Раздел 3. Матрицы
3.1 Основные понятия
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк одинаковой длины (или п столбцов одинаковой длины). Матрица записывается в виде:
или, сокращенно,
,
где
(т.е.
)
– номер строки,
(т.е.
)
– номер столбца.
Матрицу А
называют матрицей размера
и пишут
.
Числа
,
составляющие
матрицу, называются ее элементами.
Элементы,
стоящие на диагонали, идущей из верхнего
левого угла, образуют главную диагональ.
Пример 1.
Элемент
расположен в 1-й строке и 2-м столбце, а
элемент
находится в 3-й строке и 1-м столбце.
Пример 2.
Матрица
имеет размер
,
так как она содержит 2 строки и 4 столбца.
Матрица
имеет размер
,
так как она содержит 3 строки и 2 столбца.
Матрицы равны
между собой, если равны все
соответствующие элементы этих матриц,
т.е.
,
если
,
где
,
.
Матрица, у которой
число сток равно числу столбцов,
называется квадратной
.
Квадратную матрицу размера
называют
матрицей п-го
порядка.
Пример 3.
Матрицы
и
из примера 2 называются прямоугольными.
Матрица
– это квадратная матрица 3-го порядка.
Она содержит 3 строки и 3 столбца.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной . Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е .
Пример 4.
– единичная матрица 3-го порядка.
Квадратная матрица называется треугольной , если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой . Обозначается буквой О .
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль 0 и 1 в арифметике.
,
.
Матрица размера
,
состоящая из одного числа, отождествляется
с этим числом, т.е.
есть 5.
Матрица, полученная
из данной, заменой каждой ее строки
столбцом с тем же номером, называется
матрицей, транспонированной
к данной. Обозначается
.
Так, если
,
то
если
,
то
.
Транспонированная матрица обладает
следующим свойством:
.
3.2 Операции над матрицами
Сложение
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой двух
матриц
и
называется матрица
такая, что
(
,
).
Пример 5. .
Аналогично определяется разность матриц.
Умножение на число
Произведением
матрицы
на число
k
называется
матрица
такая, чтоb
ij
=
ka
ij
(i
=
,
j
=
).
Пример 6.
,
,
.
Матрица
называетсяпротивоположной
матрице А.
Разность матриц
можно определить так:
.
Операции сложения матриц и умножение матрицы на число обладают следующими свойствами:
где А , В , С – матрицы, α и β – числа.
Элементарные преобразования матриц
Элементарными преобразованиями матриц являются:
перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две матрицы А и В называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~В .
При помощи
элементарных преобразований любую
матрицу можно привести к матрице, у
которой в начале главной диагонали
стоят подряд несколько единиц, а все
остальные элементы равны нулю. Такую
матрицу называют канонической
,
например
.
Пример 7.
Привести к каноническому виду матрицу
.
Решение: Выполняя элементарные преобразования, получаем
(поменяли местами
I
и III
столбцы) ~
(I
строку сложили со II
строкой и результат записали во вторую
строку; после этого I
строку сложили с III
строкой и результат записали в третью
строку) ~
(I
столбец умножили на (-3), сложили со II
столбцом и результат записали во II
столбец; затем I
столбец умножили на (-2), сложили с III
столбцом и результат записали в III
столбец; после этого I
столбец снова умножили на (-2) и сложили
с IV
столбцом, а результат записали в IV
столбец) ~
(III
столбец умножили на (-2), сложили со II
столбцом и результат записали во II
столбец; III
столбец разделили на 2 и результат
записали в III
столбец; III
столбец умножили на (-1), сложили с IV
столбцом и результат записали в IV
столбец) ~
(II
строку умножили на 3, сложили с III
строкой и результат записали в III
строку) ~
(II
столбец умножили на (-1), сложили
последовательно с III
и IV
столбцами и результат записали
соответственно в III
и IV
столбец) ~
.
Получили матрицу канонического вида.
