Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan tính chất của phép toán với số hữu tỉ. Đầu tiên, các thuộc tính cơ bản làm cơ sở cho tất cả các thuộc tính khác được công bố. Sau đó, một số tính chất thường dùng khác của các phép toán với số hữu tỷ được đưa ra.
Điều hướng trang.
Hãy liệt kê tính chất cơ bản của phép toán với số hữu tỷ(a, b và c là các số hữu tỷ tùy ý):
- Tính chất giao hoán của phép cộng a+b=b+a.
- Thuộc tính phù hợp phép cộng (a+b)+c=a+(b+c) .
- Sự tồn tại của một phần tử trung tính bằng phép cộng - 0, phép cộng của phần tử này với bất kỳ số nào không làm thay đổi số này, nghĩa là a+0=a.
- Với mọi số hữu tỷ a đều có một số đối diện −a sao cho a+(−a)=0.
- Tính chất giao hoán của phép nhân các số hữu tỉ a·b=b·a.
- Tính chất tổ hợp của phép nhân (a·b)·c=a·(b·c) .
- Sự tồn tại của phần tử trung hòa trong phép nhân là một đơn vị, phép nhân mà bất kỳ số nào cũng không làm thay đổi số này, tức là a·1=a.
- Với mọi số hữu tỉ khác 0 a đều có một số nghịch đảo a −1 sao cho a·a −1 =1 .
- Cuối cùng, phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ có liên hệ với nhau bởi tính chất phân phối của phép nhân so với phép cộng: a·(b+c)=a·b+a·c.
Các thuộc tính được liệt kê của các phép toán với số hữu tỷ là cơ bản, vì tất cả các thuộc tính khác có thể thu được từ chúng.
Các thuộc tính quan trọng khác
Ngoài chín tính chất cơ bản được liệt kê của các phép toán với số hữu tỷ, còn có một số tính chất được sử dụng rất rộng rãi. Hãy cung cấp cho họ một cái nhìn tổng quan ngắn gọn.
Hãy bắt đầu với thuộc tính, được viết bằng các chữ cái như a·(−b)=−(a·b) hoặc nhờ tính chất giao hoán của phép nhân như (−a) b=−(a b). Quy tắc nhân các số hữu tỉ khác dấu được suy ra trực tiếp từ tính chất này; chứng minh của nó cũng được đưa ra trong bài viết này. Thuộc tính được chỉ định giải thích quy tắc “cộng nhân với trừ là trừ, và trừ nhân với cộng là trừ.”
Đây là tài sản sau: (−a)·(−b)=a·b. Nó tuân theo quy tắc nhân các số hữu tỉ âm; trong bài viết này bạn cũng sẽ tìm thấy cách chứng minh đẳng thức trên. Thuộc tính này tương ứng với quy tắc nhân “âm nhân trừ là cộng”.
Không còn nghi ngờ gì nữa, cần tập trung vào việc nhân một số hữu tỷ tùy ý a với 0: a·0=0 hoặc 0 a=0. Hãy chứng minh tính chất này. Chúng ta biết rằng 0=d+(−d) với mọi d hữu tỉ thì a·0=a·(d+(−d)) . Thuộc tính phân phối cho phép biểu thức kết quả được viết lại thành a·d+a·(−d) và vì a·(−d)=−(a·d) , nên a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Vì vậy, chúng tôi đã đạt được tổng của hai số đối diện, bằng a·d và −(a·d), tổng của chúng bằng 0, chứng tỏ đẳng thức a·0=0.
Dễ dàng nhận thấy rằng ở trên chúng ta chỉ liệt kê các tính chất của phép cộng và phép nhân, trong khi không nói một lời nào về các tính chất của phép trừ và phép chia. Điều này là do thực tế là trên tập hợp các số hữu tỉ, các phép trừ và chia tương ứng được chỉ định là nghịch đảo của phép cộng và phép nhân. Nghĩa là, hiệu a−b là tổng a+(−b) và thương a:b là tích a·b−1 (b≠0).
Dựa vào các định nghĩa về phép trừ và phép chia này, cũng như các tính chất cơ bản của phép cộng và phép nhân, có thể chứng minh bất kỳ tính chất nào của các phép toán với số hữu tỉ.
Ví dụ: hãy chứng minh tính chất phân phối của phép nhân so với phép trừ: a·(b−c)=a·b−a·c. Chuỗi đẳng thức sau đây có giá trị: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, đó là bằng chứng
Bản quyền thuộc về sinh viên thông minh
Mọi quyền được bảo lưu.
