركتلات عن النقانق على سبيل المثال. دعونا نحاول حساب البعد لمنحنى بيانو. لذلك، لدينا الخط الأصلي، الذي يتكون من ثلاثة أجزاء بطول X، تم استبداله بـ 9 أجزاء أقصر بثلاث مرات. وبالتالي، عندما يزيد الحد الأدنى للقطعة بمقدار 3 مرات، فإن طول الخط بأكمله يزيد بمقدار 9 مرات ويكون D=log(9)/log(3)=2 كائنًا ثنائي الأبعاد!!!
لذلك، عندما يكون بُعد الشكل الذي تم الحصول عليه من بعض الأشياء البسيطة (القطع) أكبر من بُعد هذه الكائنات، فإننا نتعامل مع كسورية.
يتم تقسيم الفركتلات إلى مجموعات. أكبر المجموعات هي:
فركتلات هندسية.
هذا هو المكان الذي بدأ فيه تاريخ الفركتلات. يتم الحصول على هذا النوع من الفراكتل من خلال إنشاءات هندسية بسيطة. عادة، عند بناء هذه الفركتلات، يفعلون ذلك: يأخذون "بذرة" - بديهية - مجموعة من الأجزاء التي سيتم بناء الفركتلات عليها. بعد ذلك، يتم تطبيق مجموعة من القواعد على هذه "البذرة"، والتي تحولها إلى شكل هندسي ما. بعد ذلك، يتم تطبيق نفس مجموعة القواعد مرة أخرى على كل جزء من هذا الشكل. مع كل خطوة، سيصبح الشكل أكثر تعقيدًا، وإذا نفذنا (على الأقل في أذهاننا) عددًا لا حصر له من التحولات، فسنحصل على كسورية هندسية.
منحنى بيانو الذي تمت مناقشته أعلاه هو كسورية هندسية. يوضح الشكل أدناه أمثلة أخرى للفركتلات الهندسية (من اليسار إلى اليمين ندفة الثلج لكوخ، ليزت، مثلث سيربينسكي).
ندفة الثلج كوخ
ملزمة
مثلث سيربينسكي
من بين هذه الفركتلات الهندسية، الأولى، ندفة ثلج كوخ، مثيرة جدًا للاهتمام ومشهورة جدًا. أنها مبنية على أساس مثلث متساوي الأضلاع. يتم استبدال كل سطر ___ بأربعة أسطر كل منها 1/3 طول الأصل _/\_. وهكذا، مع كل تكرار، يزيد طول المنحنى بمقدار الثلث. وإذا قمنا بعدد لا حصر له من التكرارات، فسنحصل على كسورية - ندفة ثلج كوخ ذات طول لا نهائي. اتضح أن منحنىنا اللانهائي يغطي مساحة محدودة. حاول أن تفعل الشيء نفسه باستخدام طرق وأشكال من الهندسة الإقليدية.
أبعاد ندفة الثلج كوخ (عندما يزيد حجم ندفة الثلج بمقدار 3 مرات، يزداد طولها بمقدار 4 مرات) D=log(4)/log(3)=1.2619...
إن ما يسمى بـ L-Systems مناسب تمامًا لبناء الفركتلات الهندسية. جوهر هذه الأنظمة هو أن هناك مجموعة معينة من رموز النظام، كل منها يدل على إجراء معين ومجموعة من قواعد تحويل الرمز. على سبيل المثال، وصف ندفة الثلج لكوخ باستخدام L-Systems في برنامج Fractint
; أدريان ماريانو من الهندسة الكسورية للطبيعة لماندلبروتكوخ1 ( اضبط زاوية الدوران على 360/6=60 درجةالزاوية 6 ; الرسم الأولي للبناءاكسيوم F--F--F ; قاعدة تحويل الأحرفو=و+و--و+و )وفي هذا الوصف تكون المعاني الهندسية للرموز كما يلي:
F تعني رسم خط + الدوران في اتجاه عقارب الساعة - الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة
الخاصية الثانية للفركتلات هي التشابه الذاتي. خذ على سبيل المثال مثلث سيربينسكي. لبنائه، قمنا "بقطع" مثلث من مركز مثلث متساوي الأضلاع. دعونا نكرر نفس الإجراء مع المثلثات الثلاثة المتكونة (باستثناء المثلث المركزي) وهكذا إلى ما لا نهاية. إذا أخذنا الآن أيًا من المثلثات الناتجة وقمنا بتكبيرها، فسنحصل على نسخة طبق الأصل من الكل. في هذه الحالة نحن نتعامل مع التشابه الذاتي الكامل.
