приклад 1.З колоди в 32 карти вийнято послідовно без повернення 2 карти. Знайти ймовірність того, що обидві вони – тузи.

Рішення.Так як першу карту можна витягти з колоди 32 способами, а другу - 31 (оскільки в колоді залишилася 31 карта), кількість можливих результатів досвіду . Визначимо кількість сприятливих результатів. Перший туз можна вибрати з чотирьох, що є в колоді, другий - з трьох, що залишилися. Отже, кількість сприятливих результатів і шукана ймовірність дорівнює

приклад 2.З коробки, в якій лежать п'ять тістечок «еклер» та сім – «наполеон», дістали п'ять тістечок. Знайти ймовірність того, що серед них два «еклери» і три «наполеони».

Рішення.Кількість можливих результатів досвіду є числом поєднань з 12 по 5:

Число сприятливих результатів є добутком кількості способів, якими можна вибрати два «еклери» з п'яти наявних, і числа наборів по три «наполеони» з семи:

Отже, шукана ймовірність дорівнює

приклад 3.У коло навмання кинуто крапку. Знайти ймовірність того, що вона не потрапить до правильного трикутника, вписаного в це коло.

Рішення.У цьому випадку мірою безлічі можливих наслідків є площа кола: а мірою безлічі сприятливих наслідків - різниця площ кола та трикутника: . Отже, ймовірність заданої події дорівнює

приклад 4.Два стрілки роблять по одному пострілу по мішені. Імовірності їх потрапляння дорівнюють відповідно 0,6 та 0,9. Знайти ймовірність наступних подій:

Обидва потрапили в ціль;

У ціль потрапив хоча б один.

Рішення.Назвемо подіями і попадання в ціль відповідно першого і другого стрільця і ​​відзначимо, що є подіями спільними, але незалежними (іншими словами, в ціль можуть потрапити обидва стрільця, а ймовірність попадання кожного не залежить від результату іншого). Подія є твір подій і тому

Подія є сумою і визначення її ймовірності скористаємося загальним видом теореми сложения:

Приклад 5.У трьох однакових урнах лежать кулі: у першій - 5 білих та 3 чорних, у другій - 2 білих та 6 чорних, у третій - 3 білих та 1 чорний. Із випадково обраної урни виймуть кулю. Знайти ймовірність, що він білий.

Умовна ймовірність події, тобто вилучення білої кулі з урни, визначається за класичним визначенням ймовірності (кількістю сприятливих результатів при цьому є кількість білих куль, а числом можливих результатів - загальна кількість куль в урні). Тому

Використовуючи формулу повної ймовірності, отримуємо:

Приклад 6.У студентській групі 20 студентів. З них 5 відмінників, які знають усі екзаменаційні питання, 8 студентів знають відповіді на 70 % запитань та 7 – на 50 %. Перший викликаний студент відповів на перше запитання екзаменаційного квитка. Знайти ймовірність того, що він відмінник.

ІМОВІРНІСТЬ- загальнонаукова та філос. категорія, що позначає кількісний рівень можливості появи масових випадкових подій за фіксованих умов спостереження, що характеризує стійкість їх відносних частот. У логіці семантичний ступінь. Філософська енциклопедія

ЩО ТАКЕ ФІЛОСОФІЯ?- 'ЩО ТАКЕ ФІЛОСОФІЯ?' ('Qu est ce que la philosophie?', Les Editions de Minuit, 1991) книга Делеза і Гваттарі. На думку авторів, позначеної у Вступі, 'що таке філософія' це таке питання, яке 'задають, приховуючи занепокоєння, ближче до ...

ЩО ТАКЕ ФІЛОСОФІЯ?- (Qu est ce que la philosophie?, Les Editions de Minuit, 1991) книга Делеза та Гваттарі. На думку авторів, позначеної у Вступі, що таке філософія це таке питання, яке задають, приховуючи занепокоєння, ближче до півночі, коли більше. Історія Філософії: Енциклопедія

Ймовірність- математична, числова характеристика ступеня можливості появи якоїсь певної події у тих чи інших певних, які можуть повторюватися необмежену кількість разів умов. Як категорія наукового пізнання поняття «В.». Велика Радянська Енциклопедія

ІМОВІРНІСТЬ- Математична числова характеристика ступеня можливості появи к. л. певної події в тих чи інших певних, які можуть повторюватися необмежену кількість разів умов. Як категорія наукового пізнання поняття В. відбиває особливий тип. Математична енциклопедія

Південні кити-? Південні кити … Вікіпедія

Клініка (телесеріал)- Ця стаття чи розділ потребує переробки. Будь ласка, покращіть статтю відповідно до правил написання статей… Вікіпедія

Імовірність показує можливість тієї чи іншої події за певної кількості повторень. Це число можливих результатів з одним або кількома наслідками, поділене на загальну кількість можливих подій. Імовірність кількох подій обчислюється шляхом поділу завдання окремі ймовірності з наступним перемноженням цих ймовірностей.

Кроки

Імовірність одиничної випадкової події

1. Виберіть подію із взаємовиключними результатами.Імовірність можна розрахувати лише в тому випадку, якщо подія, що розглядається, або відбувається, або не відбувається. Не можна одночасно отримати якусь подію та протилежний йому результат. Прикладом таких подій є випадання 5 на ігровому кубику або перемога певного коня на стрибках. П'ять або випаде, або ні; певний кінь або прийде першим, або ні.

   • Наприклад, неможливо обчислити ймовірність такої події: при одному кидку кубика випадуть 5 та 6 одночасно.

2. Визначте всі можливі події та результати, які можуть статися.Припустимо, необхідно визначити ймовірність того, що при кидку ігрового кубика з 6 цифр випаде трійка. "Випадання трійки" є подією, і оскільки ми знаємо, що може випасти будь-яка з 6 цифр, кількість можливих результатів дорівнює шести. Таким чином, ми знаємо, що в даному випадку є 6 можливих результатів та одна подія, ймовірність якої ми хочемо визначити. Нижче наведено ще два приклади.

   • Приклад 1. В даному випадку подією є «вибір дня, який припадає на вихідні», а кількість можливих наслідків дорівнює кількості днів тижня, тобто семи.
   • Приклад 2. Подією є «вийняти червону кулю», а число можливих наслідків дорівнює загальній кількості куль, тобто двадцяти.

3. Поділіть кількість подій на кількість можливих результатів.Таким чином, ви визначите ймовірність одиночної події. Якщо ми розглядаємо випадок випадання 3 при киданні кубика, число подій дорівнює 1 (трійка знаходиться лише на одній грані кубика), а загальна кількість результатів дорівнює 6. У результаті отримуємо співвідношення 1/6, 0,166, або 16,6%. Імовірність події для двох наведених вище прикладів перебуває так:

   • Приклад 1. Яка ймовірність того, що ви випадково оберете день, що випадає на вихідні?Число подій дорівнює 2, тому що в одному тижні два вихідні дні, а загальна кількість результатів становить 7. Таким чином, ймовірність дорівнює 2/7. Отриманий результат можна записати також як 0285 або 285%.
   • Приклад 2. У коробці знаходяться 4 синіх, 5 червоних та 11 білих куль. Якщо дістати з коробки випадкову кулю, яка ймовірність того, що вона виявиться червоною?Число подій дорівнює 5, оскільки в коробці 5 червоних куль, а загальна кількість наслідків становить 20. Знаходимо ймовірність: 5/20 = 1/4. Отриманий результат можна записати також як 0,25 або 25%.

4. Складіть ймовірності всіх можливих подій та перевірте, чи вийде у сумі 1.Сумарна ймовірність всіх можливих подій має становити 1, або 100%. Якщо у вас не вийде 100%, швидше за все, ви припустилися помилки і пропустили одну або кілька можливих подій. Перевірте свої обчислення та переконайтеся, що ви врахували всі можливі результати.

   • Наприклад, можливість випадання 3 при киданні ігрового кубика становить 1/6. При цьому ймовірність випадання будь-якої іншої цифри з п'яти, що залишилися, також дорівнює 1/6. В результаті одержуємо 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6, тобто 100%.
   • Якщо ви, наприклад, забудете про цифру 4 на кубику, додавання ймовірностей дасть вам лише 5/6, або 83 %, що не дорівнює одиниці і вказує на помилку.

5. Уявіть ймовірність неможливого результату як 0.Це означає, що ця подія не може статися, і її ймовірність дорівнює 0. Таким чином, ви зможете врахувати неможливі події.

   • Наприклад, якби ви обчислювали ймовірність того, що у 2020 році Пасха припаде на понеділок, то отримали б 0, оскільки Пасха завжди святкується у неділю.

   Імовірність кількох випадкових подій

   1. Під час розгляду незалежних подій обчислюйте кожну можливість окремо.Після того, як ви визначите, які ймовірності подій, їх можна буде розрахувати окремо. Припустимо, необхідно дізнатися ймовірність того, що при киданні кубика двічі поспіль випаде 5. Ми знаємо, що ймовірність випадання однієї п'ятірки становить 1/6 і ймовірність випадання другої п'ятірки також дорівнює 1/6. Перший результат не пов'язані з другим.

      • Декілька випадень п'ятірок називаються незалежними подіямиоскільки те, що випаде вперше, не впливає на другу подію.

   2. Враховуйте вплив попередніх результатів при розрахунку ймовірності залежних подій.Якщо перша подія впливає на ймовірність другого результату, говорять про розрахунок ймовірності залежних подій. Наприклад, якщо ви вибираєте дві карти з колоди, що складається з 52 карт, після взяття першої карти склад колоди змінюється, що впливає вибір другої карти. Щоб розрахувати ймовірність другої з двох залежних подій, необхідно відняти 1 з кількості можливих результатів при розрахунку ймовірності другої події.

      • Приклад 1. Розглянемо таку подію: З колоди випадково одну за одною витягують дві карти. Яка ймовірність того, що обидві картки матимуть трефову масть?Імовірність того, що перша карта матиме трефову масть, становить 13/52, або 1/4, оскільки всього в колоді 13 карт однієї масті.
        • Після цього ймовірність того, що друга карта виявиться трефової масті, становить 12/51, оскільки однієї трефової карти вже немає. Це тим, що перша подія впливає друге. Якщо ви витягли трійку треф і не поклали її назад, у колоді буде на одну карту менше (51 замість 52).
      • Приклад 2. У коробці 4 синіх, 5 червоних та 11 білих куль. Якщо навмання вийняти три кулі, яка ймовірність того, що перша виявиться червоною, другою синьою, а третя білою?
        • Імовірність того, що перша куля виявиться червоною, становить 5/20, або 1/4. Імовірність того, що друга куля буде синьою, дорівнює 4/19, оскільки в коробці залишилося на одну кулю менше, але 4 синіхкулі. Нарешті, ймовірність того, що третя куля виявиться білою, становить 11/18, оскільки ми вже вийняли дві кулі.

   3. Помножте ймовірності кожної окремої події.Незалежно від того, чи маєте ви справу з незалежними або залежними подіями, а також кількості наслідків (їх може бути 2, 3 і навіть 10), можна розрахувати загальну ймовірність, помноживши ймовірності всіх подій, що розглядаються один на одного. В результаті ви отримаєте ймовірність кількох подій, одне за одним. Наприклад, стоїть завдання Знайти ймовірність того, що при киданні кубика двічі поспіль випаде 5. Це дві незалежні події, ймовірність кожного з яких дорівнює 1/6. Отже, ймовірність обох подій становить 1/6 x 1/6 = 1/36, тобто 0,027, чи 2,7 %.

      • Приклад 1. З колоди навмання одну за одною витягують дві карти. Яка ймовірність того, що обидві картки матимуть трефову масть?Імовірність першої події становить 13/52. Імовірність другої події дорівнює 12/51. Знаходимо загальну можливість: 13/52 x 12/51 = 12/204 = 1/17, тобто 0,058, чи 5,8 %.
      • Приклад 2. У коробці знаходяться 4 синіх, 5 червоних та 11 білих куль. Якщо навмання витягнути з коробки три кулі одна за одною, яка ймовірність того, що перша виявиться червоною, другою синьою, а третя білою?Імовірність першої події становить 5/20. Імовірність другої події дорівнює 4/19. Імовірність третьої події становить 11/18. Таким чином, загальна ймовірність дорівнює 5/20 x 4/19 x 11/18 = 44/1368 = 0,032, або 3,2%.

Відповідь: 0,7157

2.

3.

4. номер не ділиться на 5

Рішення: P(A) = m/n; m=1/

Воно дорівнює 90 і віднімемо з цих чисел ті, що діляться на 5 (10,15,20,25…90,95). Їх кількість дорівнює 18 => n = 90-18 = 72

Відповідь: 1/72

Рішення: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36=1/6

Рішення: Cmn=n! /m!(n-m)!

m = C 3 7 = 7! / 3! * 4! = 35

P(A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) витягнути 3 червоних з 7 можна C 3 7 способами, і 3 чорних з 5 =>

З 3 5 способами.

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Відповідь:

Рішення:

Відповідь: 0,3.

Рішення:

A – вихід із лабіринту.

P(A/H3) =0,2 –з 3 лабіринту

P(A/H4) = 0,1 -з 4 лабіринту

Відповідь: 1/3; 2/5

9.

10.

11. .

Рішення:

Рішення:

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

13.

Рішення:

Нехай B жодного влучення

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Відповідь: 0,784

Рішення:

H1 = 1/3; H2=1/3; H3=1/3

Відповідь: 15/48 = 0,3125

16.

Рішення:

17.

Рішення:

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

Рішення:

Відповідь: P(A) = 0,925

Студент у пошуках книги відвідує 3 бібліотеки. Ймовірність того, що вони є в бібліотеці 0,4; 0,5; 0,1; а те, що вони видані чи ні – рівноймовірні події. Якою є ймовірність того, що потрібна книга знайдена.

Рішення: A-книга є у бібліотеці, B – книга не видана.

P(B) = P(B -) = ½

P(A1) = 0,4 P(A2) = 0,5 P(A3) = 0,1

Визначимо ймовірність того, що потрібна книга знайдена:

P = P(A1)* P(B) + P(A2)*P(B) + P(A3)*P(B) = P(B)(P(A1) + P(A2) + P(A3) ) = 1/2 * (0,4 + 0,5 +0,1) = 1/2 * 1 = ½

Відповідь: 1/2

23. Знайти ймовірність того, що дні народження 12 осіб припадуть на різні місяці року.

Рішення: P(A)= m/n

n = --- A 12 = 12 12

P = 12! / 12 12 = 11! / 12 11 = (11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (12 * 12 * 12 * 12 * 12 7) = (11 * 5 * 7 * 5 * 1) / 12 7 = 7 * 8 * 25 / 12 7 = 1925 / 12 7

Відповідь: 1925/12 7

24. У урні є 10 білих, 5 чорних та 15 червоних куль. Витягується послідовно 2 кулі. Розглядаються 2 події А - хоча б одна куля з двох вийнятих червона, В - хоча б одна вийнята біла куля. Знайти ймовірність події С=А+В.

25. Наудачу набраний номер складається з 5 цифр. Визначити можливість, що це цифри у ньому різні.

26. До магазину трикотажних виробів надійшли шкарпетки, 60% яких отримано від однієї фабрики, 25% – іншої та 15% – третьої. Знайти ймовірність того, що куплені покупцем шкарпетки виготовлені на другій чи третій фабриці.

Рішення. A1-від 1 заводу, P(A1) = 0,6;

А2 - від 2 фабрики; P(A2) = 0,25

A3 - від 3 фабрики; P(A3) = 0,15

P(A2+A3) = 0,25 + 0,15 = 0,4

Відповідь: 0,4

Пасажир за отриманням квитка може звернутися до однієї з кас. Імовірність звернення до 1 каси становить 0,4; у другу 0,35; і 3 0,25. Імовірність того, що до моменту приходу пасажира квитки, що є в касі, будуть продані, дорівнює для першої каси 0,3; для другої 0,4, для третьої 0,6. Знайти ймовірність того, що пасажир придбає квиток.

P(A) - ймовірність не купити квиток.

P(A) = 0,4 * 0,3 + 0,35 * 0,4 + 0,25 * 0,6 =

0,12 + 0,14 + 0,15 = 0,41

P(A1) – можливість купити квиток = 1-P(A) = 1 – 0,41 = 0,59.

Відповідь: P(A1) = 0,59.

28. Впадають 4 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що: а) хоча б на одній з'явиться 2 очки; б) на них випаде за однаковою кількістю очок.

Рішення:

29. З 9 жетонів, занумерованих різними однозначними цифрами, вибирається 3. Знайти ймовірність, що послідовний запис їх номерів покаже зростання значень цифр.

Рішення:

30. Імовірність виграшу за лотерейним білетом дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що виграє хоча б один квиток із трьох куплених?

31. З повної колоди карт (52 аркуша) виймають відразу 4 карти. Знайти ймовірність того, що всі ці карти будуть різними мастями.

Рішення:Імовірність витягнути конкретну масть дорівнює C 1 13

C 1 13 = 13 (кількість можливих способів).

Можливість витягнути карти з 52 = C 4 52 = 52! / 4! * 48! = 48! * 49 * 50 * 51 * 52 / 2 * 3 * 4 * 48! = 270725
P(A) = C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 * C 1 13 / C 4 52 = 28561 / 270725 = 0,1054982

Відповідь: P(A) = 0,1054982.

32. Є 3 урни. У першій з них 5 білих та 6 чорних куль, у другій 4 білих та 3 чорних кулі, у третій 5 білих та 3 чорних кулі. Хтось навмання вибирає одну з урн та виймає з неї кулю. Ця куля виявилася білою. Знайти ймовірність того, що ця куля вийнята з другої урни.

Рішення:

Відповідь: 0,9125

52. Яка ймовірність отримання 1 туза, туза та короля при здачі 6 карт з колоди в 52 карти?

Машини були доставлені на станцію технічного обслуговування. При цьому 5 мали несправність ходової частини, 8 мали несправності в моторі, а 10 були повністю справні. Якою є ймовірність того, що машина з несправною ходовою частиною має також несправний мотор.

Рішення:

11111111 8 з несправним мотором

5 з невихідних частин 11111 1111111111 10 справні

11111111111111111111 всього 20

3 з невипр мотор і хід частина 111

P = m/n m-кількість машин з несправною ходовою частиною і несправним мотором; m=3

n - кількість машин з несправною ходовою частиною; n=5

P = 3/5 – ймовірність того, що машина з несправною ходовою частиною має несправний мотор.

Відповідь: 3/5

Відповідь: 21/625; 219/625; 247/625

67. У першій бригаді з 8 тракторів 2 вимагають ремонту, у другій з 6-1. З кожної бригади навмання вибирають по одному трактору. Визначити ймовірність того, що а) обидва справні, б) хоча б один справний, в) тільки один справний

a) P(A)=P(A1*A2) =3/4*5/6=5/8

б) P(A) = 1-P(--- A)=1-2/8*1/6=1-1/24=23/24

в) P(A)=3/4*1/6+5/6*1/4=1/8+5/24=8/24=1/3

68. В організації працюють 12 чоловіків та 8 жінок. Для них виділено 3 премії. Визначити ймовірність того, що премію отримають: а) двоє чоловіків та одна жінка; б) лише жінки; в) хоча б один чоловік.

Рішення:а) A-1 чоловік

B-2 чоловіки

С-1 жінка

P(A) = 12/20; P(B/A) = 11/19; P(C/AB) = 8/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)*P(C/AB) = 1056/6840 = 0,154

б) A-1 жінка

B-2 жінки

С-3 жінки

P(A) = 8/20; P(B/A) = 7/19; P(C/AB) = 6/18

P(ABC) = P(A)*P(B/A)* P(C/AB) = 336/6840 = 0,049

в) A-хоча б 1 чоловік

А всі жінки

P(A)=1- P(--- A)

P(--- A) = 8/20 * 7/19 * 6/18 = 0,049

69. З 25 працівників підприємства 10 мають вищу освіту: Визначити ймовірність того, що з випадково відібраних трьох осіб вищу освіту мають; а) три особи; б) одна людина; в) хоча б одна людина.

Рішення:

70. На картках написані літери "К", "А", "Р", "Т", "О", "Ч", "К", "А". Картки перемішують і кладуть у порядку їх витягування. Яка ймовірність того, що вийде: а) слово «КАРТКА»; б) слово "КАРТА"; в) слово "СТРУМ".

71. У коробці з 25 виробів 15 підвищеної якості. Навмання витягується 3 вироби. Визначити ймовірність того, що: а) одна з них підвищеної якості; б) усі три вироби підвищеної якості; в) хоча б один виріб підвищеної якості.

Рішення:

72. Впадає три гральні кістки. Яка ймовірність того, що: а) хоча б на одній із них з'явиться 5 очок; б) на всіх випадуть непарні цифри; в) на всіх кістках випадуть однакові цифри

73. У першому ящику з 6 куль 4 червоних та 2 чорних, у другому ящику з 7 куль 2 червоних та 5 чорних. З першого ящика в другий, переклали одну кулю, потім з другої в першу переклали одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля витягнута після цього з першої скриньки - чорна.

74. Два підприємства виготовляють однотипні вироби. Причому друге випускає 55% виробів обох підприємств. Можливість випуску нестандартного виробу першим підприємством 0,1, другим 0,15. а) Визначити ймовірність того, що взятий навмання виріб виявиться не стандартним, б) Взяте виріб виявилося нестандартним. Яка ймовірність, що його випущено на другому підприємстві.

Рішення:

75. Є три урни. У першій 3 білих та 2 чорних кулі, у другій та третій по 4 білих та 3 чорних кулі. З випадково обраної урни витягається куля. Він виявився білим. Яка ймовірність того, що куля взята з третьої урни?

Рішення: P(H1) = 1/3; P(H2) = 1/3; P(H3) = 1/3.

P(A) – можливість витягнути білу кулю.

Якщо вибирається перша урна P(A/H1) = 3/5

2-а P(A/H2) = 4/7

3я P(A/H3) = 4/7

P(A) = 1/3 * 3/5 + 1/3 * 4/7 + 1/3 * 4/7 = 12/21

P(H3/A) = (4/7 * 1/3) / (12/21) = 1/3

Відповідь: 1/3

76. Насіння для посіву в господарство надходить із трьох насінницьких господарств. Причому перше та друге господарства надсилають по 40 % усіх насіння. Схожість насіння першого господарства 90%, другого 85%, третього 95%. а) Визначити ймовірність того, що навмання "взяте насіння не зійде, б) Навуда взяте насіння не зійшло. Яка ймовірність, що воно отримано від другого господарства?

77. Програма іспиту складається з 30 питань. З 20 студентів групи 8 осіб вивчили всі питання, 6 осіб з 25 питань, 5 осіб з 20 питань, а одна людина 10 питань. Визначити ймовірність, що випадково викликаний студент відповість на два питання квитка.

Рішення: H1-вибір студента, який вивчив все, H2 – вибір студента, який вивчив 25 питань, H3 – вибір студента, який вивчив 20 питань, H4 – вибір студента, який вивчив 10 питань.

P(H1) = m/n = 8/20 = 2/5 m-ті хто вивчив усі питання, n- усі студенти.

P(H2) = 6/20 = 3/10

P(H3) = 5/20 = ¼

P(A/H1) = 1 – Імовірність того, що студент, який вивчив все, відповів на 2 питання квитка з вивчених ним 25 питань.

P(A/H2) = 25/30 = 5/6 - ймовірність того, що студент відповість на 2 питання квитка з вивчених ним 25 питань.

P(A/H3) = 20/30 = 2/3 – ймовірність того, що студент, який вивчив 20 питань, відповість на 2 питання квитка.

P(A/H4) = 10/30 = 1/3 - ймовірність того, що студент, який вивчив 10 питань, відповість на 2 питання квитка.

Використовуючи формулу повної ймовірності, знайдемо ймовірність того, що випадково викликаний студент відповість на 2 питання квитка:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) + P(H3)P(A/H3 ) + P(H4) P(A/H4)

P(A) = 2/5*1 + 3/10*5/6 + 1/4*2/3 + 1/20*1/3 = 2/5 + 1/4+ 1/6 + 1/60 = 24/60 +15/60 +10/60 + 1/60 = 50/60 = 5/6

Відповідь: 5/6

78. Перед посівом 95% насіння обробляють спеціальним розчином. Схожість насіння після обробки 99%, необроблених 85%. А) Яка ймовірність того, що випадково взяте насіння зійде? Б) Випадково взяте насіння зійшло. Яка ймовірність того, що воно вирощене з обробленого насіння?

Рішення: H1-оброблене насіння, H2 – необроблене насіння, A – насіння зійшло.

95% + 5% = 100% => P (H1) = 0,95; P(H2) = 0,05

P(A/H1) = 0,99 - вірогідність того, що випадково взяте насіння зійде, якщо воно оброблено.

P(A/H2) = 0,85 – Ймовірність того, що випадково взяте насіння зійде, якщо воно необроблене.

А) за формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність, що випадково взяте насіння зійде:

P(A) = ∑ P(H i) P(A/H i) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1) P(A/H1) + P(H2)P( A/H2)

P(A) = 0,95 * 0,99 + 0,05 * 0,85 = 0,9405 +0,0425 = 0,983

Відповідь: 0,983

79. До магазину надходять телевізори чотирьох заводів. Імовірність того, що протягом року телевізор не матиме несправності, дорівнює: для першого заводу 0,9, другого 0,8, третього 0,8 і четвертого 0,99. Випадково обраний телевізор протягом року вийшов із ладу. Якою є ймовірність того, що він виготовлений на першому заводі?

80. Покупець з рівною ймовірністю відвідує кожен із трьох магазинів. Імовірність того, що покупець купить товар у першому магазині, дорівнює 0,4, другому 0,6 та третьому 0,8. Визначити ймовірність того, що покупець придбає товар у якомусь магазині. Покупець купив товар. Знайти ймовірність того, що він купив його у другому магазині.

Відповідь: 0,7157

2. Робочий обслуговує 3 верстати. Імовірність безвідмовної роботи першого їх дорівнює 0,75, другого 0,85,
третього 0,95. Знайти ймовірність того, що а) відмовлять два верстати, б) усі три верстати працюватимуть безвідмовно, в) хоча б один верстат відмовить у роботі.

3. З колоди містить 52 карти виймається навмання 3. Знайти ймовірність того, що це трійка, сімка і туз.

4. Знайти ймовірність того, що абонемент набере правильний двозначний номер, якщо він знає, що цей номер не ділиться на 5

Рішення: P(A) = m/n; m=1/

Порахуємо загальну кількість двоцифрових чисел.Воно дорівнює 90 і віднімемо з цих чисел ті, що діляться на 5 (10,15,20,25…90,95). Їх кількість дорівнює 18 => n = 90-18 = 72

Відповідь: 1/72

5. Гральна кістка підкинута 2 рази: а) Знайти ймовірність того, що сума очок на верхніх гранях становитиме 7.б)знайти ймовірність того, що хоча б 2 очки з'явиться при одному підкиданні.

Рішення: P(A)=m/n

а) P(A)=6/36=1/6

б) P(B)=1-5/6*5/6=1-25/36 =11/36

6. У урні є 5 чорних та 7 червоних куль. Послідовно (без повернення) витягується три кулі. Знайти ймовірність того, що а) всі три кулі будуть червоними, б) три кулі червоними або чорними.

Рішення: Cmn=n! /m!(n-m)!

C 3 12 = 220 - варіанти витягнути три кулі.

а) Витягнути 3 червоні з 7 можна C 3 7 способами.

m = C 3 7 = 7! / 3! * 4! = 35

P(A1) = m/n = 35/220 = 7/44

б) витягнути 3 червоних з 7 можна C 3 7 способами, і 3 чорних з 5 =>

З 3 5 способами.

m = C 3 7 + З 3 5 = 35 + 5! / 3! * 2! = 35 + 10 = 45

P(A2) = m/n = 45/220 = 9/44

Відповідь:а) P(A) = 7/44; б) P(A2) = 9/44

У групі із 15 осіб 6 осіб займаються спортом. Знайти ймовірність того, що із випадково відібраних 7 осіб 5 осіб займаються спортом.

Рішення: P(A) = C 5 6 * C 2 9 / C 7 15 = ((6!/(5!*1!))*(9!/(2!*7!)) / (15! / (7 !*8!) = (5*36) / (15* 14* 13* 12* 11* 10* 9* 8!) / (1*2*3*4*5*6*7*8) = ( 5 * 36 * 12) / (15 * 13 * 11 * 3) = 4 / 143 = 0,03

Відповідь: 0,3.

Миша може вибрати навмання один із 5 лабіринтів. Відомо, що ймовірність її виходу з різних лабіринтів за 3 хвилини дорівнюють 0,5; 0,6; 0,2; 0,1; 0,1. Нехай виявилося, що миша вибралася з лабіринту за 3 хвилини. Якою є ймовірність того, що вона обрала перший лабіринт? Другий лабіринт?

Рішення:Спочатку ймовірність вибору лабіринту мишею рівні:

P(H1) = P(H2) = P(H3) = P(H4) = P(H5) = 1/5 – ймовірність вибору 1,2,3,4,5 лабіринт відповідно.

A – вихід із лабіринту.

P(A/H1) = 0,5 - Ймовірність виходу миші з 1 лабіринту

P(A/H2) = 0,6 - з 2 лабіринту.

P(A/H3) =0,2 –з 3 лабіринту

P(A/H4) = 0,1 -з 4 лабіринту

P(A/H5) = 0,1 - з 5 лабіринту

За формулою повної ймовірності:

P(A) = ∑ P(H i)P(A/H i) = P(H1)P(A/H1) + P(H2)P(A/H2) +P(H3)P(A/H3 ) +P(H4)P(A/H4) +P(H5)P(A/H5)

P(A) = 1/5*0,5 + 1/5*0,6 + 1/5*0,2 + 1/5*0,1 +1/5*0,1 = 1/5 (0 ,5 +0,6 +0,2 +0,1 +0,1) = 1/5 * 1,5 = 1,5 * 3/2 = 3/10 - ймовірність виходу миші з лабіринту за 3 хвилини.

А) Знайдемо ймовірність того, що миша обрала перший лабіринт (за формулою Бейєса):

P(H1/A) = P(H1)P(A/H1) / P(A) = (0,5*1/5)/(3/10) = (1/2*1/5) /( 3/10) = 1/10 * 10/3 = 1/3

Б) Знайдемо ймовірність того, що миша обрала другий лабіринт (за формулою Бейєса)

P(H2/A) = P(H2)P(A/H2) / P(A) = (1/5*0,6) / 3/10 = (1/5*3/5) / 3/10 = 3/25 * 10/3 = 10/25 = 2/5

Відповідь: 1/3; 2/5

9. З 10 квитків виграшними є 2. Знайти ймовірність того, що з 5 квитків виграшним є один.

10. У вересні можливість дощового дня 0,3. Команда «Статистик» виграє у ясний день із ймовірністю 0,8, а дощовий день ця ймовірність дорівнює 0,3. Відомо, що у вересні вони виграли деяку гру. Яка ймовірність, що того дня: а) йшов дощ; б) був ясний день.

11. Імовірність влучення в ціль першим стрільцем дорівнює 0,7, другим - 0,5, третім -0,4. Знайти ймовірність того, що хоча б один стрілець потрапить у ціль .

Рішення:

У першому ящику міститься 20 деталей, їх 10 стандартних, у другому 30 деталей, їх 25 стандартних, у третьому 10 деталей, їх 8 стандартних. З випадково взятої скриньки навмання взято одну деталь, яка виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що вона взята з другої скриньки.

Рішення: P(H i) = 1/3; P(A/H1)=10/20=1/2; P(A/H2)=25/30=5/6;

P(A/H3)=8/10=4/5;

P(A)=1/3(1/2+5/6+4/5) = 62/45

P(H2/A) = (P(H2)*P(A/H2)) / P(A) = (1/3*5/6) /62/45 = 0,39

13. На кожній з п'яти однакових карток написано одну з наступних літер: А, Е, Н, С, Т.
перемішані. Визначити ймовірність того, що з вийнятих і покладених у рядок карток можна скласти
слово «СТІНА», б) із трьох карток можна скласти слово «НІ».

Для поразки мети достатньо влучення хоча б одного снаряда. Зроблено два залпи з двох гармат. Знайти ймовірність поразки мети, якщо ймовірність влучення в ціль при одному пострілі з першої зброї дорівнює 0,46 другого 0,6.

Рішення:

Нехай B жодного влучення

A1 - потрапляння при 1-му пострілі.

А2 - потрапляння при 2-му пострілі.

P(B) = - А1 - А2 = 0,54 * 0,4 = 0,216

Тоді С – хоча б одне влучення.

P(C)= 1 - 0,216 = 0,784

Відповідь: 0,784

Є 3 урни. У першій урні 6 чорних та 4 білих, у другій 5 білих та 5 чорних, у третій 7 білих та 3 чорних. Випадково вибирається урна і з неї витягається куля, яка виявилася білою. Знайти ймовірність того, що вибрано другу урну.

Рішення:

H1 = 1/3; H2=1/3; H3=1/3

P(H/H1) = 4/10; P(H/H2) = 1/2; P(H/H3) = 7/10

P(H) = 1/3*4/10 + 1/3*1/2 + 1/3*1/7 = 16/30

P(H2/H) = (1/2*1/3)/(8/15) = 1/6* 15/8 = 15/48

Відповідь: 15/48 = 0,3125

16. Монета підкидається 3 рази. Знайти ймовірність того, що герб з'явиться: а) всі 3 рази; б) тільки один раз; в) хоча б один раз

Рішення:

17. На окремих картках написано цифри 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Усі картки перемішуються, після чого навмання беруть 5 карток і розкладають їх у ряд. Визначити ймовірність того, що буде отримано число 1 2 0 3 5. (Завдання вирішити, використовуючи визначення ймовірності події та теореми теорії ймовірностей)

Три відомі економісти одночасно запропонували свої теорії, які вважалися рівноймовірними. Після спостереження над станом економіки виявилося, що ймовірність того розвитку, який вона отримала насправді відповідно до першої теорії дорівнює 0,5; з другої – 0,7; із третьою – 0,4. Як це змінять ймовірності правильності трьох теорій.

Рішення:

P(A/H1)=0,5; P(A/H2)=0,7; P(A/H3)=0,4

P(A)=P(H1)*P(A/H1)+…=1/3*0,5+1/3*0,7+

1/3*0,4=1/3(0,5+0,7+0,4)=1,6/3=0,533

P(H1/A)=(1/3*0,5)/(1/3*1,6)=0,5/1,6=0,32.

P(H2/A)=0,7/1,6=0,42

У Магазині продається 4 магнітофони. Імовірність того, що вони витримають гарантійний строк, відповідно дорівнюють: 0,91; 0,9; 0,95; 0,94. Знайти ймовірність того, що взятий найдачу магнітофон витримає гарантійний термін.

Рішення:Можливість купівлі 1магнітофон -1/4; 2 – 1/4; 3 - 1/4; 4 -1/4.

P(A) = 1/4 * 0,91 + ¼ * 0,9 + ¼ * 0,95 + ¼ * 0,94 = 0,2275 + 0,225 + 0,2375 + 0,235 = 0,925

Відповідь: P(A) = 0,925

Завдання №1.26

Номер автомобіля містить чотири цифри, кожна з яких рівноможливо набуває значень від 0 до 9 (можливий номер 0000). Визначити ймовірність того, що друга цифра номера дорівнює чотирьом.

Знайдемо число всіх можливих комбінацій номера автомобіля:

2-а цифра номера дорівнює 4, якщо його комбінація представляє набір виду: X 4 XX , де X – будь-яка цифра від 0 до 9.

Отже, число таких номерів дорівнює:

Імовірність того, що друга цифра номера дорівнює чотирьом.

Відповідь:

Завдання № 2.11

Дана схема з'єднання елементів, що утворюють ланцюг з одним входом та одним виходом (рисунок 1). Передбачається, що відмови елементів є незалежними у сукупності подіями. Відмова будь-якого з елементів призводить до переривання сигналу в тій галузі ланцюга, де знаходиться даний елемент. Імовірності відмови елементів 1, 2, 3, 4, 5 відповідно дорівнюють q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Знайти ймовірність, що сигнал пройде з входу на вихід.

Малюнок 1

Згідно з малюнком 1 елементи 1, 2, 3 з'єднані паралельно між собою і послідовно з елементом 4.

Введемо події: A­ 1 - Елемент 1 справний, A­ 2 - Елемент 2 справний, A­ 3 - Елемент 3 справний, A­ 4 – елемент 4 справний, B- сигнал проходить від точки aдо точки b, C- сигнал проходить від точки aдо точки c(З входу на вихід).

Подія Bвідбудеться, якщо працюватимуть або елемент 1, або елемент 2, або елемент 3:

B :

Подія Cстанеться, якщо станеться подія Bта подія A 4 :

Ймовірність настання події C :

Відповідь:

Завдання №3.28

Прилади однієї назви виготовляються на трьох заводах. Перший завод постачає 45% всіх виробів, що надходять на виробництво, другий – 30% та третій – 25%. Імовірність безвідмовної роботи приладу, виготовленого першому заводі, дорівнює 0,8 , другому - 0,85 і третьому - 0,9. Прилад, що надійшов на виробництво, виявився справним. Визначити ймовірність того, що його виготовлено на другому заводі.

Позначимо через А подію – прилад, що надійшов на виробництво справний.

Зробимо низку припущень:

Прилад надійшов з першого заводу:

Прилад надійшов з другого заводу:

Прилад надійшов із 3-го заводу:

Відповідні умовні ймовірності кожної з гіпотез:

За формулою повної ймовірності знайдемо ймовірність події A:

Обчислимо ймовірність того, що справний прилад надійшов з другого заводу:

Відповідь:

Завдання №4.26

Монету підкидають 100 разів. Яка ймовірність того, що вона жодного разу не впаде гербом нагору?

Подія - монета жодного разу зі 100 підкидань не впала гербом нагору.

Імовірність того, що монета не впала гербом нагору p=0,5 і отже, ймовірність того, що монета впала гербом вгору q=0,5 :

Визначимо ймовірність події Aза формулою Бернуллі ( n = 100; k =100 )

Відповідь:

Завдання № 5.21

Дискретна випадкова величина Х може приймати одне із п'яти фіксованих значень x1, x2, x3, x4, x5 з ймовірностями p1, p2, p3, p4, p5 відповідно. Обчислити математичне очікування та дисперсію величини Х. Розрахувати та побудувати графік функції розподілу.

Таблиця 1 - Вихідні дані

Математичне очікування та дисперсію величини Х:

Побудуємо ряд розподілу СВ X:

Таблиця 2 - Ряд розподілу СВ X

Побудуємо графік функції розподілу (рисунок 2):

Рисунок 2 – графік функції розподілу F(X i)

Завдання № 6.3

Випадкова величина Хзадана щільністю ймовірності:

Визначити константу З, математичне очікування, дисперсію, функцію розподілу величини Х, а також можливість її потрапляння в інтервал.

Звідси константа:

Визначимо математичне очікування СВ Х:

Визначимо дисперсію СВ Х:

Визначимо функцію розподілу величини Х:

Відповідь:

Завдання № 7.15

Випадкова величина Хрозподілена рівномірно на інтервалі [ a,b]. Побудувати графік випадкової величини Y= (X)і визначити густину ймовірності g(y).

зворотних функцій не існує

Малюнок 3 – графік функції

Оскільки випадкова величина Хрозподілена рівномірно на інтервалі , то її щільність ймовірності дорівнює:

Визначимо щільність ймовірності величини:

Завдання № 8.30

Двовимірний випадковий вектор ( Х, У) рівномірно розподілений усередині виділеної жирними прямими лініями на рисунок 4 області B. Двовимірна щільність ймовірності f(x, y)однакова для будь-якої точки цієї області B:

Обчислити коефіцієнт кореляції між величинами X та Y.

Таблиця 3 - Вихідні дані

Малюнок 4

Побудуємо область Bзгідно з координатами з таблиці 5 та малюнку 4.

Малюнок 5

Проаналізуємо рисунок 5: область Bна проміжку обмежена зліва прямої, праворуч, на проміжку обмежена зліва прямої, праворуч

Отже, спільна щільність ймовірності набуде вигляду:

Таким чином:

Перевіримо отриманий результат геометрично. Об'єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу Уі площиною xOy дорівнює 1, тобто:

Отже, константа розрахована правильно.

Обчислимо математичні очікування:

Обчислимо дисперсії:

Обчислимо кореляційний момент:

Обчислимо коефіцієнт кореляції між величинами X та Y:

Відповідь:

Завдання № 9

За вибіркою одновимірної випадкової величини:

Отримати варіаційний ряд;

Побудувати графік емпіричної функції розподілу F * (x) ;

Побудувати гістограму рівноінтервальним способом;

Побудувати гістограму рівноймовірним способом;

Обчислити точкові оцінки математичного очікування та дисперсії;

Обчислити інтервальні оцінки математичного очікування та дисперсії (γ = 0,95);

Висунути гіпотезу про закон розподілу випадкової величини та перевірити її за допомогою критерію згоди  2 та критерію Колмогорова (  = 0,05).

Одновимірна вибірка:

Розмір вибірки

Рішення

1. Отримаємо варіаційний ряд із вихідного:

Побудуємо гістограму рівноінтервальним способом (рисунок 7).

Для побудови гістограми складемо інтервальний статистичний ряд, враховуючи, що довжина у всіх інтервалів має бути однакова.

Кількість інтервалів;

- ширина інтервалу;

Частота влучення СВ X в j-ий інтервал;

Статистична щільність у j-му інтервалі.

Таблиця 4 – Інтервальний статистичний ряд

f * (x)

Малюнок 7

Побудуємо гістограму рівноймовірним способом (рисунок 8).

Для побудови гістограми складемо інтервальний статистичний ряд, враховуючи що частота влучення СВ X в кожен j-ий інтервал повинна бути однакова (Таблиця 5).

Таблиця 5 – Інтервальний статистичний ряд

f * (x)

Малюнок 8

Обчислимо точкові оцінки математичного очікування та дисперсії:

Обчислимо інтервальні оцінки математичного очікування та дисперсії (γ = 0,95):

H 0 – величина X розподілена за експоненційним законом:

H 1 – величина X не розподілена за експоненційним законом

Таким чином отримуємо цілком певну гіпотетичну функцію розподілу:

Перевіримо гіпотезу про нормальний закон за критерієм Пірсона. Обчислимо значення критерію на основі рівноінтервального статистичного ряду:

Теоретичні ймовірності попадання в інтервали обчислимо за такою формулою:

Таблиця 6 - Результати розрахунків

Перевіримо правильність обчислень:

Обчислимо критерій Пірсона:

Визначимо кількість ступенів свободи:

Вибираємо критичне значення критерію Пірсона з таблиці для ступеня свободи та заданого рівня значущості:

Так як умова виконується, то гіпотеза H 0 про експоненційний закон розподілу приймається (немає підстав її відхилити).

8) Перевіримо гіпотезу з допомогою критерію Колмогорова. Для цього збудуємо графік гіпотетичної функції розподілу в одній системі координат з емпіричною функцією (рисунок 6). Як опорні точки використовуємо 10 значень з таблиці 6. За графіком визначимо максимальне по модулю відхилення між функціями і :

Обчислимо значення критерію Колмогорова:

З таблиці Колмогорова за заданим рівнем значущості вибираємо критичне значення критерію:

Оскільки умова виконується, гіпотеза H 0 про експоненційний закон розподілу приймається (немає підстав її відхилити).