Произведение матриц
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Произведением матрицы А т×п =(а ij ) на матрицу В п×р =(b jk ) называется матрица С т×р =(с ik ) такая, что
c
ik
=
a
i
1
∙
b
1
k
+
a
i
2
∙
b
2
k
+
∙∙∙+
a
in
∙
b
nk
,
где
i
=
,
k
=
,
т.е. элемент i -ой строки и k -го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы k -го столбца матрицы В.
Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А ∙Е = Е ∙А = А , где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.
Пример 4.
=.
Матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими ), если АВ =ВА .
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
А ∙(В ∙С ) = (А ∙В )∙С ;
А ∙(В + С ) = АВ + АС ;
(А + В )∙С = АС + ВС ;
α (АВ ) = (αА )В ,
если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл.
Для операции транспонирования верны свойства:
(А + В ) Т =А Т + В Т;
(АВ ) Т = В Т ∙А Т.
Если задан многочлен
,
томатричным
многочленом
f
(A
)
называется выражение вида
,
где
для любого натуральногоп
.
Значением матричного многочлена f
(A
)
при заданной матрице А
является матрица.
Элемент строки назовем крайним , если он отличен от нуля, а все элементы этой строки, находящиеся левее его, равны нулю. Матрица называется ступенчатой , если крайний элемент каждой строки находится правее крайнего элемента предыдущей строки.
Пример 5. В матрицах А и В отмечены крайние элементы каждой строки:
–не ступенчатая
–ступенчатая
Определение.
Многочленной матрицей или
-матрицей
называется прямоугольная матрица,
элементы которой являются многочленами
от одного переменного
с числовыми коэффициентами.
Над
-матрицами
можно совершать элементарные
преобразования. К ним относятся:
Две
-матрицы
и
одинаковых размеров называются
эквивалентными:
,
если от матрицы
к
можно перейти с помощью конечного числа
элементарных преобразований.
Пример. Доказать эквивалентность матриц
|
|
|
,
.Решение.
.
.
Умножим вторую строку на (–1) и заметим, что
.
.
Множество
всех
-матриц
данных размеров
разбивается на непересекающиеся классы
эквивалентных матриц. Матрицы,
эквивалентные между собой, образуют
один класс, не эквивалентные – другой.
Каждый
класс эквивалентных матриц характеризуется
канонической, или нормальной,
-матрицей
данных размеров.
Определение.
Канонической, или нормальной,
-матрицей
размеров
называется
-матрица,
у которой на главной диагонали стоят
многочлены,
гдер
– меньшее из чисел m
и n
(
),
причем не равные нулю многочлены имеют
старшие коэффициенты, равные 1, и каждый
следующий многочлен делиться на
предыдущий. Все элементы вне главной
диагонали равны 0.
Из определения следует, что если среди многочленов имеются многочлены нулевой степени, то они в начале главной диагонали. Если имеются нули, то они стоят в конце главной диагонали.
Матрица
предыдущего примера есть каноническая.
Матрица
также каноническая.
Каждый
класс
-матриц
содержит единственную каноническую
-матрицу,
т.е. каждая
-матрица
эквивалентна единственной канонической
матрице, которая называется канонической
формой или нормальной формой данной
матрицы.
Многочлены,
стоящие на главной диагонали канонической
формы данной
-матрицы,
называются инвариантными множителями
данной матрицы.
Один
из методов вычисления инвариантных
множителей состоит в приведении данной
-матрицы
к канонической форме.
Так,
для матрицы
предыдущего примера инвариантными
множителями являются
,
,
,
.
Из
сказанного следует, что наличие одной
и той же совокупности инвариантных
множителей является необходимым и
достаточным условием эквивалентности
-матриц.
Приведение
-матриц
к каноническому виду сводится к
определению инвариантных множителей
,
;
,
где
r
– ранг
-матрицы;
– наибольший общий делитель миноровk
-го
порядка, взятый со старшим коэффициентом,
равным 1.
Пример.
Пусть дана
-матрица
.
Решение.
Очевидно, наибольший общий делитель
первого порядка D
1
=1,
т.е.
.