اسمحوا لي أن أبدي تحفظًا على الفور بأن معظم الرسومات الكسورية في هذه المقالة تم الحصول عليها باستخدام برنامج Fractint. إذا كنت مهتمًا بالفركتلات، فهذا البرنامج ضروري لك. بمساعدتها، يمكنك بناء مئات من الفركتلات المختلفة، والحصول على معلومات شاملة عنها، وحتى الاستماع إلى صوت الفركتلات؛).
القول بأن البرنامج جيد يعني عدم قول أي شيء. إنه رائع، باستثناء شيء واحد - أحدث إصدار 20.0 متوفر فقط في إصدار DOS:(. يمكنك العثور على هذا البرنامج (أحدث إصدار 20.0) على http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .
اترك تعليقا
تعليقات
حسنًا، بالنسبة للمبتدئين، هناك مثال مثير للاهتمام من Microsoft Excel. الخلايا A2 وB2 لها نفس القيم بين 0 و1. مع قيمة 0.5 لا يوجد أي تأثير.
مرحباً بكل من تمكن من عمل برنامج باستخدام الصورة الأخوية. من يستطيع أن يخبرني ما هي طريقة الدورة الأفضل بالنسبة لي لاستخدامها في بناء تطهير السراخس الكسورية بدعم ثلاثي الأبعاد كحد أقصى مع تكرار dt قدره 100000 على حجر بـ 2800 مللي أمبير
يوجد كود مصدري مع برنامج لرسم منحنى Dragon، وهو أيضًا كسورية.
المقال رائع ومن المحتمل أن يكون Excel خطأ في المعالج الثانوي (في آخر الأرقام ذات الترتيب المنخفض)
أهلا بالجميع! اسمي هو ريبينيك فاليريا,أوليانوفسك واليوم سأقوم بنشر العديد من مقالاتي العلمية على موقع LCI.
سيتم تخصيص مقالتي العلمية الأولى في هذه المدونة لـ فركتلات. سأقول على الفور أن مقالاتي مصممة لأي جمهور تقريبًا. أولئك. آمل أن تكون ذات فائدة لكل من تلاميذ المدارس والطلاب.
لقد تعلمت مؤخرًا عن أشياء مثيرة للاهتمام في عالم الرياضيات مثل الفركتلات. لكنها موجودة ليس فقط في الرياضيات. إنهم يحيطون بنا في كل مكان. الفركتلات طبيعية. سأتحدث عن ماهية الفركتلات وعن أنواع الفركتلات وعن أمثلة لهذه الكائنات وتطبيقاتها في هذه المقالة. في البداية، سأخبرك بإيجاز ما هو الفراكتل.
كسورية(باللاتينية fractus - مسحوق، مكسور، مكسور) هو شكل هندسي معقد له خاصية التشابه الذاتي، أي يتكون من عدة أجزاء، كل جزء منها يشبه الشكل بأكمله. بمعنى أوسع، تُفهم الفركتلات على أنها مجموعات من النقاط في الفضاء الإقليدي لها بُعد متري كسري (بمعنى مينكوفسكي أو هاوسدورف)، أو بُعد متري مختلف عن البعد الطوبولوجي. على سبيل المثال، سوف أقوم بإدراج صورة تصور أربعة فركتلات مختلفة.
سأخبرك قليلاً عن تاريخ الفركتلات. أصبحت مفاهيم الهندسة الكسورية والكسورية، التي ظهرت في أواخر السبعينيات، راسخة بين علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينات. كلمة "فركتل" صاغها بينوا ماندلبروت في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكن المشابهة ذاتيًا التي كان مهتمًا بها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الكسورية بنشر كتاب ماندلبروت الهندسة الكسورية للطبيعة في عام 1977. استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوينكاريه، فاتو، جوليا، كانتور، هاوسدورف). ولكن في عصرنا فقط أصبح من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.
