Средняя линия треугольника интересный характеризующий отрезок, так как обладает несколькими свойствами, позволяющими найти простое решение для казалось бы сложной задачи. Поэтому рассмотрим основные свойства средней линии и поговорим о том, как найти длину этого отрезка в треугольнике.
Треугольник и его характеризующие отрезки
Треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от углов треугольники делятся на:
- Остроугольные
- Тупоугольные
- Прямоугольные
Рис. 1. Виды треугольников
Основными характеризующими отрезками треугольника являются:
- Медиана – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
- Биссектриса – отрезок, делящий угол пополам
- Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.
Рис. 2. Высота, медиана и биссектриса в треугольнике
Для каждого из характеризующих отрезков существует своя точка пересечения. При соединении трех точек пересечения медиан, биссектрис и высот получается золотое сечение треугольника.
Однако существует и ряд дополнительных характеризующих отрезков:
- Серединный перпендикуляр - высота восстановленная из середины высоты. Как правило серединный перпендикуляр продолжается до пересечения с другой стороной.
- Средняя линия - отрезок, соединяющий середины смежных сторон.
- Радиус вписанной окружности . Вписанная окружность - окружность, которая касается каждой из сторон треугольника.
- Радиус описанной окружности. Описанная окружность - окружность, содержащая в себе все стороны треугольника.
Смежными сторонами треугольников называют стороны, которые имеют общую вершину. В геометрии существует понятие противоположных сторон, т.е. сторон, которые лежат друг напротив друга и не имеют общих вершин. Но это понятие для треугольников не применимо - любая пара сторон в треугольнике является смежной.
Свойство средней линии
Свойств средней линии не так много, но все они имеют значение при решении задач. Дело в том, что задач на нахождение длины средней линии мало, а потому некоторые из них способны построить ученика в ступор при всей своей простоте.
Поэтому приведем и обсудим все свойства средней линии треугольника:
- Средняя линия равна половине основания. Вообще правильнее сказать не половине основания, а половине противолежащей стороны. Так как сторон в треугольнике 3, а основание всего одно. Но в общем случае, основанием можно считать любую из сторон треугольника, так что подобная формулировка считается допустимой. К тому же ее проще выучить. В общем случае по этому свойству и определяется длина средней линии треугольника.
- Средняя линия параллельна основанию. С понятием основания здесь та же ситуация, что и в прошлом свойстве.
- Средняя линия отсекает от треугольника малый подобный треугольник с коэффициентом подобия, равным 0,5
- Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника, подобных большому треугольнику с коэффициентом подобия 0,5
Рис. 3. Средние линии в треугольнике
Собственно формула длины средней линии вытекает из второго свойства:
$m=1\over{2}*a$- где m - средняя линия, а- сторона противоположная средней линии.
Что мы узнали?
Мы поговорили о второстепенных характеризующих отрезках, выделив среднюю линию. Привели свойства средних линий и поговорили о особенностях формулировки этих свойств. Рассказали, как выводится формула длины средней линии треугольника и как средняя линия разбивает треугольник. Все эти свойства используются при решении треугольников.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.3 . Всего получено оценок: 174.
Средняя линия трапеции, а особенно ее свойства, очень часто используются в геометрии для решения задач и доказательства тех или иных теорем.
– это четырехугольник, у которого только 2 стороны параллельны друг другу. Параллельные стороны называют основаниями (на рисунке 1 - AD и BC ), две другие – боковыми (на рисунке AB и CD ).
Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон (на рисунке 1 - KL ).
Свойства средней линии трапеции
Доказательство теоремы о средней линии трапеции
Доказать , что средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований и параллельна этим основаниям.
Дана трапеция ABCD со средней линией KL . Для доказательства рассматриваемых свойств требуется провести прямую через точки B и L . На рисунке 2 это прямая BQ . А также продолжить основание AD до пересечения с прямой BQ .
Рассмотрим полученные треугольники LBC и LQD :
- По определению средней линии KL точка L является серединой отрезка CD . Отсюда следует, что отрезки CL и LD равны.
- ∠ BLC = ∠ QLD , так как эти углы вертикальные.
- ∠ BCL = ∠ LDQ , так как эти углы накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей CD .
