В учебно-исследовательском проекте «Спираль Архимеда» рассматриваются теоретические и практические особенности архимедовой спирали. В работе особое внимание уделяется анализу построения спирали Архимеда, связи числового ряда Фибоначчи со спиралью Архимеда и применение архимедовой спирали в природе и технике.
Просмотр содержимого документа
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №14 имени Заслуженного учителя Российской Федерации А.М. Кузьмина »
Тема: «Спираль Архимеда»
Выполнил:
Учащийся 10 класса «А»
Задонский Ярослав
Научный руководитель:
Сухненко Ирина Александровна
учитель математик и
Актуальность темы исследования
Человек различает окружающие его предметы по форме
Интерес к форме предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы
Форма, в сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии
Уильям Чарлтон
«Нам приятен вид спирали, потому что визуально мы с легкостью можем рассматривать её».
- спираль Архимеда
- спираль Архимеда
- особенности построения архимедовой спирали
- характеристика особенностей спирали Архимеда в природе и способов применения ее в технике
Объект исследования
Предмет исследования
Цель проекта
Понятие спирали
сложный символ -использовался со времен палеолита
плоская кривая, которая обычно обходит вокруг одной (или нескольких) точки, приближаясь или удаляясь от неё
Спираль – это «кривая жизни»
Понятие спирали по Архимеду
- «Спираль – это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу».
Связь спирали Архимеда с последовательностью чисел Фибоначчи
- Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Числовой ряд Фибоначчи выглядит следующим образом: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 и т. д. А отношение каждого последующего числа к предыдущему в этом ряду чисел равно 1,618... Это число называют числом Ф.
Золотое сечение
- «Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением» Иоганн Кеплер
- золотое сечение (золотая пропорция) - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей.
Золотой прямоугольник
- Золотой прямоугольник - это прямоугольник, в котором отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.
- Такой прямоугольник можно использовать для построения золотой спирали.
Золотой прямоугольник
- Отсечём от этого прямоугольника квадрат со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Оставшийся прямоугольник так же будет золотым.
- Теоретически этот процесс можно продолжать до бесконечности (получаются прямоугольники A, B, C, D, E, F, G и т.д.)
- Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и обозначают теоретический центр спирали.
- В любой точке развития золотой спирали отношение длины дуги к ее диаметру равно 1,618.
- Соединив кривой угловые точки этих квадратов, получим спираль Архимеда.
- Лука Пачиоли назвал «золотую пропорцию» Божественной пропорцией
Сосновые шишки и колючки кактусов также имеют спирали, направленные по часовой, или против часовой стрелки. Причём число этих спиралей всегда будут равно соседним числам ряда Фибоначчи. Например, у сосновой шишки спиралей 5 и 8, у ананаса 8 и 13.
В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек.
Вывод
Спираль – это образ жизни
Спираль связывается с образом бесконечности и воплощает идеи развития, непрерывности, космических ритмов
Спираль представляет собой схематический образ эволюции вселенной
Спасибо за внимание !
Спираль, несмотря на простоту изображения, - это сложный и емкий по значению символ. Еще древние люди использовали ее как декоративный символ, узор, легко наносимый на дерево, камни, глину. Форма спирали сочетает в себе симметрию и при зрительном восприятии она вызывает ощущение гармонии и красоты. Спираль, связанная с символикой центра, издавна является началом начал, откуда стартует эволюция, развитие, движение жизни. В свое время на ее форму обратил внимание Архимед. Древнегреческий ученый из Сиракуз изучил форму спирально закрученной раковины и вывел уравнение спирали. Вычерченный им по этому уравнению виток назван его именем - спираль Архимеда.
Виток Архимеда
Кривая, которую описывает точка, движущаяся с постоянной скоростью вдоль луча, вращающегося с неизменной вокруг своего начала, называется так: "спираль Архимеда". Построение ее проводят следующим образом: задают ее шаг - а, проводят из центра О окружность радиусом, равным шагу спирали, шаг и окружность делят на несколько равных частей, нумеруя точки деления.
Архимед в своем трактате «О спирали» исследовал свойства данной формы, используя полярные координаты, он записал характеристическое свойство ее точек, дал построение касательной к спирали и определил ее площадь. Отображает спираль Архимеда формула r = a*theta. Ученый знал, что увеличение шага спирали всегда равномерно.
Символичность
Поражает необычайное разнообразие значений символа спирали. Он воспринимается как ход и бег времени (циклические ритмы, смена солнечных и ход истории, человеческой жизни). Спираль считается знаком развития, жизненной силы, данной нам природой. Это стремление к новым уровням, к своему центру, мудрости. Спираль часто ассоциируется со змеей, олицетворяющей, в свою очередь, мудрость предков. Ведь известно, что змеи очень любят сворачиваться кольцами и внешне походят на спирали.
В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота).Спиральные формы представлены от эволюционных глубин до законов диалектики.
Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.
и последовательность Фибоначчи
Спираль Архимеда имеет тесную связь с Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.
Спиральная симметри я
Фактор времени, сочетающийся с вращением и направленным движением, формирует форму спирали. Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, имеют отношение ко времени, не к пространству. Они присутствуют в основном в узорах, реже - в архитектуре.
Это шпили соборов и
Применение в технике
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Данный механизм используется в швейных машинках для равномерного наматывания ниток.
Ныне спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.
Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).
Что такое спираль Архимеда?
Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны . В машиностроении спирали используются при проектировании пружин , косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.
Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons .
В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.
Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:
где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между витками, которое равно 2 \pi b . Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью . Это имя связывают с арифметической зависимостью расстояния от начала кривой до точек спирали, находящихся на одной радиальной линии.
Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда
Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.
Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.
Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:
\begin{align*} x_{component}=rcos(\theta) \\ y_{component}=rsin(\theta) \end{align*}
После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:
\begin{align*} x_{component}=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_{component}=(a+b\theta)sin(\theta) \end{align*}
В COMSOL Multiphysics необходимо определить набор параметров, с помощью которых будем задавать геометрию спирали. В нашем случае — это начальный и конечный радиусы спирали a_{initial} и a_{final} , соответственно, и количество витков n . Показатель роста спирали b находится, как:
b=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi n}
Также необходимо определить начальный и конечный углы спирали — theta_0 и theta_f , соответственно. Давайте с них и начнём — theta_0=0 и theta_f=2 \pi n . Исходя из заданной информации, определяем параметры для построения геометрии спирали.
Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.
Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):
\begin{align*} X_{fun}=(a+bs)cos(s) \\ Y_{fun}=(a+bs)sin(s) \\ \end{align*}
Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное
аналитической функцией.
Аналитическая функция затем может использоваться в качестве выражения в узле Parametric Curve. Во вкладке Parameter задаём параметр s от начального угла, theta_0 , до его конечного значения, theta_f=2 \pi n .
Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).
Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.
До этого момента параметрами нашей кривой были начальный (a_{initial} ) и конечный (a_{final} ) радиусы и количество витков n . Теперь мы хотим добавить ещё один – толщину спирали.
Ещё раз напомним главное свойство спирали — расстояние между витками постоянно и равно 2 \pi b . Что эквивалентно \frac{a_{final}-a_{initial}}{n} . Чтобы добавить толщину в наши уравнения, представляем расстояние между витками суммой толщины спирали и зазора thick+gap .
Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.
\begin{align*} distance=\frac{a_{initial}-a_{final}}{n} \\ gap=distance-thick \end{align*}
После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:
\begin{align*} distance=2\pi b \\ b=\frac{gap+thick}{2\pi} \end{align*}
Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:
\begin{align*} \theta_{final}=2 \pi n \\ a_{final}=\text{total distance}+a_{initial} \\ a_{final}=2 \pi bn+a_{initial} \\ n=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{2 \pi (a_{final}-a_{initial})}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b} \end{align*}
Хотите задать отличный от нуля начальный угол спирали? Если так, то его надо будет добавить в выражение для определения конечного угла: theta_f=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}+theta_0 .
Дублирование кривой спирали дважды со смещением на -\frac{thick}{2} и +\frac{thick}{2} по отношению к начальной кривой позволяет построить спираль заданной толщины. Чтобы правильно расположить внутреннюю и внешнюю спирали, необходимо убедиться, что начала данных кривых перпендикулярны линии, на которой расположены их начальные точки. Это можно сделать, домножив расстояние смещения \pm\frac{thick}{2} на единичный вектор, расположенный по нормали к начальной кривой спирали. Уравнения векторов нормали в параметрическом виде:
n_x=-\frac{dy}{ds} \quad \text{and} \quad n_y=\frac{dx}{ds}
где s — это параметр, используемый в узле Parametric Curve. Чтобы получить нормированные единичные вектора, необходимо эти выражения разделить на длину нормали:
\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }
Обновленные параметрические уравнения спирали Архимеда со смещением:
\begin{align*} x_{component}=(a+bs)cos(s)-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \\ y_{component}=(a+bs)sin(s)+\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \end{align*}
Записывать такие длинные выражения довольно неудобно, поэтому введём следующие обозначения:
\begin{align*} N_x=-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}} \\ N_y=\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }} \end{align*}
где N_x и N_y определяются аналитическими функциями в COMSOL Multiphysics, аналогично X_{fun} и Y_{fun} в первом примере. Внутри функции используется оператор производной, d(f(x),x) , как показано на скриншоте ниже.
Примеры оператора производной, который используется в
аналитической функции
Функции X_{fun} , Y_{fun} , N_x , и N_y могут быть использованы в выражениях для задания параметрической кривой, как с одной стороны:
\begin{align*} x_{lower}=X_{fun}(s)+N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{lower}=Y_{fun}(s)+N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}
Так и с другой:
\begin{align*} x_{upper}=X_{fun}(s)-N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{upper}=Y_{fun}(s)-N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}
Выражения для второй смещённой параметрической кривой.
Чтобы соединить концы, добавим ещё две параметрические кривые, используя незначительные изменения уравнений выше. Для кривой, которая будет соединять спираль в центре, необходимо задать X_{fun} , Y_{fun} , N_x , и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, которая будет соединять концы, необходимо задать конечное значение theta. Исходя из этого, уравнения кривой в центре:
\begin{align*} X_{fun}(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}
Уравнения кривой на конце:
\begin{align*} X_{fun}(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}
В этих уравнениях параметр s изменяется от -1 до 1, как показано на скриншоте ниже.
Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.
В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid , создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.
Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.
Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics
В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.
Дополнительные ресурсы по проектированию и расчёту спиралей
- Для улучшения навыков моделирования спиралей, ознакомьтесь со следующими учебными моделями:
- Познакомьтесь с опытом одного из наших пользователей:
Архимед (287 г. до н. э. -- 212г. до н. э.) -- древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз (остров Сицилия). Он сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, автор ряда важных изобретений.
Архимедова спираль была открыта Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.
Архимедову спираль использовали в древности, как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга.
В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность - винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции.
Определение спирали Архимеда
Кривую можно рассматривать как траекторию точки, равномерно движущейся по лучу, исходящему из полюса, в то время как этот луч равномерно вращается вокруг полюса.
Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.
Построение спирали Архимеда
Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, отметим на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда.
Построим из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.
Разделим окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. На первой линии откладываем одно деление, на второй-два деления, на третьей-три деления и т. д. Затем чертим соответствующее число дуг из центра окружности, проходящих через первое деление,2-ое и т. д.
Расстояния витков правой спирали, считая по лучу, равны,а расстояния соседних витков, равны.
Уравнение Архимедовой спирали имеет вид:
где - радиус-вектор,- угол вращения,- шаг спирали.
Полярный угол мы отсчитываем от полярной оси, считая его положительным против часовой стрелки.
При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) при вращении -- по часовой стрелке -- левая спираль (красная линия).
Полярный радиус-вектор мы будем брать как положительным, так и отрицательным; в первом случае его откладывают в направлении, определяемом углом, а во втором в противоположном направлении.
I.Вычислим площадь, описываемую полярным радиусом спирали при одном его обороте, если началу движения соответствует,
Если мы найдем площадь круга радиуса,то получим
Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка.
Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:
Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.
Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.
Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. Вы, наверное, слышали, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить на три равные части наудачу взятый угол (в частных случаях, когда угол содержит, например, 180°, 135° или 90°, эта задача легко решается). А вот если пользоваться аккуратно начерченной архимедовой спиралью, то любой угол можно разделить на какое угодно число равных частей.
Разделим, например, угол АОВ на три равные части. Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON 1 , длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON 1 (снова циркуль!). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON.
Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.
Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в., площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.
Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим.
Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13.): одно - по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2л ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим:
(2 л ON)/60 = (л ON)/30
Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную
(л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.