Правописание окончаний глаголов
1. В зависимости от личных окончаний глаголы делятся на две большие группы: на глаголы I и II спряжений.
Ко II спряжению относятся:
· глаголы на -ить (кроме глаголов брить, стелить, зиждиться , которые относятся к I спряжению),
· 7 глаголов на -еть (вертеть, видеть, зависеть, ненавидеть, обидеть, смотреть, терпеть ),
· 4 глагола на -ать (гнать, дышать, держать, слышать ).
Все остальные глаголы относятся к I спряжению.
Личные окончания глаголов в настоящем или будущем прошедшем времени:
2. Существует несколько разноспрягаемых глаголов , не относящихся ни к одному их двух спряжений: хотеть, бежать, есть, создать, дать .
ед.ч. 1 лицо читаю, беру 2 лицо читаешь, берешь З лицо читает, берет мн.ч. 1 лицо читаем, берем 2 лицо читаете, берете 3 лицо читают, берут | хочу хочешь хочет хотим хотите хотят | Бегу бежишь бежит бежим бежите бегут | едим едите едят | создам создашь создаст создадим создадим создадут | дашь даст дадим дадите дадут |
3. Если глагол с приставкой обез-(обес-) является переходным, то он спрягается по II спряжению, а если непереходный, то по I спряжению (например , сравните спряжение глаголов обессилить (кого-нибудь ) и обессилеть (самому ).
4. В глаголах I спряжения в форме будущего времени пишется окончание -ете , а в форме повелительного наклонения - окончание -ите (Вы завтра вышлете это письмо. - Вышлите срочно этот документ.)
Ь (мягкий знак) в глагольных формах.
1. Ь (мягкий знак) пишется:
· в инфинитиве (писать, печь, хотеться, мыться ),
· в окончаниях 2 лица единственного числа выберешь, помоешь, делаешь, умываешься ),
· в повелительном наклонении (исправь, спрячься ), НО ляг, лягте,
· в возвратной частице , которая стоит после гласной (погнулись, повернулись, вернусь );
2. Ь (мягкий знак) не пишется:
· в форме 3 лица единственного числа настоящего или простого будущего времени (умывается, делается ).
Правописание суффиксов глаголов
1. В неопределенной форме глаголы чаще всего имеют такие суффиксы: -а - (слышать, делать) ; -я - (сеять, лаять) ; -е - (видеть, обидеть) ; -и - (нянчить, пилить) .
Запомните: 1) после гласных букв корня в инфинитиве никогда не пишется суффикс -е - . В этой позиции под ударением может быть только суффикс -я - или -и - (стоять, поить, доить). В безударном положении суффикс -я - пишется в глаголах веять, затеять, каяться, лаять, лелеять, маяться, надеяться, реять, сеять, таять, чаять, чуять, а суффикс -и - - в глаголах строить, стоить, покоить, удвоить, утроить, клеить ;
2) после мягких согласных (кроме ч ) в безударном положении суффикс -я - пишется в глаголах кланяться, кашлять, а суффикс -е- - в глаголах видеть, обидеть, зависеть, ненавидеть, заиндеветь ;
3) в суффиксах глагольных форм прошедшего времени сохраняется та же гласная, что и в инфинитиве. Например: выздоров е ть - выздоров е л, ла я ть - ла я л, кле и ть - кле и л.
2. Суффиксы -ыва- (-ива-), -ова- (-ева-).
В глаголах с суффиксом -ыва- (-ива- ) (всегда безударным), имеющих значение несовершенного вида (иногда также многократности действия), пишутся перед в буквы ы или и , например: свёртывать, размазывать, видывать; заваливать, переговариваться, подскакивать, слыхивать, закручивать, упрашивать, настаивать .
