Архимед (287 г. до н. э. -- 212г. до н. э.) -- древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.
Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.
В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность - винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции.
Определение спирали Архимеда
Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.
Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.
Построение спирали Архимеда
Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, отметим на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда.
Построим из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.
Разделим окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. На первой линии откладываем одно деление, на второй-два деления, на третьей-три деления и т. д. Затем чертим соответствующее число дуг из центра окружности, проходящих через первое деление,2-ое и т. д.
Расстояния витков правой спирали, считая по лучу, равны,а расстояния соседних витков, равны.
Уравнение Архимедовой спирали имеет вид:
где - радиус-вектор,- угол вращения,- шаг спирали.
Полярный угол мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки.
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении -- по часовой стрелке -- левая спираль (красная линия).
Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом, а во втором в противоположном направлении.
I.Вычислим площадь, описываемую полярным радиусом спирали при одном его обороте, если началу движения соответствует,
Если мы найдем площадь круга радиуса,то получим
Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ, узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.
Виток Архимеда
Кривая, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль луча, вращающегося с неизменной вокруг своего начала, называется так: "спираль Архимеда". Построение ее проводят следующим образом: задают ее шаг - а, проводят из центра О окружность радиусом, равным шагу спирали, шаг и окружность делят на несколько равных частей, нумеруя точки деления.
Архимед в своем трактате «О спирали» исследовал свойства данной формы, используя полярные координаты, он записал характеристическое свойство ее точек, дал построение касательной к спирали и определил ее площадь. Отображает спираль Архимеда формула r = a*theta. Ученый знал, что увеличение шага спирали всегда равномерно.
Символичность
Поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и ход истории, человеческой жизни). Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.
В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота).Спиральные формы представлены от эволюционных глубин до законов диалектики.
Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.
и последовательность Фибоначчи
Спираль Архимеда имеет тесную связь с Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.
Спиральная симметри я
Фактор времени, сочетающийся с вращением и направленным движением, формирует форму спирали. Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, имеют отношение ко времени, не к пространству. Они присутствуют в основном в узорах, реже - в архитектуре.
Это шпили соборов и
Применение в технике
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.
Ныне спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.
Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).
Что такое спираль Архимеда?
Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны . В машиностроении спирали используются при проектировании пружин , косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.
Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons .
В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.
Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:
где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между витками, которое равно 2 \pi b . Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью . Это имя связывают с арифметической зависимостью расстояния от начала кривой до точек спирали, находящихся на одной радиальной линии.
Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда
Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.
Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.
Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:
\begin{align*} x_{component}=rcos(\theta) \\ y_{component}=rsin(\theta) \end{align*}
После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:
\begin{align*} x_{component}=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_{component}=(a+b\theta)sin(\theta) \end{align*}
В COMSOL Multiphysics необходимо определить набор параметров, с помощью которых будем задавать геометрию спирали. В нашем случае — это начальный и конечный радиусы спирали a_{initial} и a_{final} , соответственно, и количество витков n . Показатель роста спирали b находится, как:
b=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi n}
Также необходимо определить начальный и конечный углы спирали — theta_0 и theta_f , соответственно. Давайте с них и начнём — theta_0=0 и theta_f=2 \pi n . Исходя из заданной информации, определяем параметры для построения геометрии спирали.
Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.
Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):
\begin{align*} X_{fun}=(a+bs)cos(s) \\ Y_{fun}=(a+bs)sin(s) \\ \end{align*}
Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное
аналитической функцией.
Аналитическая функция затем может использоваться в качестве выражения в узле Parametric Curve. Во вкладке Parameter задаём параметр s от начального угла, theta_0 , до его конечного значения, theta_f=2 \pi n .
Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).
Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.
До этого момента параметрами нашей кривой были начальный (a_{initial} ) и конечный (a_{final} ) радиусы и количество витков n . Теперь мы хотим добавить ещё один – толщину спирали.
Ещё раз напомним главное свойство спирали — расстояние между витками постоянно и равно 2 \pi b . Что эквивалентно \frac{a_{final}-a_{initial}}{n} . Чтобы добавить толщину в наши уравнения, представляем расстояние между витками суммой толщины спирали и зазора thick+gap .
Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.
\begin{align*} distance=\frac{a_{initial}-a_{final}}{n} \\ gap=distance-thick \end{align*}
После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:
\begin{align*} distance=2\pi b \\ b=\frac{gap+thick}{2\pi} \end{align*}
Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:
\begin{align*} \theta_{final}=2 \pi n \\ a_{final}=\text{total distance}+a_{initial} \\ a_{final}=2 \pi bn+a_{initial} \\ n=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{2 \pi (a_{final}-a_{initial})}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b} \end{align*}
Хотите задать отличный от нуля начальный угол спирали? Если так, то его надо будет добавить в выражение для определения конечного угла: theta_f=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}+theta_0 .
Дублирование кривой спирали дважды со смещением на -\frac{thick}{2} и +\frac{thick}{2} по отношению к начальной кривой позволяет построить спираль заданной толщины. Чтобы правильно расположить внутреннюю и внешнюю спирали, необходимо убедиться, что начала данных кривых перпендикулярны линии, на которой расположены их начальные точки. Это можно сделать, домножив расстояние смещения \pm\frac{thick}{2} на единичный вектор, расположенный по нормали к начальной кривой спирали. Уравнения векторов нормали в параметрическом виде:
n_x=-\frac{dy}{ds} \quad \text{and} \quad n_y=\frac{dx}{ds}
где s — это параметр, используемый в узле Parametric Curve. Чтобы получить нормированные единичные вектора, необходимо эти выражения разделить на длину нормали:
\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }
Обновленные параметрические уравнения спирали Архимеда со смещением:
\begin{align*} x_{component}=(a+bs)cos(s)-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \\ y_{component}=(a+bs)sin(s)+\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \end{align*}
Записывать такие длинные выражения довольно неудобно, поэтому введём следующие обозначения:
\begin{align*} N_x=-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}} \\ N_y=\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }} \end{align*}
где N_x и N_y определяются аналитическими функциями в COMSOL Multiphysics, аналогично X_{fun} и Y_{fun} в первом примере. Внутри функции используется оператор производной, d(f(x),x) , как показано на скриншоте ниже.
Примеры оператора производной, который используется в
аналитической функции
Функции X_{fun} , Y_{fun} , N_x , и N_y могут быть использованы в выражениях для задания параметрической кривой, как с одной стороны:
\begin{align*} x_{lower}=X_{fun}(s)+N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{lower}=Y_{fun}(s)+N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}
Так и с другой:
\begin{align*} x_{upper}=X_{fun}(s)-N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{upper}=Y_{fun}(s)-N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}
Выражения для второй смещённой параметрической кривой.
Чтобы соединить концы, добавим ещё две параметрические кривые, используя незначительные изменения уравнений выше. Для кривой, которая будет соединять спираль в центре, необходимо задать X_{fun} , Y_{fun} , N_x , и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, которая будет соединять концы, необходимо задать конечное значение theta. Исходя из этого, уравнения кривой в центре:
\begin{align*} X_{fun}(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}
Уравнения кривой на конце:
\begin{align*} X_{fun}(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}
В этих уравнениях параметр s изменяется от -1 до 1, как показано на скриншоте ниже.
Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.
В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid , создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.
Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.
Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics
В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.
Дополнительные ресурсы по проектированию и расчёту спиралей
- Для улучшения навыков моделирования спиралей, ознакомьтесь со следующими учебными моделями:
- Познакомьтесь с опытом одного из наших пользователей:
Инструкция
Отметьте на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда . Обозначьте центр буквой O.
Полярные координаты ρ=ρ(φ) следует вводить, используя фокус, как центр. Тогда можно положить ρ=r2 и после незначительных преобразований получите для правых участков эллипса и параболы полярные уравнения (см. рис. 3). При этом а – большая полуось эллипса (мнимая для гиперболы), с – абсцисса фокуса, про параметр b – на рисунке.
Приведенная на формулах рисунка 2 величина ε называется эксцентриситетом. Из формул рисунка 3 следует, что все прочие величины с ней как-либо связаны. И действительно, поскольку ε связана со всеми главными кривыми второго порядка, то на ее основе и можно принимать основные решения. А именно, если ε1 – гипербола. ε=1 – . Это имеет и более глубокий смысл. В куда как крайне сложном курсе «Уравнения математической » дифференциальных уравнений с частными производными производится на этой же основе.
Источники:
- Psi coma. Автор Как Просто. Как привести к каноническому виду уравнение.
- Psi coma. Автор Как Просто. Как привести уравнение к каноническому виду.
Жизнь современной представительницы прекрасного пола не ограничивается лишь семьей и детьми. Большую часть времени занимает работа. Чтобы успеть справиться со всеми своими многочисленными обязанностями, женщине нужно строго планировать свое время, свои нагрузки и, в том числе, количество детей и время их появления. Решить эти задачи помогают современные средства контрацепции.
Вы сможете спокойно кормить грудью, не думая о составе таблеток, которые с молоком могут попасть в его организм. В сравнении со презервативом, который относится к так называемому «барьерному методу», спираль неожиданно не порвется, сделав вас обладательницей еще одного малыша.
Когда же можно после родов? Чаще - через шесть-восемь недель после рождения ребенка, когда врач убедится, что ваш организм в необходимой степени восстановился и каких-либо противопоказаний нет. После сечения спираль ставится только через 6 месяцев.
Как действует спираль
Действие внутриматочной спирали основано на том, что она не позволяет яйцеклетке закрепиться в . Спирали бывают разные по форме - кольцевидные, т-образные и т.д. Их форма должна препятствовать выпадению этого устройства из полости матки. Необходимый противозачаточный эффект спирали достигается за счет ионов меди или другого вещества, которое находится на ее стержне.
На некоторых спиралях вместо меди используется серебро, прополис или золото. Это более дорогие средства защиты, но у них есть дополнительный противовоспалительный эффект. Существуют и гормоносодержащие спирали. Они предотвращают обильные болезненные менструации, которые могут быть после установки этого устройства.
Гормоносодержащие спирали придется менять через 1 год, когда в них истощается запас прогестерона, а спирали с медью - через 2-3 года.
Через несколько лет спираль заменяют на новую. Устанавливается она в последние дни менструации. В первый месяц после установки желательно ограничивать физические нагрузки.
Решать, ставить спираль после родов или нет, может только врач-гинеколог, причем очень опытный. Доверяться непрофессиональному врачу нельзя.
Продолжительность действия спирали указана на упаковке, она зависит от используемого активного вещества на стержне и иногда достигает 8 лет.
При отсутствии должного опыта у врача в лучшем случае вы столкнетесь с болями после , выделениями, в худшем - с выпадением этого устройства, развитием воспалительных явлений или даже опухолями.
В каждом конкретном случае вопрос об установке спирали после родов решается индивидуально с учетом пожеланий женщины и заключения врача о целесообразности использования этого средства контрацепции. В любой момент устройство можно извлечь, чтобы сделать возможным рождение еще одного желанного ребенка.