دعونا ننتقل إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. سنقوم في هذا الدرس بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا حساب مساحة الشكل المستوي باستخدام تكامل محدد. وأخيرًا، دع كل من يبحث عن المعنى في الرياضيات العليا يجده. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية، سيتعين عليك تقريب قطعة أرض داشا باستخدام الدوال الأولية والعثور على مساحتها باستخدام تكامل محدد.

لإتقان المادة بنجاح، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي، يجب على الدمى قراءة الدرس أولا لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة تكامل محدد. أمثلة على الحلول. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذا فإن معرفتك ومهاراتك في الرسم ستكون أيضًا مشكلة ذات صلة. كحد أدنى، يجب أن تكون قادرًا على إنشاء خط مستقيم وقطع مكافئ وقطع زائد.

لنبدأ بشبه منحرف منحني. شبه المنحرف المنحني هو شكل مسطح يحده الرسم البياني لبعض الوظائف ذ = و(س)، المحور ثوروالخطوط س = أ; س = ب.

مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي عدديا تكاملا محددا

أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الصف تكامل محدد. أمثلة على الحلولقلنا أن التكامل المحدد هو عدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة مفيدة أخرى. من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المساحة. إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. النظر في التكامل المحدد

متكامل

يحدد منحنى على المستوى (يمكن رسمه إذا رغبت في ذلك)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.

مثال 1

, , , .

هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأكثر أهمية في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك، يجب بناء الرسم يمين.

عند إنشاء الرسم، أوصي بالترتيب التالي: في البدايةفمن الأفضل بناء جميع الخطوط المستقيمة (إذا كانت موجودة) وفقط ثم- القطع المكافئ، القطع الزائد، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المواد المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا لدرسنا - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.

لنقم بالرسم (لاحظ أن المعادلة ذ= 0 يحدد المحور ثور):

لن نقوم بتظليل شبه المنحرف المنحني هنا فمن الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. ويستمر الحل هكذا:

على المقطع [-2؛ 1] الرسم البياني الوظيفي ذ = س 2+2 تقع فوق المحورثور، لهذا السبب:

إجابة: .

من يواجه صعوبات في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز

,

الرجوع إلى المحاضرة تكامل محدد. أمثلة على الحلول. بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، نحسب عدد الخلايا في الرسم "بالعين" - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، وهو ما يبدو صحيحًا. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

مثال 2

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط xy = 4, س = 2, س= 4 والمحور ثور.

هذا مثال عليك حله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه المنحرف المنحني موجودًا تحت المحورثور?

مثال 3

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط ذ = السابق, س= 1 ومحاور الإحداثيات.

الحل: لنقم بالرسم:

إذا كان شبه منحرف منحني تقع بالكامل تحت المحور ثور ، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

.

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط ذ = 2س – س 2 , ذ = -س.

الحل: أولا تحتاج إلى رسم. عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، نحن مهتمون أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ ذ = 2س – س 2 ومستقيم ذ = -س. يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل أ= 0، الحد الأعلى للتكامل ب= 3. غالبًا ما يكون بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع، وتصبح حدود التكامل واضحة "بنفسها". ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:

دعونا نكرر أنه عند البناء النقطي، غالبًا ما يتم تحديد حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل:

إذا كان على الجزء [ أ; ب] بعض الوظائف المستمرة و(س) أكبر من أو يساويبعض الوظائف المستمرة ز(س) ، فيمكن العثور على مساحة الشكل المقابل باستخدام الصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الرقم - فوق المحور أو أسفل المحور، ولكن يهم الرسم البياني الذي هو أعلى(نسبة إلى رسم بياني آخر)، وأيهما أدناه.

في المثال قيد النظر، من الواضح أنه في المقطع يقع القطع المكافئ فوق الخط المستقيم، وبالتالي من 2 س – سيجب طرح 2 - س.

قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:

الرقم المطلوب محدود بقطع مكافئ ذ = 2س – س 2 في الأعلى ومستقيم ذ = -سأقل.

على الجزء 2 س – س 2 ≥ -س. وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة: .

وفي الحقيقة فإن الصيغة المدرسية لمساحة شبه المنحرف المنحني في النصف السفلي من المستوى (أنظر المثال رقم 3) هي حالة خاصة من الصيغة

.

لأن المحور ثورتعطى بواسطة المعادلة ذ= 0، والرسم البياني للوظيفة ز(س) يقع أسفل المحور ثور، الذي - التي

.

والآن بعض الأمثلة للحل الخاص بك

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

عند حل المسائل التي تتضمن حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، تحدث أحيانًا حادثة مضحكة. لقد تم الرسم بشكل صحيح، وكانت الحسابات صحيحة، ولكن بسبب الإهمال... تم العثور على منطقة الرقم الخطأ.

مثال 7

أولاً لنقم بالرسم:

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). ولكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالبًا ما يقرر الأشخاص أنهم بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) على الجزء [-1؛ 1] فوق المحور ثوريقع الرسم البياني مباشرة ذ = س+1;

2) على قطعة فوق المحور ثوريقع الرسم البياني للقطع الزائد ذ = (2/س).

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:

إجابة:

مثال 8

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

دعونا نعرض المعادلات في صيغة "المدرسة".

وقم بعمل رسم نقطة بنقطة:

ويتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": ب = 1.

ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ما هو؟

ربما، أ=(-1/3)؟ ولكن أين هو الضمان الذي يتم به الرسم بدقة مثالية، قد يكون ذلك جيدا أ=(-1/4). ماذا لو بنينا الرسم البياني بشكل غير صحيح؟

في مثل هذه الحالات، عليك قضاء وقت إضافي وتوضيح حدود التكامل تحليليا.

دعونا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية

للقيام بذلك، نحل المعادلة:

.

لذلك، أ=(-1/3).

الحل الآخر تافه. الشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات. الحسابات هنا ليست أبسط. على الجزء

, ,

وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

في ختام الدرس، دعونا نلقي نظرة على مهمتين أكثر صعوبة.

مثال 9

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط

الحل: لنرسم هذا الشكل في الرسم.

لإنشاء رسم نقطة بنقطة، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية. بشكل عام، من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية، وكذلك بعض قيم الجيب. يمكن العثور عليها في جدول القيم الدوال المثلثية. في بعض الحالات (على سبيل المثال، في هذه الحالة)، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح بشكل أساسي.

لا توجد مشاكل مع حدود التكامل هنا، فهي تتبع الشرط مباشرة:

- يتغير "x" من صفر إلى "pi". دعونا نتخذ قرارًا آخر:

على قطعة، الرسم البياني للدالة ذ= الخطيئة 3 ستقع فوق المحور ثور، لهذا السبب:

(1) يمكنك أن ترى كيف يتم دمج جيب الجيب وجيب التمام في القوى الفردية في الدرس تكاملات الدوال المثلثية. نحن نقرص جيبًا واحدًا.

(2) نستخدم الهوية المثلثية الرئيسية في النموذج

(3) دعونا نغير المتغير ر=cos س، إذن: يقع فوق المحور، وبالتالي:

.

.

ملحوظة:لاحظ كيف يتم أخذ تكامل المماس المكعب؛ ويتم استخدام النتيجة الطبيعية للهوية المثلثية الأساسية هنا

.

المشكلة 1(حول حساب مساحة شبه المنحرف المنحني).

في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل xOy، يتم إعطاء شكل (انظر الشكل) يحده المحور x، خطوط مستقيمة x = a، x = b (شبه منحرف منحني. مطلوب حساب مساحة شبه منحرف منحني.
حل.تعطينا الهندسة وصفات لحساب مساحات المضلعات وبعض أجزاء الدائرة (القطاع، القطعة). باستخدام الاعتبارات الهندسية، يمكننا فقط إيجاد قيمة تقريبية للمساحة المطلوبة، وذلك على النحو التالي.

دعونا نقسم المقطع [أ؛ ب] (قاعدة شبه منحرف منحني) إلى n أجزاء متساوية؛ يتم تنفيذ هذا التقسيم باستخدام النقاط x 1، x 2، ... x k، ... x n-1. لنرسم خطوطًا مستقيمة عبر هذه النقاط موازية للمحور y. ثم سيتم تقسيم شبه المنحرف المنحني المحدد إلى أجزاء n، إلى أعمدة ضيقة n. مساحة شبه المنحرف بأكمله تساوي مجموع مساحات الأعمدة.

دعونا نفكر في العمود k بشكل منفصل، أي. شبه منحرف منحني قاعدته قطعة. لنستبدله بمستطيل له نفس القاعدة والارتفاع يساوي f(x k) (انظر الشكل). مساحة المستطيل تساوي \(\Delta x_k \) \cdot \Delta x_k \)، حيث \(\Delta x_k \) هو طول المقطع؛ ومن الطبيعي اعتبار المنتج الناتج قيمة تقريبية لمساحة العمود k.

إذا فعلنا الآن نفس الشيء مع جميع الأعمدة الأخرى، فسنصل إلى النتيجة التالية: المساحة S لشبه منحرف منحني الأضلاع تساوي تقريبًا المساحة S n للشكل المتدرج المكون من n مستطيلات (انظر الشكل):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
هنا، من أجل توحيد التدوين، نفترض أن a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - طول المقطع، \(\Delta x_1 \) - طول المقطع، وما إلى ذلك؛ في هذه الحالة، كما اتفقنا أعلاه، \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

لذلك، \(S \approx S_n \)، وهذه المساواة التقريبية أكثر دقة، كلما كان n أكبر.
بحكم التعريف، يعتقد أن المساحة المطلوبة لشبه منحرف منحني الأضلاع تساوي نهاية التسلسل (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

المشكلة 2(حول نقل نقطة)
تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم. يتم التعبير عن اعتماد السرعة على الوقت بالصيغة v = v(t). أوجد حركة نقطة خلال فترة زمنية [أ؛ ب].
حل.إذا كانت الحركة موحدة، فسيتم حل المشكلة بكل بساطة: s = vt، أي. ق = ت(ب-أ). بالنسبة للحركة غير المتساوية عليك استخدام نفس الأفكار التي بني عليها حل المشكلة السابقة.
1) تقسيم الفاصل الزمني [أ؛ ب] إلى n أجزاء متساوية.
2) اعتبر فترة زمنية وافترض أنه خلال هذه الفترة الزمنية كانت السرعة ثابتة، كما كانت في الوقت t k. لذلك نحن نفترض أن v = v(t k).
3) دعونا نجد القيمة التقريبية لحركة النقطة على مدى فترة من الزمن؛ وسوف نشير إلى هذه القيمة التقريبية بـ s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) أوجد القيمة التقريبية للإزاحة:
\(s \approx S_n \) حيث
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) الإزاحة المطلوبة تساوي نهاية التسلسل (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

دعونا نلخص. تم اختزال حلول المشكلات المختلفة في نفس النموذج الرياضي. العديد من المشاكل من مختلف مجالات العلوم والتكنولوجيا تؤدي إلى نفس النموذج في عملية الحل. وهذا يعني أنه يجب دراسة هذا النموذج الرياضي بشكل خاص.

مفهوم التكامل المحدد

دعونا نعطي وصفًا رياضيًا للنموذج الذي تم بناؤه في المسائل الثلاث المدروسة للدالة y = f(x)، المستمرة (ولكن ليس بالضرورة غير سالبة، كما تم الافتراض في المسائل قيد النظر) على الفاصل الزمني [a؛ ب]:
1) تقسيم الجزء [أ؛ ب] إلى n أجزاء متساوية؛
2) قم بتكوين المجموع $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) احسب $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

وقد ثبت في سياق التحليل الرياضي أن هذه النهاية موجودة في حالة الدالة المستمرة (أو المستمرة المتعددة التعريف). يسمونه تكامل معين للدالة y = f(x) على المقطع [a; ب]والمشار إليها على النحو التالي:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
يُطلق على الرقمين a وb حدود التكامل (السفلى والعليا، على التوالي).

دعنا نعود إلى المهام التي تمت مناقشتها أعلاه. يمكن الآن إعادة كتابة تعريف المساحة الوارد في المشكلة الأولى على النحو التالي:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
هنا S هي مساحة شبه المنحرف المنحني الموضح في الشكل أعلاه. هذا هو المعنى الهندسي للتكامل المحدد.

يمكن إعادة كتابة تعريف الإزاحة s لنقطة تتحرك في خط مستقيم بسرعة v = v(t) خلال الفترة الزمنية من t = a إلى t = b، الواردة في المشكلة 2، على النحو التالي:

صيغة نيوتن-لايبنتز

أولا، دعونا نجيب على السؤال: ما هي العلاقة بين التكامل المحدد والمشتق العكسي؟

يمكن العثور على الإجابة في المشكلة 2. من ناحية، يتم حساب إزاحة نقطة تتحرك في خط مستقيم بسرعة v = v(t) خلال الفترة الزمنية من t = a إلى t = b بواسطة الصيغة
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

من ناحية أخرى، إحداثيات نقطة متحركة هي مشتق عكسي للسرعة - دعنا نشير إليها s(t); هذا يعني أنه يتم التعبير عن الإزاحة s بالصيغة s = s(b) - s(a). ونتيجة لذلك نحصل على:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
حيث s(t) هو المشتق العكسي لـ v(t).

تم إثبات النظرية التالية في سياق التحليل الرياضي.
نظرية. إذا كانت الدالة y = f(x) متصلة على الفاصل الزمني [a; ب]، فإن الصيغة صالحة
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
حيث F(x) هو المشتق العكسي لـ f(x).

عادة ما تسمى الصيغة المحددة صيغة نيوتن-لايبنتزتكريما للفيزيائي الإنجليزي إسحاق نيوتن (1643-1727) والفيلسوف الألماني جوتفريد لايبنتز (1646-1716)، اللذين حصلا عليها بشكل مستقل عن بعضهما البعض وفي وقت واحد تقريبا.

عمليًا، بدلًا من كتابة F(b) - F(a)، يستخدمون الترميز \(\left. F(x)\right|_a^b \) (يُطلق عليه أحيانًا استبدال مزدوج) وبناء على ذلك، أعد كتابة صيغة نيوتن-لايبنتز بهذا الشكل:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

عند حساب تكامل محدد، ابحث أولاً عن المشتق العكسي، ثم قم بإجراء تعويض مزدوج.

استنادا إلى صيغة نيوتن-لايبنتز، يمكننا الحصول على خاصيتين للتكامل المحدد.

الخاصية 1.تكامل مجموع الدوال يساوي مجموع التكاملات:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

حساب مساحات الأشكال المستوية باستخدام التكامل المحدد

باستخدام التكامل، يمكنك حساب مساحات ليس فقط شبه المنحرف المنحني، ولكن أيضًا أشكال مستوية من نوع أكثر تعقيدًا، على سبيل المثال، تلك الموضحة في الشكل. الشكل P محدود بخطوط مستقيمة x = a، x = b ورسوم بيانية للوظائف المستمرة y = f(x)، y = g(x)، وعلى المقطع [a؛ ب] المتباينة \(g(x) \leq f(x) \) قائمة. ولحساب المساحة S لهذا الشكل، سنعمل على النحو التالي:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

لذا، فإن المساحة S من الشكل المحدود بخطوط مستقيمة x = a، x = b ورسوم بيانية للوظائف y = f(x)، y = g(x)، مستمرة على القطعة وهكذا لأي x من القطعة [أ؛ ب] يتم تحقيق عدم المساواة \(g(x) \leq f(x) \)، ويتم حسابها بواسطة الصيغة
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

جدول التكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية) لبعض الدوال

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) × +C $$

في القسم السابق المخصص لتحليل المعنى الهندسي للتكامل المحدد، تلقينا عددًا من الصيغ لحساب مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع:

Yandex.RTB RA-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير سالبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ]،

S (G) = - ∫ a b f (x) d x لدالة مستمرة وغير موجبة y = f (x) على الفترة [ a ; ب ] .

تنطبق هذه الصيغ على حل المشكلات البسيطة نسبيًا. في الواقع، سيتعين علينا في كثير من الأحيان العمل مع شخصيات أكثر تعقيدًا. وفي هذا الصدد، سنخصص هذا القسم لتحليل خوارزميات حساب مساحة الأشكال التي تقتصر على وظائف في شكل صريح، أي. مثل y = f(x) أو x = g(y).

نظرية

دع الوظائف y = f 1 (x) و y = f 2 (x) محددة ومستمرة على الفاصل الزمني [ a ; b ] و f 1 (x) ≥ f 2 (x) لأي قيمة x من [ a ; ب ] . ثم صيغة حساب مساحة الشكل G، المحصورة بالخطوط x = a، x = b، y = f 1 (x) و y = f 2 (x) ستبدو هكذا S (G) = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س .

سيتم تطبيق صيغة مماثلة على مساحة الشكل الذي يحده الخطوط y = c و y = d و x = g 1 (y) و x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( ز 2 (ص) - ز 1 (ص) د ص .

دليل

دعونا نلقي نظرة على ثلاث حالات تكون الصيغة صالحة لها.

في الحالة الأولى، مع الأخذ في الاعتبار خاصية إضافة المساحة، فإن مجموع مساحات الشكل الأصلي G وشبه المنحرف المنحني G1 يساوي مساحة الشكل G2. وهذا يعني ذلك

وبالتالي، S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الثالثة للتكامل المحدد.

وفي الحالة الثانية تكون المساواة صحيحة: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( س) - و 1 (س)) د س

سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

إذا كانت كلتا الدالتين غير موجبة، نحصل على: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (س) - و 1 (س)) د س . سيبدو الرسم التوضيحي كما يلي:

دعنا ننتقل إلى النظر في الحالة العامة عندما يتقاطع y = f 1 (x) و y = f 2 (x) مع المحور O x.

نشير إلى نقاط التقاطع بـ x i, i = 1, 2, . . . , ن - 1 . هذه النقاط تقسم المقطع [أ؛ ب ] إلى أجزاء n x i - 1 ; س ط، ط = 1، 2، . . . ، ن، حيث α = س 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

لذلك،

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( س)) د س = ∫ أ ب و 2 (س) - و 1 (س) د س

يمكننا إجراء الانتقال الأخير باستخدام الخاصية الخامسة للتكامل المحدد.

دعونا نوضح الحالة العامة على الرسم البياني.

يمكن اعتبار الصيغة S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x مثبتة.

الآن دعنا ننتقل إلى تحليل أمثلة لحساب مساحة الأشكال المحدودة بالخطين y = f (x) و x = g (y).

سنبدأ النظر في أي من الأمثلة من خلال إنشاء رسم بياني. ستسمح لنا الصورة بتمثيل الأشكال المعقدة كإتحادات لأشكال أبسط. إذا كان إنشاء الرسوم البيانية والأشكال عليها يسبب لك صعوبات، فيمكنك دراسة القسم الخاص بالدوال الأولية الأساسية، والتحويل الهندسي للرسوم البيانية للدوال، وكذلك إنشاء الرسوم البيانية أثناء دراسة الدالة.

مثال 1

من الضروري تحديد مساحة الشكل المحدد بالقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 والخطوط المستقيمة y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

حل

لنرسم الخطوط على الرسم البياني في نظام الإحداثيات الديكارتية.

على القطعة [ 1 ; 4 ] الرسم البياني للقطع المكافئ y = - x 2 + 6 x - 5 يقع أعلى الخط المستقيم y = - 1 3 x - 1 2. وفي هذا الصدد، للحصول على الإجابة نستخدم الصيغة التي حصلنا عليها سابقًا، وكذلك طريقة حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 س 2 - 9 2 x 1 4 = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

الجواب: س(ز) = 13

دعونا ننظر إلى مثال أكثر تعقيدا.

مثال 2

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الخطوط y = x + 2، y = x، x = 7.

حل

في هذه الحالة، لدينا خط مستقيم واحد فقط موازي لمحور x. هذا هو س = 7. وهذا يتطلب منا أن نجد الحد الثاني للتكامل بأنفسنا.

دعونا نبني رسمًا بيانيًا ونرسم عليه الخطوط الواردة في بيان المشكلة.

بوجود الرسم البياني أمام أعيننا، يمكننا بسهولة تحديد أن الحد الأدنى للتكامل سيكون حدود نقطة تقاطع الرسم البياني للخط المستقيم y = x وشبه القطع المكافئ y = x + 2. للعثور على الإحداثي السيني نستخدم المعادلات:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

يتبين أن حدود نقطة التقاطع هي x = 2.

نلفت انتباهك إلى حقيقة أنه في المثال العام في الرسم، تتقاطع الخطوط y = x + 2، y = x عند النقطة (2؛ 2)، لذلك قد تبدو مثل هذه الحسابات التفصيلية غير ضرورية. لقد قدمنا ​​مثل هذا الحل التفصيلي هنا فقط لأنه في الحالات الأكثر تعقيدًا قد لا يكون الحل واضحًا جدًا. وهذا يعني أنه من الأفضل دائمًا حساب إحداثيات تقاطع الخطوط بشكل تحليلي.

على الفاصل الزمني [ 2 ; 7] الرسم البياني للدالة y = x يقع أعلى الرسم البياني للدالة y = x + 2. دعونا نطبق الصيغة لحساب المساحة:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

الجواب: س (ز) = 59 6

مثال 3

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على الرسوم البيانية للوظائف y = 1 x و y = - x 2 + 4 x - 2.

حل

دعونا نرسم الخطوط على الرسم البياني.