Глаголы с суффиксом -ыва - (- ива - ) следует отличать на письме от глаголов с суффиксом - ова - (- ева- ). Глаголы этих двух типов по-разному образуют формы настоящего времени: глаголы на -овать (-евать ) имеют форму 1-го лица на -ую (-юю ) (при отсутствии -ов-, -ев - ), например: беседую – беседовать, заведую – заведовать, завидую – завидовать, исповедую – исповедовать, проповедую – проповедовать, бичую – бичевать, горюю – горевать ; у глаголов же на - ывать (-ивать ) форма 1-го лица оканчивается на -ываю (-иваю ) (с сохранением -ыв -, -ив - ), например: осматриваю – осматривать, развёртываю – развёртывать, разведываю – разведывать, проведываю – проведывать .
3. Гласные перед -ва- . В глаголах несовершенного вида с суффиксом -ва- , имеющих форму 1-го лица на -ва-ю , безударные гласные перед в проверяются по общему правилу, например: одолева-ть (одоле-ть ), устарева-ть (устаре-ть ), запива-ть (запи-ть ), запева-ть (запе-ть ), засева-ть (засе-ять ), затева-ть (зате-ять ), застыва-ть (засты-ть ), застава-ть (заста-ть ).
Однако в следующих глаголах на - ва-т ь (в 1-м лице -ва-ю ) пишется особый суффикс -ева- с буквой е на месте непроверяемого безударного гласного: затмева-ть, продлева-ть, растлева-ть (затми-ть, продли-ть, растли-ть ), застрева-ть, встрева-ть (застря-ть, встря-ть ); обурева-ть, увещева-ть, намерева-ться, сомнева-ться .
4. -е(ть), -и(ть). Различаются глаголы на -еть и -ит ь . Глаголы на -еть (в 1-м лице -ею ) – непереходные I спряжения – имеют значение ‘стать каким-нибудь, приобрести признак’, например: обессилеть, обессилею ‘стать бессильным, лишиться силы’, обездушеть, посуроветь ‘стать суровым’. Глаголы на - ить (в 1-м лице и отсутствует) – переходные II спряжения – имеют значение ‘сделать каким?нибудь, наделить признаком’, напр.: обессилить, обессилю ‘сделать кого-нибудь бессильным, лишить силы’, обезболить, обезвредить, обездушить, ослабить . Сравните те же суффиксы под ударением в глаголах типа (по )беле-ть и (по )бели-ть , (о )слабе-ть , (раз )весели-ть .
5. -ене(ть), – ени(ть). Приобретение какого-нибудь признака, переход в другое состояние выражается также в непереходных глаголах I спряжения на -ене-ть , в которых безударный гласный перед н передается буквой е : леденеть, костенеть, деревенеть, коченеть, травенеть, торфенеть, окровенеть, остекленеть, остервенеть, остолбенеть, оцепенеть . Соотносительные переходные глаголы II спряжения на -ени-ть , обозначающие наделение признаком, тоже пишутся с буквой е : леденить, коченить, окостенить, окровенить, остервенить, оцепенить и т. п.
Написание глаголов на - енеть и -енить не согласуется с написанием соответствующих относительных прилагательных, в которых (если они имеются) пишется в суффиксе перед н буква я : ледяной, костяной, кровяной, травяной, деревянный и т. п.
Исключение: в глаголах багряне-ть и багряни-ть (вариант: багря-нить ) пишется буква я , как в прилагательном багряный .
Глагол - одна из самых непростых в изучении и написании частей речи, имеющихся в русском языке. Самой сложной орфограммой в данной теме считается правописание окончаний глаголов в безударной позиции. Их правильное написание зависит от такого понятия, как спряжение.
Что такое спряжение?
Спряжение - это лингвистический термин, обозначающий изменение лица и числа глагола. Иными словами, это тот набор личных окончаний, который приобретает слово при изменении лица и числа. К счастью обучающихся, в русском языке всего два типа спряжения. Какой бы глагол из нескольких миллионов существующих ни был взят для примера, при изменении он будет приобретать флексии:
- У/Ю, ЕШЬ, ЕТ в единственном числе и ЕМ, ЕТЕ, УТ/ЮТ во множественном.
