Matematiksel beklenti ve dağılıma ek olarak olasılık teorisi, dağılımın belirli özelliklerini yansıtan bir dizi sayısal özelliği de kullanır.
Tanım. Moda Mo(X) rastgele değişken X en olası değeridir(bunun için olasılık rg veya olasılık yoğunluğu
Olasılık veya olasılık yoğunluğu bir noktada değil birden fazla noktada maksimuma ulaşırsa dağılıma dağılım denir. çok modlu(Şekil 3.13).
Moda Yosun), hangi olasılıkla P( veya olasılık yoğunluğunun (p(x) küresel bir maksimuma ulaşması denir) büyük ihtimalle anlamı rastgele değişken (Şekil 3.13'te bu Mo(X)2).
Tanım. Sürekli bir rastgele değişken X'in medyanı Ме(Х) onun değeridir, hangisi için
onlar. rastgele değişkenin olasılığı X medyandan daha küçük bir değer alacaktır Kürk) veya ondan büyükse aynı ve 1/2'ye eşittir. Geometrik olarak dikey düz çizgi X = Kürk), apsisi eşit olan bir noktadan geçerek Kürk), dağılım eğrisinin iyot şeklindeki alanını iki eşit parçaya böler (Şekil 3.14). Açıkçası bu noktada X = Kürk) dağıtım fonksiyonu 1/2'ye eşittir, yani. P(Ben(X))= 1/2 (Şekil 3.15).
Not önemli özellik rastgele bir değişkenin medyanı: matematiksel beklenti mutlak değer X rastgele değişkeninin C sabit değerinden sapması minimumdur, bu C sabiti medyan Me(X) = m'ye eşit olduğunda yani 
(Bu özellik, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının minimum karesi özelliğine (3.10") benzer).
Örnek 3.15. Bir rastgele değişkenin modunu, medyanını ve matematiksel beklentisini bulun X'ler xx için olasılık yoğunluğu f(x) = 3x 2.
Çözüm. Dağıtım eğrisi Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.16. Açıkçası, olasılık yoğunluğu φ(x) maksimumdur. X= Mo(X) = 1.
Medyan Kürk) = B (3.28) koşulundan buluruz:
Neresi 
Matematiksel beklentiyi (3.25) formülünü kullanarak hesaplayalım:
Noktaların karşılıklı düzenlenmesi M(X)>Ben(X) Ve Yosun) Şekil 2'de apsisin artan sıralaması gösterilmektedir. 3.16. ?
Yukarıda belirtilen sayısal özelliklerin yanı sıra, bir rastgele değişkeni tanımlamak için nicelikler ve yüzde noktaları kavramı kullanılır.
Tanım. Nicelik düzeyi y-kantil )
bir rastgele değişkenin bu değerine x q denir , dağıtım fonksiyonunun şuna eşit bir değer aldığı nokta: d, yani
Bazı yüzdelikler özel bir isim almıştır. Açıkçası, yukarıda tanıtılan medyan Rastgele değişken 0,5 düzeyindeki bir niceliktir, yani. Ben(X) = x 05. dg 0 2 5 ve x 075 miktarları sırasıyla adlandırıldı daha düşük Ve üst çeyrekK
Kantil kavramıyla yakından ilişkili olan kavram, yüzde puanı. Altında YuOuHo-noy noktası
nicelik ima edilir x x (( ,
onlar. rastgele bir değişkenin böyle bir değeri X,
hangisinde 
0 Örnek 3.16. Örnek 3.15'teki verilere dayanarak yüzdelik değeri bulun x 03 ve rastgele değişkenin %30 noktası X.
Çözüm. Formül (3.23)'e göre dağıtım fonksiyonu
0 s niceliğini denklem (3.29)'dan buluyoruz, yani. x$3 =0,3, dolayısıyla L "oz -0,67. Rastgele değişkenin %30'luk noktasını bulalım X, veya Denklem'den kantil x 0 7. x$7 = 0,7, buradan x 0 7 «0,89. ?
Rasgele bir değişkenin sayısal özellikleri arasında özel anlam anları var - başlangıç ve merkezi.
Tanım. Başlangıç anıBir rastgele değişken X'in k'inci derecesine matematiksel beklenti denir derece bu değer :
Tanım. Merkezi anbir X rastgele değişkeninin k'inci sırası, bir X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisinden k'inci sapma derecesinin matematiksel beklentisidir:
Ayrık rastgele değişkenler için momentlerin hesaplanmasına yönelik formüller (değer alma x 1 p, olasılıklı) ve sürekli (cp(x) olasılıklı) olasılıkları tabloda verilmiştir. 3.1.
Tablo 3.1
Bunu fark etmek kolaydır k = 1 rastgele değişkenin ilk başlangıç anı X onun matematiksel beklentisidir, yani h x = M[X) = a, en İle= 2 saniyelik merkezi moment - dağılım, yani. p2 = T)(X).
Merkezi momentler p A, başlangıç momentleri yoluyla ancak aşağıdaki formüllerle ifade edilebilir:
vesaire. 
Örneğin, c3 = M(X-a)* = M(X*-ZaX 2 +Za 2 X-a->) = M(X*)~ -ZaM(X 2)+Za 2 M(X)~ a3 = y 3 -Зу^ + Зу(у, -у^ = y 3 - Зу^ + 2у^ (türetme sırasında şunu hesaba kattık: A = M(X)= V, rastgele olmayan bir değerdir). ?
Yukarıda matematiksel beklentinin olduğu belirtilmişti. M(X), veya ilk başlangıç anı, ortalama değeri veya konumu, rastgele bir değişkenin dağılımının merkezini karakterize eder X sayı ekseninde; dağılım AH), veya ikinci merkezi moment p 2, - s t s - dağılım dağılım güdüsü X nispeten M(X). Daha fazlası için detaylı açıklama dağılımlar daha yüksek dereceli momentler olarak hizmet eder.
Üçüncü merkezi nokta p 3 dağılımın asimetrisini (çarpıklığını) karakterize etmeye yarar. Rastgele bir küp boyutuna sahiptir. Boyutsuz bir değer elde etmek için o 3'e bölünür; burada a ortalamadır standart sapma rastgele değişken X. Ortaya çıkan değer A isminde rastgele bir değişkenin asimetri katsayısı.
Dağılım matematiksel beklentiye göre simetrikse asimetri katsayısı A = 0 olur.
Şek. Şekil 3.17'de iki dağılım eğrisi gösterilmektedir: I ve II. Eğri I pozitif (sağ taraflı) bir asimetriye sahiptir (L > 0) ve eğri II negatif (sol taraflı) bir asimetriye sahiptir (L 
Dördüncü merkezi nokta p 4 dağılımın dikliğini (keskinlik veya düzlük) karakterize etmeye yarar.
Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri arasında, her şeyden önce, rastgele değişkenin sayısal eksen üzerindeki konumunu karakterize edenleri not etmek gerekir; rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin gruplandırıldığı ortalama, yaklaşık değeri belirtir.
Rastgele bir değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kaba yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".
Olasılık teorisindeki konumun özelliklerinden hayati rol Bazen basitçe rastgele değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini oynar.
Olasılıklarla birlikte olası değerlere sahip ayrık bir rastgele değişkeni ele alalım. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalaması” olarak adlandırılan yöntemin kullanılması doğal olup, ortalama alınırken her bir değer, bu değerin olasılığıyla orantılı bir “ağırlık” ile dikkate alınmalıdır. Böylece, şu şekilde göstereceğimiz rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız:
veya buna göre,
. (5.6.1)
Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece, aşağıdakilerden birini dikkate aldık: en önemli kavramlar olasılık teorisi - matematiksel beklenti kavramı.
Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Yukarıdaki formülasyonda matematiksel beklenti tanımının, kesin konuşmak gerekirse, yalnızca ayrık rastgele değişkenler için geçerli olduğuna dikkat edin; Aşağıda bu kavramı sürekli büyüklükler durumuna genelleştireceğiz.
Matematiksel beklenti kavramını daha açık hale getirmek için ayrık bir rastgele değişkenin dağılımının mekanik yorumuna dönelim. Apsis ekseninde sırasıyla kütlelerin yoğunlaştığı apsisli noktalar olsun ve . O halde, açıkça, formül (5.6.1) ile tanımlanan matematiksel beklenti, belirli bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisinden başka bir şey değildir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. büyük sayı deneyler. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir.
Aslında, bir dağılım serisiyle karakterize edilen ayrık bir rastgele değişkeni düşünün:
Nerede 
.
Her birinde miktarın belirli bir değer aldığı bağımsız deneyler yapılsın. Değerin bir kez göründüğünü, değerin bir kez göründüğünü ve değerin bir kez göründüğünü varsayalım. Açıkça,
Matematiksel beklentinin aksine, şunu ifade ettiğimiz miktarın gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım:
Ancak bir olayın sıklığından (ya da istatistiksel olasılığından) başka bir şey yoktur; bu frekans belirlenebilir. Daha sonra
,
onlar. bir rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bu değerlerin frekanslarının çarpımlarının toplamına eşittir.
Deney sayısı arttıkça frekanslar karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılık bakımından yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, bir rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, deney sayısı arttıkça matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır).
Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, yasa biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur. büyük sayılar. Bu yasanın kesin bir kanıtını Bölüm 13'te vereceğiz.
Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada hakkında konuşuyoruz Aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığı üzerine. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve istikrar kazanarak yaklaşır. sabit değer– matematiksel beklenti.
Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi tartarken hassas terazi tartım sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.
Matematiksel beklentiye ilişkin formül (5.6.1), ayrı bir rastgele değişken durumuna karşılık gelir. İçin sürekli değer matematiksel beklenti doğal olarak toplam olarak değil integral olarak ifade edilir:
, (5.6.2)
miktarın dağılım yoğunluğu nerede .
Formül (5.6.2)'yi değiştirirsek formül (5.6.1)'den elde edilir bireysel değerler sürekli değişen x parametresi, karşılık gelen olasılıklar olasılık unsurudur, nihai miktar– integral. Gelecekte, süreksiz nicelikler için türetilen formülleri sürekli nicelikler durumuna genişletmek için bu yöntemi sıklıkla kullanacağız.
Mekanik yorumda, sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı anlamı korur - kütlenin apsis boyunca yoğunlukla sürekli olarak dağıtılması durumunda ağırlık merkezinin apsisi. Bu yorum genellikle basit mekanik değerlendirmelerden integrali (5.6.2) hesaplamadan matematiksel beklentiyi bulmayı sağlar.
Yukarıda miktarın matematiksel beklentisi için bir gösterim sunduk. Bazı durumlarda, bir miktarın formüllerde belirli bir sayı olarak yer aldığı durumlarda, onu tek harfle belirtmek daha uygundur. Bu durumlarda, bir değerin matematiksel beklentisini şu şekilde göstereceğiz:
Formüllerin belirli bir kaydının uygunluğuna bağlı olarak, gelecekte matematiksel beklenti için gösterim ve paralel olarak kullanılacaktır. Gerekirse “matematiksel beklenti” kelimesini m.o. harfleriyle kısaltmayı da kabul edelim.
Bir konumun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür.
Örneğin, bir dağılım serisine sahip süreksiz bir rastgele değişkeni düşünün:
Bunu doğrulamak kolaydır; dağıtım serisi mantıklı; ancak içindeki miktar bu durumdaıraksar ve bu nedenle değere ilişkin matematiksel bir beklenti yoktur. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenler sınırlı alan olası değerler ve elbette matematiksel bir beklentimiz var.
Yukarıda, süreksiz ve sürekli bir rastgele değişken için sırasıyla matematiksel beklentiyi ifade eden (5.6.1) ve (5.6.2) formüllerini verdik.
Miktar miktarlara aitse karışık tip, o zaman matematiksel beklentisi şu formdaki bir formülle ifade edilir:
, (5.6.3)
burada toplam, dağılım fonksiyonunun süreksiz olduğu tüm noktalara uzanır ve integral, dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu tüm alanlara uzanır.
Pratikte bir konumun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele bir değişkenin modu ve medyanı kullanılır.
Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Modu harfle belirtmeyi kabul edelim. Şek. 5.6.1 ve 5.6.2 sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.
Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisi) birden fazla maksimumu varsa dağılıma “multimodal” denir (Şekil 5.6.3 ve 5.6.4).
Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar da vardır (Şekil 5.6.5 ve 5.6.6). Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir. Bir antimodal dağılım örneği, Örnek 5, n° 5.1'de elde edilen dağılımdır.
İÇİNDE genel durum rastgele bir değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.
Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir.
Bir rastgele değişkenin medyanı, onun değeridir.
onlar. Rastgele değişkenin 'den küçük veya büyük olması eşit derecede muhtemeldir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 5.6.7).
Matematiksel beklenti. Matematiksel beklenti ayrık rastgele değişken X, ev sahibi son sayı değerler XBen olasılıklarla RBen, miktar şu şekilde adlandırılır:
Matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu hakkında F(X):
(6B)
Yanlış integral (6 B) mutlak yakınsak olduğu varsayılır (içinde aksi takdirde matematiksel beklentinin olduğunu söylüyorlar M(X) mevcut değil). Matematiksel beklenti karakterize eder ortalama değer rastgele değişken X. Boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşür.
Matematiksel beklentinin özellikleri:
Dağılım. Varyans rastgele değişken X numara denir:
Varyans saçılma özelliği rastgele değişken değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) tanımlarına dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:
(9)
Burada M = M(X).
Dispersiyon özellikleri:
Standart sapma:
(11)
Ortalamanın boyutundan beri kare sapma Rastgele değişkenle aynı olduğundan, varyanstan çok dağılım ölçüsü olarak kullanılır.
Dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve dağılım kavramları daha fazlasının özel durumlarıdır. genel konsept rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri için – dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılmaktadır. Yani, sipariş anı k noktaya göre X 0'a matematiksel beklenti denir M(X–X 0 )k. Kökeni hakkında anlar X= 0 denir ilk anlar ve belirlenmişlerdir:
(12)
Birinci dereceden başlangıç momenti, söz konusu rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:
(13)
Dağıtım merkezi ile ilgili anlar X= M denir merkezi noktalar ve belirlenmişlerdir:
(14)
(7)'den birinci dereceden merkezi momentin her zaman olduğu sonucu çıkar. sıfıra eşit:
Merkezi momentler, kaydırıldığından beri rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. sabit değer İLE dağıtım merkezi aynı değerde değişiyor İLE ve merkezden sapma değişmez: X – M = (X – İLE) – (M – İLE).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- Bu ikinci dereceden merkezi moment:
Asimetri. Üçüncü dereceden merkezi moment:
(17)
değerlendirmeye hizmet eder dağıtım asimetrileri. Dağılım noktaya göre simetrik ise X= M o zaman üçüncü dereceden merkezi moment sıfıra eşit olacaktır (tek dereceli tüm merkezi momentler gibi). Bu nedenle üçüncü dereceden merkezi moment sıfırdan farklıysa dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz bir ölçüm kullanılarak değerlendirilir. asimetri katsayısı:
(18)
Asimetri katsayısının (18) işareti sağ veya sol taraftaki asimetriyi gösterir (Şekil 2).
Pirinç. 2. Dağıtım asimetrisi türleri.
Aşırı. Dördüncü dereceden merkezi moment:
(19)
sözde değerlendirmeye hizmet eder aşırı, eğriye göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (sivrilik) derecesini belirler normal dağılım. Normal bir dağılım için basıklık olarak alınan değer:
(20)
Şek. Şekil 3'te dağılım eğrilerinin örnekleri gösterilmektedir farklı anlamlar aşırı. Normal dağılım için e= 0. Normalden daha sivri olan eğrilerin pozitif basıklığı vardır, tepesi daha düz olanların ise negatif basıklığı vardır.
Pirinç. 3. Dağılım eğrileri değişen dereceler serinlik (fazla).
Mühendislik uygulamalarında yüksek dereceli momentler matematiksel istatistik genellikle kullanılmaz.
Moda
ayrık Rastgele bir değişken onun en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa dağılım denir. tek modlu. Bir dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa bu dağılıma dağılım denir. çok modlu. Bazen eğrileri maksimumdan ziyade minimuma sahip olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal. Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, modal yani bir modu olan, simetrik bir dağılıma sahip olan ve matematiksel bir beklentinin olması koşuluyla, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşen bir dağılımdır.
Medyan rastgele değişken X- anlamı bu Meh, eşitliğin geçerli olduğu: yani rastgele değişkenin eşit derecede muhtemel olması X daha az veya daha fazla olacak Meh. geometrik olarak medyan dağılım eğrisinin altındaki alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik modal dağılım durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.