Большая энциклопедия нефти и газа. Алгебры с делением над полем комплексных чисел

Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что: 1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. 2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля: 3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8. Лит.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.

Смотреть значение Фробениуса Теорема в других словарях

Теорема — теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных........
Толковый словарь Ушакова

Теорема Ж. — 1. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).
Толковый словарь Ефремовой

Вторая Теорема Экономики Благосостояния — - утверждает, что всякое Парето-оптимальное состояние является равновесным для некоторого первоначального распределения вкладов факторов производства.
Экономический словарь

Двухфондовая Теорема Разделения — Теоретическое утверждение о том, что все
инвесторы предпочитают вкладывать средства в комбинацию двух активов: безрискового
актива и рыночного портфеля.
Экономический словарь

Разделительная Теорема Фишера — Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным
инвестициям. Также называется теоремой раздельного портфеля (portfolio separation theorem).
Экономический словарь

Теорема Взаимного Фонда — Результат, сопряженный с
моделью определения стоимости
капитала и утверждающий, что
инвесторы предпочтут составить весь рискованный
портфель из акций........
Экономический словарь

Теорема Выравнивания Цен На Факторы Производства (теорема Хекшера-олина- Самуэльсона) — - согласно ей под воздействием развития международной торговли происходит
выравнивание абсолютных и относительных цен на
факторы производства в участвующих в торговле странах
Экономический словарь

Теорема Коуза — - дает решение того, как на основе прав собственности можно бороться с "внешними эффектами": шумом аэродрома, нарушающим покой; фабричным дымом, отравляющим воздух и........
Экономический словарь

Теорема О Разделении — (separation theorem) – в модели оценки капитальных активов – утверждение согласно которому
оптимальный
портфель рискованных активов для любого
инвестора не зависит........
Экономический словарь

Теорема Об Эффективном Множестве (efficient Set Theorem) — утверждение о том, что инвесторы будут выбирать портфели только из эффективного множества.
Экономический словарь

Теорема Паритета Процентных Ставок — Разница в процентных
ставках двух стран равна разнице между форвардным валютным курсом и наличным курсом.
Экономический словарь

Теорема Равенства Цен Спот И Фьючерс — Теорема, описывающая идеальную
зависимость между текущими ценами "
спот" и фьючерсными ценами. Там, где происходит
отклонение от такой идеальной зависимости,........
Экономический словарь

Теорема Разделения — Теорема, утверждающая, что
стоимость
инвестиции для каждого индивидуального
инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет........
Экономический словарь

Теорема Разделения (separation Theorem) — свойство САРМ, состоящее в том, что оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его отношения к риску и доходности.
Экономический словарь

Теорема Разделения Портфеля / Теорема Раздельного Портфеля — Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к
риску. Ср. Fishers separation theorem (
разделительная теорема Фишера)
Экономический словарь

Теорема Рыбчинского — (в теории международной торговли) - согласно ей увеличение
предложения и использования одного из факторов производства приводит к непропорционально большому увеличению........
Экономический словарь

Теорема Самуэльсона-джонса — (в теории международной торговли) - согласно ей
развитие международной торговли приводит к
росту доходов владельцев факторов, специфических для
экспорто-ориентированных........
Экономический словарь

Теорема Столпера-сэмюэльсона — экономическое положение, согласно которому повышение цены любого товара при неизменных остальных факторах приводит к повышению цен тех ресурсов, которые используются........
Экономический словарь

Теорема — -ы; ж. [греч. theōrēma] Математическое положение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Геометрическая т. Доказать теорему.
Толковый словарь Кузнецова

Великая Теорема Ферма — , гипотеза, впервые высказанная ФЕРМА, что для всех целых чисел n2 не существует таких натуральных чисел х, у и z, которые удовлетворяли бы уравнению хn+уn=zn. На полях одной........

Теорема — , утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ФЕРМА.
Научно-технический энциклопедический словарь

Безу Теорема — остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x - b, где b - число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Вариньона Теорема — момент равнодействующей системы сил относительнолюбого центра (или оси) равен сумме моментов сил этой системы относительнотого же центра (оси).
Большой энциклопедический словарь

Виета Теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположнымзнаком, а произведение - свободному члену.
Большой энциклопедический словарь

Гаусса Теорема — основная теорема электростатики, устанавливающая связьмежду потоком напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность и электрическим зарядом внутри этой поверхности.
Большой энциклопедический словарь

Жуковского Теорема: — подъемная сила - действующая на тело в потоке жидкостиили газа, обусловлена связанными с телом вихрями (т. н. присоединеннымивихрями), возникающими из-за вязкости жидкости........
Большой энциклопедический словарь

Ирншоу Теорема — сформулированная английским ученым С. Ирншоу в 19 в.теорема электростатики, согласно которой система покоящихся точечныхзарядов, расположенных на любом расстоянии........
Большой энциклопедический словарь

Косинусов Теорема — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношениямежду сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла Смежду сторонами a и b: c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Большой энциклопедический словарь

Лапласа Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей. Если прикаждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторогослучайного события Е равна р (0"р"1) и m - число........
Большой энциклопедический словарь

ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА

Описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в других словарях:

Теорема об условиях полной интегрируемости системы уравнений Пфаффа или (в геометрич. терминах) об условиях, при к рых заданное на дифференцируемом многообразии поле n мерных касательных подпространств является касательным полем нек рого слоения … Математическая энциклопедия

Пусть действительная квадратная матрица А, рассматриваемая как оператор в пространстве, не имеет инвариантных координатных подпространств (такая матрица наз. неразложимой) и неотрицательна (т. е. все ее элементы неотрицательны). И пусть ее… … Математическая энциклопедия

Пусть A квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное число является вещественным и строго положительным это собственное значение является простым… … Википедия

Теорема Фробениуса Перрона (англ.): Пусть квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения: наибольшее по модулю собственное значение является вещественным и строго… … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус нем. Ferdinand Georg Frobenius … Википедия

- (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Фердинанд Георг Фробениус Фердинанд Георг Фробениус (нем. Ferdinand Georg Frobenius; 26 октября 1849, Берлин 3 августа 1917, Шарлоттенбург) немецкий математик. Биография В 1867 году один семестр посещал занятия в Гёттингенском университете, зат … Википедия

Кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно … Математическая энциклопедия

Книги

, Зорич В.. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…
Математический анализ задач естествознания , В. А. Зорич. Эта книга - записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания для математиков, а также студентов и специалистов иных специальностей. Внем представлены три темы: -…

Cтраница 1

Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.

Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.

Теорема Фробениуса доказана полностью.

Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.

Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.

Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.

Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.

По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.

По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.

По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.

Теорема (Фробениуса-Перрона). Неотрицательная матрицаА имеет такое собственное значение , что для любого собственного значения матрицы А. Кроме того, существует неотрицательный собственный вектор , соответствующий собственному числу . Причем, если А неразложима, то и существует .

Определение 1. Собственное значение неотрицательной матрицыА называется Фробениусовым числом (числом Фробениуса), а собственный вектор – Фробениусовым вектором (вектором Фробениуса) матрицы А .

Для определения числа Фробениуса неотрицательной матрицыА необходимо решить уравнение (2), а затем среди корней (собственных значений ) выбрать максимальное неотрицательное значение. Вектор Фробениуса находят из уравнения (1), подставив в него вместо число Фробениуса .

Числа Фробениуса имеют ряд свойств , с которыми можно познакомиться в учебнике . Одно из этих свойств дает простой способ определения числа Фробениуса матрицы: если все суммы элементов строк (или столбцов) неотрицательной матрицы А равны одному и тому же числу , то число Фробениуса равно .

Пример. Пусть

; .

Тогда =6 , так как суммы элементов каждого столбца матрицыА равны 6 , и =3 , так как суммы элементов каждой строки матрицы В равны 3.

Число и вектор Фробениуса используются в балансовых экономических моделях и, в частности, в модели международной торговли . Так, равновесный вектор национального дохода в модели международной торговли является вектором Фробениуса структурной матрицы международного обмена. Кроме того,
один из критериев продуктивности матрицы, которые будут рассмотрены ниже, формулируется в терминах числа Фробениуса.

4.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями экономической системы. Каждая отрасль при этом выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой, как потребитель продуктов, вырабатываемых другими отраслями.

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли? Экономическая система, для которой применяется метод межотраслевого анализа, может быть большой (экономика страны) или малой (экономика региона или одного предприятия).

Для наглядного представления связи между отраслями экономической системы используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса (МОБ) . Впервые эти таблицы были опубликованы в 1926 г. в СССР. Таблицы МОБ могут обеспечить органы власти и научно-исследовательские организации детализированной информацией о структурных пропорциях и межотраслевых связях в экономике страны, необходимой для прогнозирования и принятия решений в области экономической политики.

Различают отчетный и плановый межотраслевые балансы . Отчетный межотраслевой баланс отражает структуру производства и потребления продукции, произведенной в стране за отчетный год. Плановый межотраслевой баланс предназначен для планирования производства валового внутреннего продукта. В СССР такой план разрабатывался Госпланом и являлся директивным. В некоторых странах с рыночной экономикой, например, в Японии и Франции, такой план разрабатывается, но является индикативным, то есть не обязательным, а нацеливающим субъектов экономики на рациональные с точки зрения общества действия.

В советское время таблицымежотраслевого баланса разрабатывались в нашей стране на регулярной основе с 1959 по 1987 год. Первые плановые межотраслевые балансы в стоимостном и натуральном выражении были построены в 1962 г. Далее работы были распространены на республики и регионы. По данным за 1966 г. межотраслевые балансы были построены по всем союзным республикам и экономическим районам РСФСР. Последние базовые таблицы "затраты – выпуск" были разработаны за 1995 год. Дело в том, что номенклатуры отраслей и продукции в этих таблицах базировались на действующем в тот момент Общероссийском классификаторе отраслей народного хозяйства, который на сегодняшний день устарел.

14 февраля 2009 года, вышло распоряжение Правительства России №201-р, которое предписывало Росстату разработать базовые таблицы «затраты – выпуск» за 2011 год, в 2015 году представить их в Правительство Российской Федерации и осуществлять разработку базовых таблиц «затраты – выпуск» на регулярной основе 1 раз в 5 лет. Таблицы должны разрабатываться в соответствии с международными стандартами, изложенными в руководствах по составлению таблиц "затраты – выпуск" ООН и Евростата, и с учетом особенностей российской информационной базы.

Математическая модель межотраслевого баланса , допускающая широкие возможности анализа, планирования и прогнозирования хозяйственной деятельности, появилась в 1936 г. в трудах известного экономиста В.В. Леонтьева . Предложенная Леонтьевым алгебраическая теория анализа «затраты – выпуск» сводилась ксистеме линейных уравнений , в которых параметрами были коэффициенты затрат на производство продукции. Леонтьев показал, что коэффициенты, выражающие отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), могут быть оценены статистически, что они достаточно устойчивы и их можно прогнозировать; обосновал существование наиболее важных коэффициентов, изменения которых необходимо отслеживать в первую очередь. Относительная простота измерений определила большие аналитические и прогностические возможности метода «затраты – выпуск».

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого баланса. Предположим, что весь производственный сектор народного хозяйства разбит на n чистых отраслей. Чистая отрасль – это условное понятие, которое определяет некоторую часть народного хозяйства, более или менее цельную (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).

Пусть – количество продукции i -ой отрасли, расходуемое на производство продукции j -ой отрасли (межотраслевые поставки, материальные затраты ), – объем производства i -ой отрасли за данный промежуток времени –валовой выпуск продукции , – объем потребления продукции i- ой отрасли в непроизводственной сфере – объем конечного потребления , – условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизационные отчисления, идущие на возмещение выбытия основных фондов.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.) или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В таблице 1 отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении. Каждая отрасль представлена двояким образом: как элемент строки, она выступает в роли производителя продукции, а как элемент столбца – в роли потребителя продукции своей и других отраслей. Заметим, что таблица МОБ состоит из четырех частей (квадрантов ), имеющих различное экономическое содержание.

Первый квадрант МОБ – это важнейшая часть межотраслевого баланса, содержащая информацию о межотраслевых связях.

Таблица 1 – Общая схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Итого	Конечный продукт	Валовой продукт
		…	j	…	n
			…		…
			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
i
…	…	…	I квадрант	…	…	II квадрант
n			…		…
Итого			…
Условно чистая продукция			…		…			IV квадрант
			III квадрант
Валовой продукт			…		…

Основная часть этого квадранта представлена межотраслевыми поставками . При этом межотраслевые поставки в каждой i -ой строке (текущее производственное потребление) показывают, сколько продукции, произведенной i -ой отраслью, потребляется всеми другими отраслями экономической системы, включая i -ую. Межотраслевые поставки в каждом j -ом столбце (текущие производственные затраты) – это потребляемое j -ой отраслью количество продукции, произведенной всеми отраслями, включая j -ую. Последний столбец и последняя строка первого квадранта представляют соответственно суммарное текущее производственное потребление продукции отрасли i всеми отраслями исуммарные текущие производственные затраты всех отраслей на производство продукции отрасли j . Нетрудно убедиться в том, что суммы элементов последнего столбца и последней строки I квадранта состоят из одних и тех же слагаемых и поэтому равны между собой. Это общее значение представлено в правом нижнем углу I квадранта. Оно называется промежуточным продуктом экономической системы и означает, что суммарное текущее производственное потребление равно суммарным текущим производственным затратам .

Второй квадрант состоит из двух столбцов. Первый из них – столбец конечной продукции всех отраслей , то есть продукции, выходящей из сферы производства в область конечного личного и общественного потребления, не идущего на текущие производственные нужды. Во втором столбце представлены объемы валовой продукции отраслей

Квадранты I иII отражают баланс между производством и потреблением.

Третий квадрант представлен двумя строками: строкой условно чистой продукции и строкой объемов валовой продукции отраслей .

Первый и третий квадранты отражают стоимостную структуру продукции каждой отрасли (или стоимостную структуру национального дохода).

Четвертый квадрант непосредственного отношения к сфере производства не имеет, поэтому он не содержит никаких значений. По сути, этот квадрант должен отражать,как полученные в сфере материального производства первичные доходы населения (заработная плата, личные доходы и пр.), государства (налоги, прибыль и пр.), предприятий перераспределяются через различные каналы (финансово-кредитную систему, сферу обслуживания, общественно-политические организации и т.д.), в результате чего образуются конечные доходы населения, государства и т.д.

Переходим к построениюлинейной балансовой модели (ЛБМ) Леонтьева. Она представляет собой систему линейных уравнений , каждое из которых отражает равенство (баланс) между продукцией, производимой отдельной экономической отраслью, и совокупной потребностью в этой продукции во всей экономической системе.

Рассматривая схему МОБ по столбцам , можно сделать очевидный вывод, что сумматекущих производственных затрат любой потребляющей отрасли и ее условно чистой продукции равна валовой продукции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

(1)

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой производящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме текущего производственного потребления ее продукциивсеми отраслями и конечной продукции данной отрасли:

,i = 1,2, …, n (2)

Просуммируем по всем отраслям системы (1) и (2), получим

Левые части двух равенств одинаковы, так как представляют собой весь валовой общественный продукт. Первые слагаемые правых частей также равны. Как было отмечено ранее, это величинапромежуточного продукта экономической системы. Балансовый характер таблицы МОБ выражается в том, что из равенства уже обозначенных сумм вытекает очевидное равенство суммарной конечной и суммарной условно чистой продукции , то есть

Для получения ЛБМ продолжим работу с системой (2),представив ее в развернутом виде

(2")

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матрица коэффициентов прямыхвнутрипроизводственных затрат (матрица технологическихкоэффициентов)А=(a ij).

Определение 1. Коэффициенты прямых внутрипроизводственных затрат a ij показывают, какое количество продукции i -ой отрасли необходимо (если учитывать только прямые затраты) для производства единицы валовой продукцииj -ой отрасли, то есть

Из равенства (3) получаем

. (4)

Для получения значений в реальной экономике можно использовать два способа:

1. Статистический. Коэффициенты определяются на основе анализа отчетных балансов за прошлые годы. Неизменность во времени коэффициентов прямых затрат в этом случае достигается подходящим выбором отраслей межотраслевого баланса. Как показывает практика, при правильном выборе достаточно крупных отраслей коэффициенты оказываются достаточно устойчивыми.

2. Нормативный. Строится модель отрасли межотраслевого баланса. В этой модели отрасль рассматривается как совокупность отдельных производств, для каждого из которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по нормативам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.

Заменив все межотраслевые поставки в системе (2") в соответствии с равенствами (4), получим линейную балансовую модель Леонтьева вида

или в матричной форме

X = AX + Y. (6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов :

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли X i , можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли Y i по формуле

Y = (E - A) X. (7)

2. Задав величины конечной продукции всех отраслей Y i , можно определить величины валовой продукции каждой отрасли X i по формуле

(8)

3. Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти недостающие величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n -го порядка, а (Е – А) -1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) отличен от нуля, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через .Тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде

Определение 2. Элементы матрицы называются коэффициентами полных материальных затрат . Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i -ой отрасли для выпуска единицыконечной продукцииj -ой отрасли.

Из экономического смысла векторов Х иY следует неотрицательность их координат. Вопрос о положительной разрешимости уравнения (6) зависит от свойств матрицы А . Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если матрица А является продуктивной .

Определение3 . Неотрицательная матрицаА называется продуктивной , если существует такой неотрицательный вектор Х ³ 0 , что

Х >АХ . (9)

Неравенство (9) означает, что для выпуска каждого вида продукта потребуется затрат меньше, чем стоит сам продукт. Очевидно, что условие (9) означает существование положительного вектора конечной продукции для модели межотраслевого баланса (6).