- У/Ю, ИШЬ, ИТ, в единственном числе и ИМ, ИТЕ, АТ/ЯТ во множественном.
Проспрягаем глагол спать: я спл-ю, мы сп-им, ты сп-ишь, вы сп-ите, он сп-ит, они сп-ят . Его окончания при изменении показывают, что он относится ко второму спряжению. Другое слово - жить. Я жив-у, мы жив-ем, ты жив-ешь, вы жив-ете, он жив-ет, они жив-ут . Следовательно, это глагол первого спряжения.
Приставка вы- и спряжение глагола
Глаголы, имеющие приставку, относятся к тому же спряжению, что и однокоренные к ним бесприставочные. Эта информация очень важна для слов с приставкой вы- , которая имеет свойство "оттягивать" на себя ударение. Например, чтобы определить спряжение слова вылетит , нужно убрать приставку, и получится глагол летит с ударным личным окончанием, который относится ко второму спряжению.
Таким образом, на принадлежность к тому или иному спряжения указывают окончания глаголов в личных формах, находящиеся под ударением. Но как поступить, если ударным оказывается не окончание, а основа слова? Ведь в этом случае нужная буква слышна неотчетливо, она находится в слабой позиции, и можно допустить ошибку. На помощь приходит правило.
Как определить спряжение, если личное окончание безударно?
Чтобы определить, к какому из двух имеющихся в русском языке типов спряжения относится глагол, если ударение падает не на окончание, а на основу, нужно образовать начальную форму слова. Эта форма называется инфинитивом и к ней можно задать вопросы что делать? (совершенный вид) и что сделать? (несовершенный вид). Далее следует посмотреть, на что оканчивается полученное слово, и применить правило. Иными словами, безударные окончания глаголов можно написать правильно только в том случае, если определить их спряжение.
Ко 2 спряжению принадлежат глаголы, имеющие безударные личные окончания, которые в форме инфинитива оканчиваются на -ить .
К 1 спряжению принадлежат глаголы с личными окончаниями в безударной позиции, которые в инфинитиве оканчиваются на любые буквы, кроме -ить . Это могут быть комбинации -еть, -ать, -оть, -ть, -чь и многие другие.
Например, слово мечтаешь . Ударение падает не на окончание, а на основу слова. Для определения спряжения ставим глагол в форму инфинитива: что делать? - мечтать . Оканчивается на -ать. Значит, этот глагол относится к 1 спряжению, и, изменяясь по лицам и числам, он будет принимать соответствующие окончания.
Пилишь. Образуем начальную форму - пилить . На конце слова -ить , следовательно, это глагол второго спряжения, и набор личных окончаний будет соответствующим.
Итак, чтобы правильно написать гласные в окончаниях глаголов в безударной позиции, нужно поставить слово в форму инфинитива и в зависимости от того, на что оно оканчивается, определить спряжение. Кажется, все просто. Но если бы в русском языке на каждое правило не приходился бы десяток исключений, он не считался бы одним из сложнейших в изучении языков мира. И в простом правиле о спряжении тоже есть коварные слова-исключения.
Глаголы-исключения
Исключения - это те слова, которые не подчиняются общему правилу. В правиле о спряжении есть 14 глаголов-исключений, которые необходимо запомнить, чтобы не допускать ошибок в написании.
Есть 7 слов на -еть, которые, изменяясь по лицам и числам, принимают окончания глаголов 2 спряжения: это слова обидеть , зависеть, терпеть, ненавидеть, смотреть, вертеть, видеть . Например, слово терпеть принимает такие окончания: я терплЮ, мы терпИМ, ты терпИШЬ, вы терпИТЕ, он терпИТ, они терпЯТ.
