При-зна-ки парал-ле-ло-грам-ма
1. Визначення та основні властивості паралелограма
Почнемо з того, що згадаємо опре-де-ле-ня пара-ле-ло-ло-грам-ма.
Визначення. Па-рал-ле-ло-грам- Чо-ти-рех-кутник, у ко-то-ро-го каж-диє дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни парал-лель-ни (див. Рис . 1).
Мал. 1. Па-рал-ле-ло-грам
Згадай-нім ос-нов-ні влас-ства па-рал-ле-ло-грам-ма:
Для того, щоб мати можливість користуватися всіма цими властивостями, необхідно бути упевненим, що фі-гу-ра, про ко-то -рій йдеться, - Парал-ле-ло-грам. Для цього необхідне знати такі факти, як ознаки пара-ле-ло-ло-грам-ма. Перші два з них ми сьогодні і роздивляємося.
2. Перша ознака паралелограма
Теорема. Перший ознака парал-ле-ло-грам-ма.Якщо в чо-ти-рех-вугілля-ні дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни рівні і парал-лель-ни, то це че-ти-рех-вугілля- нік - пара-ле-ло-ло-грам. 
.
Мал. 2. Перший ознака парал-ле-ло-грам-ма
До-ка-за-тель-ство. Про-ведемо в чо-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-наль (див. мал. 2), вона роз-би-ла його на два три-кут-ні-ка. Запи-шемо, що ми знаємо про ці трикутники:
за першим при-зна-ку ра-вен-ства трикутників.
З рівності вказаних трикутників слідує, що за ознакою паралельності пря-мих при пе-ре-се- че-нии їх се-ку-щої. Маємо, що:
До-ка-за-але.
3. Друга ознака паралелограма
Теорема. Другий ознака пара-ле-ло-ло-грам-ма.Якщо в чо-ти-рех-вуг-ні-ці кож-ні дві про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни рівні, то цей че-ти-рех-кутник- пара-ле-ло-ло-грам. 
.
Мал. 3. Другий ознака пара-ле-ло-ло-грам-ма
До-ка-за-тель-ство. Про-ведемо в чо-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-наль (див. мал. 3), вона розбиває його на два трикутники. За-пи-шем, що ми знаємо про цих трикутники, виходячи з фор-му-лі-рів-ки тео-ре-ми:
по третій-му ознаку ра-вен-ства трикутників.
З ра-вен-ства трикут-ників-ків слід-ду-є, що і за ознакою па-рал-лель-ності пря-мих при пе-ре-сі-чен-ні їх се-ку-щої. По-лу-ча-єм:
парал-ле-ло-грам по визна-де-ленню. Що й треба було доказати.
До-ка-за-але.
4. Приклад застосування першої ознаки паралелограмма
Роз-смот-рим приклад на при-ме-не-ня при-зна-ків парал-ле-ло-ло-грам-ма.
Приклад 1. У випук-лому чо-ти-рех-вуг-ні-ці Знайти: а) кути че-ти-рех-вуг-ні-ка; б) сто-ро-ну.
Рішення. Із-ра-зим Мал. 4.
па-рал-ле-ло-грам за першим при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.
А. 
за власністю па-рал-ле-ло-грам-ма про про-ти-во-по-лож-них кутах, за влас-ством па-рал-ле-ло-грам-ма про суму кутів, при- лежать до однієї сторони.
Б. 
за власністю ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-них сторін.
ре-тій ознака парал-ле-ло-грам-ма
5. Повторення: визначення та властивості паралелограма
Пам'ятаю, що пара-ле-ло-ло-грам- це че-ти-рех-кутник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ні сто-ро-ни по-пар-но па-рал-лель-ни. Тобто, якщо - пара-ле-ло-грам, то 
(див. рис. 1).
Па-рал-ле-ло-грам об-ла-да-є цілим рядом властивостей: проти-по-лож-ні кути рівні (), проти-по-лож-ні сто-ро -Ни рівні ( 
). Крім того, діа-го-на-лі парал-ле-ло-грам-ма в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам, сума кутів, при-ле- жа-щих до будь-якої сторони пара-ле-ло-ло-грам-ма, дорівнює і т.д.
Але для того, щоб користуватися всіма цими влас-ства-ми, необ-хо-ди-мо бути аб-со-лют-но уве-рен-ни-ми в тому, що роз-смат- ри-ва-е-мий че-ти-рех-кутник - парал-ле-ло-грам. Для цього і існують ознаки пара-ле-ло-грам-ма: тобто ті факти, з яких можна зробити один-значний висновок , Що че-ти-рех-кутник яв-ля-є-ся пара-ле-ло-ло-грам-мом. На попередньому уроці ми вже розглянули два ознаки. Зараз роздивлявся третій.
6. Третя ознака паралелограма та його доказ
Якщо в чо-ти-рех-вуг-ні-ці діа-го-на-ли в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам, то дан-ний че-ти- рох-кутник яв-ля-ет-ся пара-ле-ло-ло-грам-мом.
Дано:
Че-ти-рех-кутник; ; .
Доказати:
Па-рал-ле-ло-грам.
До-ка-за-тель-ство:
Для того щоб довести цей факт, необхідне довести параллельність сто-рон паралле-ло-грам-ма. А параллельність пря-мих найчастіше до-ка-зи-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-хрест лежа-щих кутів при цих пря-мих. Таким об-разом, на-пра-ши-ва-є-ся сл-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-ть-го при-зна-ка пара-рал -ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство трикутника-ків 
.
До-кажем рівність цих трикутників. Дей-стви-тель-но, з умови слід-ду-ет: . Крім того, по-скільки кути - вер-ти-каль-ние, то вони рівні. Тобто:
(перший ознака рівностітрикутники- по двох сторонах і кутку між ними).
З рівності трикутника: (так як рівні внут-рен-ня на хрест лежать кути при цих прямих і сік-кущої). Крім того, з ра-вен-ства трикут-ників слід, що . Значить, ми лу-чи-ли, що в че-ти-рьох-кут-ні-ці дві сто-ро-ни рівні і парал-лель-ни. За першим ознакою пара-ле-ло-грам-ма: - пара-ра-ле-ло-грам.
До-ка-за-але.
7. Приклад завдання на третю ознаку паралелограма та узагальнення
Роз-смот-рим приклад на при-ме-не-ня тре-ть-го при-зна-ка пара-ле-ло-ло-грам-ма.
Приклад 1
Дано:
- парал-ле-ло-грам; . - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на, - се-ре-ді-на (див. рис. 2).
Доказати:- Парал-ле-ло-грам.
До-ка-за-тель-ство:
Значить, у че-ти-рех-кут-ні-ці діа-го-на-ли в точці пе-ре-се-че-ня ді-лят-ся по-по-лам. По третій-му ознаку па-рал-ле-ло-грам-ма з цього слід-ду-ет, що - пара-ра-ле-ло-грам.
До-ка-за-але.
Якщо про-ве-сти аналіз тре-ть-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можна заме-тить, що цей при-знак зі-від-віт- ству-є свій-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. Тобто, те, що діа-го-на-чи ді-лят-ся по-по-лам, яв-ля-є-ся не про-сто власністю па-рал-ле-ло-грам-ма, а його від-ли-чи-тель-ним, ха-рак-те-ри-сти-че-ським власністю, по ко-то-ро-му його можна ви-ділити з множини че-ти-рех-вугілля-ників.
ДЖЕРЕЛО
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Паралелограм є чотирикутником, у якого протилежні сторонипопарно паралельні. Це визначення вже достатньо, тому що інші властивості паралелограма випливають із нього і доводяться у вигляді теорем.
Основними властивостями паралелограма є:
- паралелограм - це опуклий чотирикутник;
- у паралелограма протилежні сторони попарно рівні;
- у паралелограма протилежні кутипопарно рівні;
- діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
Паралелограм - опуклий чотирикутник
Доведемо спочатку теорему про те, що паралелограм є опуклим чотирикутником. Багатокутник є опуклим тоді, коли яка б його сторона не була продовжена до прямої, решта сторін багатокутника виявляться по одну сторону від цієї прямої.
Нехай даний паралелограм ABCD, В якого AB протилежна сторона для CD, а BC - протилежна для AD. Тоді з визначення паралелограма випливає, що AB | CD, BC | AD.
У паралельних відрізківні загальних точок, вони не перетинаються. Це означає, що CD лежить з одного боку від AB. Оскільки відрізок BC з'єднує точку B відрізка AB з точкою C відрізка CD, а відрізок AD з'єднує інші точки AB і CD, то відрізки BC і AD також лежать з тієї ж сторони від прямої AB, де лежить CD. Таким чином, всі три сторони – CD, BC, AD – лежать по одну сторону від AB.
Аналогічно доводиться, що стосовно іншим сторонам паралелограма три інші сторони лежать з одного боку.
Протилежні сторони та кути рівні
Однією з властивостей паралелограма є те, що у паралелограмі протилежні сторони та протилежні кути попарно рівні. Наприклад, якщо дано паралелограм ABCD, то він має AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Доводиться ця теорема в такий спосіб.
Паралелограм є чотирикутником. Отже, має дві діагоналі. Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то кожна з них поділяє його на два трикутники. Розглянемо в паралелограмі ABCD трикутники ABC та ADC, отримані в результаті проведення діагоналі AC.
У цих трикутників одна сторона загальна – AC. Кут BCA дорівнює куту CAD як вертикальні при паралельних BC і AD. Кути BAC та ACD також рівні як вертикальні при паралельних AB та CD. Отже, ∆ABC = ∆ADC по двох кутах та стороні між ними.
У цих трикутниках стороні AB відповідає сторона CD, а стороні BC відповідає AD. Отже, AB = CD та BC = AD.
Куту B відповідає кут D, тобто ∠B = ∠D. Кут A паралелограма є сумою двох кутів - ∠BAC і ∠CAD. Кут C дорівнює складається з ∠BCA і ∠ACD. Оскільки пари кутів дорівнюють одна одній, то ∠A = ∠C.
Таким чином, доведено, що у паралелограмі протилежні сторони та кути рівні.
Діагоналі діляться навпіл
Так як паралелограм - це опуклий чотирикутник, то має дві дві діагоналі, і вони перетинаються. Нехай дано паралелограм ABCD, його діагоналі AC і BD перетинаються у точці E. Розглянемо утворені ними трикутники ABE і CDE.
У цих трикутників сторони AB та CD рівні як протилежні сторони паралелограма. Кут ABE дорівнює куту CDE як навхрест, що лежать при паралельних прямих AB і CD. З цієї причини ∠BAE = ∠DCE. Отже, ∆ABE = ∆CDE по двох кутах та стороні між ними.
Також можна помітити, що кути AEB та CED вертикальні, а отже, теж рівні один одному.
Оскільки трикутники ABE і CDE дорівнюють один одному, то рівні і всі відповідні елементи. Стороні AE першого трикутника відповідає сторона другого CE, отже, AE = CE. Аналогічно BE = DE. Кожна пара рівних відрізківскладає діагональ паралелограма. Таким чином доведено, що діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.
Для того, щоб визначити, чи є дана фігураПаралелограм існує ряд ознак. Розглянемо три основні ознаки паралелограма.
1 ознака паралелограма
Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник буде паралелограммом.
Доказ:
Розглянемо чотирикутник ABCD. Нехай у ньому сторони AB та СD паралельні. І нехай AB = CD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівних трикутника: ABD та CBD.
Ці трикутники рівні між собою по обидва боки і кут між ними (BD - спільна сторона, AB = CD за умовою, кут1 = кут2 як навхрест лежачі кути при січній BD паралельних прямих AB і CD.), а отже кут3 = кут4.
А ці кути будуть навхрест лежать при перетині прямих BC і AD BD. З цього випливає, що BC і AD паралельні між собою. Маємо, що у чотирикутнику ABCD протилежні сторони попарно паралельні, і, отже, чотирикутник ABCD є паралелограмом.
2 ознака паралелограма
Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник буде паралелограммом.
Доказ:
Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо у ньому діагональ BD. Вона розділить цей чотирикутник на два рівні трикутники: ABD і CBD.
Ці два трикутники будуть рівними між собою по трьох сторонах (BD - загальна сторона, AB = CD і BC = AD за умовою). З цього можна дійти невтішного висновку, що кут1 = кут2. Звідси випливає, що AB паралельна до CD. Оскільки AB = CD і AB паралельна CD, то за першою ознакою паралелограма, чотирикутник ABCD буде паралелограмом.
3 ознака паралелограма
Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник буде паралелограммом.
Розглянемо чотирикутник ABCD. Проведемо в ньому дві діагоналі AC і BD, які перетинатимуться в точці О і діляться цією точкою навпіл.
Трикутники AOB і COD дорівнюють між собою, за першою ознакою рівності трикутників. (AO = OC, BO = OD за умовою, кут AOB = кут COD як вертикальні кути.) Отже, AB = CD та кут1 = кут 2. З рівності кутів 1 і 2 маємо, що AB паралельна CD. Тоді маємо, що у чотирикутнику ABCD сторони AB рівні CD і паралельні, і за першою ознакою паралелограма чотирикутник ABCD буде паралелограмом.
Чотирикутник ABCD називається фігура, яка складається з чотирьох точок А, В, С, D по три, що не лежать на одній прямій, і чотирьох відрізків AB, BC, CD та AD, що з'єднують ці точки.
На малюнках зображено чотирикутники.
Точки А, В, С та D називаються вершинами чотирикутника, а відрізки AB, BC, CD та AD - сторонами. Вершини А і С, В та D називаються протилежними вершинами. Сторони AB та CD, BC та AD називаються протилежними сторонами .
Чотирикутники бувають опуклі(на малюнку - лівий) та невипуклі(на малюнку – правий).
Кожна діагональ опуклого чотирикутника поділяє його на два трикутники(діагональ АС поділяє ABCD на два трикутника ABCта ACD; діагональ BD - на BCD та BAD). У невипуклого чотирикутникалише одна з діагоналей поділяє його на два трикутники(діагональ AC поділяє ABCD на два трикутники ABC і ACD; діагональ BD - не поділяє).
Розглянемо основні види чотирикутників, їх властивості, формули площі:
Паралелограм
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Властивості:
Ознаки паралелограма:
1. Якщо чотирикутник дві сторони рівні і паралельні, цей чотирикутник - паралелограмм.
2. Якщо чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, цей чотирикутник – паралелограмм.
3. Якщо чотирикутнику діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, цей чотирикутник – паралелограмм.
Площа паралелограма:
Трапеція
Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.
Підставаминазиваються паралельні сторони, а дві інші сторони - бічними сторонами.
Середньою лінією Трапеція називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.
ТЕОРЕМА.
Середня лініятрапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Площа трапеції:
Ромб
Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.
Властивості:
Площа ромба:
Прямокутник
Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути рівні.
Властивості:
Ознака прямокутника:
Якщо паралелограмі діагоналі рівні, цей паралелограм – прямокутник.
Площа прямокутника:
Квадрат
Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні.
Властивості:
Квадрат має всі властивості прямокутника і ромба (прямокутник є паралелограмом, тому і квадрат є паралелограмом, у якого всі сторони рівні, тобто ромбом).
Площа квадрата: