Определение
Пирамида
– это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2...A_n\)
и \(n\)
треугольников с общей вершиной \(P\)
(не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника.
Обозначение: \(PA_1A_2...A_n\)
.
Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\)
.
Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами , многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием , точка \(P\) – вершиной .
Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром .
Пирамида называется правильной , если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:
\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;
\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.
Теорема
Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.
Доказательство
Проведем высоту пирамиды \(PH\) . Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.
1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\) . Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Значит, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Значит, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\) , следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\) . Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2...A_n\) .
2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\) .
3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\) .
Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\) .
Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1, HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП (\(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) равны.
5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\) .
Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, ...\) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.
Следствие
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Определение
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой
.
Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.
Важные замечания
1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).
3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).
4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.
Определение
Пирамида называется прямоугольной , если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
Важные замечания
1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.
3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)
– тоже прямоугольные.
То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.
\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]
Теорема
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \
Следствия
Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.
1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h\) ,
2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h\) .
3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\) .
4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3\) .
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.
\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]
Определение
Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида (\(PB_1B_2...B_n\) ), а другой называется усеченная пирамида (\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники \(A_1A_2...A_n\) и \(B_1B_2...B_n\) , которые подобны друг другу.
Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.
Важные замечания
1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.
Рассмотрим, какими свойствами обладают пирамиды, в которых боковые грани перпендикулярны основанию.
Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию , то общее боковое ребро этих граней является высотой пирамиды . Если в задаче сказано, что ребро пирамиды является ее высотой , то речь идет именно об этом виде пирамид.
Грани пирамиды, перпендикулярные основанию — прямоугольные треугольники.
Если основание пирамиды — треугольник
Боковую поверхность такой пирамиды в общем случае ищем как сумму площадей всех боковых граней.
Основание пирамиды является ортогональной проекцией грани, не перпендикулярной основанию (в данном случае, SBC). А значит, по теореме о площади ортогональной проекции, площадь основания равна произведению площади этой грани на косинус угла между нею и плоскостью основания.
Если основание пирамиды — прямоугольный треугольник
В этом случае все грани пирамиды — прямоугольные треугольники .
Треугольники SAB и SAС прямоугольные, так как SA — высота пирамиды. Треугольник ABC прямоугольный по условию.
То, что треугольник SBC прямоугольный, следует из теоремы о трех перпендикулярах (AB — проекция наклонной SB на плоскость основания. Так как AB перпендикулярна BC по условию, то и SB перпендикулярна BC).
Угол между боковой гранью SBC и основанием в этом случае — угол ABS.
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей прямоугольных треугольников:
Так как в данном случае
Если основание пирамиды — равнобедренный треугольник
В этом случае угол между плоскостью боковой грани BCS и плоскостью основания — это угол AFS, где AF — высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника ABC.
Аналогично — если в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник ABC.
Если основание пирамиды — параллелограмм
В этом случае основание пирамиды является ортогональной проекцией боковых граней, не перпендикулярных основанию.
Если разбить основание на два треугольника, то
где α и β — соответственно углы между плоскостями ADS и CDS и плоскостью основания.
Если BF и BK — высоты параллелограмма, то угол BFS — это угол наклона боковой грани CDS к плоскости основания, а угол BKS — угол наклона грани ADS.
(чертеж сделан для случая, когда B — тупой угол).
Если в основании пирамиды лежит ромб ABCD, то углы BFS и BKS равны. Треугольники ABS и CBS, а также ADS и CDS в этом случае также равны.
Если основание пирамиды — прямоугольник
В этом случае угол между плоскостью боковой грани SAD и плоскостью основания есть угол SAB,
а угол между плоскостью боковой грани SCD и плоскостью основания — угол SCB
(по теореме о трех перпендикулярах).
Соответственно,
Отсюда боковую поверхность можно найти как
Здесь все боковые грани пирамиды — прямоугольные треугольники (углы SAD и SCD прямые по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому боковую поверхность можно искать непосредственно:
Если в основании пирамиды лежит квадрат ABCD, то задача упрощается: треугольники ABS и BCS, а также треугольники ADS и CDS в этом случае равны.
15 Дек 2012
Отзывов (12) на «Пирамиды, в которых грани перпендикулярны основанию»
-
Если на русском языке гуглить «прямоугольная пирамида», то Ваш материал находится в пятерке. Я вижу, что на этой страничке только одна прямоугольная пирамида, последняя и то, обозначения не до конца корректны. Гугль вообще вместе с википедией странное определение выдал — перпендикулярное ребро и все равно, что в основании у пирамиды. Кстати на английском языке вообще прямоугольная пирамида -это пирамида, в основании которого находится прямоугольник и не важно где высота вообще.
В тексте о прямоугольной пирамиде нет ни слова. Очень часто в задачах на пирамиды, в которых есть две боковые грани, перпендикулярные основанию, речь идёт об угле между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.
В данном материале рассматриваются, как определить этот угол, в зависимости от многоугольника в основании. Если в основании лежит параллелограмм (в том числе, ромб), нужно из основания высоты пирамиды провести высоты параллелограмма к противоположным сторонам (или прямым, содержащим эти стороны). Если в основании — прямоугольник (в том числе, квадрат), высоты проводить не нужно, поскольку стороны прямоугольника взаимно перпендикулярны. В этом случае угол между основанием и боковой гранью определяется линейным углом, образованным ребрами пирамиды; боковые грани являются прямоугольными треугольниками.