دعونا نحدد حدود التكامل. للقيام بذلك، نحدد إحداثيات نقاط تقاطع الخطوط عن طريق مساواة التعبيرات 1 x و - x 2 + 4 x - 2. بشرط ألا تكون x صفراً، فإن المساواة 1 x = - x 2 + 4 x - 2 تصبح معادلة لمعادلة الدرجة الثالثة - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 بمعاملات صحيحة. لتحديث ذاكرتك عن الخوارزمية الخاصة بحل مثل هذه المعادلات، يمكننا الرجوع إلى قسم "حل المعادلات التكعيبية".

جذر هذه المعادلة هو x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

بقسمة التعبير - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 على ذات الحدين x - 1، نحصل على: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

يمكننا إيجاد الجذور المتبقية من المعادلة x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 د = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3؛ س 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

لقد وجدنا الفاصل الزمني x ∈ 1؛ 3 + 13 2، حيث يكون الشكل G موجودًا فوق الخط الأزرق وتحت الخط الأحمر. وهذا يساعدنا على تحديد مساحة الشكل:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ع 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ع 1 = 7 + 13 3 - ع 3 + 13 2

الجواب: س (ز) = 7 + 13 3 - l 3 + 13 2

مثال 4

من الضروري حساب مساحة الشكل، والتي تقتصر على المنحنيات y = x 3، y = - log 2 x + 1 ومحور الإحداثي السيني.

حل

دعونا نرسم جميع الخطوط على الرسم البياني. يمكننا الحصول على الرسم البياني للدالة y = - log 2 x + 1 من الرسم البياني y = log 2 x إذا وضعناها بشكل متماثل حول المحور x وحركناها للأعلى بمقدار وحدة واحدة. معادلة المحور السيني هي y = 0.

دعونا نحدد نقاط تقاطع الخطوط.

كما يتبين من الشكل، فإن الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (0؛ 0). يحدث هذا لأن x = 0 هو الجذر الحقيقي الوحيد للمعادلة x 3 = 0.

x = 2 هو الجذر الوحيد للمعادلة - log 2 x + 1 = 0، وبالتالي فإن الرسوم البيانية للوظائف y = - log 2 x + 1 و y = 0 تتقاطع عند النقطة (2؛ 0).

x = 1 هو الجذر الوحيد للمعادلة x 3 = - log 2 x + 1 . في هذا الصدد، تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x 3 و y = - log 2 x + 1 عند النقطة (1؛ 1). العبارة الأخيرة قد لا تكون واضحة، لكن المعادلة x 3 = - log 2 x + 1 لا يمكن أن يكون لها أكثر من جذر واحد، لأن الدالة y = x 3 تتزايد بشكل صارم، والدالة y = - log 2 x + 1 هي يتناقص بشدة.

يتضمن الحل الإضافي عدة خيارات.

الخيار رقم 1

يمكننا أن نتخيل الشكل G كمجموع شبه منحرفين منحنيين يقعان فوق المحور السيني، يقع أولهما أسفل خط الوسط على القطعة x ∈ 0؛ 1، والثاني أسفل الخط الأحمر على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يعني أن المساحة ستكون مساوية S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

الخيار رقم 2

يمكن تمثيل الشكل G بالفرق بين شكلين، يقع أولهما فوق المحور السيني وتحت الخط الأزرق على المقطع x ∈ 0؛ 2، والثاني بين الخطين الأحمر والأزرق على القطعة x ∈ 1؛ 2. هذا يتيح لنا العثور على المنطقة على النحو التالي:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 د x - ∫ 1 2 x 3 - (- سجل 2 x + 1) د x

في هذه الحالة، للعثور على المساحة، سيتعين عليك استخدام صيغة من الصيغة S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. في الواقع، يمكن تمثيل الخطوط التي تربط الشكل كدوال للوسيطة y.

دعونا نحل المعادلات y = x 3 و - log 2 x + 1 بالنسبة إلى x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - سجل 2 x + 1 ⇒ سجل 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

نحصل على المساحة المطلوبة:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) د y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

الجواب: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

مثال 5

من الضروري حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط y = x، y = 2 3 x - 3، y = - 1 2 x + 4.

حل

باستخدام الخط الأحمر، نرسم الخط المحدد بواسطة الدالة y = x. نرسم الخط y = - 1 2 x + 4 باللون الأزرق، والخط y = 2 3 x - 3 باللون الأسود.

دعونا نحدد نقاط التقاطع.

لنجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدوال y = x و y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 × 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 تحقق: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ليس حل المعادلة x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 هو حل المعادلة ⇒ (4; 2) نقطة التقاطع i y = x و y = - 1 2 x + 4

لنجد نقطة تقاطع الرسوم البيانية للوظائف y = x و y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 × 1 = 45 + 729 8 = 9، × 2 45 - 729 8 = 9 4 تحقق: × 1 = 9 = 3، 2 3 × 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 هو حل المعادلة ⇒ (9 ; 3) النقطة a s y = x و y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 لا يوجد حل للمعادلة

لنوجد نقطة تقاطع الخطين y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) نقطة التقاطع y = - 1 2 x + 4 و y = 2 3 x - 3

الطريقة رقم 1

دعونا نتخيل مساحة الشكل المطلوب كمجموع مساحات الأشكال الفردية.

ثم مساحة الشكل هي:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - س 2 3 + 3 × 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

الطريقة رقم 2

يمكن تمثيل مساحة الشكل الأصلي كمجموع شكلين آخرين.

