1.6.5
17 Dec 2017Задания формата 2018 года
1.6.4
29 Nov 2017Добавлена совместимость с iOS 11.
1.6.2
11 Nov 2017Добавлены задания и обновлены шкалы в соответствии с демоверсиями ЕГЭ−2018, настроена поддержка рисунков в векторных форматах.
1.6.1
8 Aug 2017Уточнены шкалы по всем предметам.
1.6.0
13 Feb 2017Исправлен баг с иностранными языками.
1.5.9
18 Jan 2017Добавлена возможность регистрации на портале через приложение.
1.5.8
9 Jan 2017Исправлена ошибка, приводящая к вылетам при загрузке обновлений заданий.
1.5.7
2 Jan 2017Обновление безопасности
1.5.6
4 Dec 2016Исправлена ошибка с вылетом при решении заголовочных тем в каталоге заданий.
1.5.5
15 Nov 2016Добавлена возможность скачать сразу все задания по темам.
1.5.4
28 Oct 2016Добавлена возможность записи статистики при решении в каталоге заданий и режиме экзамена.
1.5.3
24 Oct 20161.5.2
4 Jul 2016Добавлен поиск по номеру варианта и по номеру задания.
Небольшие изменения в дизайне.1.5.0
14 Jun 2016Добавлен раздел новостей.
Добавлен раздел просмотра статистики.
Добавлен раздел об экзамене, шкала баллов.
Добавлен раздел о проекте.
Добавлена возможность проверки обновлений в ручную.
Темы в разделе "Каталог заданий" разделены на подтемы.1.4.0
2 Jun 20161.3.0
31 May 2016Добавлен поиск заданий по ключевым словам.
1.2.1
18 May 2016Добавлена возможность решать задания оффлайн.
Добавлена возможность скачивать задания по темам.1.1.4
2 May 2016Добавлено оповещение при проблемах на сервере.
1.1.3
29 Apr 2016Исправлены ошибки, связанные с вылетами приложения.
Для полной работоспособности вылетающие предметы требуется заново скачать по иконке справа.1.1.1
26 Apr 2016Исправлены некоторые ошибки с вылетами из приложения.
Добавлена теория по русскому языку и математике.
Укажите варианты ответов, в которых во всех словах одного ряда пропущена одна и та же буква. Запишите номера ответов.
1) пр..восходный, пр..норовиться, пр..клонить (колени);
2) на..бровный, по..рыть, по..метить;
3) пр..чудливый, пр..града, пр..видение;
4) не..быточный, не..деланный, ..даюсь;
5) по..скать, с..грать, роз..ск.
Пояснение (см. также Правило ниже).
Приведем верное написание.
1. превосходный, приноровиться, преклонить (колени);
2. надбровный, подрыть, подметить;
3. причудливый, преграда, привидение;
4. несбыточный, несделанный, сдаюсь;
5. поискать, сыграть, розыск.
Ответ: 24.
Ответ: 24|42
Правило: Правописание приставок. Обобщение. Задание 10 ЕГЭ.
ПРАВОПИСАНИЕ ПРИСТАВОК
и написаний, связанных с ними, проверяется в задании 10.
Орфограммы, проверяемые в данном задании:
9.1.1 Не изменяющиеся на письме приставки
1. В большинстве приставок гласные и согласные, согласно морфологическому принципу русского правописания, пишутся одинаково, независимо от каких-либо условий: С-, В-, НАД-, ПОД-, ПРЕД-, ОТ-, ЗА-, ОТ-,БЕЗ-, ВО-, ВЗО-, ВОЗ, ДО-, НА-, НАД-, НАДО-, О-, ОБ-, ПЕРЕ-, ПО-, ПОД-, ПРО-, СО-, РАЗО-
ЗАПОМНИТЕ: есть приставка С- (сделать, сгинуть), но нет приставки 3.
2. Правописание гласных в приставках в безударном положении (кроме приставок ПРЕ-, ПРИ-и РАЗ/РОЗ) можно проверить, подобрав слово, где эта же приставка стоит в ударном положении:
отказать - Отклик, наказать - нАспех.
3. Правописание согласных в приставках (кроме приставок на 3-, С-) можно проверить, подобрав слово,
где после этой приставки стоит гласная или согласные В, Л, М, Н, Р: обходить - оБрастать.
4. Приставка ПРА- употребляется в словах:
прадедушка,
прабабушка,
прародина,
правнучка,
прародитель,
праисторический,
5. Приставка ПА- встречается только под ударением:
падчерица,
пасмурный,
пагубный.
6. Следует различать пары:
ПОдать, ПОдача, ПОданный и ПОДдать, ПОДдавки, ПОДданный
ПОделка и ПОДелка
ПО и ПОДдевать
ПОдержать, ПОдержанный и ПОДдержать, ПОДдержанный
ПОдразнить и ПОДдразнить
9.1.2 Приставки, оканчивающиеся на буквы З и С
Правописание приставок
ниЗ-ниС (не путать с НЕ+С)
обеС-обеЗ
чреЗ-чреС
череЗ-череС
которые оканчиваются на 3-, С- и имеют не менее двух букв определяется последующим согласным.
3 - пишется перед звонким согласным (разМышлять)
звонкие согласные: р, л, м, н, й, б, в, г, д, ж, з
С - перед глухим согласным (расСматривать)
глухие согласные: х, ц, ч, щ, к, п, с, т, ш, ф
Эти приставки называют также зависящими от произношения: в приставке пишем то, что слышим. Под влиянием звонкого звука корня становится звонким и последний звук приставки, и точно так же, под влиянием глухого звука корня оглушается приставка. И это звучание отражается на письме: слышим [раСшум’эт’ца] пишем раСшуметься; слышим [иЗбижат’], пишем иЗбежать.
2. В написаниях типа НЕ+ИЗ+бежный, в котором две приставки, работает правило приставки НА З/С.
В написаниях типа НЕ+С+гораемый, в котором две приставки, работает правило написания приставки С.
3. В словах раСчёт, раСчётливый, расчесть пишется одна С (перед корнем -ЧЕТ-).
4. ЗАПОМНИТЬ:
разевать
разинуть
разорить
бессчётный
мировоззрение - мировосприятие
ссора - рассориться
исступлённо
исподтишка
чересчур
5. Близ - предлог (близ дома).
Но: близстоящий, близсидящий (причастие).
9.1.3 Приставки ПРЕ и ПРИ
Правописание приставок ПРЕ-/ПРИ- зависит от значения слова.
Приставка ПРИ- имеет значение:
Приближение (приехать);
Присоединение (приклеить);
Близость (приморский - близко от моря);
Неполное действие (приоткрыть);
Действие, доведённое до конца (придумать);
Близкое к приставке ДО- (приписывать);
Усиление действия (приналечь);
Действие в собственных интересах (принарядиться).
Приставка ПРЕ- имеет значение:
Очень (прекрасный - очень красивый);
Близкое к приставке ПЕРЕ- (преодолеть).
В некоторых случаях различение приставок ПРИ-/ПРЕ- определяется контекстом:
прИбывать в город - прЕбывать в городе;
прИдать вид - прЕдать друга;
прИзреть сироту - прЕзирать недруга;
прИдел (в храме) - прЕдел (терпению);
прИёмник (радиоприёмник) - прЕемник (продолжатель начатого дела, традиций);
прИвратник (сторож, при вратах) - прЕвратный (неправильный), но: прИврать (немного соврать)
прИтерпеться (привыкнуть) - прЕтерпевать (пережить);
прИклонить (ветви) - прЕклоняться (перед кем-то);
прИступать (к чему-либо) - прЕступать (через что-либо);
прИтворить (дверь) - прЕтворить (в жизнь);
прИходящий (приходит) - прЕходящий (непостоянный);
прИпереть (дверь) - прЕпираться (спорить);
прИложить (усилие) - непрЕложный, не подлежащий изменению;
прИстанище (приют) - беспрЕстанно (не переставая);
прИткнуться (устроиться без удобств)- камень прЕткновения (помеха, затруднения, =фразеологизм)
прИменьшить (немного)- прЕуменьшить (много, значительно)
Значение, неясное в существительном (прилагательном), можно прояснить предыдущим этапом словообразования:
пристанище - пристать, призвание - призвать, прикладной - прикладывать.
Значения, вносимые в слово приставками пре-, при-, могут быть объяснены словами или словосочетаниями, близкими по смыслу: преобразовать - переделать, перестроить; причалить - пристать, пришвартоваться; прекратить - перестать что-либо делать; пререкаться - перебивать друг друга, переругиваться; превратное (мнение) перевёрнутое; неприемлемый - то, что нельзя принять; неприхотливый - без прихотей; привередливый - человек с большими прихотями, капризами.
Существуют слова (чаще всего заимствованные) с приставками ПРЕ-/ПРИ-, значение которых утрачено и
написание нужно запомнить.
| ПРИ | ПРЕ |
| приватный примадонна примитив привилегия приоритет приукрасить привидение придираться приключение притязание приобретение причудливый приданое пристрастие приспособиться применять привередливый приятель присутствовать | преамбула превалировать (преобладать) превращать президент президиум прелюдия премировать премьера пренебрегать преобразовать преодолевать препарат препятствие прерогатива претендент претензия 9.1.4 Приставки РАС и РОЗВ приставках РАЗ- (РАС-) - РОЗ- (РОС-) под ударением пишется О, без ударения А: рОсчерк - рАсска- зать; россказни, но рассказать. Исключение: РОЗыскной (некоторые источники считают корректным РАЗыскной). 9.2.1 Написание разделительного мягкого и твёрдого знака после приставокЪ пишется: 1) после приставки на согласную перед буквами Е, Ё, Ю, Я (подъезд, подъём, предъюбилейный, объявление); 2) в сложных словах, первую часть которых образуют числительные ДВУХ-, ТРЁХ-, ЧЕТЫРЁХ- (двухъярусный, трёхъязычный). 3) После иноязычных приставок: АД- (адъютант) ИН- (инъекция) КОН- (конъюктивит) ОБ- (объезд) СУБ- (субъект) ПАН- (панъевропейский) КОНТР- (контръярус) ДИЗ- (дизъюнктивный) ТРАНС- (трансъевропейский) Ъ не пишется: 1) перед буквами А, О, У, Э (сагитировать, подоконник, сузить, сэкономить); 2) в сложносокращённых словах (детясли). Ь пишется: 1) в корне слова перед буквами Е, Ё, Ю, Я, И (пьеса, льет, пьющий, рьяный, соловьи); 2) в некоторых иноязычных словах перед О (бульон, шампиньон). 9.2.2 Написание Ы и И после приставок1. После приставок на гласный пишется И: проИграть. 2. После приставок, оканчивающихся на согласную, вместо И пишется Ы: разЫграть (играть); безЫдейный (идейный) Запомните приставки, после которых данное правило не работает: 1) с приставками МЕЖ-, СВЕРХ-: межинститутский, сверхизысканный; 3) в слове взИматъ (слово-исключение пишется согласно произношению). 4) От написаний слов с приставками следует отличать сложные слова типа пединститут, мединститут, где нет приставки, а, значит, и нет замены И на Ы. |
Среднее общее образование
Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)
Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)
Математика
Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения
Разбираем задания и решаем примеры с учителемЭкзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог - 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.
Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
- часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
- часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».
Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.
Решение:
1) Найдем количество потраченной воды за месяц:
177 - 172 = 5 (куб м)
2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:
34,17 · 5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.
#ADVERTISING_INSERT#
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?
Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.
Ответ: 15000.
Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.
Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:
Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:
|
S = В + |
Г | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях
Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.
Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :
у которых все вершины красные.
3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.
4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.
10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.
11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.
Ответ: 10.
Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).
Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .
Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим
| 2 3 + x | = 0,4 или | 2 | 3 + х | = | 2 | , | ||
| 5 3 + х | 5 | 5 |
откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.
Ответ: –2.
Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.
Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .
Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.
Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).
Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).
(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–y + 3 = –4x + 16| · (–1)
y – 3 = 4x – 16
y = 4x – 13, где k 1 = 4.
2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:
3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.
Ответ: –0,25.
Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому
а 3 = 216
а = 3 √216
2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.
Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:
- преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.
преобразования числовых рациональных выражений;
преобразования алгебраических выражений и дробей;
преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;
действия со степенями;
преобразование логарифмических выражений;
Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и
| 3π | < α < π. |
| 4 |
Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём
| tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos 2 α | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Значит, tg 2 α = ± 0,5.
3) По условию
| 3π | < α < π, |
| 4 |
значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.
Ответ: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Два тела массой m
= 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v
= 10 м/с под углом 2α
друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q
= mv
2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение.
Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α
∈ (0°; 180°).
mv 2 sin 2 α ≥ 50
2· 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 · sin 2 α ≥ 50
Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только
Изобразим решение неравенства графически:
Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.
Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:560 = (5 + a 16) · 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Ответ: 65.
Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.
Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.
Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).
2) Найдем производную функции:
4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума x = –8.
Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебреЗадание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log 3 (2cosx ) = | 2 | ⇔ |
|
2cosx = 9 | ⇔ |
|
cosx = | 4,5 | ⇔ т.к. |cosx | ≤ 1, |
| log 3 (2cosx ) = | 1 | 2cosx = √3 | cosx = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| то cosx = | √3 |
| 2 |
|
|
x = | π | + 2πk |
| 6 | |||
| x = – | π | + 2πk , k ∈ Z | |
| 6 |
б) Найдём корни, лежащие на отрезке .
Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни
| 11π | и | 13π | . |
| 6 | 6 |
| Ответ: а) | π | + 2πk ; – | π | + 2πk , k ∈ Z ; б) | 11π | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.
Тогда расстояние между хордами составляет либо
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.
б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
Значит, искомый угол равен
| ∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = arctg14. |
| BH | 8 – 6 |
Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:
1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.
2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].
3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].
Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение: а)
1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.
2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.
3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.
BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.
| 2x | = | 4 – 2x |
| 2x (√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – x |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )
S DEFH = 24 – 12√3.
Ответ: 24 – 12√3.
Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.
Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.
Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство
(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
| x < | 7718 |
| 310 |
| x < | 3859 |
| 155 |
| x < 24 | 139 |
| 155 |
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.
Ответ: 24.
Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.
При каких a система неравенств
| x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 | |
| y + a ≤ |x | – a |
имеет ровно два решения?
Решение: Данную систему можно переписать в виде
| x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1 | |
| y ≤ |x | – a |
Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а
). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y
= |
x
| –
a
,
причём последний есть график функции
y
= |
x
|
, сдвинутый вниз на а
. Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.
Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.
Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,
| Qr = 2a = √2, a = | √2 | . |
| 2 |
| Ответ: a = | √2 | . |
| 2 |
Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.
Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .
в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.
Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27
значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.
Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.
в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.
Осталось проверить значения с 13 до 25:
S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.
Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.
Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.
________________
*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.
В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня - у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2019 году. Начинаем!
ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида - базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.
Структура базового уровня ЕГЭ по математике
Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части , включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.
Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число , конечная десятичная дробь , или последовательность цифр .
Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.