Задоволення від х скачать pdf. Насолода від X

В 2010 році Стівен Строгацнаписав серію статей про основи математики для газети The New York Times. Статті викликали шквал захоплення. Кожна колонка ставала найпопулярнішим матеріалом у газеті та збирала сотні коментарів. Читачі ще просили, і Стівен не підвів — з'явилася ця книга, до якої увійшли як уже опубліковані частини, так і нові глави.

Математика пронизує все у цьому світі, включаючи нас самих, але, на жаль, мало хто розуміє цей універсальна мованастільки добре, щоб гідно оцінити його мудрість і красу. Стівен Строгац - той самий учитель математики, про який ви мріяли у школі. Вчитель, який здатний запалити іскру інтересу та прищепити любов до свого предмета на все життя. У цій неймовірно легкої та захоплюючій книзіВін дає всім нам другий шанс познайомитися з математикою. У кожному короткому розділі ви відкриваєте собі щось нове: починаючи з того, навіщо взагалі потрібні цифри і далі до таких тем, як геометрія, інтегральне числення, статистика і нескінченність. Автор пояснює великі математичні ідеї просто та елегантно, наводячи блискучі приклади, зрозумілі кожному. Ця книга для всіх. Ті, хто мало знайомий з математикою, познайомляться з нею близько, а ті, хто математику любить, із задоволенням шанують про «царицю наук».

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останніх здобуткахв галузі психології або квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику — і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символине тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

Насправді причина його неприйняття математики набагато глибша. Він ніяк не зрозуміє, чим математики взагалі займаються і що мають на увазі, коли кажуть, що цей доказ витончений. Іноді ми жартуємо, що мені потрібно просто сісти і почати його вчити з самих азів, буквально з 1 + 1 = 2 і заглибитися в математику настільки, наскільки він зможе.

І хоча ця витівка здається божевільною, саме її я і спробую здійснити в цій книзі. Я проведу вас за всіма основними розділами науки, від арифметики до вищої математикищоб ті, хто хотів отримати другий шанс, нарешті змогли ним скористатися. І цього разу вам не доведеться сідати за парту. Ця книга не зробить вас експертом з математики. Натомість допоможе розібратися в тому, що вивчає ця дисципліна і чому вона така захоплююча для тих, хто це зрозумів.

Ми дізнаємося, як слем-данки Майкла Джордана можуть допомогти пояснити ази обчислення. Я покажу вам простий і приголомшливий спосіб, як зрозуміти основну теорему геометрії евклідової - теорему Піфагора. Ми постараємося дістатися до суті деяких таємниць життя, великих і малих: чи вбивав свою дружину Джей Сімпсон; як перекладати матрац, щоб він прослужив максимально довго; скільки партнерів потрібно змінити перед тим, як зіграти весілля, і побачимо, чому одні нескінченності більше, ніж інші.

Математика всюди, треба тільки навчитися її впізнавати. Можна розглянути синусоїду на спині зебри, почути відлуння теорем Евкліда у Декларації про незалежність; та що там говорити, навіть у сухих звітах, що передували Першій світовій війні, присутні негативні числа. Також можна побачити, як на наше сьогоднішнє життя впливають нові напрямки математики, наприклад, коли ми шукаємо ресторани за допомогою комп'ютера або намагаємося хоча б зрозуміти, а ще краще пережити лякаючі коливання фондового ринку.

— Читати онлайн книгу Стівена Строгаца «Задоволення від X»

Серія з 15 статей під загальною назвою«Основи математики» з'явилася у мережі наприкінці січня 2010 року. У відповідь на їх публікацію посипалися листи та коментарі від читачів різного віку, серед яких було багато студентів та викладачів. Зустрічалися і просто допитливі люди, які з тих чи інших причин «збилися зі шляху» розуміння математичної науки; тепер вони відчули, що втратили щось варте, і хотіли б спробувати ще раз. Особливу радістьмені давали подяки від батьків за те, що вони з моєю допомогою змогли пояснити математику своїм дітям, та й самі стали краще її розуміти. Здавалося, що навіть мої колеги та товариші, гарячі шанувальники цієї науки, отримували задоволення від читання статей, за винятком тих моментів, коли вони навперебій пропонували всілякі рекомендації щодо покращення мого дітища.

Незважаючи на розхожа думкаУ суспільстві спостерігається явний інтерес до математики, хоча цьому феномену і приділяють мало уваги. Ми тільки й чуємо, що про страх перед математикою, проте багато хто з радістю спробував би розібратися в ній краще. І варто цьому трапитись — їх уже буде важко відірвати.

Ця книга познайомить вас із найскладнішими та передовими ідеями зі світу математики. Розділи невеликі, легко читаються та особливо не залежать один від одного. Серед них є й ті, що увійшли до тієї, першої серії статей у New York Times. Так що як тільки відчуєте легкий математичний голод, не роздумуючи, беріться за наступний розділ. Якщо захочете докладніше розібратися в питанні, що вас зацікавило, то в кінці книги є примітки з додатковою інформацієюта рекомендаціями, що ще про це можна почитати.

Насолода від X - Стівен Строгац (скачать)

(Версія для ознайомлювального знайомства)

А насамкінець пропонуємо подивитися цікаве відео

Цю книгу добре доповнюють:

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Стівен Строгац

Задоволення від Х

Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачівв світі

Інформація від видавництва

Російською мовою публікується вперше

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгаць, П.

Задоволення від Х. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі / Стівен Строгац; пров. з англ. - М.: Манн, Іванов та Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Ця книга здатна докорінно змінити ваше ставлення до математики. Вона складається з коротких розділів, у кожному з яких ви відкриєте собі щось нове. Ви дізнаєтесь наскільки корисні числа для вивчення навколишнього світу, зрозумієте, в чому принадність геометрії, познайомитеся з витонченістю інтегральних обчислень, переконайтеся у важливості статистики та доторкнетесь до нескінченності. Автор пояснює фундаментальні математичні ідеї просто та елегантно, наводячи блискучі приклади, зрозумілі кожному.

Всі права захищені.

Ніяка частина цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі без письмового дозволу власників авторських прав.

Правову підтримку видавництва забезпечує юридична фірма"Вегас-Лекс"

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він – художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останні досягнення в галузі психології чи квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику - і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

І хоча ця витівка здається божевільною, саме її я і спробую здійснити в цій книзі. Я проведу вас за всіма основними розділами науки, від арифметики до вищої математики, щоб ті, хто хотів отримати другий шанс, нарешті змогли ним скористатися. І цього разу вам не доведеться сідати за парту. Ця книга не зробить вас експертом з математики. Натомість допоможе розібратися в тому, що вивчає ця дисципліна і чому вона така захоплююча для тих, хто це зрозумів.

Математика всюди, треба тільки навчитися її впізнавати. Можна розглянути синусоїду на спині зебри, почути відлуння теорем Евкліда у Декларації про незалежність; та що там говорити, навіть у сухих звітах, що передували Першій світовій війні, є негативні числа. Також можна побачити, як на наше сьогоднішнє життя впливають нові напрямки математики, наприклад, коли ми шукаємо ресторани за допомогою комп'ютера чи намагаємося хоча б зрозуміти, а ще краще – пережити лякаючі коливання фондового ринку.

Серія із 15 статей під загальною назвою «Основи математики» з'явилася в мережі наприкінці січня 2010 року. У відповідь на їх публікацію посипалися листи та коментарі від читачів різного віку, серед яких було багато студентів та викладачів. Зустрічалися і допитливі люди, з тих чи інших причин «збилися зі шляху» розуміння математичної науки; тепер же вони відчули, що упустили щось ст проще, і хотіли б спробувати ще раз. Особливу радість мені доставляли подяки від батьків за те, що вони з моєю допомогою змогли пояснити математику своїм дітям, та й самі стали краще розуміти її. Здавалося, що навіть мої колеги та товариші, гарячі шанувальники цієї науки, отримували задоволення від читання статей, за винятком тих моментів, коли вони навперебій пропонували всілякі рекомендації щодо покращення мого дітища.

Незважаючи на поширену думку, в суспільстві спостерігається явний інтерес до математики, хоча цьому феномену і мало уваги приділяють. Ми тільки й чуємо, що про страх перед математикою, проте багато хто з радістю спробував би розібратися в ній краще. І варто цьому статися – їх уже буде важко відірвати.

Ця книга познайомить вас із найскладнішими та передовими ідеями зі світу математики. Розділи невеликі, легко читаються та особливо не залежать один від одного. Серед них є й ті, що увійшли до тієї, першої серії статей у New York Times. Так що як тільки відчуєте легкий математичний голод, не роздумуючи, беріться за наступний розділ. Якщо захочете докладніше розібратися в питанні, яке вас зацікавило, то в кінці книги є примітки з додатковою інформацією та рекомендаціями, що ще про це можна почитати.

Для зручності читачів, які віддають перевагу покроковому підходу, я розбив матеріал на шість частин відповідно до традиційного порядку вивчення тем.

Частина I «Числа» починає нашу подорож з арифметики дитячому садкуі початковій школі. У ній показано, наскільки корисними бувають числа і як вони магічно ефективні в описах навколишнього світу.