4 глагола на -ать , которые тоже спрягаются не в соответствии с правилом и имеют личные окончания 2 спряжения: гнать , слышать, держать, дышать . Я слышУ, мы слышИМ, ты слышИШЬ, вы слышИТЕ, он слышИТ, они слышАТ .
И наконец, 3 глагола на -ить - стелить, брить и зиждиться - имеют личные окончания глаголов 1 спряжения: я стелЮ, мы стелЕМ, ты стелЕШЬ, вы стелЕТЕ, он стелЕТ, они стелЮТ .
Окончания этих 14 глаголов нужно знать на память, потому что они не подчиняются общему правилу.
Разноспрягаемые глаголы
Примечательно, что есть в русском языке 2 интересных глагола, которые называют разноспрягаемыми, потому что, при изменении лица и числа, они приобретают в некоторых формах окончания первого спряжения, а в других - второго, не подчиняясь никаким правилам. К счастью, их личные окончания ударны, поэтому ошибок в их написании не возникает. Но все же их нужно запомнить. Это глаголы хотеть и бежать . При их спряжении получается следующая картина.
Хотеть: я хочУ, мы хотИМ, ты хочЕШЬ, вы хотИТЕ, он хочЕТ, они хотЯТ (в единственном числе глагол изменяется по типу 1 спряжения, во множественном - по типу второго). Бежать: я бегУ, мы бежИМ, ты бежИШЬ, вы бежИТЕ, он бежИТ, они бегУТ (в форме 3 лица множественного числа глагол имеет окончание 2 спряжения, во всех остальных формах - окончания, свойственные 1 спряжению).
Алгоритм выбора окончания глаголов
Итак, правописание окончаний глаголов подчиняется довольно простому и логичному правилу, важно просто понять его. Чтобы правильно писать окончания глаголов, необходимо уметь определять их спряжение. Для этого следует использовать четкий алгоритм.
1. Посмотреть, куда падает ударение: на окончание или на основу слова (не забываем про коварную приставку вы : если она есть, необходимо определять спряжение по бесприставочному синониму).
2. Если ударение падает на личное окончание, то по нему и определяется спряжение, в соответствии с правилом.
3. Если ударной оказывается основа, то необходимо поставить глагол в форму инфинитива. Важными будут три последние буквы образованной формы.
- Глагол оканчивается на -ить (кроме трех исключений), значит, он второго спряжения. Сюда же отнесем 7 глаголов, оканчивающихся на -еть, и 4 глагола на -ать .
- Глагол в начальной форме оканчивается на любые другие буквы (кроме вышеперечисленных 11 глаголов), значит, он спрягается по типу первого спряжения. Добавим сюда 3 глагола-исключения на -ить.
4. Глаголы хотеть и бежать - разноспрягаемые, их нельзя отнести ни к первому спряжению, ни ко второму, и эту особенность нужно просто запомнить.
Подведем итоги
Правописание окончаний глаголов требует знания правил и применения четкого алгоритма. Главное - правильно определить, к какому из двух спряжений относится слово, и в зависимости от этого написать нужную букву в безударном личном окончании. Глаголы коварны, среди них есть множество исключений, которые не желают подчиняться общим правилам, но внимание к слову и применение несложного правила помогут избежать многих ошибок!
Инструкция
Переходные глаголы способны образовывать словосочетания глагола в связке с существительным, числительным или местоимением в винительном падеже без предлога:
- «купить («кого?», «что?») книгу»;
- «взять («кого?», «что?») ее с собой»;
- «получить («кого?», «что?») пять».
Категория переходности/непереходности глагола хоть и относится к признакам, однако тесно связана с его лексическим значением в конкретном высказывании. Один и тот же глагол в может быть одновременно непереходным и переходным в зависимости от контекстного значения. Список таких глаголов имеет тенденцию к расширению. Сравните: «гулять по улице - гулять собаку».
Окончание - важная морфема в русском языке, в отличие от большинства иностранных языков. Именно она связывает слова между собой, превращая их в словосочетания и предложения. Умение поставить окончание правильно, важно для письма и правильной речи.
