Урок по теме «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника»
Цели урока:
образовательные – ввести понятие синус, косинус, тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике, исследовать зависимости и соотношения между этими величинами;
развивающие – формирование понятия о синусе, косинусе, тангенсе как функциях от угла, области определения тригонометрических функций, развитие логического мышления, развитие правильной математической речи;
воспитательные – развитие навыка самостоятельной работы, культуры поведения, аккуратности в ведении записей.
Ход урок:
«Образование – это не количество прослушанных уроков, а количество понятых. Так что, если хотите идти вперед, то поспешайте медленно и будьте внимательны»
2. Мотивация урока.
Один мудрец сказал: « Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – это треугольник. Он так же неисчерпаем, как и Вселенная. Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но возвысите свою душу».
Мы вместе с вами попробуем провести небольшое исследование. Давайте делиться своими идеями, которые придут вам в голову, и не бойтесь ошибиться, любая мысль может дать нам новое направление поиска. Пусть наши достижения и не покажутся кому-то крупными, но ведь это будут наши собственные достижения!
3. Актуализация опорных знаний.
Какие могут быть углы?
Что такое треугольники?
Основные элементы определяющие треугольник?
Какие бывают треугольники в зависимости от сторон?
Какие бывают треугольники в зависимости от углов?
Что такое катет?
Что такое гипотенуза?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Какие соотношения между сторонами и углами этого треугольника вы знаете?
Зачем надо знать соотношения между сторонами и углами?
Какие задачи из жизни могут привести к необходимости вычислять неизвестные стороны в треугольнике?
Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».
Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».
В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При строительстве пирамид в Египте именно так изготавливали прямоугольные треугольники. Наверно поэтому прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 и назвали египетским треугольником.
4. Изучение нового материала.
В древности люди следили за светилами и по этим наблюдениям вели календарь, рассчитывали сроки сева, время разлива рек; корабли на море, караваны на суше ориентировались в пути по звездам. Все это привело к потребности научиться вычислять стороны в треугольнике, две вершины которого находятся на земле, а третья представляется точкой на звездном небе. Исходя из этой потребности и возникла наука – тригонометрия – наука, изучающая связи между сторонами в треугольнике.
Как вы думаете, достаточно ли уже известных нам соотношений для решения таких задач?
Цель сегодняшнего урока – исследовать новые связи и зависимости, вывести соотношения, применяя которые на следующих уроках геометрии, вы сможете такие задачи решать.
Давайте почувствуем себя в роли научных работников и вслед за гениями древности Фалесом, Евклидом, Пифагором пройдем путь поиска истины.
Для этого нам нужна теоретическая база.
Выделите красным цветом угол А и катет ВС.
Выделите зеленым цветом катет АС.
Вычислим, какую часть составляет противолежащий катет для острого угла А к его гипотенузе, для этого составим отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Это отношение носит особое название – такое, что каждый человек в каждой точке планеты понимает, что речь идет о числе, представляющем отношение противолежащего катета острого угла к гипотенузе. Это слово синус. Запишите его. Так как слово синус без названия угла теряет всякий смысл, то математическая запись такова:
Теперь составьте отношение прилежащего катета к гипотенузе для острого угла А:
Это отношение имеет название косинус. Его математическая запись:
Рассмотрим еще одно отношение для острого угла А: отношение противолежащего катета к прилежащему катету:
Это отношение носит название тангенс. Его математическая запись:
5. Закрепление нового материала.
Давайте закрепим наши промежуточные открытия.
Синус – это …
Косинус – это …
Тангенс – это..
sin A = | sin О = | sin A 1 = |
cos A = | cos О = | cos A 1 = |
tg A = | tg О = | tg A 1 = |
Решить устно № 88, 889, 892(работа в парах).
Использование полученных знаний для решения практической задачи:
«С башни маяка высотой 70 м виден корабль под углом 3 к горизонту. Каково
расстояние от маяка до корабля?»
Задача решается фронтально. В ходе обсуждения делаем чертеж и необходимые записи на доске и в тетрадях.
При решении задачи используются таблицы Брадиса.