هناك الكثير من الأمثلة على الفركتلات، لأنها، كما قلت، تحيط بنا في كل مكان. في رأيي، حتى كوننا بأكمله عبارة عن فراكتل واحد ضخم. بعد كل شيء، كل شيء فيه، من بنية الذرة إلى بنية الكون نفسه، يكرر بعضها البعض بالضبط. ولكن هناك، بالطبع، أمثلة أكثر تحديدًا للفركتلات من مناطق مختلفة. الفركتلات، على سبيل المثال، موجودة في ديناميكيات معقدة. هناك تظهر بشكل طبيعي في دراسة اللاخطية الأنظمة الديناميكية. الحالة الأكثر دراسة هي عندما يتم تحديد النظام الديناميكي من خلال التكرارات متعدد الحدودأو هولومورفيك وظيفة مجمع من المتغيراتعلى متن طائرة. ومن أشهر الفركتلات من هذا النوع مجموعة جوليا ومجموعة ماندلبروت ومجمعات نيوتن. أدناه، بالترتيب، الصور تصور كل من الفركتلات المذكورة أعلاه.
مثال آخر على الفركتلات هو المنحنيات الفركتلية. من الأفضل شرح كيفية إنشاء فراكتل باستخدام مثال المنحنيات الفراكتلية. أحد هذه المنحنيات هو ما يسمى بـ Koch Snowflake. هناك إجراء بسيط للحصول على منحنيات كسورية على المستوى. دعونا نحدد خطًا متقطعًا عشوائيًا يحتوي على عدد محدود من الروابط، يسمى المولد. بعد ذلك، نستبدل كل قطعة فيه بمولد (بتعبير أدق، خط متقطع يشبه المولد). في الخط المتقطع الناتج، نستبدل كل قطعة بمولد مرة أخرى. بالاستمرار إلى ما لا نهاية، في الحد نحصل على منحنى كسورية. يوجد أدناه ندفة الثلج Koch (أو المنحنى).
هناك أيضًا مجموعة كبيرة ومتنوعة من المنحنيات الفراكتلية. وأشهرها هي ندفة الثلج كوخ التي سبق ذكرها، بالإضافة إلى منحنى ليفي، ومنحنى مينكوفسكي، وخط التنين المكسور، ومنحنى البيانو، وشجرة فيثاغورس. أعتقد أنه يمكنك بسهولة العثور على صورة لهذه الفركتلات وتاريخها على ويكيبيديا إذا كنت ترغب في ذلك.
المثال الثالث أو نوع الفركتلات هو الفركتلات العشوائية. تتضمن هذه الفركتلات مسار الحركة البراونية على المستوى وفي الفضاء، وتطور شرام-لونر، وأنواع مختلفة من الفركتلات العشوائية، أي الفركتلات التي تم الحصول عليها باستخدام إجراء عودي يتم فيه إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة.
هناك أيضًا فركتلات رياضية بحتة. هذه، على سبيل المثال، مجموعة كانتور، اسفنجة مينجر، مثلث سيربينسكي وغيرها.
ولكن ربما تكون الفركتلات الأكثر إثارة للاهتمام هي الطبيعية. الفركتلات الطبيعية هي كائنات في الطبيعة لها خصائص كسورية. وهنا القائمة كبيرة بالفعل. لن أذكر كل شيء، لأنه ربما يكون من المستحيل سردهم جميعًا، لكنني سأخبرك ببعضها. على سبيل المثال، في الطبيعة الحية، تشمل هذه الفركتلات نظام الدورة الدموية والرئتين. وكذلك تيجان وأوراق الأشجار. ويشمل ذلك أيضًا نجم البحر وقنافذ البحر والشعاب المرجانية وأصداف البحر وبعض النباتات مثل الملفوف أو البروكلي. يتم عرض العديد من هذه الفركتلات الطبيعية من الطبيعة الحية بوضوح أدناه.