Частина II «Співвідношення» переводить з самих чисел на співвідношення між ними. Ці ідеї лежать в основі алгебри і є першими інструментами для опису того, як одне впливає на інше, виявляючи причинно-наслідковий зв'язок найрізноманітніших речей: попиту та пропозиції, стимулу та реакції - словом, усіх видів відносин, які роблять світ настільки багатогранним і багатим .

Частина III «Фігури» оповідає не про числа і символи, а про фігури та простір - вотчину геометрії та тригонометрії. Ці теми, поряд з описом всіх доступних об'єктів за допомогою форм, за допомогою логічних міркувань і доказів піднімають математику на новий рівеньточності.

У частині IV «Час змін» ми розглянемо обчислення - найвражаюче і багатогранне напрямок математики. Обчислення дозволяють передбачити траєкторію руху планет, цикли припливів і відливів і дають можливість зрозуміти і описати всі процеси, що періодично змінюються, і явища у Всесвіті і всередині нас. Важливе місце у цій частині відведено вивченню нескінченності, упокорення якої стало проривом, що дозволило обчисленням заробити. Обчислення допомогли вирішити багато завдань, що виникли ще в античному світі, і це, зрештою, призвело до революції в науці та сучасному світі.

Частина V «Багатоликі дані» має справу з ймовірністю, статистикою, мережами та обробкою даних – це все ще відносно молоді області, породжені не завжди впорядкованими сторонами нашого життя, такими як можливість і успіх, невпевненість, ризик, мінливість, хаотичність, взаємозалежність. Використовуючи відповідні засоби математики та відповідні типи даних, ми навчимося виявляти закономірність у потоці випадковостей.

Наприкінці нашої подорожі в частині VI «Кордони можливого» ми наблизимося до меж математичного знаннядо прикордонної області між тим, що вже відомо, і тим, що поки що невловимо і не пізнано. Ми знову пройдемося по темах у вже знайомому нам порядку: числа, співвідношення, фігури, зміни та нескінченність, але при цьому розглянемо кожну з них глибше, в її сучасному втіленні.

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Всі права захищені. Ніяка частина електронної версіїцієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі та будь-якими засобами, включаючи розміщення в мережі Інтернет та в корпоративних мережах, для приватного та публічного використаннябез письмового дозволу власника авторських прав.

Правову підтримку видавництва надає юридична фірма «Вегас-Лекс»

* * *

Цю книгу добре доповнюють:

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він – художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останні досягнення в галузі психології чи квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику – і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

Для того, щоб прояснити, що я маю на увазі під життям чисел та їхньою поведінкою, яку ми не можемо контролювати, давайте повернемося до готелю «Мохнаті лапи». Припустимо, що Хамфрі саме зібрався передати замовлення, але тут йому несподівано зателефонували пінгвіни з іншого номера і теж попросили таку кількість риби. Скільки разів Хамфрі має прокричати слово "рибка" після отримання двох замовлень? Якби він нічого не дізнався про числа, то йому довелося б кричати стільки разів, скільки всього пінгвінів в обох кімнатах. Або, використовуючи числа, він міг пояснити кухареві, що йому потрібно шість рибок для одного номера і шість для іншого. Але те, що йому дійсно необхідно, є нову концепцію- Додавання. Як тільки він його освоїть, він з гордістю скаже, що йому потрібно шість плюс шість (або якщо він позер, дванадцять) рибок.

Це такий самий творчий процес, як і той, коли ми лише вигадували числа. Як числа спрощують підрахунок проти перерахуванням по одному, додавання спрощує обчислення будь-якої суми. При цьому той, хто здійснює підрахунок, розвивається як математик. По-науковому цю думку можна сформулювати так: використання правильних абстракцій призводить до більш глибокого проникнення в суть питання та більшої могутності при його вирішенні.

Незабаром, можливо, навіть Хамфрі зрозуміє, що тепер він завжди може робити підрахунок.

Однак, незважаючи на таку нескінченну перспективу, наша творчість завжди має якісь обмеження. Ми можемо вирішити, що маємо на увазі під 6 і +, але як тільки це зробимо, результати виразів, подібних до 6 + 6, виявляться поза нашим контролем. Тут логіка не залишить нам вибору. У цьому сенсі математика завжди включає в себе як винахід, так івідкриття: ми винаходимоконцепції, але відкриваємоїх наслідки. Як зрозуміло з наступних розділів, у математиці наша свобода полягає у можливості ставити запитання і наполегливо шукати ними відповіді, проте не винаходячи їх самостійно.

2. Кам'яна арифметика

Як і будь-яке явище в житті, арифметика має дві сторони: формальну та цікаву (або ігрову).

Формальну частину ми вивчали у школі. Там нам пояснювали, як працювати зі стовпцями чисел, складаючи та віднімаючи їх, як перелопачувати їх при виконанні розрахунків у електронних таблицяхпри заповненні податкових деклараційта підготовки річних звітів. Ця сторона арифметики здається багатьом важливою з практичної точки зору, але абсолютно безрадісною.

З цікавою стороною арифметики можна познайомитися лише у процесі вивчення вищої математики. Тим не менш, вона так само природна, як і цікавість дитини.

У есе «Плач математика» Пол Локхарт пропонує вивчати числа більш конкретних, ніж зазвичай, прикладах: він просить, щоб ми представили їх у вигляді деякої кількості каменів. Наприклад, число 6 відповідає такому набору каменів:

Ви навряд чи побачите тут щось незвичне. Так воно і є. Поки ми не приступимо до маніпуляцій із числами, вони виглядають приблизно однаково. Гра починається, коли ми отримуємо завдання.

Наприклад, погляньмо на набори, в яких є від 1 до 10 каменів, і спробуємо скласти з них квадрати. Це можна зробити тільки з двома наборами – з 4 та 9 каменів, оскільки 4 = 2 × 2 та 9 = 3 × 3. Ми отримуємо ці числа шляхом зведення в квадрат якогось іншого числа (тобто розкладаючи каміння у вигляді квадрата).

Ось завдання, що має більша кількістьрішень: треба дізнатися, з яких наборів вийде прямокутник, якщо розкласти каміння у два ряди з рівною кількістюелементів. Тут підійдуть набори із 2, 4, 6, 8 або 10 каменів; число має бути парним. Якщо ми спробуємо розкласти в два ряди набори з непарною кількістю каменів, то у нас незмінно буде залишатися зайвий камінь.

Але не все втрачено для цих незручних чисел! Якщо взяти два такі набори, то зайві елементи знайдуть собі пару, і сума вийде парною: непарне число + непарне число = парне число.

Якщо поширити ці правила на числа, що йдуть після 10, і вважати, що кількість рядів у прямокутнику може бути більше двох, то деякі непарні числадозволять скласти такі прямокутники. Наприклад, число 15 може становити прямокутник 3 × 5.

Тому хоча 15, безсумнівно, непарне число, воно є складовим і може бути представлене у вигляді трьох рядів по п'ять каменів у кожному. Так само будь-яка запис у таблиці множення дає власну прямокутну групу каменів.

Але деякі числа, на зразок 2, 3, 5 та 7, абсолютно безнадійні. З них не можна викласти нічого, крім як розмістити їх у вигляді простої лінії (одного ряду). Ці дивні затяті - знамениті прості числа.

Отже, бачимо, що числа можуть мати химерні структури, які наділяють їх певним характером. Але, щоб представити весь спектр їхньої поведінки, треба відсторонитися від окремих чисел і поспостерігати за тим, що відбувається під час їхньої взаємодії.

Наприклад, замість того щоб скласти всього два непарні числа, складемо всі можливі послідовності непарних чисел, починаючи з 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Дивно, але ці суми завжди виявляються ідеальними квадратами. (Про те, що 4 і 9 можна подати у вигляді квадратів, ми вже говорили, а для 16 = 4 × 4 і 25 = 5 × 5 це теж вірно.) Швидкий підрахунок показує, що це правило справедливе і для більших непарних чисел , мабуть, прагне нескінченності. Але який же зв'язок між непарними числами з їхніми «зайвими» камінням та класично симетричними числами, що утворюють квадрати? Правильно розташовуючи камінці, ми можемо зробити її очевидною, що є відмінною рисоювитонченого доказу.

Ключем до нього буде спостереження, що непарні числа можна подати у вигляді рівносторонніх куточків, послідовне накладання яких один на одного утворює квадрат!

Подібний спосіб міркувань представлений ще в одній книзі, що нещодавно вийшла. У чарівному романі Йоко Огави The Housekeeper and the Professor («Домробітниця і професор») розповідається про проникливу, але неосвічену молоду жінку та її десятирічного сина. Жінку найняли доглядати літнього математика, у якого через отриману черепно-мозкову травму в короткостроковій пам'яті зберігається інформація лише про останні 80 хвилин життя. Загубившись у цьому, один у своєму убогому котеджі, нічого не маючи, крім чисел, професор намагається спілкуватися з хатньою робітницею єдиним відомим йому способом: запитуючи про розмір її взуття або дату народження і ведучи з нею. світську бесідупро її витрати. Професор також має особливу симпатію до сина економки, якого називає Рут (Root – корінь), тому що у хлопчика зверху плоска голова, і це нагадує йому позначення математики квадратного кореня √.

Якось професор пропонує хлопчику просте завдання– знайти суму всіх чисел від 1 до 10. Після того як Рут акуратно складає всі числа між собою і повертається з відповіддю (55), професор просить його пошукати простіший спосіб. Чи зможе він знайти відповідь беззвичайної складання чисел? Рут штовхає стілець і кричить: Це несправедливо!

Помалу хатня робітниця теж втягується у світ чисел і сама таємно намагається вирішити це завдання. «Я не розумію, чому так захопилася дитячим завданням, яке не має жодної практичної користі», – каже вона. «Спочатку я хотіла догодити професору, але поступово це заняття перетворилося на бій між мною та числами. Коли я прокидалася вранці, рівняння вже чекало на мене:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

і весь день слідувало по п'ятах, ніби було випалено на сітківці моїх очей, і його ніяк не виходило проігнорувати». Існує кілька шляхів вирішення завдання професора (цікаво, скільки ви зможете знайти). Професор сам пропонує спосіб міркування, який ми вже застосували вище. Він інтерпретує суму від 1 до 10 у вигляді трикутника з камінчиків, з одним камінчиком у першому рядку, двома у другому і так далі, до десяти камінчиків у десятому ряду.

Ця картинка дає чітке уявлення про негативний простір. Виявляється, воно заповнене лише наполовину, що показує напрямок творчого прориву. Якщо скопіювати трикутник з камінців, перевернути його і з'єднати з уже існуючим, то вийде щось дуже просте: прямокутник з десятьма рядами по 11 камінців у кожному, причому загальне числокаміння становитиме 110.

Оскільки вихідний трикутник – половина цього прямокутника, то обчислювана сума чисел від 1 до 10 має бути половиною 110, тобто 55.

Подання числа у вигляді групи каменів може здатися незвичайним, але насправді так само старе, як і сама математика. Слово "обчислювати" (англ. calculate) відображає цю спадщину і походить від латинського calculus, Що означає "галька", яку римляни використовували при виконанні обчислень. Щоб отримувати задоволення від маніпуляцій з числами, не обов'язково бути Ейнштейном (що по-німецьки означає «один камінь»), але, можливо, вміння жонглювати камінцями полегшить це заняття.

Слем-данк - вид кидка в баскетболі, при якому гравець вистрибує вгору і однією або двома руками кидає м'яч крізь кільце зверху вниз. Прим. перев.

Джей Сімпсон – відомий гравець у американський футбол. Відіграв роль детектива Нортберга у знаменитій трилогії «Голий пістолет». Був звинувачений у вбивстві колишньої дружинита її друга і виправданий, незважаючи на докази. Прим. перев.

Щоб ознайомитися із захоплюючою ідеєю про те, що числа живуть власним життяма математика може розглядатися як одна з форм мистецтва, див. P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Прим. ред.: У російському інтернеті багато перекладів есе Локхарда «Плач математика». Ось один із них: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Тут і далі виноски, оформлені у фігурні дужки, відносяться до зауважень автора.

Ця відома фразавзята з есе E. Wigner unreasonable effectiveness of matematics in the natural sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, Vol. 13, No. 1, (February 1960), pp. 1–14. Онлайн-версія доступна на http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html.

Для подальших роздумів на цю тему, а також про те, чи була математика винайдена або відкрита, див. M. Livio, Is God a Mathematician? (Simon and Schuster, 2009) і R. W. Hamming, The unreasonable effectiveness of mathematics, American Mathematical Monthly, Vol. 87, No. 2 (February 1980).

Написанням цього розділу я багато в чому завдячую двом чудовим книгам: полемічному есе P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) та роману Y. Ogawa, The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Прим. ред.: Про есе Локхарда «Плач математика» сказано у коментарі 1. Перекладу роману Йоко Огави російською мовою поки що немає.

Молодим читачам, які хочуть вивчати числа та їх структури, див. H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Прим. ред.: Серед численних російських книг про засади математики, нестандартні підходи до її вивчення, розвиток математичної творчості у дітей тощо, співзвучних наступним розділам книги, вкажемо поки що наступні: Пухначов Ю., Попов Ю. Математика без формул. М.: АТ «Століття», 1995; Остер Р. Задачник. Ненаочний посібник з математики. М: АСТ, 2005; Рижик Ст І. 30 000 уроків математики: Книга для вчителя. М.: Просвітництво, 2003: Тучнін Н. П. Як поставити питання? Про математичну творчість школярів. Ярославль: Верх. - Волж. кн. вид-во, 1989. Чудові, але більшескладні приклади візуалізаціїматематичних образів

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

представлені в R. B. Nelsen, Proofs без Words (Mathematical Association of America, 1997).

Правову підтримку видавництва надає юридична фірма «Вегас-Лекс»

* * *

Всі права захищені. Ніяка частина електронної версії цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі та будь-якими засобами, включаючи розміщення в мережі Інтернет та в корпоративних мережах, для приватного та публічного використання без письмового дозволу власника авторських прав.

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

Цю книгу добре доповнюють:

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він – художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останні досягнення в галузі психології чи квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику – і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

Для того, щоб прояснити, що я маю на увазі під життям чисел та їхньою поведінкою, яку ми не можемо контролювати, давайте повернемося до готелю «Мохнаті лапи». Припустимо, що Хамфрі саме зібрався передати замовлення, але тут йому несподівано зателефонували пінгвіни з іншого номера і теж попросили таку кількість риби. Скільки разів Хамфрі має прокричати слово "рибка" після отримання двох замовлень? Якби він нічого не дізнався про числа, то йому довелося б кричати стільки разів, скільки всього пінгвінів в обох кімнатах. Або, використовуючи числа, він міг пояснити кухареві, що йому потрібно шість рибок для одного номера і шість для іншого. Але те, що йому дійсно необхідно, є новою концепцією – додаванням. Як тільки він його освоїть, він з гордістю скаже, що йому потрібно шість плюс шість (або якщо він позер, дванадцять) рибок.

Незабаром, можливо, навіть Хамфрі зрозуміє, що тепер він завжди може робити підрахунок.

2. Кам'яна арифметика

Як і будь-яке явище в житті, арифметика має дві сторони: формальну та цікаву (або ігрову).

Формальну частину ми вивчали у школі. Там нам пояснювали, як працювати зі стовпцями чисел, складаючи та віднімаючи їх, як перелопачувати їх при виконанні розрахунків в електронних таблицях при заповненні податкових декларацій та підготовки річних звітів. Ця сторона арифметики здається багатьом важливою з практичної точки зору, але абсолютно безрадісною.

З цікавою стороною арифметики можна познайомитися лише у процесі вивчення вищої математики {3}. Тим не менш, вона так само природна, як і цікавість дитини {4}.

Ось завдання, що має більше рішень: треба дізнатися, з яких наборів вийде прямокутник, якщо розкласти камені в два ряди з рівною кількістю елементів. Тут підійдуть набори із 2, 4, 6, 8 або 10 каменів; число має бути парним. Якщо ми спробуємо розкласти в два ряди набори з непарною кількістю каменів, то у нас незмінно буде залишатися зайвий камінь.

Якщо поширити ці правила на числа, що йдуть після 10, і вважати, що кількість рядів у прямокутнику може бути більше двох, деякі непарні числа дозволять скласти такі прямокутники. Наприклад, число 15 може становити прямокутник 3 × 5.

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Подібний спосіб міркувань представлений ще в одній книзі, що нещодавно вийшла. У чарівному романі Йоко Огави The Housekeeper and the Professor («Домробітниця і професор») розповідається про проникливу, але неосвічену молоду жінку та її десятирічного сина. Жінку найняли доглядати літнього математика, у якого через отриману черепно-мозкову травму в короткостроковій пам'яті зберігається інформація лише про останні 80 хвилин життя. Загубившись у цьому, один у своєму убогому котеджі, нічого не маючи, крім чисел, професор намагається спілкуватися з хатньою робітницею єдиним відомим йому способом: запитуючи про розмір її взуття або дату народження і ведучи з нею світську бесіду про її витрати. Професор також має особливу симпатію до сина економки, якого називає Рут (Root – корінь), тому що у хлопчика зверху плоска голова, і це нагадує йому позначення математики квадратного кореня √.

Одного разу професор пропонує хлопчику просте завдання – знайти суму всіх чисел від 1 до 10. Після того, як Рут акуратно складає всі числа між собою і повертається з відповіддю (55), професор просить його пошукати простіший спосіб. Чи зможе він знайти відповідь беззвичайної складання чисел? Рут штовхає стілець і кричить: Це несправедливо!

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Наскільки корисні числа вивчення навколишнього світу, у чому принадність геометрії, наскільки витончені інтегральні числення і важлива статистика? Про це у своїй книзі «Задоволення від Х» розповідає Стівен Строгац. Автор пояснює фундаментальні математичні ідеї просто та елегантно, наводячи приклади, зрозумілі кожному. сайт публікує один із розділів книги, опублікованої у видавництві «Манн, Іванов та Фербер».

Статистика раптово стала надмодним напрямом. З появою Інтернету, електронної торгівлі, соціальних мереж, Проект розшифровки геному людини, а також у зв'язку з розвитком цифрової культури в цілому світ став захлинатися в даних. Маркетологи вивчають наші смаки та звички. Розвідувальні службизбирають інформацію про наше місцезнаходження, електронну листування та телефонних дзвінках. Фахівці зі спортивної статистики жонглюють цифрами, вирішуючи яких гравців купувати, кого набирати в команду, а кого посадити на лаву запасних. Кожен прагне об'єднати точки в графік і виявити закономірність у безладному накопиченні даних.

Не дивно, що ці тенденції відбиваються й у навчанні. «Давайте звернемося до статистики», - умовляє у своїй колонці газети New York Times Грег Менк'ю, економіст із Гарвардського університету.

«В навчальній програміз математики в середній школінадто багато часу приділяється традиційним темам, таким як евклідова геометрія та тригонометрія. Ці корисні для звичайної людинирозумові вправи, однак, малозастосовні в повсякденному житті. Учням було б набагато корисніше більше дізнатися про теорію ймовірності та статистики». Девід Брукс іде ще далі. У своїй статті, присвяченій дисциплінам, які заслуговують на увагу для здобуття гідної освіти, він пише: «Візьміть статистику. Ось побачите, виявиться, що знання того, що таке стандартне відхилення, вам знадобиться в житті».

Цілком можливо, а ще непогано розумітися на тому, що таке розподіл. Це перше, про що я маю намір поговорити. І хотів би загострити на ньому увагу, оскільки в цьому полягає один із головних уроків статистики: речі здаються безнадійно випадковими та непередбачуваними при розгляді їх окремо, однак у сукупності у них виявляється закономірність та передбачуваність.

Можливо, ви бачили демонстрацію цього принципу в якомусь науковому музеї(якщо ні, відео можна знайти в Інтернеті). Типовий експонат є пристроєм під назвою дошка Гальтона, яка чимось нагадує автомат для гри в пінбол, тільки без фліпперів. Усередині його з рівними інтервалами розташовуються рівні ряди штирьків.

Дошка Гальтона

Досвід починається з того, що в верхню частинуДошки Гальтона запускаються сотні кульок. При падінні вони стикаються зі штирьками і однаково відскакують то вправо, то вліво, а потім розподіляються внизу дошки, потрапляючи у відсіки однакової ширини. Висота стовпчика з кульок показує, з якою ймовірністю кулька може опинитися в даному місці. Більшість кульок розміщуються приблизно в середині, з обох боків їх уже менше, і ще менше - з обох боків.

Загалом, картина надзвичайно передбачувана: кульки завжди утворюють розподіл у формі дзвона, хоча передбачити, де виявиться кожна окрема кулька, неможливо.

Як окремі випадковості перетворюються на загальні закономірності? Але саме так діє випадковість. У середньому стовпчику скупчилося найбільше кульок тому, що, перш ніж скотитися вниз, багато хто з них зробить приблизно однакову кількість стрибків праворуч і ліворуч і в результаті виявляться десь посередині. Декілька одиноких кульок, що розташувалися по краях, утворюють хвости розподілу - це ті кульки, які при зіткненні зі штирьками відскакували завжди в одному напрямку. Такі відскоки малоймовірні, тому з обох боків так мало кульок.

Подібно до того, як місце розташування кожної кульки визначається сумою множини. випадкових подійБагато явищ у цьому світі є наслідком безлічі дрібних обставин і теж підкоряються дзвоноподібною кривою. За цим принципом працюють страхові компанії. Вони з високою точністюможуть назвати кількість своїх клієнтів, які вмирають щороку. Однак не знають, кому саме не пощастить цього разу.

Або візьмемо, наприклад, зростання людини. Він залежить від незліченної кількості випадковостей, пов'язаних з генетикою, біохімією, харчуванням та довкіллям. Отже, велика ймовірність, що при розгляді в сукупності зростання дорослих чоловіків і жінок буде дзвоноподібною кривою.

В одному блозі під назвою «Помилкові дані, які люди повідомляють про себе в Інтернеті», статистична служба сайту знайомств OkCupid нещодавно опублікувала графік зростання своїх клієнтів або, швидше, вказаних ними значень. Виявилося, що показники зростання представників обох статей, як і очікувалося, утворюють дзвонову криву. Однак дивно те, що обидва розподіли були приблизно на два дюйми зміщені вправо щодо очікуваних значень.

Строгац С. Задоволення від Х. - М.: Манн, Іванов та Фербер, 2014.

Таким чином, або зростання клієнтів, опитаних компанією OkCupid, перевищує середній або при описі себе в Інтернеті вони додають до свого зростання ще пару дюймів.

Ідеалізованою версією подібних дзвоноподібних кривих є те, що математики називають нормальним розподілом. Це одне з найважливіших понятьу статистиці, що має теоретичне обґрунтування. Можна довести, що нормальний розподілвиникає під час додавання великої кількостідрібних випадкових факторів, причому кожен із них діє незалежно від інших. І багато подій відбуваються саме таким чином.

Але не все. І це другий пункт, на який я хотів би звернути увагу. Нормальний розподіл не такий уже всюдисущий, як здається. Протягом сотні років, і особливо в останні кілька десятиліть, вчені та фахівці в галузі статистики відзначають існування безлічі явищ, що відхиляються від цієї кривої та наступних власним графіком. Цікаво, що такі типи розподілів мало згадуються у підручниках з елементарної статистики, і якщо й зустрічаються, зазвичай розглядаються як деякі патології.

Це дивно. Я спробую пояснити, що багато явищ сучасного життянабувають більший сенсза умови розуміння цих "патологічних" розподілів. Це нова нормальність. Візьмемо, наприклад, розподіл розмірів міст США. Замість того, щоб накопичуватися навколо якоїсь середньої величинидзвоноподібною кривою, переважна більшість міст мають невеликий розмірі, отже, накопичуються у лівій частині графіка.

Строгац С. Задоволення від Х. - М.: Манн, Іванов та Фербер, 2014.

І чим більше населенняміста, тим рідше такі міста трапляються. Інакше кажучи, в сукупності розподіл буде швидше кривою у формі букви L, ніж дзвоноподібну криву.

І у цьому немає нічого дивного. Усі знають, що мегаполісів набагато менше, ніж маленьких міст. Хоча це не так очевидно, розміри міст підпорядковуються простому красивому розподілу – якщо подивитися на них у логарифмічному масштабі.

Будемо вважати, що різниця між двома містами те саме, якщо їх населення відрізняється в одне і те ж число разів (подібно до того, як дві будь-які клавіші рояля, що віддаляються на октаву, завжди відрізняються вдвічі за частотою). І зробимо те саме на вертикальній осі.

Строгац С. Задоволення від Х. - М.: Манн, Іванов та Фербер, 2014.

Тепер дані розташовуються на кривій, що є майже ідеальною прямою лінією. Виходячи з властивостей логарифмів, неважко вивести, що вихідна L-подібна крива є статечною залежністю, яка описується функцією виду

де x – населення міста, у – кількість міст, що мають такий розмір, з – константа, а показник ступеня a (показник статечної залежності) визначає негативний нахил прямої лінії.

Ступінні розподіли мають деякі нелогічні, з погляду традиційної статистики, властивості. Наприклад, на відміну від нормального розподілу, їх моди, медіани та середні значення не збігаються через скошену асиметричну форму L-подібних кривих.

Президент Буш отримав з цього чималу користь, заявивши 2003 року, що скорочення податків дозволило кожній родині заощадити в середньому 1586 доларів. Хоча математично це вірно, тут він до своєї вигоди взяв за основу середнє значення вирахування, під яким ховалися величезні відрахування в сотні тисяч доларів, отримані 0,1% найбагатшого населеннякраїни. Відомо, що «хвіст» у правій частині розподілу доходу слід статечної залежності, і в подібної ситуаціївикористання середньої величини вводить в оману, оскільки вона далека від реального значення. Насправді більшості сімей повернули менше ніж 650 доларів. У даному розподілімедіана значно менше, ніж середнє значення.

Цей приклад демонструє найважливіша властивістьрозподілу статечної залежності: вони мають «важкі хвости» порівняно принаймні з маленькими «рідкими хвостиками» нормального розподілу. Подібні великі хвости хоч і рідкість, але зустрічаються частіше в розподілах даних, ніж звичайні криві.

У "чорний понеділок", 19 жовтня 1987 року, промисловий індекс Доу-Джонса впав на 22%. Порівняно зі звичайним рівнем нестабільності на фондовому ринку, це падіння склало більше двадцяти. стандартних відхилень. Згідно з традиційною статистикою (у якій використовується нормальний розподіл), подібна подія практично неможлива: її ймовірність становить менш ніж один випадок на 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 Однак це сталося – оскільки коливання цін на фондовому ринку не відповідало нормальному розподілу.

Для їхнього опису краще підходять розподіли з «важким хвостом». Подібне відбувається із землетрусами, пожежами та повенями, що ускладнює страховим компаніям завдання управління ризиками.

Така ж математична модельописує кількість загиблих внаслідок воєн та терористичних атак, а також інші, набагато більш мирні речі, такі як кількість слів у романі чи кількість сексуальних партнерів у людини.

Хоча прикметники, що використовуються для опису довгих хвостів, виставляють їх у не надто вигідному світлі, «хвостаті» розподіли гордо несуть свої хвости. Жирний, важкий та довгий? Так це так. Але в такому разі покажіть, який нормальний?