Практическая часть (задачи)
Осевое сечение цилиндра? квадрат, площадь которого Q.
Найдите площадь основания цилиндра.
Дано: цилиндр, квадрат? осевое сечение цилиндра, S квадрата = Q.
Найти: S осн.цил.
Сторона квадрата равна. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна.
Ответ: S осн.цил. =
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.
Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.
Решение: Боковые грани призмы? квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.
Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани? квадраты.
Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.
Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.
Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.
Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.
Найти: S сеч.
S сеч. = КМ?КС,
ОЕ = 4 см, КС = 6 см.
Треугольник ОКМ? равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),
треугольник ОЕК? прямоугольный.
Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:
КМ = 2ЕК = 2?3 = 6,
S сеч. = 6?6 = 36 см 2 .
Ответ: S сеч. = 36 см 2 .
Высота цилиндра 12см, радиус основания 10см.
Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат.
Найдите расстояние от этого сечения до оси.
Дано: СК = h = 12см, R = ОК = ОМ = 10см.
Найти: ОЕ.
СК равна высоте, то есть СК = 12 см. Так как в сечении получился квадрат, то КМ = СК = 12см.
ОК? радиус основания, ОК = 10см.
Треугольник ОКЕ - прямоугольный, где ОК = 10см, КЕ = 6см.
По теореме Пифагора:
Ответ: ОЕ = 8см.
В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2см, а радиус основания равен 7см.
Дано: цилиндр, h = 2см, R - 7см, АВСD ? наклонно вписанный квадрат.
Найти: АВ.
Достроим квадрат АВСD до прямого прямоугольного параллелограмма АВС 1 D 1 А 1 В 1 СD с диагональным сечением АВСD.
Угол АВС 1 = 90°. Так как вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проходившими в эти точки, или дополняет половину этого угла до 180°, то АС 1 есть диаметр окружности верхнего основания цилиндра.
Рассмотрим прямоугольный треугольник СС 1 А 1 ? катет СС 1 , есть образующая цилиндра и СС 1 = 2АС, катет АС 1 есть диаметр цилиндра и АС 1 = 14. По теореме Пифагора АС = (см).
Из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС по теореме Пифагора сторона квадрата АВ = см.
Квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
3.Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.
4.Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью
так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси (рис. 464).
5.Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы отрезка АВ, равного 10 дм, лежат на окружностях обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от него до оси.
6.В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка
окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найдите угол X между проведенной прямой и осью цилиндра (рис. 465).
7. В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
8. Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 466). 9. Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую.
10. Образующая конуса I наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту.
11. Радиус основания конуса R. Осевым сечением является прямоугольный . Найдите его площадь.
12. В равностороннем конусе (в осевом сечении правильный треугольник) радиус основания R. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен (рис. 467).
13. Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите площадь сечения, проведенного через вершину, если расстояние от него до центра основания конуса равно 12.
14. Радиус основания конуса R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом . Через вершину конуса проведена плоскость под углом к его высоте. Найдите площадь полученного сечения.
15. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сечения, если радиус основания конуса R, а высота Н.
16. Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?
17. Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей I. Найдите длину отрезка прямой, заключенного внутри конуса.
18*. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты - 2 ом. Найдите отрезок прямой, заключенный внутри конуса (рис. 468).
19. Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 6 м, высота 4 м. Найдите образующую.
20. Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите высоту.
21. Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найдите радиусы.
22. Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, образующая 5 дм. Найдит^ площадь осевого сечения.
23. Площади оснований усеченного конуса 4 дм 2 и 16 дм 2 . Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основаниям. Найдите площадь сечения.
24. Площади оснований усеченного конуса Мит. Найдите площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
25. У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
26*. В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найдите ребро вписанного в него куба (рис. 469).
27*. В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани - квадраты. Найдите ребро призмы.
28. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключенного между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (рис. 470).
29. , радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
30. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
31. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найдите площадь сечения.
32. Радиус земного шара R. Чему равна длина параллели, если ее широта 60° (рис, 471)?
33. Город N находится на 60° северной широты. Какой путь совершает этот пункт в течение 1 ч вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.
34. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости. Проходящей через эти точки.
35. Диаметр шара 25 см. На его поверхности даны точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от А на 15 см. Найдите радиус этой окружности. . Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис. 472).
37. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая - касательная к шйру, вторая - под углом 30° к первой. Найдите площадь сечения.
38. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый" шар). Докажите, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности (рис. 473).
39. Шар радиуса R касается всех сторон правильного треугольника со стороной а. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.
40. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.
41. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости ромба.
42. Через касательную к поверхности шара проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, пересекающие шар по кругам радиусов r 1 и r 2 . Найдите радиус шара R.
43. Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса равен а. Найдите радиусы оснований и образующую усеченного конуса.
44. Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
45. Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
46. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром а.
47. Докажите, что центр шара, описанного около правильной пирамиды, лежит на ее оси.
48. Докажите, что центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на ее высоте.
49. Найдите радиус шара, описанного около правильного тетраэдра с ребром а.
50. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен . Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
51*. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоскими углами при ее вершине. Найдите высоту пирамиды.
52. Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы равно . Найдите высоту призмы при:
1) n = 3; 2) n = 4; 3) n = 6.
53. Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен . Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.
54. Найдите радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом .
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн , Математика в школе скачать
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные урокиИтак на рисунке я показал сечение ABCD, параллельное оси. OK=4 см. OA=OB=Rокр=5
Площадь сечения равна AB*BC, где BC=H=8 см.
Остается найти AB, которая является основанием равнобедренного треугольника с высотой OK.
Sсеч=6*8=48 см2
Радиус цилиндра r,а высота h.Найдите площадь осевого сечения цилиндра плоскостью,⊥ к основанию и отсекающей от окружности основания дугу в 60 градусов.
Даже рисунок практически не менял! Вот цилиндр, дуга AB равна 60 градусов. Линия AB является хордой стягивающей дугу AB. Она равна:
m=2R sin(α/2), где α-угол образующий дугу.
Значит площадь сечения ABCD=R*H
Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q. Найдите площадь основания цилиндра.
Sсеч=d2=Q ⇒ d=√Q ⇒ R=(√Q)/2
Sосн=πR2=πQ/4
Как найти площадь бок. поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания = 2см, а двугранные углы по 60 градусов?
Если двугранные углы по 60 градусов, то это значит что BC=SC=SB, а это значит что боковую поверхность образуют три равносторонних треугольника.
Sтреуг.=a*√(3)/2=2*√(3)/2=√(3)
Sбок.пов=3*√(3)
Угол M при основании трапеции MKPT равен 45o, MK=6√2, MT=10, KP=4. Найдите сумму квадратов диагоналей трапеции.
Решается довольно таки просто! Нарисуем рисунок, чтобы наглядно было понятно.
KD - высота. Так как угол M равен 45o, ∠MKD=180-90-45=45o, а это значит что MD=KD.
ΔMKD прямоугольный, а значит стороны относятся по теореме Пифагора как:
Найдем чему равно MD.
Теперь зная что MT=10, найдем DT=10-6=4.
А это значит что наша трапеция будет прямоугольной, т.е. одна из боковых сторон PT ⊥ MT
Найдем сначала диагональ KT, как видишь это просто зная что KD=PT=6
Теперь найдем диагональ MP, которая также находится по теореме Пифагора.