Прямые углы в основании выделены, чтобы подчеркнуть это отличие от случая, когда в основании лежит параллелограмм, не являющийся прямоугольником.Потому что вы удалили «прямоугольная пирамида», но технарей, знающие и понимающие принцип работы поисковиков врядли может убедить ваши аргументы. Учите ИТ, а не только математику.
Уважаемая Наташок! Вы обвиняете меня во лжи? Я Вам сказала, что термин «прямоугольная пирамида» в своей работе не использую.
P.S. Я не специалист в IT, увы. Согласна, грамотность нужна во всех областях: и в математике, и в информационных технологиях, и в правописании.
Рисунок иллюстрирует случай, когда в основании пирамиды лежит прямоугольник. При параллельном проектировании углы не сохраняются, поэтому прямоугольник изображается в виде параллелограмма. Второй прямой угол на рисунке отмечен в связи с теоремой о трёх перпендикулярах.
Во-первых не рисунок, а чертеж. Рисунки Вы оформляете на рисовании, а в математике все-таки чертежи. Во вторых посмотрите на последний чертеж. Там нет никаких теорем о трех перпендикулярах. Основание на последнем чертеже повторю не прямоугольник. Здесь не важно, как его Вы изобразите. Я слежу за обозначениями. Хотя я обратила внимание, что и снизу третий чертеж для меня не понятен. Параллелограмм не отмечен на чертеже. Просто четырехугольник! Его вид да похож на параллелограмм, но обозначения оставляют желать лучшее.
1) Да, в геометрии мы выполняем чертеж, но иллюстрация к тексту — рисунок. В любом учебнике по геометрии пишут «на рисунке 1″, а не «на чертеже 1″.
2) Прямоугольник в стереометрии изображается параллелограммом, поскольку при параллельном проектировании углы не сохраняются. А вот параллельность прямых — сохраняется. Противолежащие стороны четырёхугольника изображены лежащими на параллельных прямых. Из этого следует, что этот четырёхугольник — параллелограмм.Противолежащие стороны четырёхугольника изображены лежащими на параллельных прямых. Я не вижу обозначений, что эти прямые параллельны и в тексте не было указано о параллельном проектировании. Так что для меня основание все-таки на последнем чертеже произвольный четырехугольник
Уважаема Наташок! Изображение пространственных фигур на плоскости ведётся в соответствии с правилами параллельного проектирование. Это означает, что параллельные прямые на чертеже изображаются параллельными прямыми, а не параллельные — не параллельными.
Не согласна с определением прямоугольной пирамиды. Прямоугольная пирамида — это пирамида, в одной вершине из которых прилежат три прямых угла. Напишите мне, почему вы распрастраняете ошибочный материал на уровне невежественной википедии.
Если в основании пирамиды прямоугольник, то почему для его обозначения на картинке отмечено два противополжных угла? На последнем чертеже это основание может быть ромбоидом и другим четырехугольником.
В которой одно из боковых рёбер перпендикулярно основанию.
В этом случае, это ребро и будет высотой пирамиды.
Свойства пирамиды.
1. Когда все боковые ребра имеют одинаковую величину, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность , при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковые углы ;
- кроме того, верно и обратное, т.е. когда боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, либо когда около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности, значит, все боковые ребра пирамиды имеют одинаковую величину.
2. Когда боковые грани имеют угол наклона к плоскости основания одной величины, тогда:
- около основания пирамиды легко описать окружность, при этом вершина пирамиды будет проецироваться в центр этой окружности;
- высоты боковых граней имеют равную длину;
- площадь боковой поверхности равняется ½ произведения периметра основания на высоту боковой грани.
3. Около пирамиды можно описать сферу в том случае, если в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы станет точка пересечения плоскостей, которые проходят через середины ребер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы делаем вывод, что как около всякой треугольной, так и около всякой правильной пирамиды можно описать сферу;
4. В пирамиду можно вписать сферу в том случае, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в 1-ной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка станет центром сферы.
5. Конус будет вписанным в пирамиду, когда вершины их совпадут, а основание конуса будет вписанным в основание пирамиды. При этом вписать конус в пирамиду можно лишь в том случае, если апофемы пирамиды имеют равные величины (необходимое и достаточное условие);
6. Конус будет описанным около пирамиды, если их вершины совпадут, а основание конуса будет описано около основания пирамиды. При этом описать конус около пирамиды можно лишь в том случае, если все боковые ребра пирамиды имеют одинаковые величины (необходимое и достаточное условие). Высоты у этих конусов и пирамид одинаковы.
7. Цилиндр будет вписанным в пирамиду, если 1-но его основание совпадет с окружностью, которая вписана в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а второе основание будет принадлежать основанию пирамиды.
8. Цилиндр будет описанным около пирамиды, когда вершина пирамиды будет принадлежать его одному основанию, а второе основание цилиндра будет описано около основания пирамиды. При этом описать цилиндр около пирамиды можно лишь в том случае, если основанием пирамиды служит вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).
Формулы для определения объема и площади прямоугольной пирамиды.
V - объем пирамиды,
S - площадь основания пирамиды,
h - высота пирамиды,
Sb - площадь боковой поверхности пирамиды,
a - апофема (не путать с α ) пирамиды,
P - периметр основания пирамиды,
n - число сторон основания пирамиды,
b - длина бокового ребра пирамиды,
α - плоский угол при вершине пирамиды.