إذا نظرنا إلى الطبيعة غير الحية، فهناك العديد من الأمثلة الأكثر إثارة للاهتمام هناك من الطبيعة الحية. البرق، رقاقات الثلج، السحب، المعروفة للجميع، الأنماط على النوافذ في الأيام الفاترة، البلورات، سلاسل الجبال - كل هذه أمثلة على فركتلات طبيعية من الطبيعة غير الحية.
نظرنا إلى أمثلة وأنواع الفركتلات. أما بالنسبة لاستخدام الفركتلات، فهي تستخدم في مجموعة متنوعة من مجالات المعرفة. في الفيزياء، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية، مثل تدفق السوائل المضطرب، وعمليات الانتشار والامتزاز المعقدة، واللهب، والسحب، وما إلى ذلك. وتستخدم الفركتلات عند نمذجة المواد المسامية، على سبيل المثال، في البتروكيمياء. في علم الأحياء، يتم استخدامها لنمذجة السكان ووصف أجهزة الأعضاء الداخلية (نظام الأوعية الدموية). بعد إنشاء منحنى كوخ، تم اقتراح استخدامه في حساب طول الخط الساحلي. تُستخدم الفركتلات أيضًا بنشاط في هندسة الراديو وعلوم المعلومات وتكنولوجيا الكمبيوتر والاتصالات وحتى الاقتصاد. وبطبيعة الحال، يتم استخدام الرؤية الكسورية بنشاط في الفن والهندسة المعمارية الحديثة. فيما يلي أحد الأمثلة على الأنماط الفراكتلية:
وهكذا، أعتقد أنه بهذا أكمل قصتي حول ظاهرة رياضية غير عادية مثل الفراكتل. لقد تعلمنا اليوم عن ماهية الفركتلات، وكيف ظهرت، وعن أنواع وأمثلة الفركتلات. تحدثت أيضًا عن استخدامها وأظهرت بعض الفركتلات بصريًا. أتمنى أن تستمتع بهذه الرحلة الصغيرة إلى عالم الأجسام الكسورية المذهلة والرائعة.
مثال كسورية
تم تقديم "الفراكتل" للاستخدام من قبل علماء الرياضيات منذ أقل من نصف قرن، وسرعان ما أصبح، إلى جانب التآزر والجذب، أحد "الركائز الثلاثة" لنظرية الفوضى الحتمية الناشئة، ويُعترف به اليوم بالفعل كواحد من الركائز الثلاث. العناصر الأساسية لبنية الكون.
مع تتم ترجمة الكلمة اللاتينية fractusباعتبارها "مكسورة"، أعطتها اللغات اللاتينية الحديثة معنى "ممزقة". الفركتل هو شيء مطابق للكل/الأكبر الذي هو جزء منه، وفي الوقت نفسه، ينسخ كل جزء من الأجزاء المكونة له. ومن ثم فإن «الكسورية» هي تشابه لا نهائي لـ«كل شيء» مع مكوناته، أي أنها تشابه ذاتي على أي مستوى. يُطلق على كل مستوى من الفرع الكسري "تكرار"؛ وكلما كان النظام الموصوف أو الموضح بيانيًا أكثر تطورًا، كلما زادت التكرارات الكسورية التي يراها المراقب. في هذه الحالة، تسمى النقطة التي يحدث عندها الانقسام (على سبيل المثال، الجذع إلى فروع، والنهر إلى مجريين، وما إلى ذلك) بنقطة التشعب.
مصطلح الكسرتم اختياره من قبل عالم الرياضيات بينوا ماندلبروت في عام 1975 لوصف اكتشاف علمي وأصبح شائعًا بعد سنوات قليلة بعد أن طور الموضوع لجمهور أوسع في كتابه الهندسة الكسورية للطبيعة.