Được bảo vệ bởi luật bản quyền. Không phần nào của www.site, bao gồm cả tài liệu nội bộ và hình thức bên ngoài, có thể được sao chép hoặc sử dụng dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của chủ sở hữu bản quyền.
Badamshinskaya trường trung học №2
trong toán học
ở lớp 6
"Hành động với số hữu tỷ"
chuẩn bị
giáo viên toán
Babenko Larisa Grigorievna
Với. Badamsha
2014
Chủ đề bài học:« Các phép toán với số hữu tỉ».
Loại bài học :
Bài học về khái quát hóa và hệ thống hóa kiến thức.
Mục tiêu bài học:
giáo dục:
Tóm tắt, hệ thống hóa kiến thức của học sinh về các quy tắc thực hiện phép tính với số dương, số âm;
Tăng cường khả năng vận dụng quy tắc trong bài tập;
Phát triển kỹ năng làm việc độc lập;
đang phát triển:
Phát triển tư duy logic, bài phát biểu toán học, kỹ năng tính toán; - Phát triển khả năng áp dụng kiến thức đã học vào giải quyết vấn đề bài toán ứng dụng; - mở rộng tầm nhìn của bạn;
nâng cao:
giáo dục sở thích nhận thứcđến chủ đề.
Thiết bị:
Tờ có nội dung nhiệm vụ, bài tập cho từng học sinh;
Toán học. Sách giáo khoa lớp 6 cơ sở giáo dục/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.
Kế hoạch bài học:
Thời điểm tổ chức
Làm việc bằng miệng
Ôn lại các quy tắc cộng trừ các số dấu hiệu khác nhau. Đang cập nhật kiến thức.
Giải bài tập theo SGK
Chạy thử nghiệm
Tóm tắt bài học. Đặt bài tập về nhà
Sự phản xạ
Tiến độ bài học
Thời điểm tổ chức
Lời chào từ giáo viên và học sinh.
Báo cáo chủ đề bài học, kế hoạch công việc của bài học.
Hôm nay chúng tôi có bài học bất thường. Trong bài học này, chúng ta sẽ nhớ tất cả các quy tắc làm việc với các số hữu tỷ và khả năng thực hiện phép cộng, trừ, nhân và chia.
Phương châm của bài học của chúng ta sẽ là một câu chuyện ngụ ngôn của Trung Quốc:
“Hãy nói cho tôi biết và tôi sẽ quên;
Chỉ cho tôi và tôi sẽ nhớ;
Hãy để tôi làm điều đó và tôi sẽ hiểu.”
Tôi muốn mời bạn đi du lịch.
Ở giữa không gian nơi mặt trời mọc hiện rõ, trải dài một đất nước hẹp, không có người ở - một trục số. Không biết nó bắt đầu từ đâu và cũng không biết nó kết thúc ở đâu. Và những người đầu tiên cư trú ở đất nước này là những con số tự nhiên. Những số nào được gọi là số tự nhiên và chúng được ký hiệu như thế nào?
Trả lời:
Các số 1, 2, 3, 4,…..dùng để đếm đồ vật hoặc để chỉ số seri mục này hoặc mục khác trong số vật thể đồng nhất, được gọi là tự nhiên (N ).
Đếm miệng
88-19 72:8 200-60
Đáp án: 134; 61; 2180.
Có vô số chúng, nhưng đất nước tuy nhỏ về chiều rộng nhưng lại có chiều dài vô hạn, sao cho mọi thứ từ một đến vô cùng đều khớp với nhau và tạo thành trạng thái đầu tiên, một tập hợp các số tự nhiên.
Đang thực hiện một nhiệm vụ.
Đất nước này đẹp lạ thường. Những khu vườn tráng lệ nằm trên khắp lãnh thổ của nó. Đó là anh đào, táo, đào. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một trong số chúng.
Cứ sau ba ngày, số quả anh đào chín lại tăng thêm 20%. Sau 9 ngày, quả anh đào này sẽ có bao nhiêu quả chín nếu lúc đầu quan sát có 250 quả chín trên đó?
Trả lời: 432 quả chín sẽ có trên quả anh đào này sau 9 ngày (300; 360; 432).
Một số số mới bắt đầu định cư trên lãnh thổ của trạng thái đầu tiên, và những số này cùng với các số tự nhiên đã hình thành nên một trạng thái mới, chúng ta sẽ tìm ra số nào bằng cách giải bài toán.
Học sinh có hai tờ giấy trên bàn:
1. Tính toán:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3
1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)
Bài tập: Kết nối tất cả các số tự nhiên theo thứ tự mà không cần nhấc tay và đặt tên cho chữ cái kết quả.
Đáp án bài kiểm tra:
5 68 15 60
72 6 20 16
Câu hỏi: Biểu tượng này có ý nghĩa gì? Những số nào được gọi là số nguyên?
Trả lời: 1) Ở bên trái, tính từ lãnh thổ của trạng thái đầu tiên, số 0 được đặt ở bên trái -1, thậm chí xa hơn về bên trái -2, v.v. quảng cáo vô tận. Những số này cùng với các số tự nhiên tạo thành một trạng thái mở rộng mới, tập hợp các số nguyên.
2) Các số tự nhiên, số đối của chúng và số 0 được gọi là số nguyên ( Z ).
Lặp lại những gì đã được học.
1) Trang tiếp theo của câu chuyện cổ tích của chúng ta đầy mê hoặc. Hãy giải tán nó, sửa chữa lỗi lầm.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Câu trả lời:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Chúng ta cùng tiếp tục lắng nghe câu chuyện nhé.
TRÊN địa điểm miễn phí phân số 2/5 được thêm vào trục số; −4/5; 3,6; −2,2;... Phân số, cùng với những người định cư đầu tiên, đã hình thành nên trạng thái mở rộng tiếp theo - một tập hợp các số hữu tỉ. ( Q)
1) Những số nào được gọi là số hữu tỉ?
2) Có số nguyên hoặc phân số thập phân nào là số hữu tỉ không?
3) Chứng minh rằng mọi số nguyên, mọi phân số thập phân đều là số hữu tỉ.
Nhiệm vụ trên bảng: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Câu trả lời:
1) Số viết được dưới dạng tỉ số , trong đó a là số nguyên và n là số tự nhiên, được gọi là số hữu tỉ .
2) Có.
3) .
Bây giờ bạn đã biết số nguyên và phân số, dương và số âm, và cả số 0. Tất cả những con số này được gọi là hợp lý, dịch sang tiếng Nga có nghĩa là “ tùy thuộc vào tâm trí."
dương không âm
toàn bộ phân số toàn bộ phân số
Để học thành công toán học (và không chỉ toán học) trong tương lai, bạn cần phải có kiến thức tốt về các quy tắc thực hiện các phép tính số học với số hữu tỷ, trong đó có quy tắc về dấu. Và họ rất khác nhau! Sẽ không mất nhiều thời gian để bị nhầm lẫn.
Phút giáo dục thể chất.
Tạm dừng động.
Giáo viên: Công việc nào cũng cần có thời gian nghỉ ngơi. Hãy nghỉ ngơi đi!
Hãy thực hiện các bài tập phục hồi:
1) Một, hai, ba, bốn, năm -
Một lần! Hãy đứng dậy, kéo mình lên,
Hai! Cúi xuống, đứng thẳng lên,
Ba! Hãy vỗ tay ba lần,
Ba cái gật đầu.
Bốn có nghĩa là bàn tay rộng hơn.
Năm - vẫy tay. Sáu - ngồi yên lặng ở bàn làm việc của bạn.
(Trẻ thực hiện các động tác theo giáo viên theo nội dung văn bản.)
2) Hãy chớp mắt thật nhanh, nhắm mắt lại và ngồi đó đếm đến năm. Lặp lại 5 lần.
3) Nhắm chặt mắt lại, đếm đến ba, mở mắt ra và nhìn vào khoảng không, đếm đến năm. Lặp lại 5 lần.
Trang lịch sử.
Trong cuộc sống, cũng như trong truyện cổ tích, con người dần dần “khám phá” ra những số hữu tỉ. Lúc đầu, khi đếm đồ vật, số tự nhiên xuất hiện. Lúc đầu có rất ít người trong số họ. Lúc đầu, chỉ có số 1 và 2 xuất hiện. Các từ “độc tấu”, “mặt trời”, “đoàn kết” bắt nguồn từ tiếng Latin “solus” (một). Nhiều bộ lạc không có chữ số khác. Thay vì “3” họ nói “một-hai”, thay vì “4” họ nói “hai-hai”. Và cứ như vậy cho đến sáu. Và sau đó đến “rất nhiều”. Người ta gặp phải phân số khi chia chiến lợi phẩm và khi đo số lượng. Để làm việc với phân số dễ dàng hơn, người ta đã phát minh ra chúng số thập phân. Chúng được giới thiệu ở châu Âu vào năm 1585 bởi một nhà toán học người Hà Lan.
Làm việc trên phương trình
Bạn sẽ tìm ra tên của một nhà toán học bằng cách giải phương trình và sử dụng đường tọa độ để tìm chữ cái tương ứng với tọa độ cho trước.
1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4
4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)tôi + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Câu trả lời:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN - nhà toán học và kỹ sư người Hà Lan (Simon Stevin)
Trang lịch sử.
Giáo viên:
Nếu không biết quá khứ trong sự phát triển của khoa học thì không thể hiểu được hiện tại của nó. Mọi người đã học cách thực hiện các phép tính với số âm ngay cả trước thời đại của chúng ta. Các nhà toán học Ấn Độ coi số dương là “tài sản” và số âm là “nợ”. Đây là cách nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta (thế kỷ thứ 7) đặt ra một số quy tắc thực hiện các phép tính với số dương và số âm:
"Tổng của hai thuộc tính là tài sản"
"Tổng của hai khoản nợ là một khoản nợ"
“Tổng số tài sản và số nợ bằng số chênh lệch của chúng,”
“Tích của hai tài sản hoặc hai khoản nợ là tài sản”, “Tích của tài sản và nợ là nợ”.
Các bạn ơi, hãy dịch những quy tắc cổ xưa của Ấn Độ sang ngôn ngữ hiện đại.
Lời nhắn của giáo viên:
Làm sao có thể không có cuộc sống nếu không có nắng nóng,
Không có tuyết mùa đông và không có lá hoa,
Không có phép toán nào không có dấu trong toán học!
Trẻ được yêu cầu đoán xem dấu hiệu hành động nào còn thiếu.
Bài tập. Điền ký tự còn thiếu.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Đáp án: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :
Làm việc độc lập(viết câu trả lời cho các nhiệm vụ vào tờ giấy):
So sánh số
tìm mô-đun của họ
so sánh với số không
tìm tổng của chúng
tìm sự khác biệt của họ
tìm công việc
tìm thương số
viết các số đối diện với chúng
tìm khoảng cách giữa các số này
10) có bao nhiêu số nguyên nằm giữa chúng
11) tìm tổng của tất cả các số nguyên nằm giữa chúng.
Tiêu chí đánh giá: mọi thứ đều được giải quyết chính xác – “5”
1-2 lỗi - “4”
3-4 lỗi - “3”
hơn 4 lỗi - “2”
Làm việc cá nhân bằng thẻ(bổ sung).
Thẻ 1. Giải phương trình: 8,4 – (x – 3,6) = 18
Thẻ 2. Giải phương trình: -0,2x · (-4) = -0,8
Thẻ 3. Giải phương trình: =
Câu trả lời cho thẻ :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Trò chơi “Kiểm tra”.
Người dân cả nước sống vui vẻ, chơi trò chơi, giải các bài toán, phương trình và mời chúng tôi chơi để tổng hợp kết quả.
Học sinh lên bảng, lấy thẻ và trả lời câu hỏi ghi ở mặt sau.
Câu hỏi:
1. Trong hai số âm, số nào lớn hơn?
2. Xây dựng quy tắc chia số âm.
3. Xây dựng quy tắc nhân các số âm.
4. Xây dựng quy tắc nhân các số khác dấu.
5. Xây dựng quy tắc chia các số khác dấu.
6. Xây dựng quy tắc cộng các số âm.
7. Xây dựng quy tắc cộng các số khác dấu.
8.Làm thế nào để tìm độ dài của một đoạn thẳng trên đường tọa độ?
9. Những số nào được gọi là số nguyên?
10. Những số nào được gọi là số hữu tỉ?
Tóm tắt.
Giáo viên: Hôm nay bài tập về nhà sẽ sáng tạo:
Soạn tin nhắn “Những con số dương và âm xung quanh chúng ta” hoặc sáng tác một câu chuyện cổ tích.
« Cảm ơn vì bài học!!!"
Vẽ. phép tính số học trên các số hữu tỉ.
Chữ:
Quy tắc thực hiện các phép tính với số hữu tỷ:
. khi cộng số với dấu hiệu giống hệt nhau cần phải cộng các môđun của chúng lại và đặt chúng trước tổng dấu hiệu chung;
. khi cộng hai số khác dấu, từ một số có mô đun lớn hơn, trừ số có mô đun nhỏ hơn và đặt dấu của số có mô đun lớn hơn trước hiệu thu được;
. Khi trừ một số cho một số khác, bạn cần cộng vào số trừ số đối diện với số bị trừ: a - b = a + (-b)
. khi nhân hai số cùng dấu, các mô đun của chúng được nhân lên và đặt dấu cộng trước kết quả;
. khi nhân hai số khác dấu, mô đun của chúng được nhân và dấu trừ đặt trước kết quả;
. khi chia các số cùng dấu, môđun số bị chia được chia cho môđun số chia và đặt dấu cộng trước thương số thu được;
. khi chia các số khác dấu, mô đun số bị chia cho mô đun số chia và đặt dấu trừ trước thương số thu được;
. khi chia và nhân số 0 với bất kỳ số nào, không bằng 0, hóa ra bằng 0:
. Bạn không thể chia cho số 0.
Trong bài học này chúng ta sẽ nhắc lại các tính chất cơ bản của phép tính với số. Chúng ta sẽ không chỉ ôn lại các tính chất cơ bản mà còn học cách áp dụng chúng cho các số hữu tỉ. Chúng ta sẽ củng cố tất cả những kiến thức thu được bằng cách giải các ví dụ.
Các tính chất cơ bản của phép toán với số:
Hai tính chất đầu tiên là tính chất của phép cộng, hai tính chất tiếp theo là tính chất của phép nhân. Thuộc tính thứ năm áp dụng cho cả hai phép toán.
Không có gì mới trong những tài sản này. Chúng có giá trị cho cả số tự nhiên và số nguyên. Chúng cũng đúng với các số hữu tỷ và sẽ đúng với các số chúng ta sẽ nghiên cứu tiếp theo (ví dụ: số vô tỷ).
Thuộc tính hoán vị:
Việc sắp xếp lại các số hạng hoặc thừa số không làm thay đổi kết quả.
Thuộc tính kết hợp:, .
Việc cộng hoặc nhân nhiều số có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào.
Thuộc tính phân phối:.
Thuộc tính kết nối cả hai phép toán - phép cộng và phép nhân. Ngoài ra, nếu đọc từ trái qua phải thì gọi là quy tắc mở ngoặc, còn nếu trong mặt trái- Nguyên tắc xét xử số nhân chung ngoài dấu ngoặc.
Hai thuộc tính sau mô tả yếu tố trung tínhđối với phép cộng và phép nhân: cộng số 0 và nhân với một không làm thay đổi số ban đầu.
Hai thuộc tính nữa mô tả yếu tố đối xứng đối với phép cộng và phép nhân, tổng các số đối nhau bằng 0; công việc số đối ứng bằng một.
Thuộc tính tiếp theo: . Nếu một số nhân với 0 thì kết quả luôn bằng 0.
Thuộc tính cuối cùng chúng ta sẽ xem xét là: .
Nhân một số với , ta được số đối diện. Tài sản này có một tính năng đặc biệt. Tất cả các tính chất khác được xem xét không thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất khác. Tính chất tương tự có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất trước đó.
nhân với
Chứng minh rằng nếu nhân một số với , chúng ta sẽ có số đối diện. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng thuộc tính phân phối: .
Điều này đúng với mọi con số. Hãy thay thế và thay vì số:
Bên trái trong ngoặc đơn là tổng của các số đối diện nhau. Tổng của chúng bằng 0 (chúng ta có tính chất như vậy). Ở bên trái bây giờ. Ở bên phải, chúng tôi nhận được: 
.
Bây giờ chúng ta có số 0 ở bên trái và tổng của hai số ở bên phải. Nhưng nếu tổng của hai số bằng 0 thì các số này đối nhau. Nhưng số đó chỉ có một số đối diện: . Vì vậy, nó là như thế này: .
Tài sản đã được chứng minh.
Tính chất như vậy có thể được chứng minh bằng các tính chất trước đó được gọi là định lý
Tại sao không có thuộc tính trừ và chia ở đây? Ví dụ: người ta có thể viết thuộc tính phân phối cho phép trừ: .
Nhưng kể từ khi:
- Phép trừ bất kỳ số nào cũng có thể được viết tương đương dưới dạng phép cộng bằng cách thay thế số đó bằng số đối của nó:
- Phép chia có thể được viết dưới dạng phép nhân với nghịch đảo của nó:
Điều này có nghĩa là các tính chất của phép cộng và phép nhân có thể được áp dụng cho phép trừ và phép chia. Kết quả là danh sách các thuộc tính cần ghi nhớ sẽ ngắn hơn.
Tất cả các tính chất mà chúng ta đã xem xét không chỉ là các tính chất của số hữu tỉ. Các số khác, chẳng hạn như số vô tỷ, cũng tuân theo tất cả các quy tắc này. Ví dụ: tổng số đối của nó bằng 0: .
Bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang phần thực hành, giải một số ví dụ.
Những con số hữu tỉ trong cuộc sống
Những tính chất của đối tượng mà chúng ta có thể mô tả một cách định lượng, ký hiệu bằng một số số nào đó, được gọi là giá trị: chiều dài, trọng lượng, nhiệt độ, số lượng.
Cùng một đại lượng có thể được biểu thị bằng cả số nguyên và số phân số, dương hoặc âm.
Ví dụ: chiều cao của bạn là m - số phân số. Nhưng chúng ta có thể nói rằng nó bằng cm - đây đã là một số nguyên (Hình 1).
Cơm. 1. Ví dụ minh họa
Một ví dụ khác. Nhiệt độ âm trên thang độ C sẽ dương trên thang Kelvin (Hình 2).
Cơm. 2. Ví dụ minh họa
Khi xây tường nhà, một người có thể đo chiều rộng và chiều cao bằng mét. Anh ấy thành công giá trị phân số. Anh ta sẽ thực hiện tất cả các phép tính tiếp theo với các số phân số (hữu lý). Một người khác có thể đo lường mọi thứ bằng số viên gạch có chiều rộng và chiều cao. Chỉ nhận được các giá trị nguyên, anh ta sẽ thực hiện các phép tính với số nguyên.
Bản thân các đại lượng không phải là số nguyên hay phân số, không âm cũng không dương. Nhưng con số mà chúng ta dùng để mô tả giá trị của một đại lượng đã khá cụ thể (ví dụ: âm và phân số). Nó phụ thuộc vào thang đo. Và khi chúng ta chuyển từ giá trị thực sang mô hình toán học, sau đó chúng tôi làm việc với một loại số cụ thể
Hãy bắt đầu với phép cộng. Các điều khoản có thể được sắp xếp lại theo bất kỳ cách nào thuận tiện cho chúng tôi và các hành động có thể được thực hiện theo bất kỳ thứ tự nào. Nếu các số hạng của các dấu hiệu khác nhau kết thúc bằng cùng một chữ số thì sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác với chúng trước. Để làm điều này, hãy trao đổi các điều khoản. Ví dụ:
Các phân số thông dụng với cùng mẫu số dễ dàng gấp lại.
Các số đối diện cộng lại bằng không. Các số có đuôi thập phân giống nhau rất dễ trừ. Bằng cách sử dụng các tính chất này, cũng như luật giao hoán của phép cộng, bạn có thể làm cho việc tính giá trị của biểu thức sau trở nên dễ dàng hơn, chẳng hạn như:
Các số có đuôi thập phân bổ sung rất dễ cộng. Với toàn bộ và ở dạng phân số hỗn số thuận tiện đi làm riêng. Chúng tôi sử dụng các thuộc tính này khi tính giá trị của biểu thức sau:
Hãy chuyển sang phép nhân. Có những cặp số dễ nhân. Sử dụng tính chất giao hoán, bạn có thể sắp xếp lại các thừa số sao cho chúng liền kề nhau. Số lượng điểm trừ trong một sản phẩm có thể được đếm ngay và rút ra kết luận về dấu hiệu của kết quả.
Hãy xem xét ví dụ này:
Nếu từ những yếu tố bằng 0, thì tích bằng 0, ví dụ: .
Tích của các số nghịch đảo bằng một và phép nhân với một không làm thay đổi giá trị của tích. Hãy xem xét ví dụ này:
Hãy xem một ví dụ sử dụng thuộc tính phân phối. Nếu bạn mở dấu ngoặc đơn thì mỗi phép nhân đều dễ dàng.