Теорема Фробениуса – Перрона. Число и вектор Фробениуса, их свойства

Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.

Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то a = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент a, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре.

Из определения a непосредственно следует, что = а, а также =ka, где k R.

Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, . R , .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент a. Покажем, что а совпадает с a.

Элементы а и a, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+a = 2а* 1, где а R, (14)

а* a = d*1, где d R. (15)

Элементы а и a, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:

а+ a = 2а 1 * 1, где а 1 R, (14")

а * a = d 1 *1, где d 1 R. (15 /)

Вычтем из (14) и (15) соответственно (14 /) и (15"). Тогда:

a - a = 2(a - a1)*1.

а (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

a(a - a), то a = *1,

т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.

Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры.

Точно так же |а| 2 = аa как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры, так, что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры.

Тогда для любых a, b А справедливы равенства:

A+ и = a *. (16)

Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры.

Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = ba, откуда

a + ba = с* 1, где с R.

Определим в (A, +, . R , .) скалярное произведение (а, b) как

a + ba = 2(а, b) * 1.

Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:

1) (а, а) > 0 при а? 0 и (0, 0) = 0.

В самом деле,

(а, а) * 1 = (аa + аa) = аa = |а|* 1,

а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а? 0 и равен 0 при а = 0.

2) (a, b) = (b. а), так как

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, тогда (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) при k R.

Действительно,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).

Из (а, а) = |а| 2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.

Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.

Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.

Следствия и замечания

  • Эта теорема тесно связана с теоремой Гурвица о нормированных вещественных алгебрах . Нормированные алгебры с делением - только \mathbb R, \mathbb C, \mathbb H и (неассоциативная) алгебра чисел Кэли .
  • При расширении системы комплексных чисел мы неизбежно теряем какие-либо арифметические свойства: коммутативность (кватернионы), ассоциативность (алгебра Кэли) и т. п.
  • Не существует аналога системы кватернионов с двумя (а не тремя) кватернионными единицами.
  • Поля \mathbb R и \mathbb C являются единственными конечномерными вещественными ассоциативными и коммутативными алгебрами без делителей нуля .
  • Тело кватернионов \mathbb H является единственной конечномерной вещественной ассоциативной, но некоммутативной алгеброй без делителей нуля .
  • Алгебра Кэли является единственной конечномерной вещественной альтернативной неассоциативной алгеброй без делителей нуля .

Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

Алгебры с делением над полем комплексных чисел

Алгебра размерности n над полем \mathbb C комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над \mathbb R. Тело кватернионов \mathbb H не является алгеброй над полем \mathbb C, так как центром \mathbb H является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над \mathbb C является алгебра \mathbb C.

Гипотеза Фробениуса

В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

См. также

Напишите отзыв о статье "Теорема Фробениуса"

Литература

  • Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М .: Наука, 1990. - 320 с.
  • Курош А. Г. . - М .: Наука, 1973. - 400 с.
  • Понтрягин Л. С. . - М .: Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).
) Периоды Вычислимые Арифметические |заголовок2= Вещественные числа
и их расширения |заголовок3= Инструменты расширения
числовых систем |заголовок4= Иерархия чисел |список4=
-1,\;0,\;1,\;\ldots Целые числа
-1,\;1,\;\frac{1}{2},\;\;0{,}12,\frac{2}{3},\;\ldots Рациональные числа
-1,\;1,\;\;0{,}12,\frac{1}{2},\;\pi,\;\sqrt{2},\;\ldots Вещественные числа
-1,\;\frac{1}{2},\;0{,}12,\;\pi,\;3i+2,\;e^{i\pi/3},\;\ldots Комплексные числа
1,\;i,\;j,\;k,\;2i + \pi j-\frac{1}{2}k,\;\dots Кватернионы 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2 - 5l + \frac{\pi}{3}m,\;\dots Октонионы 1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots Седенионы
|заголовок5= Другие
числовые системы

|список5=Кардинальные числа Порядковые числа (трансфинитные, ординал) p-адические Супернатуральные числа Всё разбежалось. Дядюшка снял Наташу с лошади и за руку провел ее по шатким досчатым ступеням крыльца. В доме, не отштукатуренном, с бревенчатыми стенами, было не очень чисто, – не видно было, чтобы цель живших людей состояла в том, чтобы не было пятен, но не было заметно запущенности.
В сенях пахло свежими яблоками, и висели волчьи и лисьи шкуры. Через переднюю дядюшка провел своих гостей в маленькую залу с складным столом и красными стульями, потом в гостиную с березовым круглым столом и диваном, потом в кабинет с оборванным диваном, истасканным ковром и с портретами Суворова, отца и матери хозяина и его самого в военном мундире. В кабинете слышался сильный запах табаку и собак. В кабинете дядюшка попросил гостей сесть и расположиться как дома, а сам вышел. Ругай с невычистившейся спиной вошел в кабинет и лег на диван, обчищая себя языком и зубами. Из кабинета шел коридор, в котором виднелись ширмы с прорванными занавесками. Из за ширм слышался женский смех и шопот. Наташа, Николай и Петя разделись и сели на диван. Петя облокотился на руку и тотчас же заснул; Наташа и Николай сидели молча. Лица их горели, они были очень голодны и очень веселы. Они поглядели друг на друга (после охоты, в комнате, Николай уже не считал нужным выказывать свое мужское превосходство перед своей сестрой); Наташа подмигнула брату и оба удерживались недолго и звонко расхохотались, не успев еще придумать предлога для своего смеха.
Немного погодя, дядюшка вошел в казакине, синих панталонах и маленьких сапогах. И Наташа почувствовала, что этот самый костюм, в котором она с удивлением и насмешкой видала дядюшку в Отрадном – был настоящий костюм, который был ничем не хуже сюртуков и фраков. Дядюшка был тоже весел; он не только не обиделся смеху брата и сестры (ему в голову не могло притти, чтобы могли смеяться над его жизнию), а сам присоединился к их беспричинному смеху.
– Вот так графиня молодая – чистое дело марш – другой такой не видывал! – сказал он, подавая одну трубку с длинным чубуком Ростову, а другой короткий, обрезанный чубук закладывая привычным жестом между трех пальцев.
– День отъездила, хоть мужчине в пору и как ни в чем не бывало!
Скоро после дядюшки отворила дверь, по звуку ног очевидно босая девка, и в дверь с большим уставленным подносом в руках вошла толстая, румяная, красивая женщина лет 40, с двойным подбородком, и полными, румяными губами. Она, с гостеприимной представительностью и привлекательностью в глазах и каждом движеньи, оглянула гостей и с ласковой улыбкой почтительно поклонилась им. Несмотря на толщину больше чем обыкновенную, заставлявшую ее выставлять вперед грудь и живот и назад держать голову, женщина эта (экономка дядюшки) ступала чрезвычайно легко. Она подошла к столу, поставила поднос и ловко своими белыми, пухлыми руками сняла и расставила по столу бутылки, закуски и угощенья. Окончив это она отошла и с улыбкой на лице стала у двери. – «Вот она и я! Теперь понимаешь дядюшку?» сказало Ростову ее появление. Как не понимать: не только Ростов, но и Наташа поняла дядюшку и значение нахмуренных бровей, и счастливой, самодовольной улыбки, которая чуть морщила его губы в то время, как входила Анисья Федоровна. На подносе были травник, наливки, грибки, лепешечки черной муки на юраге, сотовой мед, мед вареный и шипучий, яблоки, орехи сырые и каленые и орехи в меду. Потом принесено было Анисьей Федоровной и варенье на меду и на сахаре, и ветчина, и курица, только что зажаренная.
Всё это было хозяйства, сбора и варенья Анисьи Федоровны. Всё это и пахло и отзывалось и имело вкус Анисьи Федоровны. Всё отзывалось сочностью, чистотой, белизной и приятной улыбкой.
– Покушайте, барышня графинюшка, – приговаривала она, подавая Наташе то то, то другое. Наташа ела все, и ей показалось, что подобных лепешек на юраге, с таким букетом варений, на меду орехов и такой курицы никогда она нигде не видала и не едала. Анисья Федоровна вышла. Ростов с дядюшкой, запивая ужин вишневой наливкой, разговаривали о прошедшей и о будущей охоте, о Ругае и Илагинских собаках. Наташа с блестящими глазами прямо сидела на диване, слушая их. Несколько раз она пыталась разбудить Петю, чтобы дать ему поесть чего нибудь, но он говорил что то непонятное, очевидно не просыпаясь. Наташе так весело было на душе, так хорошо в этой новой для нее обстановке, что она только боялась, что слишком скоро за ней приедут дрожки. После наступившего случайно молчания, как это почти всегда бывает у людей в первый раз принимающих в своем доме своих знакомых, дядюшка сказал, отвечая на мысль, которая была у его гостей:
– Так то вот и доживаю свой век… Умрешь, – чистое дело марш – ничего не останется. Что ж и грешить то!
Лицо дядюшки было очень значительно и даже красиво, когда он говорил это. Ростов невольно вспомнил при этом всё, что он хорошего слыхал от отца и соседей о дядюшке. Дядюшка во всем околотке губернии имел репутацию благороднейшего и бескорыстнейшего чудака. Его призывали судить семейные дела, его делали душеприказчиком, ему поверяли тайны, его выбирали в судьи и другие должности, но от общественной службы он упорно отказывался, осень и весну проводя в полях на своем кауром мерине, зиму сидя дома, летом лежа в своем заросшем саду.

Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.

"ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в книгах

Теорема Понтрягина

Из книги Звезды и немного нервно автора Жолковский Александр Константинович

Теорема Понтрягина Одновременно с Консерваторией папа учился в МГУ, на мехмате. Он с успехом его окончил и даже некоторое время колебался в выборе профессии. Победило музыковедение, в результате выигравшее от его математического склада ума.Одним из папиных сокурсников

Теорема

Из книги Своими глазами автора Адельгейм Павел

Теорема Теорема о праве религиозного объединения выбирать священника нуждается в доказательстве. Читается она так: "Православная община создается… под духовным руководством избранного общиной и получившего благословение епархиального архиерея священника".

3.3. Теорема Коуза

Из книги Институциональная экономика автора Одинцова Марина Игоревна

3.3. Теорема Коуза 3.3.1. Внешние эффектыПри использовании собственности одним человеком могут возникать негативные или благоприятные последствия для других людей. Если действия одной стороны влияют или могут с определенной вероятностью повлиять на изменение

12.4.3. Теорема Коуза

Из книги Экономическая теория: учебник автора Маховикова Галина Афанасьевна

12.4.3. Теорема Коуза Еще один путь устранения внешних эффектов – установление прав собственности на ресурсы. Будучи установленными, права собственности могут быть проданы. Ясно, что цена, которую человек готов уплатить за получение права собственности, зависит от

Теорема Геделя

Из книги Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики] автора Пенроуз Роджер

Теорема Геделя Часть доказательства, приведенного Геделем, содержало некий очень сложный и детализированный кусок. Однако нам не обязательно разбираться во всех его тонкостях. Основная идея, в то же время, была проста, красива и глубока. И ее мы сможем оценить по

Теорема (Théoréme)

Из книги Философский словарь автора Конт-Спонвиль Андре

II. Теорема Декарта

Из книги О начале человеческой истории (Проблемы палеопсихологии) [изд. 1974, сокр.] автора Поршнев Борис Фёдорович

II. Теорема Декарта О «Декартовой пропасти» здесь надо сказать несколько слов, так как это поможет читателю понять весь замысел данной книги. Хотя у Декарта были гиганты предтечи - Коперник и Бруно, Бэкон и Галилей, Везалий и Гарвей, все же именно Декарт заложил основу

Крымская теорема

Из книги Романовы. Ошибки великой династии автора Шумейко Игорь Николаевич

Крымская теорема Крымское ханство даёт прекрасную базу для сравнительного анализа. Войдя, по определению Гумилёва, в стадию «гомеостаза», состояния равновесия со средой обитания, Крымское ханство замечательно тем, что более 200 лет ставило перед Россией задачу с одними и

«АШ-ТЕОРЕМА»

Из книги 100 великих научных открытий автора Самин Дмитрий

«АШ-ТЕОРЕМА» Людвиг Больцман, автор «аш-теоремы», без сомнения, был величайшим ученым и мыслителем, которого дала миру Австрия. Еще при жизни Больцман, несмотря на положение изгоя в научных кругах, был признан великим ученым, его приглашали читать лекции во многие страны.