Инструкция
Окончание в русском языке имеется у всех частей речи, кроме наречий и деепричастий (именно поэтому они не изменяются). С помощью правильно поставленного вопроса можно с легкостью определить, как должно писаться безударное окончание у конкретного слова.
Если вы хотите определить, имеет прилагательное, то вам поможет вспомогательное слово-вопрос «какой?». По его ударному окончанию видно, какая буква должна писаться в проверяемом слове. Например: «Доброго человека трудно не заметить» - задайте вопрос: «человека (какого?) доброго». Правильное окончание «ого».
То же самое относится к причастиям и порядковым числительным, отвечающим на вопросы «какой?/который?». Например: «С уходящей платформы» - «платформы (какой?) уходящей».
Окончания бывают мягкими и твердыми. Поэтому иногда вопрос и проверяемое слово могут немного не совпадать в . В таких случаях, смотрите по смыслу. Часто взаимозаменяемы, например, «ой-ый-ий», «ого-его», «ому-ему», «ым-им», «ом-ем».
В притяжательных прилагательных (кроме и. п. и в. п.) и тех, что от названий календарных месяцев, перед окончанием присутствует мягкий знак. Например, «лисьего», «октябрьский».
Также правильно заданный вопрос помогает определить окончание у существительных и глаголов. Отвечая на вопросы «кто?, что?» (у существительных) и « ?, что сделать?» (у глаголов), вы получаете начальную форму слова, по которой и нужно определять, как окончание в слове.
Видео по теме
Будьте внимательны, вопрос задается от главного слова (чаще это существительное) к зависимому. Если не сохранить эту логику, то можно получить неправильный результат.
Термин «глагол» пришел в нашу речь из Древней Руси. В те далекие времена славяне называли свою азбуку «глаголицей». В современном языке эта часть речи занимает важное место. Глагольные слова часто встречаются в предложениях, вместе с подлежащим составляют грамматическую основу. Глагол обладает рядом грамматических признаков, может быть главным и второстепенным членом предложения.
Инструкция
Действие и состояние предмета передаются с помощью , имеющих неизменяемые признаки совершенного или несовершенного вида, переходности - непереходности, возвратности – невозвратности и спряжения.
Несовершенный более употребителен в нашей речи. Обычно морфемы помогают образовать от него совершенный: «смотреть – посмотреть», «кричать – крикнуть». Но бывает и наоборот: « – сшивать», «решить – решать». Такие глагольные варианты представляют видовые пары.
Если глаголы могут управлять существительными, которые стоят при них в форме винительного падежа, и связь между ними выражена без помощи предлога, значит, они будут считаться : «показать», «варить», « ». Непереходным несвойственна подобная подчинительная связь: «отсутствовать», «приглядеться», «посидеть».
Находящийся на суффикс –ся (-сь) говорит о том, что глагол возвратный. У невозвратных такой суффикс отсутствует. Следует запомнить, что возвратность свидетельствует о непереходности.
На спряжение указывает набор окончаний при изменении по лицам и числам. Просто узнать этот признак, если личное окончание глагола ударное. В случае если спряжение не устанавливается , необходимо обратить внимание на инфинитив. Все, исключая «брить» и «стелить», глаголы, оканчивающиеся на –ить, и несколько исключенных из этого списка (на -еть, -ать) - составляют II спряжение. Остальные представляют I спряжение. Среди глаголов выделяются несколько разноспрягаемых: «хотеть», «бежать», «чтить».
Существующая категория наклонения глагола помогает установить, как соотносятся производимые действия с реальностью. Глагольные слова в каждом из наклонений обладают определенным набором признаков. Глаголами изъявительного наклонения передаются действия, происходящие в действительности. К ним применяется понятие категории времени. Настоящему и будущему времени свойственно изменяться по лицам и числам, а прошедшему, вместо лица, по родам. Повелительное содержит побуждение к действию. Подобная форма глагола может составлять единство со словами «да», «давай(те)», «пусть». На возможность, определенные условия действий указывает условное наклонение, в котором глагол обязательно стоит в прошедшем времени и имеет при себе частицу «бы (б)».