تُعرف الكسورية اليوم على نطاق واسع بأنها الأنماط الرائعة لما يسمى "الفن الكسري" الذي تم إنشاؤه بواسطة برامج الكمبيوتر. ولكن بمساعدة جهاز كمبيوتر، لا يمكنك إنشاء صور مجردة جميلة فحسب، بل يمكنك أيضًا إنشاء مناظر طبيعية معقولة جدًا - الجبال والأنهار والغابات. وهنا، في الواقع، نقطة الانتقال بين العلم والحياة الواقعية، أو العكس، إذا افترضنا أنه من الممكن عمومًا الفصل بينهما.
النقطة هي أن مبدأ كسوريةمناسبة ليس فقط لوصف الاكتشافات في العلوم الدقيقة. هذا هو في المقام الأول مبدأ بناء الطبيعة نفسها وتطورها. كل شيء حولنا هو فركتلات! المجموعة الأكثر وضوحًا من الأمثلة هي الأنهار ذات الروافد، والجهاز الوريدي مع الشعيرات الدموية، والبرق، وأنماط الصقيع، والأشجار... وفي الآونة الأخيرة، قام العلماء بالاختبار نظرية كسورية، لقد تحققنا تجريبيًا من أنه بناءً على الرسم التخطيطي لشجرة واحدة، يمكن للمرء استخلاص استنتاجات حول مساحة الغابة التي تنمو فيها هذه الأشجار. أمثلة أخرى للمجموعات الكسورية: الذرة - الجزيء - النظام الكوكبي - النظام الشمسي - المجرات - الكون... الدقيقة - الساعة - اليوم - الأسبوع - الشهر - السنة - القرن... حتى مجتمع من الناس ينظم نفسه وفق مبادئ كسورية: أنا - الأسرة - العشيرة - الجنسية - القوميات - الأجناس ... الفرد - الجماعة - الحزب - الدولة. موظف - قسم - قسم - مؤسسة - اهتمام... حتى الآلهة الإلهية في الديانات المختلفة مبنية على نفس المبدأ، بما في ذلك المسيحية: الله الآب - الثالوث - القديسون - الكنيسة - المؤمنون، ناهيك عن تنظيم الآلهة الإلهية من الديانات الوثنية.
قصةينص على أن المجموعات المتشابهة ذاتيًا قد لوحظت لأول مرة في القرن التاسع عشر في أعمال العلماء - بوانكاريه، وفاتو، وجوليا، وكانتور، وهوسدورف، ولكن الحقيقة هي أن السلاف الوثنيين تركوا لنا بالفعل دليلاً على أن الناس فهموا الوجود الفردي باعتباره تفاصيل صغيرة في لانهاية الكون. هذا كائن من الثقافة الشعبية يسمى "العنكبوت"، وقد درسه مؤرخو الفن في بيلاروسيا وأوكرانيا. إنه نوع من النموذج الأولي للنحت على الطراز "المتنقل" الحديث (الأجزاء في حركة مستمرة بالنسبة لبعضها البعض). غالبًا ما يكون "العنكبوت" مصنوعًا من القش ويتكون من عناصر صغيرة ومتوسطة وكبيرة لها نفس الشكل، معلقة من بعضها البعض بحيث يكرر كل جزء أصغر الجزء الأكبر تمامًا والهيكل بأكمله ككل. تم تعليق هذا التصميم في الزاوية الرئيسية للمنزل، وكأنه يدل على أن المنزل عنصر من عناصر العالم كله.
تعمل نظرية الكسورية اليوم في كل مكان، بما في ذلك الفلسفة، التي تقول إنه خلال كل حياة، وأي حياة ككل تكون كسورية، هناك "نقاط متشعبة" عندما يمكن للتطور أن يتخذ مسارات مختلفة إلى مستويات أعلى ولحظة عندما "يجد الشخص نفسه أمام الاختيار"، هي "نقطة تشعب" حقيقية في فركتلات حياته.
تقول نظرية الفوضى الحتمية أن تطور كل كسورية ليس لانهائيًا. يعتقد العلماء أنه في لحظة معينة يأتي حد يتوقف بعده نمو التكرارات ويبدأ الكسورية في "التضييق"، لتصل تدريجياً إلى وحدة قياسها الأصلية، ثم تسير العملية مرة أخرى في دائرة - على غرار الشهيق والزفير، تغيرات الصباح والليل والشتاء والصيف في الطبيعة.