Теорема

БСЭ

Теорема СРТ

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ТЕ) автора БСЭ

СРТ-теорема

Из книги Большая Советская Энциклопедия (СР) автора БСЭ

Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма

Из книги Апология математики, или О математике как части духовной культуры автора Успенский Владимир Андреевич

Глава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор»

ТЕОРЕМА

Из книги Конец четырехвекового заблуждения о Христе автора Логинов Дмитрий

ТЕОРЕМА Здесь Коннер не совсем прав. Ведь из его текста можно понимать так, что версия еврейского происхождения Девы менее достоверна, нежели какая-либо иная. На деле же такая версия вовсе недостоверна. Предположение о еврейском происхождении Матери Христа не имеет

Теорема

Из книги Понять Россию умом автора Калюжный Дмитрий Витальевич

Теорема Под свободным мировым рынком понимается ситуация, когда товары и капиталы могут свободно перемещаться по всему миру, валюты свободно конвертируются, пошлины на границах невелики, или вообще ни пошлин, ни границ нет, и предприятия, независимо от формы

Если I = f0g, то F = R.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Если I = f0g, то F = R.

Если размерность подпространства I равна 1, то F = C. Пусть размерностьподпространства I больше 1.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

i2 =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i = p1 u. Тогда i2 = 1:

По в сумму i v = + x, где 2 R, x 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I . Согласно

(i + v) 2 I , в

частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I . Согласно

(i + v) 2 I , в

частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

лемме о разложении элементов из F

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

Согласно

(i + v) 2 I ,

в частности, (i + v)2 < 0.

(i + v)2

(i + v)!

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов

i v = + x, где

x 2 I .

(i1 + v). Имеем j2 = 1,

(i + v)2

i j = i

(i + v)2

(i + v)2

x 2 I :

(i + v)2

(i + v)2

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i + v)2

Значит, ,

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :

(i + v)2

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Пусть размерность подпространства I больше 1.

Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

пространства I . Положим i =

u. Тогда i2 = 1:

о разложении

элементов из

i v = + x, где

2 R, x 2 I .

(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :

(i + v)2

Значит, по лемме о вложении тела кватернионов вF ,

I + j + i j ; ; ; 2 R

тело кватернионов.

Таким образом, если линейное пространство I имеет размерность 3, то F это тело кватернионов.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

подпространства I больше 3.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I

Возьмем линейно независимую

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

x; y; z 2 I :

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

x; y; z 2 I :

В силу леммы о подпространстве I t = m + i + j + k 2I . Излинейной независимости системы векторов fi; j; k; mg сле-

дует, что t 6= 0.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

x; y; z 2 I :

лемме о подпространстве I

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

x; y; z 2 I :

Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

Аналогично можно доказать, что j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

x; y; z 2 I :

Доказано, что

0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпро-

странстве I

i t 2 I, j t 2 I,

Положим n =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

По лемме о вложении тела кватернионов в F

i n = n i; j n = n j; k n = n k:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Следовательно, 2k n = 0, противоречие.

VII. Теорема Фробениуса

Теорема 2. Пусть F тело , причем R F ,

9i1 ; i2 ; : : : ; in

9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R

z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

Тогда F это либо R, либо C, либо тело кватернионов .

Теорема доказана.

внимание!

e-mail: [email protected]; [email protected]

сайты: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Cтраница 1


Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.  

Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.  

Теорема Фробениуса доказана полностью.  

Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.  

Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.  

Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.  

Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.  

По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.  

По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.  


По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.