Определим миноры второго порядка:
|
|
|
,
Уже
этих данных достаточно для того, чтобы
сделать вывод: D
2
=1,
следовательно,
.
Определяем D 3
,
Следовательно,
.
Таким
образом, канонической формой данной
матрицы является следующая
-матрица:
.
Матричным многочленом называется выражение вида
где
– переменное;
– квадратные матрицы порядкаn
с числовыми элементами.
Если
,
тоS
называют степенью матричного многочлена,
n
– порядком матричного многочлена.
Любую
квадратичную
-матрицу
можно представить в виде матричного
многочлена. Справедливо, очевидно, и
обратное утверждение, т.е. любой матричный
многочлен можно представить в виде
некоторой квадратной
-матрицы.
Справедливость данных утверждений со всей очевидностью вытекает из свойств операций над матрицами. Остановимся на следующих примерах:
Пример. Представить многочленную матрицу
в виде матричного многочлена можно следующим образом
.
Пример. Матричный многочлен
можно
представить в виде следующей многочленной
матрицы (
-матрицы)
.
Эта взаимозаменяемость матричных многочленов и многочленных матриц играет существенную роль в математическом аппарате методов факторного и компонентного анализа.
Матричные многочлены одинакового порядка можно складывать, вычитать и умножать аналогично обычным многочленам с числовыми коэффициентами. Следует, однако, помнить, что умножение матричных многочленов, вообще говоря, не коммутативно, т.к. не коммутативно умножение матриц.
Два
матричных многочлена называются равными,
если равны их коэффициенты, т.е.
соответствующие матрицы при одинаковых
степенях переменного
.
Суммой
(разностью) двух матричных многочленов
и
называется такой матричный многочлен,
у которого коэффициент при каждой
степени переменного
равен сумме (разности) коэффициентов
при той же степени
в многочленах
и
.
Чтобы
умножить матричный многочлен
на матричный многочлен
,
нужно каждый член матричного многочлена
умножить на каждый член матричного
многочлена
,
сложить полученные произведения и
привести подобные члены.
Степень
матричного многочлена – произведения
меньше или равна сумме степеней
сомножителей.
Операции
над матричными многочленами можно
осуществлять с помощью операций над
соответствующими
-матрицами.
Чтобы
сложить (вычесть) матричные многочлены,
достаточно сложить (вычесть) соответствующие
-матрицы.
То же относится к умножению.
-матрица
произведения матричных многочленов
равна произведению
-матриц
сомножителей.
Пример.
|
|
|
С
другой стороны
и
можно записать в виде
|
|
|
Так как умножение матриц не коммутативно, для матричных многочленов определяются два деления с остатком – правое и левое.
Пусть даны два матричных многочлена порядка n
где В 0 – невырожденная матрица.
При
делении
на
существует однозначно определенное
правое частное
и правый остаток
где
степень R
1
меньше степени
,
или
(деление без остатка), а также левое
частное
и левый остаток
где
степень
меньше степени
,
или
=0
(деление без остатка).
Обобщённая
теорема Безу.
При делении матричного многочлена
на многочлен
правый остаток равен правому значению
делимого
при
,
т.е. матрице
а
левый остаток – левому значению делимого
при
,
т.е. матрице
Доказательство. Доказательство справедливости обеих формул (3.4.1) и (3.4.2) осуществляется одинаково, непосредственной подстановкой. Докажем одну из них.
Итак,
делимое –
,
делитель –
,
в качестве частного имеем многочлен
Определим
произведение
:
или
что и требовалось доказать.
Следствие.
делится справа (слева) на многочлен
тогда и только тогда, когда
равно 0.
Пример. Показать, что матричный многочлен
делится
на матричный многочлен
,
где
,
слева без остатка.
Решение. В самом деле, справедливо равенство
Где
Подсчитаем значение левого остатка по теореме Безу
Матрица - это особый объект в математике. Изображается в форме прямоугольной или квадратной таблицы, сложенной из определенного числа строк и столбцов. В математике имеется большое разнообразие видов матриц, различающихся по размерам или содержанию. Числа ее строк и столбцов именуются порядками. Эти объекты употребляются в математике для упорядочивания записи систем линейных уравнений и удобного поиска их результатов. Уравнения с использованием матрицы решаются посредством метода Карла Гаусса, Габриэля Крамера, миноров и алгебраических дополнений, а также многими другими способами. Базовым умением при работе с матрицами является приведение к стандартному виду. Однако для начала давайте разберемся, какие виды матриц выделяют математики.
Нулевой тип
Все компоненты этого вида матрицы - нули. Между тем, число ее строк и столбцов абсолютно различно.
Квадратный тип
Количество столбцов и строк этого вида матрицы совпадает. Иначе говоря, она представляет собой таблицу формы "квадрат". Число ее столбцов (или строк) именуются порядком. Частными случаями считается существование матрицы второго порядка (матрица 2x2), четвертого порядка (4x4), десятого (10x10), семнадцатого (17x17) и так далее.
Вектор-стобец
Это один из простейших видов матриц, содержащий только один столбец, который включает в себя три численных значения. Она представляет ряд свободных членов (чисел, независимых от переменных) в системах линейных уравнений.
Вид, аналогичный предыдущему. Состоит из трех численных элементов, в свою очередь организованных в одну строку.
Диагональный тип
Числовые значения в диагональном виде матрицы принимают только компоненты главной диагонали (выделена зеленым цветом). Основная диагональ начинается с элемента, находящегося в правом верхнем углу, а заканчивается числом в третьем столбце третьей строки. Остальные компоненты равны нулю. Диагональный тип представляет собой только квадратную матрицу какого-либо порядка. Среди матриц диагонального вида можно выделить скалярную. Все ее компоненты принимают одинаковые значения.
Подвид диагональной матрицы. Все ее числовые значения являются единицами. Используя единичный тип матричных таблиц, выполняют ее базовые преобразования или находят матрицу, обратную исходной.
Канонический тип
Канонический вид матрицы считается одним из основных; приведение к нему часто необходимо для работы. Число строк и столбцов в канонической матрице различно, она необязательно принадлежит к квадратному типу. Она несколько похожа на единичную матрицу, однако в ее случае не все компоненты основной диагонали принимают значение, равное единице. Главнодиагональных единиц может быть две, четыре (все зависит от длины и ширины матрицы). Или единицы могут не иметься вовсе (тогда она считается нулевой). Остальные компоненты канонического типа, как и элементы диагонального и единичного, равны нулю.
Треугольный тип
Один из важнейших видов матрицы, применяемый при поиске ее детерминанта и при выполнении простейших операций. Треугольный тип происходит от диагонального, поэтому матрица также является квадратной. Треугольный вид матрицы подразделяют на верхнетреугольный и нижнетреугольный.
В верхнетреугольной матрице (рис. 1) только элементы, которые находятся над главной диагональю, принимают значение, равное нулю. Компоненты же самой диагонали и части матрицы, располагающейся под ней, содержат числовые значения.
В нижнетреугольной (рис. 2), наоборот, элементы, располагающиеся в нижней части матрицы, равны нулю.
Вид необходим для нахождения ранга матрицы, а также для элементарных действий над ними (наряду с треугольным типом). Ступенчатая матрица названа так, потому что в ней содержатся характерные "ступени" из нулей (как показано на рисунке). В ступенчатом типе образуется диагональ из нулей (необязательно главная), и все элементы под данной диагональю тоже имеют значения, равные нулю. Обязательным условием является следующее: если в ступенчатой матрице присутствует нулевая строка, то остальные строки, находящиеся ниже нее, также не содержат числовых значений.
Таким образом, мы рассмотрели важнейшие типы матриц, необходимые для работы с ними. Теперь разберемся с задачей преобразования матрицы в требуемую форму.
Приведение к треугольному виду
Как же привести матрицу к треугольному виду? Чаще всего в заданиях нужно преобразовать матрицу в треугольный вид, чтобы найти ее детерминант, по-другому называемый определителем. Выполняя данную процедуру, крайне важно "сохранить" главную диагональ матрицы, потому что детерминант треугольной матрицы равен именно произведению компонентов ее главной диагонали. Напомню также альтернативные методы нахождения определителя. Детерминант квадратного типа находится при помощи специальных формул. Например, можно воспользоваться методом треугольника. Для других матриц используют метод разложения по строке, столбцу или их элементам. Также можно применять метод миноров и алгебраических дополнений матрицы.
Подробно разберем процесс приведения матрицы к треугольному виду на примерах некоторых заданий.
Задание 1
Необходимо найти детерминант представленной матрицы, используя метод приведения его к треугольному виду.
Данная нам матрица представляет собой квадратную матрицу третьего порядка. Следовательно, для ее преобразования в треугольную форму нам понадобится обратить в нуль два компонента первого столбца и один компонент второго.
Чтобы привести ее к треугольному виду, начнем преобразование с левого нижнего угла матрицы - с числа 6. Чтобы обратить его в нуль, умножим первую строку на три и вычтем ее из последней строки.
Важно! Верхняя строка не изменяется, а остается такой же, как и в исходной матрице. Записывать строку, в четыре раза большую исходной, не нужно. Но значения строк, компоненты которых нужно обратить в нуль, постоянно меняются.
Осталось только последнее значение - элемент третьей строки второго столбца. Это число (-1). Чтобы обратить его в нуль, из первой строки вычтем вторую.
Выполним проверку:
detA = 2 x (-1) x 11 = -22.
Значит, ответ к заданию: -22.
Задание 2
Нужно найти детерминант матрицы методом приведения его к треугольному виду.
Представленная матрица принадлежит к квадратному типу и является матрицей четвертого порядка. Значит, необходимо обратить в нуль три компонента первого столбца, два компонента второго столбца и один компонент третьего.
Начнем приведение ее с элемента, находящегося в нижнем углу слева, - с числа 4. Нам нужно обратить данное число в нуль. Удобнее всего сделать это, умножив на четыре верхнюю строку, а затем вычесть ее из четвертой. Запишем итог первого этапа преобразования.
Итак, компонент четвертой строки обращен в нуль. Перейдем к первому элементу третьей строки, к числу 3. Выполняем аналогичную операцию. Умножаем на три первую строку, вычитаем ее из третьей строки и записываем результат.
Нам удалось обратить в нуль все компоненты первого столбца данной квадратной матрицы, за исключением числа 1 - элемента главной диагонали, не требующего преобразования. Теперь важно сохранить полученные нули, поэтому будем выполнять преобразования со строками, а не со столбцами. Перейдем ко второму столбцу представленной матрицы.
Снова начнем с нижней части - с элемента второго столбца последней строки. Это число (-7). Однако в данном случае удобнее начать с числа (-1) - элемента второго столбца третьей строки. Чтобы обратить его в нуль, вычтем из третьей строки вторую. Затем умножим вторую строку на семь и вычтем ее из четвертой. Мы получили нуль вместо элемента, расположенного в четвертой строке второго столбца. Теперь перейдем к третьему столбцу.
В данном столбце нам нужно обратить в нуль только одно число - 4. Сделать это несложно: просто прибавляем к последней строке третью и видим необходимый нам нуль.
После всех произведенных преобразований мы привели предложенную матрицу к треугольному виду. Теперь, чтобы найти ее детерминант, нужно только произвести умножение получившихся элементов главной диагонали. Получаем: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Следовательно, решением является число 160.
Итак, теперь вопрос приведения матрицы к треугольному виду вас не затруднит.
Приведение к ступенчатому виду
При элементарных операциях над матрицами ступенчатый вид является менее "востребованным", чем треугольный. Чаще всего он используется для нахождения ранга матрицы (т. е. количества ее ненулевых строк) или для определения линейно зависимых и независимых строк. Однако ступенчатый вид матрицы является более универсальным, так как подходит не только для квадратного типа, но и для всех остальных.
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, сначала нужно найти ее детерминант. Для этого подойдут вышеназванные методы. Цель нахождения детерминанта такова: выяснить, можно ли преобразовать ее в ступенчатый вид матрицы. Если детерминант больше или меньше нуля, то можно спокойно приступать к заданию. Если же он равен нулю, выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду не получится. В таком случае нужно проверить, нет ли ошибок в записи или в преобразованиях матрицы. Если подобных неточностей нет, задание решить невозможно.
Рассмотрим, как привести матрицу к ступенчатому виду на примерах нескольких заданий.
Задание 1. Найти ранг данной матричной таблицы.
Перед нами квадратная матрица третьего порядка (3x3). Мы знаем, что для нахождения ранга необходимо привести ее к ступенчатому виду. Поэтому сначала нам необходимо найти детерминант матрицы. Воспользуемся методом треугольника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.
Детерминант = 12. Он больше нуля, значит, матрицу можно привести к ступенчатому виду. Приступим к ее преобразованиям.
Начнем его с элемента левого столбца третьей строки - числа 2. Умножаем верхнюю строку на два и вычитаем ее из третьей. Благодаря этой операции как нужный нам элемент, так и число 4 - элемент второго столбца третьей строки - обратились в нуль.
Мы видим, что в результате приведения образовалась треугольная матрица. В нашем случае продолжить преобразование нельзя, так как остальные компоненты не удастся обратить в нуль.
Значит, делаем вывод, что количество строк, содержащих числовые значения, в данной матрице (или ее ранг) - 3. Ответ к заданию: 3.
Задание 2. Определить количество линейно независимых строк данной матрицы.
Нам требуется найти такие строки, которые нельзя какими-либо преобразованиями обратить в нуль. Фактически нам нужно найти количество ненулевых строк, или ранг представленной матрицы. Для этого выполним ее упрощение.
Мы видим матрицу, не принадлежащую к квадратному типу. Она имеет размеры 3x4. Начнем приведение также с элемента левого нижнего угла - числа (-1).
Дальнейшие ее преобразования невозможны. Значит, делаем вывод, что количество линейно независимых строк в ней и ответ к заданию - 3.
Теперь приведение матрицы к ступенчатому виду не является для вас невыполнимым заданием.
На примерах данных заданий мы разобрали приведение матрицы к треугольному виду и ступенчатому виду. Чтобы обратить в нуль нужные значения матричных таблиц, в отдельных случаях требуется проявить фантазию и правильно преобразовать их столбцы или строки. Успехов вам в математике и в работе с матрицами!
1. Выясним сначала, к какому сравнительно простому виду можно привести прямоугольную многочленную матрицу путем применения одних только левых элементарных операций.
Допустим, что в первом столбце матрицы имеются элементы, не равные тождественно нулю. Возьмем среди них многочлен наименьшей степени и путем перестановки строк сделаем его элементом . После этого разделим многочлен на ; частное и остаток обозначим через и
Вычтем теперь из -й строки первую строку, предварительно умноженную на . Если при этом не все остатки равны тождественно нулю, то тот из них, который не равен нулю и имеет наименьшую степень, может быть перестановкой строк поставлен на место . В результате всех этих операций степень многочлена понизится.
Теперь мы снова повторим этот процесс и т. д. Так как степень многочлена конечна, то на некотором этапе этот процесс уже нельзя будет продолжить, т. е. на этом этапе все элементы окажутся равными тождественно нулю.
После этого возьмем элемент и применим ту же процедуру к строкам с номерами . Тогда добьемся того, что и . Продолжая так далее, мы в конце концов приведем матрицу к следующему виду:
(5)
Если многочлен не равен тождественно нулю, то, применяя левую элементарную операцию второго типа, мы сделаем степень элемента меньшей, нежели степень (если имеет нулевую степень, то станет тождественно равен нулю). Точно так же, если , то при помощи левых элементарных операций второго типа мы сделаем степени элементов меньшими, нежели степень , не изменив при этом элемента , и т. д.
Мы установили следующую теорему:
Теорема
1. Произвольная прямоугольная многочленная матрица с размерами при помощи левых
элементарных операций всегда может быть приведена к виду (5), где многочлены имеют меньшую
степень, нежели ,
если только ,
и все равны тождественно нулю, если 
.
Совершенно аналогично доказывается
Теорема 2. Произвольная прямоугольная многоценная матрица с размерами при помощи правых элементарных операций всегда может быть приведена к виду
(6)
где
многочлены имеют
меньшую степень, нежели , если только , и все равны тождественно
нулю, если 
.
2. Из теорем 1 и 2 вытекает следующее
Следствие. Если определитель квадратной многоценной матрицы не зависит от и отличен от нуля, то эту матрицу можно представить в виде произведения конечного числа элементарных матриц.
Действительно, согласно теореме 1 матрицу при помощи левых элементарных операций можно привести к виду
(7)
где – порядок матрицы . Так как при применении элементарных операций к квадратной многочленной матрице определитель этой матрицы умножается лишь на постоянный отличный от нуля множитель, то определитель матрицы (7), как и определитель , не зависит от и отличен от нуля, т. е.
.
Но тогда в силу той же теоремы 1 матрица (7) имеет диагональный вид и потому может быть приведена при помощи левых элементарных операций типа 1 к единичной матрице . Тогда и обратно, единичную матрицу можно привести к при помощи левых элементарных операций с матрицами . Следовательно,
Из доказанного следствия получаем (см. стр. 137 – 138) равносильность двух определений 2 и 2" эквивалентности многочленных матриц.
3. Вернемся к нашему примеру системы дифференциальных уравнений (4). Применим теорему 1 к матрице операторных коэффициентов . Тогда, как было указано на стр. 138, система (4) заменится равносильной системой
(4")
где . В этой системе мы функции можем выбрать произвольно, после чего последовательно определятся функции , причем на каждом этапе этого определения приходится интегрировать одно дифференциальное уравнение с одной неизвестной функцией.
4. Перейдем теперь к установлению «канонического» вида, к которому можно привести прямоугольную многочленную матрицу , применяя к ней как левые, так и правые элементарные операции.
Среди всех не равных тождественно нулю элементов матрицы возьмем тот элемент, который имеет наименьшую степень относительно , и путем соответствующей перестановки строк и столбцов сделаем его элементом . После этого найдем частные и остатки от деления многочленов и на :
Если
хотя бы один из остатков 
, например , не равен тождественно
нулю, то, вычитая из -го столбца первый столбец,
предварительно помноженный на , мы заменим элемент остатком , который имеет
меньшую степень, нежели . Тогда мы имеем возможность снова
уменьшить степень элемента, стоящего в левом верхнем углу матрицы, поместив на
это место элемент с наименьшей степенью относительно .
Если
же все остатки 
;
равны
тождественно нулю, то, вычитая из -й строки первую, помноженную
предварительно на , а из -го столбца – первый, предварительно
помноженный на , мы приведем нашу
многочленную матрицу к виду
Если
при этом хотя бы один из элементов не делится без остатка на , то, прибавляя к
первому столбцу тот столбец, который содержит этот элемент, мы придем к
предыдущему случаю и, следовательно, снова сможем заменить элемент многочленом
меньшей степени., мы матрицу (8) приведем к виду строк
на соответствующие отличные от нуля числовые множители, мы сможем добиться
того, чтобы старшие коэффициенты многочленов, и установим формулы, связывающие эти
многочлены с элементами матрицы .
Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования может быть приведена к каноническому виду , определенному формулой
где форма f ранга от n неизвестных; числа, , считаются положительными, но часть слагаемых формулы (VII.5) могут быть отрицательными.
При таком условии заменой , ; и , невырожденное линейное преобразование приводит квадратичную форму к нормальному виду, то есть
Общее число квадратов равно рангу квадратичной формы.
Существует много линейных преобразований, приводящих квадратичную форму к нормальному виду (VII.6), но с точностью до расположения знаков такое приведение единственное .
Для квадратичных действительных форм выполняется закон инерции . Число положительных и отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная квадратичная форма с действительными коэффициентами действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора этого преобразования.
Число положительных (отрицательных) квадратов в нормальной форме формы f называется положительным (отрицательным) индексом инерции (в формуле (VII.6) это k ), разница между положительными и отрицательными индексами инерции называется сигнатурой формы f (в формуле (VII.6) она равна r -k ).
Пусть дана квадратная матрица размерности n квадратичной формы f . Миноры, расположенные по главной диагонали этой матрицы, порядков 1, 2, …, n , последний из них совпадает с определителем матрицы , , то есть
называются главными минорами формы f .
Теорема VII.1. Квадратичная форма f от n неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет состоять из положительных членов, когда все главные миноры положительны.
Пример VII.3. Квадратичная форма
положительно определена, так как все главные миноры матрицы положительны:
, , 
.
Приводить квадратичную форму к каноническому виду можно, как уже отмечалось, многими способами, но нормальный вид один. Покажем это на примере.
Пример VII.4. Привести к каноническому виду квадратичную форму .
Решение . Зададим линейное преобразование:
1) 
тогда получим 
.
Для другого преобразования имеем
2) 
тогда получим 
.
Нормальный вид квадратичной формы, которому соответствуют оба канонических вида, 
.
Упражнение. Проверить справедливость полученных формул непосредственной подстановкой преобразований 1) и 2) в исходную квадратичную форму.
Вполне естественно возникает вопрос: «Как найти матрицу линейного преобразования (оператора)?»
Прежде чем перейти к рассмотрению следующего примера, дадим некоторые пояснения. Не нарушая сущности общего подхода, ограничимся уравнением
где правая часть есть квадратичная форма, заданная в декартовой системе координат . С другой стороны, это выражение определяет линию второго порядка. Ясно что если правая часть последнего равенства представлена суммой квадратов переменных
,
то имеем канонический вид квадратичной формы.
Оба уравнения будут описывать одну и ту же линию второго порядка, если в форме h сохранен прежний масштаб. Для получения канонического вида H обычно используют характеристическое уравнение. Недостаток такого подхода состоит в том, что неизвестна связь между системами координат и . Образно говоря, мы не знаем расположение линии L в системе координат , если она записана в каноническом виде h . Такой переход можно осуществить поворотом осей системы координат на угол j (рис. VII.1), то есть перейти от координат x , y к x 1 , y 1 по формулам
Для обратного преобразования необходимо заменить угол j
на -j
.
Чтобы узнать расположение линии, мы должны найти преобразование координат, приводящее равенство H к виду h . Заметим, что для сохранения масштаба следует перейти к ортонормированной системе координат.
Пример VII.5. Задана квадратичная форма в декартовой системе координат
Требуется привести ее к каноническому виду, то есть записать ее вид в системе и найти линейное преобразование. Получить нормальный вид квадратичной формы.
Решение . Составим симметричную матрицу линейного преобразования (оператора) A
.
Построим характеристический многочлен и найдем собственные числа и собственные векторы. Затем будем последовательно выполнять задания примера. Имеем
Характеристическое уравнение представляется равенством
.
Вычислив определитель матрицы, получим многочлен , корни которого , являются собственными числами. Запишем канонический вид формы (VII.7):
Найдем линейное преобразование, то есть установим связь между системами и . Так как корни действительные и различные и нет нулей, то преобразование невырожденное. Найдем собственные векторы в базисе (векторы будем представлять столбцами). Для этого решим систему уравнений
определенную для каждого из собственных чисел.
При , из (VII.8) имеем матричное уравнение
.
Полагая, с необходимостью, , получим
при , имеем . Первый собственный вектор найден 
, его длина .
При имеем
или 
Прибавляя к первому уравнению второе и, замечая, что если полученное уравнение решать как систему с третьим, то с необходимостью перейдем к первому собственному вектору. Остается составить систему уравнений из суммы двух первых и второго уравнения, тогда получим
Полагая , после упрощений получим систему