При могут отсутствовать производящие действия лицо или предмет. Назначение подобных глагольных слов – передать различные состояния природы или человека. У них соответствующее название - «безличные». Примеры употребления таких глаголов в безличных предложениях: «За окном темнело», «Меня знобит».
Обычное назначение глагола в составе предложений – выполнять роль сказуемого. Синтаксические функции расширяются при употреблении его в : здесь он может быть подлежащим, выполнять функцию предложения. Рассмотрите разные варианты: « Свистать (сказ.) всех наверх!», «Туристы стали осторожно продвигаться (часть сказуемого) вперед», «Учиться (подлеж.) всегда пригодится», «Гости просили включить (дополн.) музыку погромче», «Мальчик изъявил желание серьезно заняться (опред.) волейболом», «Я приехал повидать (обст.) тебя».
Обратите внимание
Ученые-лингвисты имеют две точки зрения по поводу образованных от глаголов причастий и деепричастий: выделяют как самостоятельные части речи или глагольные формы.
Источники:
- Общая характеристика глагола как части речи
Глагол является одной из знаменательных частей речей, которая обозначает процессуальный признак предмета, то есть действие, состояние или отношение. Глагол характеризуется грамматическими категориями вида, залога, наклонения, времени и лица.
Правописание окончаний
Все глаголы принято разделять на две группы: глаголы, которые относятся к первому спряжению, и глаголы, которые отностся ко второму спряжению. Ко второму спряжению можно отнести все глаголы на –ить (исключениями являются «брить», «стелить», « »), а также глаголы-исключения на –еть и –ать («гнать», «дышать», «смотреть», «видеть», «слышать», «вертеть», «обидеть», «терпеть», «зависеть», «ненавидеть», «держать»). Все остальные глаголы принято относить к первому спряжению.
Примечание: существует несколько разноспрягаемых глаголов, которые нельзя отнести ни к первому, ни ко второму спряжению: «дать», «создать», «есть», «бежать», «хотеть».
В случае, если у глалога присутствует приставка обез-, обес- переходные, он по второму спряжению, в противном случае – по первому спряжению.
Если глагол первого спряжения стоит в будущем времени, то окончание –ете. Если поставить такой глагол в , окончание меняется на –ите. Например: «Вы вышлете на этой неделе письмо», но «Вышлите срочно документы».
Мягкий знак (ь) в глаголах
Мягкий в нескольких случаях. Первый - начальная форма глагола. Второй - когда глагол ставится в повелительное наклонение. Третий - глаголов второго лица единственного числа в настоящем и простом будущем временах. Четвертый - в возвратных глаголах.
Например: «писать», «исправь», « », «погнулись».
Мягкий знак не пишется в форме третьего лица единственного числа настоящего или простого будущего времен.
Например: «умывается».
Правописание суффиксов
Глаголы с суффиксами –ыва- и –ива-, которые имеют значение несовершенного вида, пишутся с гласными –ы- и –и-.
Например: «размазывать», «упрашивать», «настаивать», «свертывать», «заваливать», «выкидывать».
Глаголы несовершенного вида с суффиксами –ва-, которые имеют форму первого лица, можно проверить по написанию гласной перед буквой «в».
Например: «заст-а-ва-ть - заст-а-ть».
Примечание: в некоторых глаголах-исключениях на –вать пишется суффикс –ева- на месте непроверяемого безударного гласного: «затм-ева-ть - затмить»; «продл-ева-ть - продлить»; «встр-ева-ть - встрять»; «обур-ева-ть - уборить» и т.д.