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затратА была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрицаВ=(Е – А) -1 , состоящая из неотрицательных элементов;

2) матричный рядЕ + А+ А 2 + А 3 + ...= сходится, причем его сумма равна обратной матрице В= ;

3) наибольшее по модулю собственное значение l матрицыА , то есть решение характеристического уравнения , строго меньше единицы. Нетрудно догадаться, что l – это число Фробениуса матрицы А . Тогда получаем еще один простой способ проверки продуктивности (правда, это только достаточный признак продуктивности) матрицы А : если наибольшая из сумм элементов матрицы в каждом столбце (или строке) строго меньше единицы, то матрица продуктивна , .

4) все главные миноры матрицы (Е – А), т.е. определители подматриц, образованных элементами первыхk строк и первых k столбцов этой матрицы, порядка от 1 до п, положительны.

Рассмотрим другое определение коэффициентов полных материальных затрат, исходя из того, что кроме прямых затрат на получение той или иной продукции существуют косвенные затраты. Косвенные затраты относятся к предшествующим стадиям производства и входят в продукт не прямо, а через другие средства производства (см. рис. 1).

Определение 4. Коэффициентами полных материальных затрат называется сумма прямых и косвенных затрат продукции -й отрасли для производства единицы продукции -й отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

Прокат

Определить:

А .

В .

5. Является ли матрицаА

Решение:

1. Валовой выпуск продукции каждой отрасли определяем как сумму элементов каждой строки балансовой таблицы:

для энергетики –

для машиностроения –

2. Элементы матрицыА коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат определяем по формуле

i , j = 1, 2, …, n;

Таким образом, получаем матрицу коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат

3. Линейная балансовая модель Леонтьева имеет вид:

4. Матрицу коэффициентов полных затратВ находим по формуле

где Е – единичная матрица второго порядка, т.е.

- = .

1) определитель

2) транспонированная матрица .

3) присоединенную матрицу получаем из алгебраических дополнений к элементам транспонированной, например, . Присоединенная матрица имеет вид

4) обратная матрица, т.е. матрица коэффициентов полных затрат

= .

5. МатрицаА является продуктивной, так как выполняются, например, условия продуктивности 1 и 3:

1) обратная матрица (Е – А) -1 ³0, т.к. все ее элементы неотрицательны;

3) наибольшая из сумм элементов столбцов матрицыА равна 0,8, что меньше единицы.

Пример 2. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям) и является конечным продуктом. Специалистами управляющей компании получены экономические оценки (i =1,2,3; j =1,2,3) элементов технологической матрицыА (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции Y, которые приведены в таблице.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А= () (матрицы коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат).

2. Построить линейную балансовую модель Леонтьева и таблицу межотраслевого баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга, определив для каждой отрасли валовой выпуск, межотраслевые поставки продукции, условно чистую продукцию.

Все расчетные значения округлите до трех знаков после запятой.

Решение:

1. Проверка продуктивности технологической матрицы А= ():

, ,

,
.

Вывод : так как все элементы матрицы неотрицательны и сумма элементов всех трех столбцов матрицыА меньше единицы, то матрица А продуктивна.

2. Построение баланса производства и распределения продукции предприятий холдинга:

1) линейная балансовая модель Леонтьева имеет вид

2) валовой выпуск каждого предприятия находим по формуле

Выполняем умножение матриц

= ;

3) межотраслевые поставки продукции определяем по формуле

4) условно чистую продукцию находим из равенств

;

5) строим таблицу межотраслевого баланса

Замечание. Баланс составлен правильно, еслиполучены следующие равенства:

1)Суммарное текущее производственное потребление равно суммарным текущим производственным затратам.Это промежуточный продукт экономической системы. В нашем случае он равен 628,333.

2) Суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции.В нашем примере это общее значение равно 510 .

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Рассматривается многоотраслевая модель экономики, заданная балансовой таблицей.

Определить:

1. Валовой выпуск продукции каждой отрасли .

2. Матрицу коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат А .

3. Построить линейную балансовую модель Леонтьева.

4. Матрицу коэффициентов полных затрат В .

5. Является ли матрицаА продуктивной? Для ответа на вопрос используйте хотя бы два критерия.

Все расчетные значения округлите до трех знаков после запятой.

