Определитель вронского для системы дифференциальных уравнений теорема. Определитель Вронского

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Метод Бернулли

Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
МетодБернулли
Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: Функцию выбирают из условия .Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию .

Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным , если правая часть удовлетворяет соотношению

для всех значений t . Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y :

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

или через дифференциалы:

где P (x,y ) и Q (x,y ) − однородные функции одинакового порядка.

Определение однородной функции

Функция P (x,y ) называется однородной функцией порядка n , если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение:

32.Линейная зависимость и независимость системы функций на интервале. Функции y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x), определённые на отрезке [ a ; b ], называются линейно зависимыми на [ a ; b ] , если существуют постоянные α 1 , α 2 , ..., α n , не равные нулю одновременно и такие, что α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + ... + α n y n (x) = 0 для всех x из отрезка [ a ; b ]. В противном случае функции y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x a ;b ] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других.

Очевидны следующие утверждения.

Если среди функций y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y k (x ) линейно зависимы, то при любых y k + 1 (x ), y k + 2 (x ), ..., y n (x ) функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y k (x ), y k + 1 (x ), ..., y n (x ) также линейно зависимы.

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) линейно зависимы на отрезке [a ;b ] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a ;b ] .

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) линейно независимы на [a ;b ] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b ] (если, они определены на этом отрезке).

Определитель Вронского. Общие теоремы

Дадим признак линейной независимости n частных решений однородного линейного уравнения n -го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W (x ) =

Этот определитель называется определителем Вронского решений y 1 , y 2 , …, y n .

Теорема. Для того чтобы решения были линейно независимы в (a , b ), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L (y ) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W (x ) не обращался в нуль ни в одной точке из (a , b ).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L (y ) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского-Лиувилля:

W (x ) = W (x 0) .

Из формулы видно, что определитель Вронского n решений уравнения L (y ) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

Если W (x ) обращается в нуль в одной точке из интервала (a , b ), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
Если W (x ) не равен нулю в одной точке из интервала (a , b ), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для того, чтобы n решений составляли фундаментальную систему решений уравнения L (y ) = 0 в интервале (a , b ), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x 0 ∈ (a , b ).

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

a) Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

b) Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

Лекции 13. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка с переменными коэффициентами.

Линейное однородное

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

Если коэффициенты и правая часть – непрерывные функции и , то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.

Введем линейный дифференциальный оператор

Здесь обозначает оператор дифференцирования .

Тогда линейное однородное уравнение можно записать в виде , а линейное неоднородное – в виде .

Так как линеен, то

Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено - решение однородного уравнения, - решение неоднородного уравнения).

Теоремы о свойствах решений .

1) сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

2) разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

3) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Докажем эти теоремы.

Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.

Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородного уравнения и произведение любого решения на число вновь есть решения однородного уравнения, то операции сложения и умножения на число на множестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).

Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна, (тривиальное решение) является решением однородного уравнения, для каждого решения противоположное решение тоже является решением. Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению. Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна. Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1», такое что - решение, справедлива ассоциативность по умножению на число . Это – две аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающие операции сложения и умножения на число .

Итак, налицо полный набор из восьми аксиом. Продумайте их еще раз подробнее дома.

Линейная зависимость и независимость.

Функции называются линейно независимыми, если

(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

, что выполнены соотношения

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

поэтому решения линейно зависимы.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n -ого порядка равна n .

Доказательство.

1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

2. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

..........................................................................

Второе решение – это линейная комбинация решений с теми же коэффициентами .

Вычисляя начальные условия в точке для решения , убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решения . Следовательно, по теореме Коши, произвольное решение представляется в виде линейной комбинации линейно независимых решений .

Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения. Поэтому размерность пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка равна n. .

Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.

Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы.

Доказательство. Покажем, что линейная комбинация

Является общим решениям (удовлетворяет пунктам определения общего решения)

1. - решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.

2. Зададим произвольные начальные условия , покажем, что можно подобрать константы такие, что удовлетворяет этим начальным условиям.

.........................................................................

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно констант . Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом.

Следовательно, - общее решение.

Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля

Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.

Известна формула для производной определителя

Вычислим ...+

0+...+0+ .

, .

Замечание . В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.

Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка .

Здесь формулу Остроградского – Лиувилля можно вывести проще. Рассмотрим - два частных решения

Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем первое уравнение из второго.

Так как , то = .

Теперь уравнение можно переписать в виде . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского – Лиувилля

Формула для построения второго частного решения по известному

(построение фундаментальной системы).

Разделим обе части уравнения на

Отсюда . Нам надо найти частное решение, поэтому выберем С=1, C 1 =0, получим .

Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения.

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.

1. - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).

Опр. 14.5.3.1. Система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно зависимой на интервале (a , b ), если существует набор постоянных коэффициентов , не равных нулю одновременно, таких, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на (a , b ): для
.

Если равенство для
возможно только при , система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется линейно независимой на интервале (a , b ).

Другими словами, функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), если существует равная нулю на (a , b ) их нетривиальная линейная комбинация. Функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно независимы на интервале (a , b ), если только тривиальная их линейная комбинация тождественно равна нулю на (a , b ).

Примеры: 1. Функции 1, x , x 2 , x 3 линейно независимы на любом интервале (a , b ). Их линейная комбинация
- многочлен степени
- не может иметь на (a , b ) больше трёх корней, поэтому равенство для
возможно только при .

3. Функции
линейно независимы на любом интервале (a , b ), если
. Действительно, если, например,
, то равенство
имеет место в единственной точке
.

4. Система функций
также линейно независима, если числа k i (i = 1, 2, …, n ) попарно различны, однако прямое доказательство этого факта достаточно громоздко.

Как показывают приведённые примеры, в некоторых случаях линейная зависимость или независимость функций доказывается просто, в других случаях это доказательство сложнее. Поэтому необходим простой универсальный инструмент, дающий ответ на вопрос о линейной зависимости функций. Такой инструмент - определитель Вронского .

Опр. 14.5.3.2. Определителем Вронского (вронскианом) системы n - 1 раз дифференцируемых функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) называется определитель

. (2 6 )

14.5.3.3. Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций . Если система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима на интервале (a , b ), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во . Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависимы на интервале (a , b ), то найдутся числа
, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

Для
. (27)

Продифференцируем по x равенство (27) n - 1 раз и составим систему уравнений

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно
. Определитель этой системы - определитель Вронского (26). В каждой точке
эта система имеет нетривиальное решение
, следовательно, в каждой точке
её определитель равен нулю. Итак, W (x ) = 0 при
, т.е.
на (a , b ).

14.5.4. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (25).

14.5.4.1. Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.

Док-во . Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y (x ) для которых L n (y ) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y , y 1 (x ), y 2 (x ) - частные решения (25), то функции Cy , y 1 (x ) + y 2 (x ) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта 14.5.2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства , получим

если L n (y ) = 0, то L n (Cy ) = CL n (y ) = 0;

если L n (y 1) = 0 и L n (y 2) = 0, то L n (y 1 + y 2) = L n (y 1) + L n (y 2) = 0.

Следствие. Если y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - частные решения уравнения (25), то их линейная комбинация C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) - тоже частное решение этого уравнения.

Теперь мы займемся определением размерности этого пространства и нахождением его базиса. Предварительно сформулируем и докажем несколько свойств определителя Вронского системы решений уравнения (25).

Теорема 14.5.4.2. Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке
, то система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a , b ).

Док-во . Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W (x 0) является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C 1 , C 2 , …, C n . Рассмотрим линейную комбинацию функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) с этими коэффициентами C 1 , C 2 , …, C n : y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ + C n y n (x ). Эта функция удовлетворяет уравнению (25) и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x 0 , т.е. является решением задачи Коши

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y (x ) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a , b ). Вследствие единственности решения задачи Коши y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) = 0 для любого
. Таким образом, система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима на (a , b ), и по Теореме 14.5.4 о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a , b ).

Теорема 14.5.4.3. Если определитель Вронского W (x ) системы y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке
, то W (x ) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке
определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a , b ), что противоречит условию
.

Теорема 14.5.4.4. Если W (x ) - определитель Вронского системы y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо
на интервале (a , b ) (что означает линейную зависимость этих решений на (a , b )), либо
в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a , b )).

14.5.5. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения . В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Опр. 14.5.5.1. фундаментальной системы решений . Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называется любая линейно независимая система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) его n частных решений.

Теорема 14.5.5.1.1 о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения . Общее решение y (x ) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).

Док-во . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение y чо (x ) этого уравнения этого уравнения содержится в формуле y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x C 1 , C 2 , …, C n . Возьмём любую точку
, вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C 1 , C 2 , …, C n как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений

Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен
. Рассмотрим линейную комбинацию y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C 1 , C 2 , …, C n и сравним её с функцией y чо (x ). Функции y (x ) и y чо (x ) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x 0 , следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: y чо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n . Осталось доказать, что эта размерность не меньше n .

Теорема 14.5.5.1.2 о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального равнения. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во . Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Возьмём любую точку
и сформулируем для уравнения (21) n задач Коши, причём начальные условия в точке x 0 для i -ой задачи возьмём из i -го столбца этого определителя:

L n (y 1) = 0;

L n (y 2) = 0;

L n (y n ) = 0;

Пусть y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a , b ), так как её определитель Вронского в точке x 0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Итак, мы доказали, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами равна n , и базисом в этом пространстве служит любая фундаментальная система решений. Общее решение такого уравнения равно линейной комбинации функций из фундаментальной системы решений. Остаётся вопрос - как находить фундаментальную систему решений; оказывается, что в общем случае это возможно только в случае уравнения с постоянными коэффициентами. Мы займёмся этим дальше; предварительно рассмотрим ещё ряд свойств решений однородного уравнения.

14.5.6. Формула Лиувилля .

Теорема 14.5.6.1 . Определитель Вронского системы y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p 1 (x ) - коэффициент при n - 1 производной.

Док-во . Докажем эту теорему для уравнения второго порядка . Пусть y 1 (x ), y 2 (x ) - частные решения этого уравнения, тогда , .

Так как y 1 (x ), y 2 (x ) - решения уравнения, то

В первой из квадратных скобок стоит W (x ), во второй -
, поэтому , что и требовалось доказать.

Для доказательства этой теоремы в общей случае надо знать правило дифференцирования функциональных определителей: производная определителя n -го порядка равна сумме n определителей, которые получаются из исходного определителя построчным дифференцированием. Для определителя Вронского

так как первые n - 1 определитель содержат равные строки и равны нулю. Каждая из функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) удовлетворяет уравнению ; поэтому, поставив эти выражения в последнюю строку и пользуясь свойствами определителей, получим

Решим это уравнение относительно W (x ). Функция W (x ) = 0 является решением этого уравнения; если
, то
Интегрируем последнее выражение в пределах от x 0 до x :

(Мы отбросили знак модуля у дроби, так как W (x ) - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль, поэтому значения W (x ) и W (x 0) всегда имеют один знак). Окончательно

. (28)

Формула (28)называется формулой Лиувилля. Из неё также следуют результаты предыдущих разделов: если W (x 0) = 0, то
; если
, то
ни в одной точке интервала (a , b ).

14.5.7. Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) с отличным от нуля на отрезке (a , b ) вронскианом W (x ). Требуется составить линейное однородноеуравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ).

Эта задача решается просто. Так как общее решение этого уравнения должно быть равно

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ), система функций y (x ), y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) линейно зависима, поэтому её определитель Вронского (имеющий порядок n + 1) должен быть равен нулю:

Раскрывая этот определитель по первому столбцу, получим искомое уравнение. Пример: составить линейное уравнение, у которого фундаментальная система решений равна y 1 (x ) = cos x , y 2 (x )= x 3 . Решение:

Заметим, что коэффициент при старшей производной оказывается равным вронскиану фундаментальной система решений:
Дальнейшие преобразования дают , или . Это и есть искомое уравнение. Его коэффициенты непрерывны на любом интервале, на котором
.

14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения, если известно одно его частное решение. Пусть для линейного уравнения

известно частное решение y 1 (x ). Заменой y (x ) = z (x ) y 1 (x ), это уравнение может быть преобразовано в уравнение, допускающее понижение порядка. Продемонстрируем эту идею на примере уравнения второго порядка . Пусть y 1 (x ) - частное решение этого уравнения, т.е. . Перейдём к переменной z (x ), связанной с y (x ) соотношением y (x )=z (x )y 1 (x ). Тогда ; подставляем эти выражения в уравнение:

Последнее уравнение не содержит явно неизвестную функцию z (x ), поэтому допускает понижение порядка. В рассматриваемом случае уравнения второго порядка получим линейное уравнение первого порядка, которое решается:

Можно доказать, что вронскиан системы функций
равен
, т.е. отличен от нуля и, следовательно, функции y 1 (x ), y 2 (x ) образуют фундаментальную систему решений. Можно, однако, наоборот, получить выражение для y 2 (x ) исходя из этого значения вронскиана, следующего их формулы Лиувилля. Запишемформулу Лиувилля так

Поделив это выражение на y 1 (x ), (y 1 (x )) 2 , получим
. Выражение слева - производная дроби
, поэтому
. Интегрируем:
,
, и так как мы ищем решение y 2 (x ), линейно независимое с y 1 (x ), то берём
.

Решение: это линейное однородное уравнение, нахождение его общего решения означает нахождение фундаментальной системы решений. Как уже упоминалось, в общем случае нахождение фундаментальной системы решений возможно только для уравнения с постоянными коэффициентами, однако в некоторых случаях удаётся найти частные решения, исходя из структуры уравнения. В рассматриваемом случае в коэффициенты уравнения входят степени x и ln x , поэтому можно попытаться искать частное решение в виде y = x k или y = ln x . Предположим, что уравнение имеет частное решение вида y 1 = x k . Тогда ; после подстановки этих выражений в уравнение получим ,
. Уравнение удовлетворяется, если
это имеет место только при k = 1. Итак, функция y 1 (x ) = x - частное решение этого уравнения. Для нахождения второго частного решения, линейно независимого с первым, приведём уравнение к виду с коэффициентом при старшей производной, равным единице: ,

и воспользуемся формулой
:

Итак, фундаментальная система решений этого уравнения: y 1 (x ) = x , y 2 (x ) = ln x , общее его решение y (x ) = C 1 x + C 2 ln x .

14.5.9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения. Справедлива

Терема 14.5.9.1 о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a , b ) коэффициентами и правой частью

(2 0 )

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

(2 1 )

и частного решения неоднородного уравнения (20):

y он (x ) = y оо (x ) + y чн (x ) = (C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x )) + y чн (x ).

Док-во . Мы должны доказать, что если известно частное решение y чн (x ) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение
может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n . Так как и y чн (x ), и
- решения неоднородного уравнения (20), то L n (y чн (x ))=f (x ) и
, следовательно, по линейности оператора L n (y ), . Функция
удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при некотором наборе постоянных C 1 , C 2 , …, C n : . Таким образом, , что и требовалось доказать.

Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида (
- постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f (x ) = f 1 (x ), f (x )=f 2 (x ):

Теорема 14.5.9.2 о наложении решений. Если y 1,чн (x L n (y ) = f 1 (x ), y 2,чн (x ) - частное решение неоднородного уравнения L n (y ) = f 2 (x ), то функция является частным решением неоднородного уравнения .

Док-во основано на линейности оператора L n (y ): , что и требовалось доказать.

14.5.10. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

. (29 )

Пусть y 1 (x ), y 2 (x ) - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

y оо (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) - общее решение однородного уравнения (30). Идея метода Лагранжа состоит в следующем. Ищем общее решение неоднородного уравнения (29) в том же виде y (x )=C 1 (x )y 1 (x ) + C 2 (x )y 2 (x ), предполагая, что постоянные C 1 , C 2 - не постоянные, а функции, зависящие от x : C 1 = C 1 (x ), C 2 = C 2 (x ). Мы должны найти эти функции. Находим производную
: . Дальше надо вычислять вторую производную. Воспользуемся тем обстоятельством, что вместо одной функции y (x ) мы ищем две функции C 1 (x ) и C 2 (x ), и, как следствие, можем наложить произвольную связь на эти функции. Для того, чтобы в выражении для второй производной
не участвовали вторые производные функций C 1 (x ) и C 2 (x ), в качестве этой связи положим

. (3 1 )

Подставляем выражения для y (x ) и её производных в уравнение (29):

Преобразуем:

Выражения в квадратных скобках раны нулю, так как функции y 1 (x ), y 2 (x ) - решения однородного уравнения (30), поэтому окончательно

Уравнения (31),(32) дают замкнутую систему для функций
и
:

(33)

определитель этой системы совпадает с вронскианом функций y 1 (x ), y 2 (x ) и поэтому отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение
,
. Находя это решения и интегрируя выражения производных для
и
, получим C 1 (x ) и C 2 (x y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ).

Пример: найти общее решение уравнения .

Мы начали решать эту задачу в разделе 14.5.8. Понижение порядка линейного однородного уравнения . Была найдена фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения и его общее решение y оо (x ) = C 1 x + C 2 ln x . В соответствии с методом вариации, ищем решение неоднородного уравнения с приведённым к единице коэффициентом при старшей производной в виде y (x ) = C 1 (x ) x + C 2 (x ) ln x . Система (33) для производных коэффициентов
и
будет такой:

Ответ: общее решение уравнения y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (- x ln x + C 1 0)x +

(в окончательном ответе индекс "0" у постоянных опущен).

В общем случае неоднородного уравнения n -го порядка ,

если известна фундаментальная система решений y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) соответствующего однородного уравнения, решение неоднородного уравнения ищется в виде

y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ). Тогда

Потребуем, чтобы сумма слагаемых, содержащих производные функций C i (x ), т.е. чтобы сумма, стоящая в квадратной скобке, была равна нулю:

Опять положим , и т.д. Дляn -ой производной получим

Подставляя выражения для производных в неоднородное уравнение и учитывая, что функции y i (x ) удовлетворяют соответствующему однородному уравнению, получим .

Вместе с принятыми ранее соотношениями для производных
получим систему уравнений

Определитель этой системы, как и при n = 2, совпадает с вронскианом фундаментальной системы решений, следовательно, система имеет единственное решение
. Находя это решение и интегрируя, найдём C i (x ) (i = 1, 2, …, n ), а значит, и общее решение неоднородного уравнения (29) y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ).

14.5.11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (p i (x ) = a i = const, i = 1, 2, …, n ), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

14.5.11.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

(3 4 )

постоянны на рассматриваемом интервале (a , b ) (a i = const при i = 1, 2, …, n ). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (34) предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = e kx . Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на e kx , получим алгебраическое уравнение n -ой степени

k n + a 1 k n -1 + a 2 k n -2 + a 3 k n -3 + …. + a n = 0 . (35)

Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k 1 , k 2 , …, k n , некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:

Если k j - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция
в ФСР;

если k j - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. k j = k j +1 = k j +2 = …= k j + r -1), то этому множеству корней соответствует набор функций в ФСР;

если
- простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь
- мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с k j число
. Паре корней k j , k j +1 соответствуют функции
,
в ФСР;

если
- комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число
. Паре корней k j , k j +1 , каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций
,
,
,
,
,
, ….,
,
в ФСР.

Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

. (36 )

Его характеристическое уравнение k 2 + a 1 k + a 2 = 0, в зависимости от значения дискриминанта D = a 1 2 - 4a 2 , может иметь

1. действительные неравные корни k 1 , k 2 (D > 0). Функции
, по самому способу их нахождения, являются решениями уравнения (36). Вронскиан этой системы функций

Следовательно - это фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае -
.

2. действительные равные корни
. Функция
, как и в предыдущем случае, решение уравнения (36). Докажем, что функция
тоже удовлетворяет уравнению:

Так как k 1 - корень характеристического уравнения:
. Функции
- фундаментальная система решений, так как

Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

3. комплексные корни. В этом случае , где
. Мы должны доказать, что функции

удовлетворяют уравнению. Находим:

Подставляем в уравнение:

Рассмотрим по отдельности коэффициенты при
и при
: ,
. Итак,
, т.е. функция
- действительно решение уравнения. Аналогично доказывается, что и функция
- решение уравнения. Якобиан этой системы функций:

Т.е. это - фундаментальная система решений. Общее решение уравнения (36) в этом случае - .

Характеристическое уравнение k 2 + 4 k - 5 = 0. Его корни k 2 = 1. Фундаментальная система решений y 1 (x ) = e -5 x , y 2 (x ) = e x , общее решение y (x ) = C 1 e -5 x + C 2 e x .

Характеристическое уравнение 16k 2 - 40 k + 73 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений
, общее решение
.

Характеристическое уравнение 64k 2 + 112 k + 49 = 0. Его корни . Фундаментальная система решений
, общее решение
.

Это уравнение 7-го порядка, его характеристическое уравнение k 7 + 2k 6 + 8k 4 +16k 3 = 0. Преобразуем его левую часть: k 3 (k 4 + 2 k 3 + 8 k + 16) = k 3 [k 3 (k + 2) + 8(k + 2)] = k 3 (k + 2)( k 3 + 8) =

= k 3 (k + 2)( k + 2)( k 2 -2 k + 4) = k 3 (k + 2) 2 (k 2 - 2 k + 4). Корни: k 1,2,3 = 0, k 4,5 = -2,
.

Фундаментальная система решений y 1 = e 0 x = 1, y 2 = xe 0 x = x , y 2 = x 2 e 0 x = x 2 , y 4 = e -2 x , y 5 = xe -2 x , общее решение .

Определитель Вронского

Определитель Вронского системы функций, дифференцируемых на промежутке (n-1)-раз -- функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами. Тогда определитель будет выглядеть так (обозначу его через):

Вектор-функция -- функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами функции могут быть:

1. Одна скалярная переменная -- тогда значения вектор-функции определяют в некоторую кривую;
2. m скалярных переменных -- тогда значения вектор-функции образуют в, вообще говоря, m-мерную поверхность;
3. Векторная переменная -- в этом случае вектор-функцию обычно рассматривают как векторное поле на.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми.

Свойства определителя Вронского

1. Если линейно зависимы на интервале, то
2. Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции являются линейно независимыми. Обратное вообще говоря неверно.
3. Если - решения линейного однородного дифференциального уравнения -го порядка, то называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке, что означает линейную независимость функций.
4. Если - решения линейной однородной системы, то либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке, что означает линейную не зависимость функций.

1. Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций, равен нулю:

2. Проверим теперь линейную независимость функций, :

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

3. Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду равен нулю:

Однако эти функции, очевидно, являются линейно-независимыми. Видим, что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение. Система Дифференциальных Уравнений называется линейной , если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных.

Общий вид системы дифференциальных уравнений

Если задано начальное условие: , (3)

то решение будет единственным при условии, что вектор-функция непрерывна на и коэффициенты матрицы: тоже непрерывные функции.

Введем линейный оператор, тогда (6) можно переписать в виде:

если, то операторное уравнение (4) называется однородным и имеет вид:

в ином случае оно называется неоднородным .

Так как оператор линейный, то для него выполняются следующие свойства:

1. Если решение однородной системы (5), то будет тоже решением уравнения (5).
2. Если являются решением (5), то тоже решение (5).