Из этих 3 равенств следует, что рассмотренные ранее треугольники LBC и LQD равны по 1 стороне и двум прилежащим к ней углам (см. рис. 3). Следовательно, ∠ LBC = ∠ LQD , BC=DQ и самое главное - BL=LQ => KL , являющаяся средней линией трапеции ABCD , также является и средней линией треугольника ABQ . Согласно свойству средней линией треугольника ABQ получаем.
Свойства средней линии треугольника:
- средняя линия параллельна основанию треугольника и равна его половине;
- при проведении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
Средняя линия трапеции
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Средняя линия треугольника" в других словарях:
Фигур в планиметрии отрезок, соединяющий середины двух сторон этой фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырехугольник, трапеция. Содержание 1 Средняя линия треугольника 1.1 Свойства … Википедия
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ - (1) трапеции отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме; (2) треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника: третья сторона при этом… … Большая политехническая энциклопедия
Треугольника (трапеции) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Большой Энциклопедический словарь
Треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции). * * * СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Энциклопедический словарь
Треугольника отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Третья сторона треугольника при этом наз. основанием треугольника. С. л. треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Во всяком треугольнике С. л. отсекает от… … Математическая энциклопедия
Треугольника (трапеции), отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (боковых сторон трапеции) … Естествознание. Энциклопедический словарь
1) С. л. треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника (третью сторону называют основанием). С. л. треугольника параллельна основанию и равна его половине; площади частей треугольника, на которые делит его с. л.,… … Большая советская энциклопедия
Стандартные обозначения Треугольник простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки. Вершины треугольника … Википедия
Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия
Перед тем как перейти к нахождению средней линии треугольника нужно вспомнить второй признак подобия треугольников и свойства параллельности прямых.
Как найти среднюю линию треугольника – второй признак подобия треугольников
На рисунке 1 показаны два треугольника. Треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1. И прилежащие стороны пропорциональны, то есть AB относится к A1B1 также как AC относится к A1C1. Их этих двух условий и следует подобие треугольников.
Как найти среднюю линию треугольника – признак параллельности прямых
На рисунке 2 показаны прямые a и b, секущая c. При этом образуются 8 углов. Углы 1 и 5 соответственные, если прямые параллельны, то соответственные углы равны, и наоборот.
Как найти среднюю линию треугольника
На рисунке 3, M середина AB, а N середина AC, BC основание. Отрезок MN – называется средней линии треугольника. Сама же теорема гласит – Средняя линия треугольника параллельная основанию и равна его половине.
Для того чтобы доказать, что MN – средняя линия треугольника, нам понадобится второй признак подобия треугольников и признак параллельности прямых.
Треугольник AMN подобен треугольнику ABC, по второму признаку. В подобных треугольниках соответственные углы равны, угол 1 равен углу 2, а эти углы являются соответственными при пересечении двух прямых секущей, следовательно, прямые параллельны, MN параллельно BC. Угол A общий, AM/AB = AN/AC = ½
Коэффициент подобия этих треугольников ½, из этого следует что ½ = MN/BC, MN = ½ BC
Вот мы и нашли среднюю линию треугольника, и доказали теорему о средней линии треугольника, если вам до сих пор не понятно, как найти среднюю линию, смотрите видео ниже.
Средняя линия фигур в планиметрии - отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
✪ 8 класс, 25 урок, Средняя линия треугольника
✪ геометрия СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА Атанасян 8 класс
✪ Средняя линия треугольника | Геометрия 7-9 класс #62 | Инфоурок
Субтитры
Средняя линия треугольника
Свойства
- средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
- при пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
- средняя линия отсекает треугольник, который подобен данному, а его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
- Три средние линии треугольника разбивает его на 4 равных (одинаковых) треугольника, подобных исходному треугольнику. Все 4 таких одинаковых треугольника называют серединными треугольниками. Центральный из этих 4 одинаковых треугольников называется дополнительным треугольником .
Признаки
- если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину одной стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то это средняя линия.
Средняя линия четырёхугольника
Средняя линия четырёхугольника - отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.
Свойства
Первая линия соединяет 2 противоположные стороны. Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны. Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).
- Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
- Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
- Середины сторон произвольного четырёхугольника - вершины параллелограмма . Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
- Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода . Средние линии второго рода - четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
- Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является