Рассмотреть решение задачи с.175.
Решить №902(1).
6. Физминутка для глаз.
Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …
Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.
7. Самостоятельная работа учащихся.
Решить № .
8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.
Что вы узнали нового? На уроке:
вы рассматривали …
вы анализировали …
вы получили …
вы сделали вывод …
вы пополнили словарный запас следующими терминами …
Мировая наука начиналась с геометрии. Человек не может по настоящему развиваться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия возникла не только из практических, но и духовных потребностей человека.
Вот как поэтично объяснилась в любви к геометрии
Геометрию люблю…
Геометрию учу, потому что я люблю
Геометрия нужна, без нее нам никуда.
Синус, косинус, окружность – все здесь важно,
Все здесь нужно,
Только надо очень четко все учить и познавать,
Делать вовремя заданья и контрольные решать.
Инструкция
Если необходимо найти косинус угла
в произвольном треугольнике, необходимо воспользоваться теоремой косинусов:
если угол острый: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
если угол : cos? = (с2 – a2 – b2)/(2ab), где а, b – длины сторон прилежащих к углу, с – длина стороны противолежащей углу.
Математическое обозначение косинуса – cos.
Значение косинуса не может быть больше 1 и меньше -1.
Источники:
- как вычислить косинус угла
- Тригонометрические функции на единичной окружности
Косинус
- это базовая тригонометрическая функция угла. Умение определять косинус пригодится в векторной алгебре при определении проекций векторов на различные оси.
Инструкция
соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)
Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.
Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.
Обозначим противоположный стороне а угол через?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:
соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8
Ответ: 0,8.
Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинус а угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).
Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.
Рассмотрим все варианты:
Найти соs?, если известны длины сторон а и b ( треугольника)
Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:
соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)
Чтобы правильность полученной формулы, подставим в нее из примера 1, т.е.
Проделав элементарные вычисления, получаем:
Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:
Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?
соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Подставляя значения а=3 и с=5 из примера, получаем:
Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).
Найти соs?
Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:
Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу? катет является проекцией гипотенузы, его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.
Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:
Значит, все наши формулы верны.
Совет 5: Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный треугольник, вероятно, - одна из самых известных, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым "штанам" конкуренцию может составить лишь "Эврика!" Архимеда.
Вам понадобится
- - чертеж треугольника;
- - линейка;
- - транспортир.
Инструкция
Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) всегда будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. меньше 90 градусов каждый. Чтобы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с помощью линейки стороны треугольника и определите наибольшую. Она гипотенуза (AB) и располагается напротив прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и катетами (AC, BC).
Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с помощью математических формул.
Чтобы определить величину угла с помощью транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с специальной отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Отметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла нужно выбирать меньшую, для тупого - большую.
Полученное значение найдите в справочных Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим методом пользовались наши бабушки.
В наше достаточно взять с функцией вычисления тригонометрических формул. Например, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение "Калькулятор", в пункте меню "Вид" выберете пункт "Инженерный". Вычислите синус искомого угла, например, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5
Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, затем кликните по кнопке функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится следующая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение искомого угла - 30 градусов.
Источники:
- Таблицы Брадиса (синусы, косинусы)
Теорема косинусов в математике чаще всего используется в том случае, когда необходимо найти третью сторону по углу и двум сторонам. Однако, иногда условие задачи поставлено наоборот: требуется найти угол при заданных трех сторонах.
Инструкция
Представьте себе, что дан треугольник, у которого известны длины двух сторон и значение одного угла. Все углы этого треугольника не равны друг другу, а его стороны также являются различными по величине. Угол γ лежит напротив стороны треугольника, обозначенной, как AB, которая является этой фигуры. Через данный угол, а также через оставшиеся стороны AC и BC можно найти ту сторону треугольника, которая неизвестна, по теореме косинусов, выведя на ее основе представленную ниже формулу:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, где a=BC, b=AB, c=AC
Теорему косинусов иначе называют обобщенной теоремой Пифагора.
Теперь представьте себе, что даны все три стороны фигуры, но при этом ее угол γ неизвестен. Зная, что вид a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Осталось подставить в формулу числа и осуществить вычисления.
Чтобы найти косинус , обозначенного как γ, его необходимо выразить через обратную тригонометрическую , называемую арккосинусом. Арккосинусом числа m значение угла γ, для которого косинус угла γ равен m. Функция y=arccos m является убывающей. Представьте себе, например, что косинус угла γ равен одной второй. Тогда угол γ может быть определен через арккосинус следующим образом:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, где m = 1/2.
Аналогичным образом можно найти и остальные углы треугольника при двух других неизвестных его сторонах.
Синус и косинус - две тригонометрические функции, которые называют «прямыми». Именно их приходится вычислять чаще других и для решения этой задачи сегодня каждый из нас имеет немалый выбор вариантов. Ниже приведено несколько наиболее простых способов.
Инструкция
Используйте транспортир, карандаш и лист бумаги, если других средств вычисления нет под рукой. Одно из определений косинуса дается через острые углы в прямоугольном треугольнике - его равно соотношению между длиной катета, лежащего напротив этого угла и длиной . Нарисуйте треугольник, в котором один из углов будет прямым (90°), а другой углу, которого требуется вычислить. Длина сторон при этом не имеет значения - нарисуйте их такими, которые вам удобнее измерять. Измерьте длину нужного катета и гипотенузы и разделите первое на второе любым удобным способом.
Воспользуйтесь возможностью значения тригонометрических функций с помощью калькулятора, встроенного в поисковую систему Nigma, если у вас есть доступ в интернет. Например, если требуется вычислить косинус угла в 20°, то загрузив главную страницу сервиса http://nigma.ru наберите в поле поискового запроса «косинус 20 » и нажмите кнопку «Найти!». Можно «градусов» опустить, а слово «косинус» заменить на cos - в любом случае поисковик покажет результат с точностью до 15 знаков после запятой (0,939692620785908).
Откройте стандартную программу- , устанавливаемую вместе с операционной системой Windows, если нет доступа к интернету. Сделать это можно, например, одновременно нажав клавиши win и r, затем введя команду calc и щелкнув по кнопке OK. Для вычисления тригонометрических функций здесь интерфейс, с названием «инженерный» или «научный» (в зависимости от версии ОС) - выберите нужный пункт в разделе «Вид» меню калькулятора. После этого введите величину угла в и щелкните по кнопке cos в интерфейсе программы.
Видео по теме
Совет 8: Как определить углы в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.
Справочные данные по тангенсу (tg x) и котангенсу (ctg x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица тангенсов и котангенсов, производные, интегралы, разложения в ряды. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.
Геометрическое определение
|BD|
- длина дуги окружности с центром в точке A
.
α
- угол, выраженный в радианах.
Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .
Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .
Тангенс
Где n - целое.
В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.
График функции тангенс, y = tg x
Котангенс
Где n - целое.
В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.
График функции котангенс, y = ctg x
Свойства тангенса и котангенса
Периодичность
Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .
Четность
Функции тангенс и котангенс - нечетные.
Области определения и значений, возрастание, убывание
Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).
y = tg x | y = ctg x | |
Область определения и непрерывность | ||
Область значений | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
Возрастание | - | |
Убывание | - | |
Экстремумы | - | - |
Нули, y = 0 | ||
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | - |
Формулы
Выражения через синус и косинус
;
;
;
;
;
Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности
Остальные формулы легко получить, например
Произведение тангенсов
Формула суммы и разности тангенсов
В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.
Выражения через комплексные числа
Выражения через гиперболические функции
;
;
Производные
; .
.
Производная n-го порядка по переменной x
от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >
Интегралы
Разложения в ряды
Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.
При .
при .
где B n
- числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:
Обратные функции
Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.
Арктангенс, arctg
,
где n
- целое.
Арккотангенс, arcctg
,
где n
- целое.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Г. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 2012.
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший 90 градусов.
Тупой угол - больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин:-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим .
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов - свое соотношение, для сторон - свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс - их еще называют тригонометрическими функциями угла - дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .
2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы .
Треугольник с углами и - равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников - то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника . Об этом - в следующей статье.