Какие-нибудь математические выражения мы можем записать разными способами. В зависимости от наших целей, того, хватает ли нам данных и т.д. Числовые и алгебраические выражения различаются тем, что первые мы записываем только числами, объединенными с помощью знаков арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и скобок.

Если вместо чисел ввести в выражение латинские буквы (переменные), оно станет алгебраическим. В алгебраических выражениях используются буквы, числа, знаки сложения и вычитания, умножения и деления. А также может быть использован знак корня, степени, скобки.

В любом случае, числовое это выражение или алгебраическое, оно не может быть просто случайным набором знаков, чисел и букв – в нем должен быть смысл. Это значит, что буквы, числа, знаки должны быть связаны какими-то отношениями. Правильный пример:7х + 2: (у + 1). Плохой примеру) : + 7х - * 1.

Выше было упомянуто слово «переменная» - что оно значит? Это латинская буква, вместо которой можно подставить число. И если мы говорим о переменных, в этом случае алгебраические выражения можно назвать алгебраической функцией.

Переменная может принимать различные значения. И подставляя какое-то число на ее место, мы можем найти значение алгебраического выражения при этом конкретном значении переменной. Когда значение переменной другое, другим будет и значение выражения.

Как решать алгебраические выражения?

Для вычисления значений нужно делать преобразование алгебраических выражений . А для этого вам еще нужно учесть несколько правил.

Во-первых: областью определения алгебраических выражений являются все возможные значения переменной, при которых это выражение может иметь смысл. Что подразумевается? Например, нельзя подставлять такое значение переменной, при котором пришлось бы делить на нуль. В выражении1/(х – 2)из области определения надо исключить 2.

Во-вторых, запомните, как упрощать выражения: раскладывать на множители, выносить за скобки одинаковые переменные и т.п. Например: если поменять местами слагаемые, сумма от этого не изменится (у + х = х +у). Аналогично и произведение не изменится, если поменять местами множители (х*у = у*х).

А вообще для упрощения алгебраических выражений отлично служат формулы сокращенного умножения . Тем, кто их еще не выучил, обязательно надо это сделать – все равно пригодятся не раз:

находим разность переменных, возведенных в квадрат: х 2 – у 2 = (х – у)(х + у);

находим сумму, возведенную в квадрат: (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 ;

вычисляем разность, возведенную в квадрат: (х – у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 ;

возводим сумму в куб: (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3 или (х + у) 3 = х 3 + у 3 + 3ху(х + у);

возводим в куб разность: (х – у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 – у 3 или (х – у) 3 = х 3 – у 3 – 3ху(х – у);

находим сумму переменных, возведенных в куб: х 3 + у 3 = (х +у)(х 2 – ху + у 2);

вычисляем разность переменных, возведенных в куб: х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2);

используем корни: ха 2 + уа + z = х(а – а 1)(а – а 2), а 1 и а 2 – это корни выражения ха 2 + уа + z.

Еще вам стоит иметь представление о видах алгебраических выражений. Они бывают:

рациональные, и те в свою очередь подразделяются на:

целые(в них нет деления на переменные, нет извлечения корней из переменных и нет возведения в дробную степень): 3a 3 b + 4a 2 b * (a – b ).Область определения – все возможные значения переменных;

дробные(кроме остальных математических операций, вроде сложения, вычитания, умножения, в этих выражениях делят на переменную и возводят в степень (с натуральным показателем): (2/b – 3/a + с/4) 2 . Область определения – все значения переменных, при которых выражение не равно нулю;

иррациональные– чтобы алгебраическое выражение считалось таковым, в нем должно присутствовать возведение переменных в степень с дробным показателем и/или извлечение корней из переменных: √а + b 3/4 . Область определения – все значения переменных, исключая те, при которых выражение под корнем четной степени или под дробной степенью становится отрицательным числом.

Тождественные преобразования алгебраических выражений – еще один полезный прием для их решения.Тождество – такое выражение, которое будет верным при любых входящих в область определения переменных, которые в него подставят.

Выражение, которое зависит от некоторых переменных, может быть тождественно равно другому выражению, если то зависит от тех же переменных и если значения обоих выражений равны, какие бы значения переменных не были выбраны. Другими словами, если выражение можно выразить двумя разными способами (выражениями), значения которых одинаковые, эти выражения тождественно равны. Например: у + у = 2у, или х 7 = х 4 *х 3 , или x +y +z = z + x +y.

При выполнении заданий с алгебраическими выражениями тождественное преобразование служит для того, чтобы одно выражение можно было заменить на другое, тождественное ему. К примеру, заменить х 9 на произведение х 5 *х 4 .

Примеры решения

Чтобы было понятнее, разберем несколько примеров преобразования алгебраических выражений . Задания такого уровня могут попасться в КИМах на ЕГЭ.

Задание 1 : Найти значение выражения ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 -1).

Решение: ((12х) 2 – 12х)/(12х 2 – 1) = (12х (12х -1))/х*(12х – 1) = 12.

Задание 2: Найти значение выражения (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3).

Решение: (4х 2 – 9)*(1/(2х – 3) – 1/(2х +3) = (2х – 3)(2х + 3)(2х + 3 – 2х + 3)/(2х – 3)(2х + 3) = 6.

Заключение

При подготовке к школьным контрольным, экзаменам ЕГЭ и ГИА вы всегда можете использовать этот материал как подсказку. Держите в памяти, что алгебраическим выражением называется комбинация из чисел и переменных, выраженных латинскими буквами. А еще знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), скобок, степеней, корней.

Используйте формулы сокращенного умножения и знания о тождественных равенствах, чтобы преобразовывать алгебраические выражения.

Пишите нам свои замечания и пожелания в комментариях – нам важно знать, что вы нас читаете.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.

Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.

Навигация по странице.

Одночлены и многочлены

Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.

Определение.

Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Определение.

Многочлены – это сумма одночленов.

Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.

Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.

На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .

Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .

Рациональные (алгебраические) дроби

В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .

Определение.

Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.

Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.

На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .

Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.

Рациональные выражения

Определение.

Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.

Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3 , . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.

Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Определение.

Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .

Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne , log 2 (4·a·b) , .

Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .

В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .

Дроби

В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.

Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.

Итак, дадим определение дроби.

Определение.

Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.

Данное определение позволяет привести примеры дробей.

Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4 , , (−15)/(−2) . В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.

Выражения общего вида

В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида , а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.

Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Уроки алгебры знакомят нас с различными видами выражений. По мере поступления нового материала выражения усложняются. При знакомстве со степенями они постепенно добавляются в выражение, усложняя его. Также происходит с дробями и другими выражениями.

Чтобы изучение материала было максимально удобным, это производится по определенным названиям для того, чтобы можно было их выделить. Данная статья даст полный обзор всех основных школьных алгебраических выражений.

Одночлены и многочлены

Выражения одночлены и многочлены изучаются в школьной программе, начиная с 7 класса. В учебники были даны определения такого вида.

Определение 1

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, любые произведения, сделанные с их помощью.

Определение 2

Многочленами называют сумму одночленов.

Если взять, к примеру число 5 , переменную x , степень z 7 ,тогда произведения вида 5 · x и 7 · x · 2 · 7 · z 7 считаются одночленами. Когда берется сумма одночленов вида 5 + x или z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7 , тогда получаем многочлен.

Чтобы отличать одночлен от многочлена, обращают внимание на степени и их определения. Немаловажно понятие коэффициента. При приведении подобных слагаемых их разделяют на свободный член многочлена или старший коэффициент.

Над одночленами и многочленами чаще всего выполняются какие-то действия, после которых выражение приводится к вижу одночлена. Выполняется сложение, вычитание, умножение и деление, опираясь на алгоритм для выполнения действий с многочленами.

Когда имеется одна переменная, не исключено деление многочлена на многочлен, которые представляются в виде произведения. Такое действие получило название разложение многочлена на множители.

Рациональные (алгебраические) дроби

Понятие рациональные дроби изучаются в 8 классе средней школы. Некоторые авторы называют их алгебраическими дробями.

Определение 3

Рациональной алгебраической дробью называют дробь, в которой на месте числителя и знаменателя выступают многочлены или одночлены, числа.

Рассмотрим на примере записи рациональных дробей типа 3 x + 2 , 2 · a + 3 · b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 и 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4 . Опираясь на определение, можно сказать, что каждая дробь считается рациональной дробью.

Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Подробнее это рассматривается в разделе действий с алгебраическими дробями. Если необходимо преобразовать дробь, нередко пользуются свойством сокращения и приведения к общему знаменателю.

Рациональные выражения

В школьном курсе изучается понятие иррациональных дробей, так как необходима работа с рациональными выражениями.

Определение 4

Рациональные выражения считаются числовыми и буквенными выражениями, где используются рациональные числа и буквы со сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в целую степень.

Рациональные выражения могут не иметь знаков, принадлежащих функции, которые приводят к иррациональности. Рациональные выражения не содержат корней, степеней с дробными иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмических выражений, тригонометрических функций и так далее.