ثم نحل معادلة الخط بالنسبة لـ x، وبعد ذلك فقط نطبق صيغة حساب مساحة الشكل.

y = x ⇒ x = y 2 خط أحمر y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 خط أسود y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

إذن المنطقة هي:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 ص + 9 2 - ص 2 د ص = = 7 4 ص 2 - 7 4 ص 1 2 + - ص 3 3 + 3 ص 2 4 + 9 2 ص 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

كما ترون، القيم هي نفسها.

الجواب: س (ز) = 11 3

نتائج

للعثور على مساحة شكل محدد بخطوط معينة، نحتاج إلى إنشاء خطوط على المستوى، وإيجاد نقاط تقاطعها، وتطبيق الصيغة للعثور على المساحة. في هذا القسم، قمنا بفحص المتغيرات الأكثر شيوعًا للمهام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

تكامل محدد. كيفية حساب مساحة الشكل

دعونا ننتقل إلى النظر في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. سنقوم في هذا الدرس بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا - كيفية استخدام التكامل المحدد لحساب مساحة الشكل المستوي. أخيرًا، أولئك الذين يبحثون عن المعنى في الرياضيات العليا - عسى أن يجدوه. أنت لا تعرف أبدا. في الحياة الواقعية، سيتعين عليك تقريب قطعة أرض داشا باستخدام الدوال الأولية والعثور على مساحتها باستخدام تكامل محدد.

لإتقان المادة بنجاح، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل بمستوى متوسط. وبالتالي، يجب على الدمى قراءة الدرس أولا لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز وحساب التكامل المحدد. يمكنك إقامة علاقات ودية دافئة مع تكاملات معينة على الصفحة تكامل محدد. أمثلة على الحلول.

في الواقع، من أجل العثور على مساحة الشكل، لا تحتاج إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدد والمحدد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا إنشاء رسم، لذلك ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مشكلة أكثر إلحاحًا. في هذا الصدد، من المفيد تحديث ذاكرتك بالرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية، وعلى الأقل، لتكون قادرًا على إنشاء خط مستقيم وقطع مكافئ وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (بالنسبة للكثيرين، فمن الضروري) بمساعدة المواد المنهجية ومقال عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع، لقد كان الجميع على دراية بمهمة إيجاد المساحة باستخدام التكامل المحدد منذ المدرسة، ولن نذهب أبعد من المنهج المدرسي. ربما لم تكن هذه المقالة موجودة على الإطلاق، لكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100، عندما يعاني الطالب من مدرسة مكروهة ويتقن بحماس دورة في الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد ورشة العمل هذه ببساطة وبالتفصيل وبحد أدنى من النظرية.

لنبدأ بشبه منحرف منحني.

شبه منحرف منحني الأضلاعهو شكل مسطح يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لدالة مستمرة على فترة لا تتغير الإشارة على هذه الفترة. دع هذا الرقم يكون موجودا ليس أقلالمحور السيني:

ثم مساحة شبه منحرف منحني الأضلاع تساوي عدديا تكاملا محددا. أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الصف تكامل محدد. أمثلة على الحلولقلت أن التكامل المحدد هو عدد. والآن حان الوقت لذكر حقيقة مفيدة أخرى. من وجهة نظر الهندسة، التكامل المحدد هو المساحة.

إنه، التكامل المحدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل معين. على سبيل المثال، النظر في التكامل المحدد. يحدد التكامل منحنى على المستوى الموجود فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في ذلك يمكنهم رسم رسم)، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحرف المنحني المقابل.

مثال 1

هذا هو بيان مهمة نموذجية. النقطة الأولى والأكثر أهمية في القرار هي بناء الرسم. علاوة على ذلك، يجب بناء الرسم يمين.

عند إنشاء الرسم، أوصي بالترتيب التالي: في البدايةفمن الأفضل بناء جميع الخطوط المستقيمة (إذا كانت موجودة) وفقط ثم- القطع المكافئ، القطع الزائد، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. يعد بناء الرسوم البيانية للوظائف أكثر ربحية نقطة بنقطة، يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المادة المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا لدرسنا - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة، قد يبدو الحل هكذا.
لنكمل الرسم (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أقوم بتظليل شبه المنحرف المنحني، فمن الواضح هنا ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. ويستمر الحل هكذا:

يوجد على المقطع رسم بياني للوظيفة فوق المحور، لهذا السبب:

إجابة:

من يواجه صعوبات في حساب التكامل المحدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنتز ، راجع المحاضرة تكامل محدد. أمثلة على الحلول.

بعد اكتمال المهمة، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على الرسم ومعرفة ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة، نحسب عدد الخلايا في الرسم "بالعين" - حسنًا، سيكون هناك حوالي 9، وهو ما يبدو صحيحًا. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة، على سبيل المثال: 20 وحدة مربعة، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن 20 خلية لا تتناسب مع الشكل المعني، على الأكثر عشرات. إذا كانت الإجابة سلبية، فقد تم حل المهمة بشكل غير صحيح.

مثال 2

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط، و، والمحور

هذا مثال عليك حله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

ماذا تفعل إذا كان شبه المنحرف المنحني موجودًا تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ومحاور الإحداثيات.

حل: لنقم بالرسم:

إذا كان موجودا شبه منحرف منحني تحت المحور(أو على الأقل لا أعلىالمحور المحدد)، فيمكن إيجاد مساحتها باستخدام الصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! ولا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد دون أي معنى هندسي، فقد يكون سالبًا.

2) إذا طلب منك إيجاد مساحة شكل ما باستخدام تكامل محدد، فإن المساحة تكون موجبة دائمًا! ولهذا السبب يظهر الطرح في الصيغة التي تمت مناقشتها للتو.