Варианты 1.1 – 1.10

Вариант 1.1 – Балансовая таблица

Вариант 1.2 – Балансовая таблица

Вариант 1.3 – Балансовая таблица

Вариант 1.4 – Балансовая таблица

Вариант 1.5 – Балансовая таблица

Вариант 1.6 – Балансовая таблица

Вариант 1.7 – Балансовая таблица

Вариант 1.8 – Балансовая таблица

Вариант 1.9 – Балансовая таблица

Вариант 1.10 – Балансовая таблица

Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.

"ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в книгах

Теорема Понтрягина

Из книги Звезды и немного нервно автора Жолковский Александр Константинович

Теорема Понтрягина Одновременно с Консерваторией папа учился в МГУ, на мехмате. Он с успехом его окончил и даже некоторое время колебался в выборе профессии. Победило музыковедение, в результате выигравшее от его математического склада ума.Одним из папиных сокурсников

Теорема

Из книги Своими глазами автора Адельгейм Павел

Теорема Теорема о праве религиозного объединения выбирать священника нуждается в доказательстве. Читается она так: "Православная община создается… под духовным руководством избранного общиной и получившего благословение епархиального архиерея священника".

3.3. Теорема Коуза

Из книги Институциональная экономика автора Одинцова Марина Игоревна

3.3. Теорема Коуза 3.3.1. Внешние эффектыПри использовании собственности одним человеком могут возникать негативные или благоприятные последствия для других людей. Если действия одной стороны влияют или могут с определенной вероятностью повлиять на изменение

12.4.3. Теорема Коуза

Из книги Экономическая теория: учебник автора Маховикова Галина Афанасьевна

12.4.3. Теорема Коуза Еще один путь устранения внешних эффектов – установление прав собственности на ресурсы. Будучи установленными, права собственности могут быть проданы. Ясно, что цена, которую человек готов уплатить за получение права собственности, зависит от

Теорема Геделя

Из книги Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики] автора Пенроуз Роджер

Теорема Геделя Часть доказательства, приведенного Геделем, содержало некий очень сложный и детализированный кусок. Однако нам не обязательно разбираться во всех его тонкостях. Основная идея, в то же время, была проста, красива и глубока. И ее мы сможем оценить по

Теорема (Théoréme)

Из книги Философский словарь автора Конт-Спонвиль Андре

II. Теорема Декарта

Из книги О начале человеческой истории (Проблемы палеопсихологии) [изд. 1974, сокр.] автора Поршнев Борис Фёдорович

II. Теорема Декарта О «Декартовой пропасти» здесь надо сказать несколько слов, так как это поможет читателю понять весь замысел данной книги. Хотя у Декарта были гиганты предтечи - Коперник и Бруно, Бэкон и Галилей, Везалий и Гарвей, все же именно Декарт заложил основу

Крымская теорема

Из книги Романовы. Ошибки великой династии автора Шумейко Игорь Николаевич

Крымская теорема Крымское ханство даёт прекрасную базу для сравнительного анализа. Войдя, по определению Гумилёва, в стадию «гомеостаза», состояния равновесия со средой обитания, Крымское ханство замечательно тем, что более 200 лет ставило перед Россией задачу с одними и

«АШ-ТЕОРЕМА»

Из книги 100 великих научных открытий автора Самин Дмитрий

«АШ-ТЕОРЕМА» Людвиг Больцман, автор «аш-теоремы», без сомнения, был величайшим ученым и мыслителем, которого дала миру Австрия. Еще при жизни Больцман, несмотря на положение изгоя в научных кругах, был признан великим ученым, его приглашали читать лекции во многие страны.

Теорема

БСЭ

Теорема СРТ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ТЕ) автора БСЭ

СРТ-теорема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СР) автора БСЭ

Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма

Из книги Апология математики, или О математике как части духовной культуры автора Успенский Владимир Андреевич

Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор»

ТЕОРЕМА

Из книги Конец четырехвекового заблуждения о Христе автора Логинов Дмитрий

ТЕОРЕМА Здесь Коннер не совсем прав. Ведь из его текста можно понимать так, что версия еврейского происхождения Девы менее достоверна, нежели какая-либо иная. На деле же такая версия вовсе недостоверна. Предположение о еврейском происхождении Матери Христа не имеет

Теорема

Из книги Понять Россию умом автора Калюжный Дмитрий Витальевич

Теорема Под свободным мировым рынком понимается ситуация, когда товары и капиталы могут свободно перемещаться по всему миру, валюты свободно конвертируются, пошлины на границах невелики, или вообще ни пошлин, ни границ нет, и предприятия, независимо от формы