Также различают глаголы, заканчивающиеся на –еть и на –ить. Глаголы, оканчивающиеся на –еть, - это неперходные глаголы 1-го спряжения. Они имеют значение «приобрести чей-то признак, стать каким-нибудь».
Например: «посуроветь», т.е. «стать суровым»; «обессилить», т.е. «стать бессильным»; «обездушить», т.е. «стать бездушным» и т.д.
Глаголы, которые оканчиваются на –ить, – это переходные глаголы . Они имеют значение «наделить каким-либо признаком, сделать объект каким-нибудь».
Например: «обезболить», т.е. «прекратить боль»; «обессилить», т.е. «лишить сил»; «обезвредить, т.е. прекратить вред» и т.д.
Глаголы, которые оканчиваются на –енеть и –енить, в своем написании не согласуются с соответствующими относительными прилагательными, в которых пишется в буква «я», например: «кровяной», «травяной», «деревянный» и т.д. Исключение составляют глаголы «багрянеть» и «багрянить», в которых пишется буква «я» так же, как в «багряный».
Видео по теме
возрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in
X\)
, таких что \(x_1 Функция называется неубывающей
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется убывающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 Функция называется невозрастающей
на промежутке \(X\)
, если для любых \(x_1, x_2\in X\)
, таких что \(x_1 \(\blacktriangleright\)
Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными
, а невозрастающие и неубывающие - просто монотонными
. \(\blacktriangleright\)
Основные свойства:
I.
Если функция \(f(x)\)
- строго монотонна на \(X\)
, то из равенства \(x_1=x_2\)
(\(x_1,x_2\in X\)
) следует \(f(x_1)=f(x_2)\)
, и наоборот. Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\)
является строго возрастающей при всех \(x\in \)
, поэтому уравнение \(x^2=9\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\)
. функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\)
является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\)
, поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\)
имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю. III.
Если функция \(f(x)\)
- неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \(\)
, причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\)
, то при \(C\in \)
(\(C\in
\)
) уравнение \(f(x)=C\)
всегда имеет хотя бы одно решение. Пример: функция \(f(x)=x^3\)
является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\)
, поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\)
уравнение \(x^3=C\)
имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt{C}\)
. Задание
1
#3153
Уровень задания: Легче ЕГЭ имеет ровно два корня. Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]
Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\)
. Тогда уравнение перепишется в виде: \
Исследуем функцию \(f(t)\)
. \
Следовательно, функция \(f(t)\)
возрастает при всех \(t\)
. Значит, каждому значению функции \(f(t)\)
соответствует ровно одно значение аргумента \(t\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \
Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \
Ответ:
\(\left(-\infty;\dfrac1{12}\right)\)
Задание
2
#2653
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при которых уравнение \
имеет два корня. (Задача от подписчиков.)
Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\)
, \(x^2-1=u\)
. Тогда уравнение примет вид: \
Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrtw\)
. Тогда наше уравнение примет вид: \
Найдем производную \
Заметим, что при всех \(w\ne 0\)
производная \(f"(w)>0\)
, т.к. \(7^w>0\)
, \(w^6>0\)
. Заметим также, что сама функция \(f(w)\)
определена при всех \(w\)
. Т.к. к тому же \(f(w)\)
непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\)
возрастает на всем \(\mathbb{R}\)
. \
Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным: \[\begin{cases} a-1\ne 0\\
4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]
Ответ:
\((-\infty;1)\cup(1;2)\)
Задание
3
#3921
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все положительные значения параметра \(a\)
, при которых уравнение имеет как минимум \(2\)
решения. Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\)
, влево, а содержащие \(x^2\)
– вправо, и рассмотрим функцию Тогда исходное уравнение примет вид: Найдем производную: Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\)
, то \(f"(t)\geqslant 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Причем \(f"(t)=0\)
, если \((t-2)^2=0\)
и \(1+\cos{2t}=0\)
одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\)
. Следовательно, \(f"(t)> 0\)
при любых \(t\in \mathbb{R}\)
. Таким образом, функция \(f(t)\)
строго возрастает при всех \(t\in
\mathbb{R}\)
. Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\)
равносильно уравнению \(ax=x^2\)
. Уравнение \(x^2-ax=0\)
при \(a=0\)
имеет один корень \(x=0\)
, а при \(a\ne 0\)
имеет два различных корня \(x_1=0\)
и \(x_2=a\)
. Ответ:
\((0;+\infty)\)
. Задание
4
#1232
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет единственное решение. Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\)
(т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)