Основываясь на правиле, приведенном выше, приведем примеры рациональных выражений. Из выше сказанного определения имеем, что как числовое выражение вида 1 2 + 3 4 , так и 5 , 2 + (- 0 , 1) 2 · 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 · 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 считаются рациональными. Выражения, содержащие буквенные обозначения, также относят к рациональным a 2 + b 2 3 · a - 0 , 5 · b , с переменными вида a · x 2 + b · x + c и x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Все рациональные выражения подразделяют на целые и дробные.

Целые рациональные выражения

Определение 5

Целые рациональные выражения – это такие выражения, не содержащие деления на выражения с переменными отрицательной степени.

Из определения имеем, что целое рациональное выражение – это и выражение, содержащее буквы, например, а + 1 , выражение, содержащее несколько переменных, например, x 2 · y 3 − z + 3 2 и a + b 3 .

Выражения вида x: (y − 1) и 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 не могут быть целыми рациональными, так как имеют деление на выражение с переменными.

Дробные рациональные выражения

Определение 6

Дробное рациональное выражение – это выражение, которое содержит деление на выражение с переменными отрицательной степени.

Из определения следует, что дробные рациональные выражения могу быть 1: x , 5 x 3 - y 3 + x + x 2 и 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Если рассматривать выражения такого типа (2 · x − x 2) : 4 и a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4 , 2 , то дробными рациональными они не считаются, так как не имеют в знаменателе выражений с переменными.

Выражения со степенями

Определение 7

Выражения, которые содержат степени в любой части записи, называют выражениями со степенями или степенными выражениями .

Для понятия приведем пример такого выражения. В них могут отсутствовать переменные, например, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Также характерны степенные выражения вида 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 . Для того, чтобы решить их, необходимо выполнять некоторые преобразования.

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Корень, имеющий место быть в выражении, дает ему иное название. Их называют иррациональными.

Определение 8

Иррациональными выражениями называют выражения, которые имеют в записи знаки корней.

Из определения видно, что это выражения вида 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x · y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x и x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . В каждом из них имеется хотя бы один значок корня. Корни и степени связаны, поэтому можно видеть такие записи выражений, как x 7 3 - 2 5 , n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 .

Тригонометрические выражения

Определение 9

Тригонометрическое выражение – это выражения с содержанием sin , cos , tg и ctg и их обратные – arcsin , arccos , arctg и arcctg .

Примеры тригонометрических функций очевидны: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 и 2 sin x · t g 2 x + 3 , 4 3 · t g π - arcsin - 3 5 .

Для работы с такими функциями необходимо пользоваться свойствами, основными формулами прямых и обратных функций. Статья преобразование тригонометрических функций раскроет этот вопрос подробней.

Логарифмические выражения

После знакомства с логарифмами можно говорить о сложных логарифмических выражениях.

Определение 10

Выражения, которые имеют логарифмы, называют логарифмическими .

Примером таких функций могут быть log 3 9 + ln e , log 2 (4 · a · b) , log 7 2 (x · 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Можно встретить такие выражения, где есть степени и логарифмы. Это итак понятно, так как из определения логарифма следует, что это является показателем степени. Тогда получаем выражения вида x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Для углубления изучения материала, следует обратиться к материалу о преобразовании логарифмических выражений.

Дроби

Существуют выражения особого вида, которые получили название дроби. Так как они имеют числитель и знаменатель, то они могут содержать не просто числовые значения, а также выражения любого типа. Рассмотрим определение дроби.

Определение 11

Дробью называют такое выражение, имеющее числитель и знаменатель, в которых имеются как числовые, так и буквенные обозначения или выражения.

Примеры дробей, которые имеют числа в числителе и знаменателе, выглядят так 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Числитель и знаменатель может содержать как численные, так и буквенные выражения вида (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Хотя такие выражения, как 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 не являются дробями, однако, имеют дробь в своей записи.

Выражение общего вида

Старшие классы рассматривают задачи повышенной трудности, где собраны все комбинированные задания группы С по ЕГЭ. Эти выражения отличаются особой сложностью и различными комбинациями корней, логарифмов, степеней, тригонометрических функций. Это задания типа x 2 - 1 · sin x + π 3 или sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Их вид говорит о том, что можно отнести к любому из вышеперечисленных видов. Чаще всего их не относят ни к какому, так как они имеют специфичное комбинированное решение. Их рассматривают как выражения общего вида, причем для описания не используются дополнительные уточнения или выражения.

При решении такого алгебраического выражения всегда необходимо обращать внимание на его запись, наличие дроби, степеней или дополнительных выражений. Это нужно для того, чтобы точно определиться со способом его решения. Если нет уверенности в его названии, то рекомендуется называть его выражением общего типа и решать, согласно выше написанному алгоритму.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Алгебраическое выражение

выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например

рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4 является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:

Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь

алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика

Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия

Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь

алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas

Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь

Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова

Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия

ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия

Свойства степеней:

(1) a m ⋅ a n = a m + n

Пример:

$${a^2} \cdot {a^5} = {a^7}$$ (2) a m a n = a m − n

Пример:

$$\frac{{{a^4}}}{{{a^3}}} = {a^{4 — 3}} = {a^1} = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Пример:

$${(a \cdot b)^3} = {a^3} \cdot {b^3}$$ (4) (a b) n = a n b n

Пример:

$${\left({\frac{a}{b}} \right)^8} = \frac{{{a^8}}}{{{b^8}}}$$ (5) (a m) n = a m ⋅ n

Пример:

$${({a^2})^5} = {a^{2 \cdot 5}} = {a^{10}}$$ (6) a − n = 1 a n

Примеры:

$${a^{ — 2}} = \frac{1}{{{a^2}}};\;\;\;\;{a^{ — 1}} = \frac{1}{{{a^1}}} = \frac{1}{a}.$$

Свойства квадратного корня:

(1) a b = a ⋅ b , при a ≥ 0 , b ≥ 0

Пример:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , при a ≥ 0 , b > 0

Пример:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , при a ≥ 0

Пример:

(4) a 2 = | a | при любом a

Примеры:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Рациональные и иррациональные числа

Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби m n где m — целое число (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n — натуральное (ℕ = 1,   2,   3,   4 …).

Примеры рациональных чисел:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Иррациональные числа – числа, которые невозможно представить в виде обыкновенной дроби m n , это бесконечные непериодические десятичные дроби.

Примеры иррациональных чисел:

e = 2,71828182845…

π = 3,1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Проще говоря, иррациональные числа – это числа, содержащие в своей записи знак квадратного корня. Но не всё так просто. Некоторые рациональные числа маскируются под иррациональные, например, число 4 содержит в своей записи знак квадратного корня, но мы прекрасно понимаем, что можно упростить форму записи 4 = 2 . Это означает, что число 4 есть число рациональное.

Аналогично, число 4 81 = 4 81 = 2 9 есть число рациональное.

В некоторых задачах требуется определить, какие из чисел являются рациональными, а какие иррациональными. Задание сводится к тому, чтобы понять, какие числа иррациональные, а какие под них маскируются. Для этого нужно уметь совершать операции вынесения множителя из-под знака квадратного корня и внесения множителя под знак корня.

Внесение и вынесение множителя за знак квадратного корня

При помощи вынесения множителя за знак квадратного корня можно ощутимо упростить некоторые математические выражения.

Пример:

Упростить выражение 2 8 2 .

1 способ (вынесение множителя из-под знака корня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

2 способ (внесение множителя под знак корня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Квадрат суммы

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Пример:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Квадрат разности

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Пример:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Сумма квадратов не раскладывается на множители

a 2 + b 2 ≠

Разность квадратов

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Пример:

25 x 2 − 4 y 2 = (5 x) 2 − (2 y) 2 = (5 x − 2 y) (5 x + 2 y)

Куб суммы

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Пример:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

Куб разности

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Пример:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Сумма кубов

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Пример:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Разность кубов

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Пример:

x 6 − 27 y 3 = (x 2) 3 − (3 y) 3 = (x 2 − 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = (x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Стандартный вид числа

Для того, чтобы понять, как приводить произвольное рациональное число к стандартному виду, надо знать, что такое первая значащая цифра числа.

Первой значащей цифрой числа называют его первую слева отличную от нуля цифру.

Примеры:
2 5 ; 3 , 05 ; 0 , 1 43 ; 0 , 00 1 2 . Красным цветом выделена первая значащая цифра.

Для того, чтобы привести число к стандартному виду, надо:

1. Сдвинуть запятую так, чтобы она была сразу за первой значащей цифрой.
2. Полученное число умножить на 10 n , где n — число, которое определяется следующим образом:
3. n > 0 , если запятая сдвигалась влево (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять правее);
4. n < 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. абсолютная величина числа n равна количеству разрядов, на которое была сдвинута запятая.

Примеры:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Запятая сдвинулась влево на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется влево, степень положительная.

Уже приведено к стандартному виду, делать ничего с ним не нужно. Можно записать, как 3,05 ⋅ 10 0 , но поскольку 10 0 = 1 , оставляем число в первоначальном виде.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Запятая сдвинулась вправо на 1 разряд. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Запятая сдвинулась вправо на три разряда. Так как сдвиг запятой осуществляется вправо, степень отрицательная.