في الممارسة العملية، غالبا ما يقع الرقم في كل من المستوى العلوي والسفلي، وبالتالي، من أبسط المهام المدرسية ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المستوي المحدود بالخطوط .

حل: أولا تحتاج إلى إكمال الرسم. بشكل عام، عند إنشاء رسم في مسائل المساحة، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. دعونا نجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط المستقيم. يمكن القيام بذلك بطريقتين. الطريقة الأولى هي التحليلية. نحن نحل المعادلة:

وهذا يعني أن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
إذا كان ذلك ممكنا، فمن الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة..

إن بناء الخطوط نقطة تلو الأخرى أكثر ربحية وأسرع بكثير، وتصبح حدود التكامل واضحة "في حد ذاتها". تمت مناقشة تقنية البناء نقطة بنقطة لمختلف الرسوم البيانية بالتفصيل في المساعدة الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. ومع ذلك، لا يزال يتعين في بعض الأحيان استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود، على سبيل المثال، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بدرجة كافية، أو إذا لم يكشف البناء التفصيلي عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

دعنا نعود إلى مهمتنا: من الأكثر عقلانية أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطعًا مكافئًا. لنقم بالرسم:

أكرر أنه عند البناء بشكل نقطي، غالبًا ما يتم اكتشاف حدود التكامل "تلقائيًا".

والآن صيغة العمل: إذا كان هناك بعض الوظائف المستمرة في المقطع أكبر من أو يساويبعض الدوال المستمرة، فيمكن إيجاد مساحة الشكل المحدود بالتمثيلات البيانية لهذه الدوال والخطوط باستخدام الصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفله، وبشكل تقريبي، يهم الرسم البياني الذي هو أعلى(نسبة إلى رسم بياني آخر)، وأيهما أدناه.

في المثال قيد النظر، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم، وبالتالي من الضروري الطرح منه

قد يبدو الحل المكتمل كما يلي:

الشكل المطلوب محدود بقطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
على المقطع حسب الصيغة المقابلة:

إجابة:

وفي الحقيقة فإن الصيغة المدرسية لمساحة شبه المنحرف المنحني في النصف السفلي من المستوى (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة من الصيغة . بما أن المحور محدد بالمعادلة، ويقع الرسم البياني للدالة لا أعلىالمحاور إذن

والآن بعض الأمثلة للحل الخاص بك

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحدد بالخطوط .

عند حل المسائل التي تتضمن حساب المساحة باستخدام تكامل محدد، تحدث أحيانًا حادثة مضحكة. لقد تم الرسم بشكل صحيح، وكانت الحسابات صحيحة، ولكن بسبب الإهمال... تم العثور على منطقة الشكل الخطأهذا هو بالضبط ما أخطأ فيه خادمك المتواضع عدة مرات. هنا حالة من الحياة الحقيقية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , , .

حل: أولا، دعونا نرسم:

...آه، الرسم كان سيئًا، ولكن يبدو أن كل شيء واضح.

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق(انظر بعناية إلى الحالة - كيف أن الرقم محدود!). لكن من الناحية العملية، وبسبب عدم الانتباه، غالباً ما يحدث "خلل" يجعلك بحاجة إلى العثور على مساحة الشكل المظلل باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. حقًا:

1) يوجد في الجزء الموجود فوق المحور رسم بياني لخط مستقيم؛

2) يوجد في المقطع الموجود فوق المحور رسم بياني للقطع الزائد.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق، وبالتالي:

إجابة:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات معنى.

مثال 8

حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط،
لنعرض المعادلات في صورة "مدرسة" ونرسم نقطة بنقطة:

ومن الرسم يتضح أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد": .
ولكن ما هو الحد الأدنى؟! من الواضح أن هذا ليس عددا صحيحا، ولكن ما هو؟ ربما ؟ ولكن أين هو الضمان بأن الرسم تم بدقة تامة، فقد يتبين أن... أو الجذر. ماذا لو بنينا الرسم البياني بشكل غير صحيح؟

في مثل هذه الحالات، عليك قضاء وقت إضافي وتوضيح حدود التكامل تحليليا.

دعونا نجد نقاط تقاطع الخط المستقيم والقطع المكافئ.
للقيام بذلك، نحل المعادلة:


,

حقًا، .

الحل الإضافي تافه، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات؛ الحسابات هنا ليست أبسط.

على الجزء ، وفقا للصيغة المقابلة:

إجابة:

حسنًا، في ختام الدرس، دعونا نلقي نظرة على مهمتين أكثر صعوبة.

مثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط , ,

حل: دعونا نصور هذا الشكل في الرسم.

اللعنة، لقد نسيت التوقيع على الجدول، ومعذرة، لم أرغب في إعادة الصورة. ليس يوم رسم، باختصار، اليوم هو اليوم =)

بالنسبة للبناء نقطة بنقطة، من الضروري معرفة مظهر الشكل الجيوب الأنفي (وبشكل عام من المفيد معرفة ذلك) الرسوم البيانية لجميع الوظائف الأولية)، بالإضافة إلى بعض القيم الجيبية، التي يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي. في بعض الحالات (كما في هذه الحالة)، من الممكن إنشاء رسم تخطيطي، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح بشكل أساسي.

لا توجد مشاكل مع حدود التكامل هنا؛ فهي تتبع مباشرة الشرط: يتغير "x" من صفر إلى "pi". دعونا نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع، يقع الرسم البياني للدالة أعلى المحور، وبالتالي:

ستتعلم في هذه المقالة كيفية العثور على مساحة الشكل المحدد بخطوط باستخدام الحسابات التكاملية. نواجه صياغة مثل هذه المشكلة لأول مرة في المدرسة الثانوية، عندما انتهينا للتو من دراسة التكاملات المحددة وحان الوقت لبدء التفسير الهندسي للمعرفة المكتسبة عمليًا.

إذن، ما هو المطلوب لحل مشكلة إيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات بنجاح:

• القدرة على عمل رسومات مختصة؛
• القدرة على حل تكامل محدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز المعروفة؛
• القدرة على "رؤية" خيار الحل الأكثر ربحية - أي. هل تفهم كيف سيكون تنفيذ التكامل أكثر ملاءمة في حالة أو أخرى؟ على طول المحور السيني (OX) أو المحور الصادي (OY)؟
• حسنًا، أين سنكون بدون الحسابات الصحيحة؟) وهذا يتضمن فهم كيفية حل هذا النوع الآخر من التكاملات والحسابات الرقمية الصحيحة.

خوارزمية حل مشكلة حساب مساحة الشكل المحدد بالخطوط:

1. نحن نبني الرسم. من المستحسن القيام بذلك على قطعة من الورق متقلب، على نطاق واسع. نوقع اسم هذه الوظيفة بقلم رصاص فوق كل رسم بياني. تم توقيع الرسوم البيانية فقط لتسهيل إجراء المزيد من الحسابات. بعد تلقي رسم بياني للشكل المطلوب، سيكون من الواضح في معظم الحالات على الفور حدود التكامل التي سيتم استخدامها. وهكذا نحل المشكلة بيانيا. ومع ذلك، يحدث أن تكون قيم النهايات كسرية أو غير منطقية. لذلك، يمكنك إجراء حسابات إضافية، انتقل إلى الخطوة الثانية.

2. إذا لم يتم تحديد حدود التكامل بشكل صريح، فإننا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية مع بعضها البعض ونرى ما إذا كان حلنا الرسومي يتطابق مع الحل التحليلي.

3. بعد ذلك، تحتاج إلى تحليل الرسم. اعتمادًا على كيفية ترتيب الرسوم البيانية للدالة، هناك طرق مختلفة للعثور على مساحة الشكل. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لإيجاد مساحة الشكل باستخدام التكاملات.

3.1. النسخة الأكثر كلاسيكية وبسيطة من المشكلة هي عندما تحتاج إلى العثور على مساحة شبه منحرف منحني. ما هو شبه منحرف منحني؟ هذا شكل مسطح محدود بالمحور السيني (ص = 0)، مستقيم س = أ، س = بوأي منحنى مستمر في الفترة من أل ب. علاوة على ذلك، فإن هذا الرقم غير سلبي ولا يقع تحت المحور السيني. في هذه الحالة، فإن مساحة شبه المنحرف المنحني تساوي عدديًا تكاملًا معينًا، يتم حسابه باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز:

مثال 1 ص = س2 - 3س + 3، س = 1، س = 3، ص = 0.

ما هي الخطوط التي يحدها الشكل؟ لدينا قطع مكافئ ص = س2 – 3س + 3الذي يقع فوق المحور أوه، فهو غير سلبي، لأنه جميع نقاط هذا القطع المكافئ لها قيم موجبة. بعد ذلك، نظرا لخطوط مستقيمة س = 1و س = 3، والتي تعمل بالتوازي مع المحور المرجع أمبير، هي الخطوط الحدودية للشكل على اليسار واليمين. حسنًا ص = 0، وهو أيضًا المحور السيني، الذي يحد الشكل من الأسفل. الشكل الناتج مظلل، كما يمكن رؤيته من الشكل الموجود على اليسار. في هذه الحالة، يمكنك البدء فورًا في حل المشكلة. أمامنا مثال بسيط على شبه منحرف منحني، والذي سنحله بعد ذلك باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز.

3.2. في الفقرة 3.1 السابقة، قمنا بدراسة الحالة عندما يقع شبه منحرف منحني فوق المحور السيني. الآن فكر في الحالة التي تكون فيها شروط المشكلة هي نفسها، فيما عدا أن الدالة تقع تحت المحور السيني. تتم إضافة علامة ناقص إلى صيغة نيوتن-لايبنتز القياسية. سننظر في كيفية حل هذه المشكلة أدناه.

مثال 2 . حساب مساحة الشكل الذي يحده الخطوط ص = x2 + 6x + 2، x = -4، x = -1، y = 0.

في هذا المثال لدينا القطع المكافئ ص = س2 + 6س + 2، والذي ينبع من المحور أوه، مستقيم س = -4، س = -1، ص = 0. هنا ص = 0يحد الرقم المطلوب من فوق. مباشر س = -4و س = -1هذه هي الحدود التي سيتم من خلالها حساب التكامل المحدد. يتطابق مبدأ حل مشكلة إيجاد مساحة الشكل بشكل شبه كامل مع المثال رقم 1. والفرق الوحيد هو أن الدالة المعطاة ليست موجبة، وهي أيضًا مستمرة على الفاصل الزمني [-4; -1] . ماذا تقصد غير إيجابي؟ كما يتبين من الشكل، فإن الشكل الذي يقع ضمن علامة x المحددة له إحداثيات "سلبية" حصريًا، وهو ما نحتاج إلى رؤيته وتذكره عند حل المشكلة. نبحث عن مساحة الشكل باستخدام صيغة نيوتن-لايبنتز، مع وضع علامة الطرح في البداية فقط.

المقال لم يكتمل.