) и перепишем уравнение в виде: \
Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\)
при \(t\geqslant 0\)
(т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)
). Производная \(y"=\left(-2^t\cdot
\log_9{(t+2)}\right)"=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left(\ln 2\cdot
\ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\)
. Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
, то \(y"<0\)
при всех \(t\geqslant 0\)
. Следовательно, при \(t\geqslant 0\)
функция \(y\)
монотонно убывает. Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\)
, где \(z=ax,
t=\sqrt{x+1}\)
. Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\)
. Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\)
, которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases}
a^2x^2-x-1=0\\
ax \geqslant 0
\end{cases}\]
При \(a=0\)
система имеет одно решение \(x=-1\)
, которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\)
. Рассмотрим случай \(a\ne 0\)
. Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\)
при всех \(a\)
. Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\)
и \(x_2\)
, причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)
). Это значит, что при \(a<0\)
условию \(ax\geqslant 0\)
подходит отрицательный корень, при \(a>0\)
условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение. Значит, \(a\in \mathbb{R}\)
. Ответ:
\(a\in \mathbb{R}\)
. Задание
5
#1234
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень из отрезка \([-1;0]\)
. Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\)
при некотором фиксированном \(a\)
. Найдем ее производную: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\)
. Заметим, что \(f"(x)\geqslant 0\)
при всех значениях \(x\)
и \(a\)
, причем равна \(0\)
только при \(x=a=1\)
. Но при \(a=1\)
: Значит, при всех \(a\ne 1\)
функция \(f(x)\)
является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\)
может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\)
при некотором фиксированном \(a\)
будет выглядеть следующим образом: Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\)
, необходимо: \[\begin{cases}
f(0)\geqslant 0\\
f(-1)\leqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a(a^2+3)\leqslant 0\\
(a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
a\leqslant 0\\
a\geqslant -2
\end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]
Таким образом, \(a\in [-2;0]\)
. Ответ:
\(a\in [-2;0]\)
. Задание
6
#2949
Уровень задания: Равен ЕГЭ Найдите все значения параметра \(a\)
, при каждом из которых уравнение \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2})=0\]
имеет корни. (Задача от подписчиков)
ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in
\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad
\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\]
имело решения на ОДЗ. 1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&\sin x=2a+2\\
&\sin x=3\\
\end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]
Данное уравнение должно иметь корни на \(\)
. Рассмотрим окружность: Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\)
уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+\sin 1\right]\)
уравнение имеет решения. 2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]
Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\)
. Найдем ее производную: \
На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\)
, который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\)
. Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\)
пересекался с прямой \(y=-a\)
(на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \
. При этих \(x\)
: Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\)
является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\)
является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\)
. Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\)
функция \(y_2\)
также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\)
– строго возрастает (константа \(3a+8\)
не влияет на монотонность функции). Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\)
при всех \(x\geqslant 1\)
представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей. Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\)
- значит найти точки пересечения функций \(f\)
и \(g\)
. Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня. При \(x\geqslant 1\)
\(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \
0 \\cup
Ответ:
\(a\in (-\infty;-1]\cup}
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\)
возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\)
. Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:
\
\
\
Нам нужно найти значения \(a\)
, при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\)
.
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\)
.
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\)
уравнение \(2(x-1)^3=0\)
имеет единственный корень \(x=1\)
, не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\)
не может быть равно \(1\)
.
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\)
. Значит, схематично график \(f(x)\)
выглядит так:
