Чтобы найти определитель матрицы нужно воспользоваться формулами, которые действительны для определителей 2 и 3 порядка.
Формула
Пусть задана матрица второго порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{pmatrix} $. Тогда её определитель вычисляется по формуле:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}\cdot a_{22} - a_{12}\cdot a_{21} $$
Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_{11}\cdot a_{22} $, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_{12}\cdot a_{21} $. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.
Если дана матрица третьего порядка $ A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix} $, то вычислить её определитель следует по формуле:
$$ \Delta = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = $$
$$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{12}a_{21}a_{33} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Пусть задана матрица $ A = \begin{pmatrix} 1&2\\3&4 \end{pmatrix} $ Вычислить её определитель. |
| Решение |
|
Как найти определитель матрицы? Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 1&2\\3&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \Delta = -2 $$ |
| Пример 2 |
| Дана матрица $ A = \begin{pmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{pmatrix} $. Требуется вычислить определитель. |
| Решение |
|
Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_{ij} $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи: $$ \Delta = \begin{vmatrix} 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end{vmatrix} = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус. |
| Ответ |
| $$ \Delta = 31 $$ |
2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ПРАВИЛО КРАМЕРА
2.1. Определители второго порядка
Понятие определителя возникло также в связи с задачей решения систем линейных уравнений. Определитель (или детерминант ) есть число, характеризующее квадратную матрицу A и обозначается обычно символами: detA , | A | или . Если матрица задана явно, в виде таблицы, то определитель обозначают, заключая таблицу в вертикальные линии.Определитель матрицы второго порядка находится следующим образом :
(2.1)
Он равен произведению элементов главной диагонали матрицы минус произведение элементов второй диагонали
.
Например, 
Следует еще раз подчеркнуть, что матрица есть таблица чисел, тогда как определитель есть число, определяемое через элементы квадратной матрицы.
Рассмотрим теперь систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Используя понятие определителя 2-го порядка, решение этой системы можно записать в виде:
(2.2)
Это есть правило Крамера решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными при условии, что 0.
Пример 2.1. Решить систему линейных уравнений, используя правило Крамера:
Решение . Найдем определители:
Историческая справка.
Идея понятия «определителя»
могла бы принадлежать Г. Лейбницу
(1646-1716), если бы он развил и опубликовал свои идеи относительно определителей, к которым он пришел в 1693 г. Поэтому приоритет в разработке метода определителей решения систем линейных уравнений принадлежит Г. Крамеру
(1704-1752), который опубликовал свои исследования по этой теме в 1750 г. Однако Крамер не построил полноценной теории определителей, к тому же ему не доставало удобного обозначения. Первое обширное исследование , посвященное определителям, было А. Вандермондом
(1735-1796) в 1772 г. Он дал логическое изложение теории определителей и ввел правило разложения определителя с помощью миноров. Полное изложение теории определителей было дано лишь в 1812 г.
Ж. Бине
(1786-1856) и О. Коши
(1789-1858). Термин «определитель»
(«детерминант»
) в современном его значении был введен Коши (ранее этот термин использовался К. Гауссом для обозначения дискриминанта квадратичной формы).
2.2. Определители третьего порядка
Определитель матрицы 3-го порядка находится следующим образом
(2.3)
Естественно, что запомнить эту формулу довольно трудно. Однако есть правила, которые облегчают выписывание выражения для определителя 3-го порядка.
Правило треугольников
: три слагаемых, входящих в исходное выражение со знаком плюс, есть произведения элементов главной диагонали или треугольников, основания которых параллельны этой диагонали. Остальные три слагаемых, входящих со знаком минус, находятся таким же образом, но относительно второй диагонали.
Правило Саррюса
: припишем к матрице справа первый, а затем второй столбец. Тогда "положительные" слагаемые будут находиться на линиях параллельных главной диагонали, а "отрицательные" на линиях, параллельных второй диагонали
.
2.3. Правило Крамера
Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать в таком же виде, как и для системы двух уравнений, т.е.
(2.4)
если 0. Здесь
Это есть правило Крамера решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными .
Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера:
Решение . Находим определитель основной матрицы системы
Поскольку 0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя:
Проверка:
Следовательно, решение найдено правильно.
Правила Крамера, полученные для линейных систем 2-го и 3-го порядка, наводят на мысль, что такие же правила можно сформулировать и для линейных систем любого порядка. Действительно имеет место
Теорема Крамера. Квадратная система линейных уравнений с отличным от нуля определителем основной матрицы системы (0) имеет одно и только одно решение и это решение вычисляется по формулам
(2.5)
где – определитель основной матрицы , i – определитель матрицы , полученной из основной, заменой i -го столбца столбцом свободных членов .
Отметим, что если =0, то правило Крамера не применимо. Это означает, что система либо не имеет вообще решений, либо имеет бесконечно много решений.
Сформулировав теорему Крамера, естественно возникает вопрос о вычислении определителей высших порядков.
2.4. Определители n-го порядка
Дополнительным минором M ij элемента a ij называется определитель, получаемый из данного путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца. Алгебраическим дополнением A ij элемента a ij называется минор этого элемента, взятого со знаком (–1) i + j , т.е. A ij = (–1) i + j M ij .Например, найдем миноры и алгебраические дополнения элементов a 23 и a 31 определителя
Получаем
Используя понятие алгебраического дополнения можно сформулировать теорему о разложении определителя n -го порядка по строке или столбцу .
Теорема 2.1. Определитель матрицы A равен сумме произведений всех элементов некоторой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения:
(2.6)
Данная теорема лежит в основе одного из основных методов вычисления определителей, т.н. метода понижения порядка . В результате разложения определителя n -го порядка по какой-либо строке или столбцу, получается n определителей (n –1)-го порядка. Чтобы таких определителей было меньше, целесообразно выбирать ту строку или столбец, в которой больше всего нулей. На практике формулу разложения определителя обычно записывают в виде:
т.е. алгебраические дополнения записывают в явном виде через миноры.
Примеры 2.4. Вычислить определители, предварительно разложив их по какой-либо строке или столбцу. Обычно в таких случаях выбирают такой столбец или строку, в которой больше всего нулей. Выбранную строку или столбец будем обозначать стрелкой.
2.5. Основные свойства определителей
Разлагая определитель по какой-либо строке или столбцу, мы получим n определителей (n –1)-го порядка. Затем каждый из этих определителей (n –1)-го порядка также можно разложить в сумму определителей (n –2)-го порядка. Продолжая этот процесс , можно дойти до определителей 1-го порядка, т.е. до элементов матрицы, определитель которой вычисляется. Так, для вычисления определителей 2-го порядка придется вычислить сумму двух слагаемых, для определителей 3-го порядка – сумму 6 слагаемых, для определителей 4-го порядка – 24 слагаемых. Число слагаемых будет резко возрастать по мере увеличения порядка определителя. Это означает, что вычисление определителей очень высоких порядков становится довольно трудоемкой задачей, непосильной даже для ЭВМ. Однако вычислять определители можно и по-другому, используя свойства определителей.Свойство 1 . Определитель не изменится, если в нем поменять местами строки и столбцы, т.е. при транспонировании матрицы:
.
Данное свойство свидетельствует о равноправии строк и столбцов определителя. Иначе говоря, любое утверждение о столбцах определителя справедливо и для его строк и наоборот.
Свойство 2 . Определитель меняет знак при перестановке двух строк (столбцов).
Следствие . Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.
Свойство 3 . Общий множитель всех элементов в какой-либо строке (столбце) можно вынести за знак определителя.
Например,
Следствие . Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Свойство 4 . Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца), прибавить элементы другой строки (столбца), умноженной на какое-либо число.
Например,
Свойство 5 . Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц:
2.6.
Теорема 2.2. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали:
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования: 1) умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 2) прибавление одной строки (столбца) к другой; 3) перестановка двух строк (столбцов).
Метод элементарных преобразований заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований, учитывая свойства определителей, привести матрицу к треугольному виду.
Пример 2.5. Вычислить определитель при помощи элементарных преобразований, приведя их к треугольному виду:
Пример 2.6. Вычислить определитель:
.
Решение . Упростим данный определитель , а затем вычислим его:
.
Пример 2.7.
Вычислить определитель 
.
Решение . Способ 1 .При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, будем получать в какой-либо строке или столбце нули, а затем будем разлагать полученный определитель по этой строке или столбцу:
–6
2
-2
.
Способ 2
.При помощи элементарных преобразований матрицы, учитывая свойства определителей, приведем матрицу к треугольному виду:
.
Вычисление определителей при помощи элементарных преобразований, путем приведения его к треугольному виду, является одним из самых распространенных методов. Это связано с тем, что он является основным методом при реализации вычислений определителей на ЭВМ. Точнее он является одной из модификаций метода Гаусса , который обычно используется при решении систем линейных уравнений.
Пример 2.8. Вычислить определитель методом Гаусса:
Решение. Рассмотрим первый столбец и выберем в нем ту строку, которая содержит 1. Если единиц нет, то нужно эту единицу создать при помощи элементарных преобразований: переставляя строки или столбцы, складывая или вычитая их друг с другом, умножая или деля их на какое-либо число (учитывая при этом, конечно свойства определителей). Возьмем за основу вторую строку и получим при помощи ее нули в первом столбце:
После этого на первую строку больше внимания не обращаем. Рассмотрим 2-й столбец.
В результате, получилась треугольная матрица. Для того чтобы вычислить определитель, осталось только перемножить элементы матрицы, находящиеся на главной диагонали. Таким образом, получаем ответ: –2(–1)(–1)1334 = –264.
На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:
- коэффициенты в формулах постоянные,
- неизвестные входят в формулы только в первой степени,
- отсутствуют произведения между самими неизвестными,
то тогда такие зависимости называют линейными.
Пример . В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.
Решение . Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:
обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.
Пример . В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.
Решение . Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,
10x+10y=280; 5x+2y=128,
решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г .
В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением , а во втором – с линейной системой уравнений .
Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:
Определение 1 . Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a ij
Определение 2 . Элементы a ij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы
Определение 3 . Определителем второго порядка или детерминантом , соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что
| (1.3) |
Определитель обозначается буквами D или и записывается
Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа ( по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить " определитель , соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель . Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение , во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель , соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.
Пример . Дана система уравнений
Составить матрицу системы и вычислить определитель .
Решение
. Из коэффициентов системы
составим матрицу: 
и соответствующий ей детерминант 
Выполним вычисления по формуле (2), получим
Определение 4 . Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя
В примере был вычислен определитель второго порядка.
Определители обладают следующими свойствами.
Свойство 1 . Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.
Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка
Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель
Сравнивая D с D * можно убедиться, что D = D * .
Определение 5 . Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.
Свойство 2 . При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.
Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель
Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель .
Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель , действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.
Определение 6 . Определителем третьего порядка, соответствующим матрице системы (1.4), назовем число D , равное
Для того, чтобы вычислить определитель третьего порядка применяют две вычислительные схемы, позволяющие вычислять определители третьего порядка без особых хлопот. Эти схемы известны как " правило треугольника " (или "правило звездочки") и " правило Саррюса ".
По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями
т.е. получаем сумму произведений: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32 .
Обратите внимание, что перемножаются элементы, соединенные одной линией, прямой или ломанной, а потом полученные произведения складываются.
Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме
т.е. получаем другую сумму произведений a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32 . И, наконец, чтобы вычислить определитель , из первой суммы вычитают вторую. Тогда окончательно получаем формулу вычисления определителя третьего порядка:
D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).
По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении (см. схему):
Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.
Пример . Вычислить определитель
Решение . Вычислим определитель по правилу звездочки
И по правилу Саррюса
Т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.
Заметим, что все свойства, сформулированные для определителей второго порядка, справедливы для определителей третьего порядка, в чем можно убедиться самостоятельно. На основании этих свойств сформулируем общие свойства для определителей любого порядка.
КОНСПЕКТ 2
2.1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице
)
называется число
Пример1 : Вычислим определитель матрицы
Пример 2. Вычислить определители второго порядка:
2(-4)
- 5(-3) = -8 + 15 = 7
=
2.2 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:
А
=
Определителем (или детерминантом) третьего порядка , соответствующим данной матрице, называют число
det
A
=
=
Пример 3
Первый способ решения:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители,
находящиеся на «красных» диагоналях
входят в формулу со знаком «плюс».
Множители,
находящиеся на «синих» диагоналях
входят в формулу со знаком минус:
Пример 3
Второй способ решения:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Пример 4
Вычислить определитель третьего порядка:
Пример 5
Вычислить определитель третьего порядка
ПРАКТИКУМ 2
ЗАДАНИЕ N 1
,
то…
Решение:
то
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка
,
то…
Решение:
В
нашем случае имеем
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 3
Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка
,
то…
Решение: Так как определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:
то
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Определители второго порядка Если определитель второго порядка, то…
Решение: Напоминаем, что определитель второго порядка равен числу, которое получают по правилу:
В
нашем случае имеем
По
условию
,
тогда
ЗАДАНИЕ N 5
Тема:
Определители третьего порядка
Значение
определителя третьего порядка можно
вычислить, используя
«правило
треугольников», которое схематически
указано на рисунках.
Тогда
определительравен …
Решение:
ЗАДАНИЕ N 6
Тема: Определители третьего
порядка
Значение определителя
третьего порядка можно вычислить,
используя
«правило треугольников»,
которое схематически указано на
рисунках.
Тогда
определительравен …
Решение: Определитель третьего порядка равен сумме шести слагаемых, из которых три берутся со знаком «+» и три – со знаком «−». Правило вычисления слагаемых со знаком «+» схематически указано на рис. 1. Одно из слагаемых равно произведению элементов определителя, лежащих на главной диагонали. Каждое из двух других находится как произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, с добавлением третьего множителя из противоположного угла определителя. Слагаемые со знаком «−» получаются таким же образом, но относительно второй диагонали (рис. 2). Тогда
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 2
ЗАДАНИЕ N 1
Тема:
Определители второго порядка
Если
определитель второго порядка
,
то…