Характеристической функцией случайной величиныX называют преобразование Фурье распределения случайной величины:

Свойства

Доказательство .

Доказательство .

Естественно , это свойство распространяется и на бо́льшее число слагаемых:

.

φ (t ) равномерно непрерывна.

Доказательство .

Полученное окончательное выражение зависит только от h . Для непрерывной случайной величины можно записать

.

Доказательство . Если существуетk -й момент величиныX , то, пользуясь дифференцированием под знаком интеграла (что можно, посколькуp (x ) существует), получим

При каждом последующем дифференцировании «сносится» i E[X ], так что послеk дифференцирований получимi k E[X k ]. Этот результат можно представить в виде

.

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.

Доказательство частных случаев

Пусть X - целочисленная дискретная случайная величина (k Z ), тогда (обратное преобразование Фурье)

(ряд Фурье, коэффициентами которого являются p k ), тогда

Все слагаемые, при которых k ≠m , дают 0 (по ортогональности), и остается

.

Пусть φ (t ) абсолютно интегрируема на вещественной прямой, и существует плотность распределенияp (x ) 11 .

Попробуем выразитьp (x ) через характеристическую функцию. Запишем обратное преобразование Фурье функцииφ :

.

С учетом этого

Поскольку

в силу замены переменных получим

и, следовательно,

.

Если в (*) во втором интеграле оба предела интегрирования имеют одинкаовые знаки, получим 0; если разные - конечное число. То есть, ненулевой предел есть при a <y <b . В этом случае появится интеграл от −∞ до ∞, равныйπ . Отсюда

Получили :

,

следовательно, p полностью определяется характеристической функцией.

.

Доказательство ..

Критерий характеристической функции

Функция φ X (t ) - характеристическая для случайной величиныX тогда и только тогда, когда:

φ X (0) = 1,

φ X (t ) положительно определена .

Функция φ (t ) называетсяположительно определенной (positivedefinite), если

причем равенство нулю достигается лишь при z i = 0i . Если ослабить условие достижения равенства нулю, получимнеотрицательно определенную функцию.

Проверим , что характеристическая функция положительно определена:

Обоснование . По свойству 5),

При k = 1, получаем,

При k = 2 -.

Если EX = 0,DX =E[X 2 ] = 1,
.

20.2 Примеры

Решение . Приведем выражение к виду

Нетрудно видеть, что
. После преобразования можно записать
.

Рассмотрим значения p i :

Вывод :cos 2 t - характеристическая функция дискретной случайной величины, принимающей значение 0 с вероятностью 1/2, а значения 2 и −2 - с вероятностью 1/4.

Вычислить характеристическую функцию вырожденной случайной величины:P (X = 0) = 1.

Решение ..

Если же P (X =C ) = 1, получим.

Решение . Приведем выражение к виду

.

Рассмотрим значения p i :

Получили : это характеристическая функция дискретной случайной величины.

Решение . ПустьY =X –X ′ , тогда

Вывод : квадрат модуля любой характеристической функции - снова характеристическая функция.

Пусть X ,Y - случайные величины с характеристическими функциямиφ X (t ) иφ Y (t );a ,b > 0 - константы такие, чтоa +b = 1. Рассмотрим функцию

Является ли она характеристической, и если да, то для какой случайной величины?

Ответ : да, является. Пусть соответствующие функции распределенияX иY - F X (x ) иF Y (y ). Рассмотрим функцию. Очевидно, это функция распределения, поскольку

Тогда плотность вероятности

Если φ (t ) - характеристическая функцияX , тоφ (−t ) - характеристическая функция (–X ). (из примера 4)).

Пусть φ (t X , тогда является ли

f (t ) =Re[φ (t )]

Решение . Очевидно,

Пусть φ (t ) соответствует функции распределенияF X (x ), тогда дляRe[φ (t )]:

Пусть φ (t ) - характеристическая функция величиныX , тогда является ли

f (t ) =Im[φ (t )]

характеристической функцией некототорой случайной величины?

Решение . Нет, не является, посколькуf (0) = 0.

Найти характеристическую функцию нормального распределения.

1. X ~ N (0, 1):

Сосчитаем φ (t ), продифференцировав под знаком интеграла:

Решим дифференциальное уравнение
с начальным условиемφ (0) = 1:

X ~N (a ,σ 2): сопоставим такую величину сX 0 ~N (0, 1). Легко видеть, чтоX =a +σ X 0 . Тогда, по свойству 2)

Математическое ожидание и его свойства.

Числовые характеристики случайных величин.

Характеристическая функция.

Лекция №5

Раздел 2. Случайные величины.

Тема 1 . Функция распределения, плотность вероятности и числовые характеристики случайной величины.

Цель лекции: дать знания о способах описания случайных величин.

Вопросы лекции:

Литература:

Л1 - Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 296 с.

Л2 - Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. - 9-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2005. - 479 с: ил.

Л3 - Нахман А.Д., Косенкова И.В. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2009.

Л4 - Плотникова С.В. Математическая статистика. Методические разработки. – Тамбов: Издательство ТГТУ, 2005. (pdf-файл)

При решении многих задач вместо функции распределения F(x) и п.в. р(х) применяется характеристическая функция . С помощью этой характеристики оказывается целесообразным, например, определять некоторые числовые характеристики сл.в. и з.р. функций сл.в.

Характеристической функцией сл.в. называется преобразование Фурье от ее п.в. р(х) :

, (2.6.1)

где - параметр, являющийся аргументом характеристической функции, - м.о. сл.в. (см § 2.8.).

Применив обратное преобразование Фурье, получим формулу, определяющую п.в. сл.в. по ее характеристической функции

. (2.6.2)

Так как размерность р(х) обратна размерности x , то величина , а следовательно, и являются безразмерными. Аргумент имеет размерность обратную размерности x .

Воспользовавшись представлением (2.5.7) п.в. р(х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (1) на дискретные сл.в.

. (2.6.3)

Иногда вместо характеристической функции оказывается удобным использовать логарифм от нее:

Y . (2.6.4)

Функцию Y можно назвать второй (логарифмической ) характеристической функцией сл.в. .

Отметим наиболее важные свойства характеристической функции.

1. Характеристическая функция удовлетворяет следующим условиям:

. (2.6.5)

2. Для симметричного распределения, когда р(х)= р(-х) , мнимая часть в (1) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией . Наоборот, если принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично.

3. Если сл.в. является линейной функцией сл.в. , то ее характеристическая функция определяется выражением

, (2.6.6)

где a и b - постоянные.

4. Характеристическая функция суммы независимых сл.в. равна произведению характеристических функций слагаемых, т.е., если

. (2.6.7)

Это свойство особенно полезно, так как в противном случае нахождение п.в. суммы сл.в. связано с многократным повторением свертки, что вызывает иногда затруднения.

Таким образом, учитывая однозначную связь между функцией распределения, плотностью вероятности и характеристической функцией, последняя в равной мере может быть использована для описания сл.в.

Пример 2.6.1. По каналу связи с помехами передается кодовая комбинация из двух импульсов. Из-за независимого воздействия помехи на эти импульсы каждый из них может быть подавлен с вероятностью q =0,2. Необходимо определить: I) ряд распределения cл.в. - числа подавленных помехами импульсов; 2) функцию распределения ; 3) плотность вероятности ; 4) характеристическую функцию сл.в. .

Дискретная сл.в. может принять три значения (ни один из импульсов не подавлен), (подавлен один импульс), (подавлены оба импульса). Вероятности этих значений соответственно равны:

Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.

Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно. Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.
В исходной задаче требовалось установить является ли заданнная функция ХФ какой-либо случайной величины. Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.
Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина. При этом использование теорем о представлении СВ в виде линейной комбинации других СВ Радемахера никак не способствует пониманию основных свойств ХФ, более того, как я выше указал ваше решение содержит завуалированный ряд Фурье, то есть фактически соответствует первому способу.
Когда требуется показать, что заданная функция не может являться ХФ какой-либо СВ, то достаточно установить невыполнение одного из свойств ХФ: единичное значение в нуле, ограниченность по модулю единицей,получение корректных значений для моментов ПРВ, равномерную непрерывность. Проверка корректности значений моментов, вычисляемых через заданную функцию является математически-равноправной проверке равномерной непрерывности в том смысле, что невыполнение любого из этих свойств может служить одинаковым основанием для признания непригодности заданной функции. Однако, проверка корректности значений моментов является формализованной: дифференцируй и проверяй. Равномерную непрерывность, в общем случае, приходится доказывать, что ставит успех решения задачи в зависимость от творческого потенциала студента, от его способности "догадываться".
В рамках обсуждения "построения" СВ предлагаю рассмотреть простую задачу: построим СВ с ХФ вида: где

α k	(y )=	M [ Y				+∞∫ ϕ k	(x )			(x) dx;
µ k (y )				∫ (ϕ (x )						f (x) d x.
Характеристическая функция случайной величины
Пусть Y = e itX , где			X –	случайная величина с известным законом
распределения, t – параметр,i =				− 1.
Характеристической функцией случайной величины Хназывается
математическое ожидание функции Y = e itX :
					∑ e itx k p k , для ДСВ,
				k = 1
υ X (t )= M =
					∫ e itX f (x )dx , для НСВ.
Таким образом, характеристическая								υ X(t )		и закон распределения

случайной величины однозначно связаны преобразованием Фурье . Например, плотность распределенияf (x ) случайной величиныX однозначно выражается через ее характеристическую функцию при помощиобратного преобразования Фурье :

	f (x) =		+∞ υ (t) e− itX dt.
		2 π−∞ ∫
Основные свойства характеристической функции:
	Характеристическая функция величины Z = aX + b , гдеX – случайная
величина с характеристической функций υ X (t ) , равна
	υ Z (t ) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at ) .
	Начальный момент k -го порядка случайной величиныX равен
	α k (x )= υ X (k ) (0)i − k ,

где υ X (k ) (0) – значение k -й производной характеристической функции приt = 0.

3. Характеристическая функция суммы	Y = ∑ X k независимых
	k = 1

случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых:

υ Y(t ) = ∏ υ Xi		(t ).
i = 1
4. Характеристическая функция нормальной			случайной величины с
параметрами m иσ равна:
υ X (t) = eitm −	t 2 σ 2

ЛЕКЦИЯ 8 Двухмерные случайные величины. Двухмерный закон распределения

Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) – совокупность двух одномерных случайных величин, которые принимают значения в результате проведения одного и того же опыта.

Двухмерные случайные величины характеризуются множествами значений Ω X ,Ω Y своих компонент и совместным (двухмерным) законом распределения. В зависимости от типа компонентX ,Y различают дискретные, непрерывные и смешанные двухмерные случайные величины.

Двухмерную случайную величину (Х, Y ) геометрически можно представить как случайную точку (Х ,У ) на плоскости х0у либо как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (Х ,У ).

Двухмерная функция распределения двухмерной случайной величины

(Х ,Y ) равна вероятности совместного выполнения двух событий {Х <х } и {Y < у }:

F(x, y) = p({ X< x} { Y< y} ) .

Геометрически двухмерная функция распределения F (x , y )

попадания случайной точки (Х ,Y ) в
бесконечный		квадрант с	вершиной в
точке (х ,у ), лежащей левее и ниже ее.
Компонента Х приняла значения,
меньшие действительного числа х , это
	распределения		F X (x ), а
компонента Y – меньшие действительного
числа у ,			распределения
F Y (y ).

Свойства двухмерной функции распределения:

1. 0 ≤ F (x ,y )≤ 1.

– это вероятность

. (x ,y )

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность – неотрицательное число, не превышающее 1.

2. F (–∞ , y ) =F (x , –∞ ) = F (–∞ , –∞ ) = 0,F (+∞ , +∞ ) = 1.

3. F (x 1 ,y )≤ F (x 2 ,y ), еслиx 2 >x 1 ;F (x ,y 1 )≤ F (x ,y 2 ), еслиy 2 >y 1 .

Доказательство. Докажем, чтоF (x ,y )− неубывающая функция по

переменной х . Рассмотрим вероятность

p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .

Так как p (X < x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то

F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X < x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).

Аналогично и для у .

4. Переход к одномерным характеристикам:

	F (x ,∞ )= p (X < x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x );
	F (∞ ,y )= p (X < ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ).
5. Вероятность попадания в прямоугольную область
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) =
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ).										(β,γ)
Функция распределения − наиболее
универсальная
распределения
использована		описания как								(β,δ)
непрерывных,		и дискретных						(α,δ)
двухмерных случайных величин.

Матрица распределения

Двухмерная случайная величина (Х ,Y ) является дискретной, если множества значений ее компонентΩ X иΩ Y представляют собой счетные множества. Для описания вероятностных характеристик таких величин используется двухмерная функция распределения и матрица распределения.

Матрица распределения представляет собой прямоугольную таблицу, которая содержит значения компонентыX − Ω X ={ x 1 ,x 2 ,... ,x n } , значения компонентыY − Ω Y ={ y 1 ,y 2 , …,y m } и вероятности всевозможных пар значенийp ij =p (X =x i ,Y =y j ),i = 1, …,n ,j = 1, …,m .

x i \ yj
	X i )= ∑ p ij ,i = 1, ...,n .
	j= 1
3. Переход к ряду распределения вероятностей составляющей Y :
	p j = p (Y = y j )= ∑ p ij ,j = 1, ...,m .

i= 1

Двухмерная плотность распределения

Двухмерная случайная величина (X ,Y ) является непрерывной, если ее

функция распределения F (х ,у ) представляет собой непрерывную, дифференцируемую функцию по каждому из аргументов и существует вторая

смешанная производная ∂ 2 F (x , y ) .

∂ x ∂y

Двухмерная плотность распределения f(х, у) характеризует плотность вероятности в окрестности точки с координатами (х, у) и равна второй смешанной производной функция распределения:

∫∫ f(x, y) dxdy.

Свойства двухмерной плотности:

1. f (x ,y )≥ 0.

2. Условие нормировки:

∞ ∞

∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .