Bu geometrik şekiller bizi her yerde çevreliyor. Dışbükey çokgenler petek gibi doğal veya yapay (insan yapımı) olabilir. Bu rakamlar üretimde kullanılıyor çeşitli türler kaplamalarda, resimde, mimaride, dekorasyonda vb. Dışbükey çokgenler, tüm noktalarının, bu çizginin bir çift bitişik köşesinden geçen bir çizginin bir tarafında bulunması özelliğine sahiptir. geometrik şekil. Başka tanımlar da var. Dışbükey çokgen, kenarlarından birini içeren herhangi bir düz çizgiye göre tek bir yarım düzlemde yer alan bir çokgendir.
biliyorum temel geometri Her zaman yalnızca basit çokgenler dikkate alınır. Bunların tüm özelliklerini anlamak için onların doğasını anlamak gerekir. Öncelikle uçları çakışan herhangi bir çizgiye kapalı denildiğini anlamalısınız. Ayrıca, onun oluşturduğu şekil çeşitli konfigürasyonlara sahip olabilir. Bir çokgen basit bir kapalı kırık çizgi Komşu bağlantıların aynı düz çizgi üzerinde yer almadığı. Bağlantıları ve köşeleri sırasıyla bu geometrik şeklin kenarları ve köşeleridir. Basit bir çoklu çizginin kendi kendine kesişimleri olmamalıdır.
Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçlarını temsil ediyorlarsa bitişik olarak adlandırılır. Geometrik bir şekil olan n'inci sayı zirveler ve bu nedenle n'inci miktar kenarlara n-gon denir. Kesikli çizginin kendisine bu geometrik şeklin sınırı veya konturu denir. Çokgen bir düzlem veya düz çokgen, kendisi tarafından sınırlanan herhangi bir düzlemin sonlu kısmıdır. Bu geometrik şeklin komşu kenarları, bir tepe noktasından çıkan kesikli bir çizginin parçalarıdır. Çokgenin farklı köşelerinden geliyorlarsa bitişik olmayacaklardır.
Dışbükey çokgenlerin diğer tanımları
Temel geometride, hangi poligonun dışbükey olarak adlandırıldığını gösteren, anlam bakımından eşdeğer birkaç tanım daha vardır. Üstelik tüm bu formülasyonlar aynı derecede bunlar doğrudur. Bir çokgen aşağıdaki durumlarda dışbükey kabul edilir:
İçerisindeki herhangi iki noktayı birbirine bağlayan her parça tamamen onun içindedir;
Bütün köşegenleri onun içindedir;
Herhangi bir iç açı 180°'yi aşmaz.
Bir çokgen her zaman bir düzlemi 2 parçaya böler. Bunlardan biri sınırlıdır (bir daire içine alınabilir), diğeri sınırsızdır. Birincisi bu geometrik şeklin iç bölgesi, ikincisi ise dış bölgesidir. Bu çokgen, birkaç yarım düzlemin kesişimidir (başka bir deyişle ortak bileşen). Ayrıca çokgene ait noktalarda uçları olan her parça tamamen kendisine aittir.
Dışbükey çokgen çeşitleri
Dışbükey çokgenin tanımı, çok sayıda türün olduğunu göstermez. Üstelik her birinin belirli kriterleri var. Bu nedenle, iç açısı 180°'ye eşit olan dışbükey çokgenlere zayıf dışbükey denir. Üç köşesi olan dışbükey geometrik şekle üçgen, dörde dörtgen, beşe beşgen vb. denir. Dışbükey n-gonların her biri aşağıdaki en önemli gereksinimi karşılar: n, 3'e eşit veya daha büyük olmalıdır. Her biri üçgenlerin dışbükeydir. Geometrik şekil bu türden Tüm köşeleri aynı daire üzerinde bulunanlara daire içine yazılı denir. Dışbükey bir çokgen, daireye yakın tüm kenarları ona dokunuyorsa, çevrelenmiş olarak adlandırılır. İki çokgenin ancak süperpozisyonla bir araya getirilebiliyorsa uyumlu olduğu söylenir. Düzlem çokgen, bu geometrik şekille sınırlanan çokgen bir düzlemdir (bir düzlemin parçası).
Düzenli dışbükey çokgenler
Düzenli çokgenler geometrik şekillerdir. eşit açılar ve taraflar. İçlerinde her bir köşeden aynı mesafede bulunan bir 0 noktası vardır. Bu geometrik şeklin merkezi denir. Bu geometrik şeklin merkezini köşe noktalarına bağlayan parçalara apotem, 0 noktasını kenarlara bağlayan parçalara ise yarıçap adı verilir.
Düzenli bir dörtgen bir karedir. Düzenli üçgen eşkenar denir. Bu tür şekiller için şu kural vardır: Dışbükey bir çokgenin her açısı 180° * (n-2)/ n'ye eşittir,
burada n, bu dışbükey geometrik şeklin köşe sayısıdır.
Herhangi bir alan düzenli çokgen formülle belirlenir:
burada p tüm kenarların toplamının yarısına eşittir verilen çokgen ve h, kısa çizginin uzunluğuna eşittir.
Dışbükey çokgenlerin özellikleri
Dışbükey çokgenler belirli özellikler. Dolayısıyla, böyle bir geometrik şeklin herhangi 2 noktasını birleştiren bir segmentin mutlaka içinde bulunması gerekir. Kanıt:
P'nin verildiğini varsayalım. dışbükey çokgen. 2 al keyfi noktalar, örneğin R. Po'ya ait olan A, B mevcut tanım dışbükey bir çokgenin bu noktaları, herhangi bir P kenarını içeren çizginin bir tarafında bulunur. Sonuç olarak, AB de bu özelliğe sahiptir ve P'de bulunur. Dışbükey bir çokgen her zaman kesinlikle tüm köşegenlerle birkaç üçgene bölünebilir köşelerinden birinden çizilir.
Dışbükey geometrik şekillerin açıları
Dışbükey bir çokgenin açıları, kenarlarının oluşturduğu açılardır. İç açılar verilen geometrik şeklin iç bölgesinde bulunur. Bir köşede buluşan kenarlarının oluşturduğu açıya dışbükey çokgenin açısı denir. Belirli bir geometrik şeklin iç açılarına sahip olanlara dış denir. İçinde bulunan dışbükey bir çokgenin her açısı şuna eşittir:
burada x dış açının boyutudur. Bu basit formül bu türdeki herhangi bir geometrik şekil için geçerlidir.
İÇİNDE genel durum, İçin dış köşeler var aşağıdaki kural: Dışbükey bir çokgenin her açısı, 180° ile iç açısı arasındaki farka eşittir. -180° ile 180° arasında değişen değerlere sahip olabilir. Bu nedenle iç açı 120° olduğunda dış açı 60° olur.
Dışbükey çokgenlerin açılarının toplamı
Toplam iç köşeler dışbükey çokgen aşağıdaki formülle belirlenir:
burada n, n-gon'un köşe sayısıdır.
Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı oldukça basit bir şekilde hesaplanır. Böyle herhangi bir geometrik şekli düşünün. Dışbükey bir çokgenin içindeki açıların toplamını belirlemek için köşelerinden birini diğer köşelere bağlamanız gerekir. Bu işlem sonucunda (n-2) üçgen elde edilir. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamının her zaman 180°'ye eşit olduğu bilinmektedir. Herhangi bir çokgendeki sayıları (n-2) olduğundan, böyle bir şeklin iç açılarının toplamı 180° x (n-2)'ye eşittir.
Belirli bir dışbükey geometrik şekil için bir dışbükey çokgenin açılarının toplamı, yani herhangi iki iç ve bitişik dış açı, her zaman 180°'ye eşit olacaktır. Buna dayanarak tüm açılarının toplamını belirleyebiliriz:
İç açıların toplamı 180°* (n-2)'dir. Buna dayanarak, belirli bir şeklin tüm dış açılarının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360° olacaktır (kenar sayısına bakılmaksızın).
Dışbükey bir çokgenin dış açısı genellikle 180° ile iç açının değeri arasındaki farkla temsil edilir.
Dışbükey çokgenin diğer özellikleri
Bu geometrik şekillerin temel özelliklerine ek olarak, onları manipüle ederken ortaya çıkan başka özellikleri de vardır. Böylece, herhangi bir çokgen birkaç dışbükey n-gona bölünebilir. Bunu yapmak için her bir kenarını devam ettirmeniz ve bu geometrik şekli bu düz çizgiler boyunca kesmeniz gerekiyor. Herhangi bir çokgeni, her parçanın köşeleri tüm köşeleriyle çakışacak şekilde birkaç dışbükey parçaya bölmek de mümkündür. Böyle bir geometrik şekilden, tüm köşegenleri bir köşeden çizerek çok basit bir şekilde üçgenler oluşturabilirsiniz. Böylece, herhangi bir çokgen sonuçta belirli sayıda üçgene bölünebilir ve bunun çözümde çok yararlı olduğu ortaya çıkar. çeşitli görevler bu tür geometrik şekillerle ilişkilidir.
Dışbükey bir çokgenin çevresi
Çokgenin kenarları olarak adlandırılan kesikli bir çizginin bölümleri çoğunlukla şu harflerle gösterilir: ab, bc, cd, de, ea. Bunlar a, b, c, d, e köşelerine sahip geometrik bir şeklin kenarlarıdır. Bu dışbükey çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına çevresi denir.
Bir çokgenin çemberi
Dışbükey çokgenler yazılabilir veya çevrelenebilir. Bu geometrik şeklin her tarafına dokunan daireye, içine yazılı denir. Böyle bir çokgene sınırlı denir. Bir çokgen içine yazılan bir dairenin merkezi, belirli bir geometrik şekil içindeki tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasıdır. Böyle bir çokgenin alanı şuna eşittir:
burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve p, verilen çokgenin yarı çevresidir.
Bir çokgenin köşelerini içeren daireye çevrelenmiş daire denir. Bu durumda, bu dışbükey geometrik şekle yazılı denir. Böyle bir çokgenin etrafında tanımlanan dairenin merkezi, tüm kenarların dik açıortayları olarak adlandırılan kesişme noktasıdır.
Dışbükey geometrik şekillerin köşegenleri
Dışbükey bir çokgenin köşegenleri birbirine bağlanan parçalardır komşu zirveler. Her biri bu geometrik şeklin içinde yer alıyor. Böyle bir n-gon'un köşegen sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:
N = n (n - 3)/ 2.
Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı oynar önemli rol temel geometride. Her bir dışbükey çokgenin bölünebileceği üçgen sayısı (K) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı her zaman köşe sayısına bağlıdır.
Dışbükey bir çokgeni bölümlendirme
Bazı durumlarda çözmek için geometrik problemler dışbükey bir çokgeni ayrık köşegenlere sahip birkaç üçgene bölmek gerekir. Bu problem belli bir formül çıkarılarak çözülebilir.
Sorunun tanımı: belirli bir bölüme doğru diyelim dışbükey n-gon köşegenleri yalnızca bu geometrik şeklin köşelerinde kesişen birkaç üçgene bölün.
Çözüm: P1, P2, P3..., Pn'nin bu n-gon'un köşeleri olduğunu varsayalım. Xn sayısı bölümlerinin sayısıdır. Pi Pn geometrik şeklinin ortaya çıkan köşegenini dikkatlice inceleyelim. herhangi birinde doğru bölümlerР1 Pn, 1 değeri olan belirli bir Р1 Pi Pn üçgenine aittir. i = 2, her zaman P2 Pn köşegenini içeren düzenli bölümlerin bir grubu olsun. İçerisinde bulunan bölümlerin sayısı, (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışmaktadır. Başka bir deyişle Xn-1'e eşittir. Eğer i = 3 ise, bu diğer bölüm grubu her zaman P3 P1 ve P3 Pn köşegenlerini içerecektir. Bu durumda, bu grupta yer alan normal bölümlerin sayısı, (n-2)-gon P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışacaktır. Başka bir deyişle Xn-2'ye eşit olacaktır. i = 4 olsun, o zaman üçgenler arasında doğru bölüm kesinlikle P1 P2 P3 P4 dörtgenine, (n-3)-gon P4 P5... Pn'ye komşu olacak P1 P4 Pn üçgenini içerecektir. Böyle bir dörtgenin düzenli bölüm sayısı X4'tür ve bir (n-3)-gon'un bölüm sayısı Xn-3'tür. Yukarıdakilerin hepsine dayanarak, bu grupta yer alan normal bölümlerin toplam sayısının Xn-3 X4'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. i = 4, 5, 6, 7... olan diğer gruplar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... normal bölümleri içerecektir. i = n-2 olsun, o zaman bu gruptaki doğru bölüm sayısı, i=2 olan gruptaki bölüm sayısıyla çakışacaktır (başka bir deyişle Xn-1'e eşit). X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... olduğuna göre, bir dışbükey çokgenin tüm bölümlerinin sayısı şuna eşittir: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Belirli durumları kontrol ederken, dışbükey n-gonların köşegen sayısının, bu şeklin (n-3)'e tüm bölümlerinin çarpımına eşit olduğu varsayımına varılabilir. Bu varsayımın kanıtı: P1n = Xn * (n-3) olduğunu varsayalım, o zaman herhangi bir n-gon (n-2)-üçgenlere bölünebilir. Ayrıca bunlardan bir (n-3)-dörtgeni oluşturulabilir. Bununla birlikte her dörtgenin bir köşegeni olacaktır. Bu dışbükey geometrik şekilde iki köşegen çizilebildiğinden, bu, herhangi bir (n-3)-dörtgeninde ilave (n-3) köşegen çizilebileceği anlamına gelir. Buna dayanarak, herhangi bir düzenli bölmede bu problemin koşullarını karşılayan (n-3) köşegenlerini çizmenin mümkün olduğu sonucuna varabiliriz. Çoğu zaman, temel geometrinin çeşitli problemlerini çözerken, dışbükey bir çokgenin alanını belirlemek gerekli hale gelir. (Xi.Yi), i = 1,2,3... n'nin kendi kesişimleri olmayan bir çokgenin tüm komşu köşelerinin koordinat dizisi olduğunu varsayalım. Bu durumda alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: S = ½ (∑ (X ben + X ben + 1) (Y ben + Y ben + 1)) burada (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Tanım 1. Kesikli bir çizgi, birinci bölümün bir ucunun ikincinin sonu, ikinci bölümün diğer ucunun üçüncü bölümün sonu olarak hizmet ettiği, vb. gibi sonlu bir bölüm dizisidir. Kesikli bir çizgiyi oluşturan bölümlere bağlantı denir. Bitişik bölümler aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Kesikli bir çizginin uçları çakışıyorsa buna denir. kapalı. Bir sürekli çizgi kendisiyle kesişebilir, kendisine dokunabilir ve kendi üzerinde durabilir. Kırık bir çizginin bu özellikleri yoksa buna denir. basit.
Tanım 2. Düzlemin sınırladığı kısmıyla birlikte basit, kapalı, kesikli bir çizgiye çokgen denir. Kesikli çizginin kendisine çokgenin sınırı denir, kesikli çizginin bağlantıları denir partilerçokgen, bağlantıların uçları çokgenin köşeleridir. Bir çokgenin bitişik iki tarafı bir açı oluşturur. Bir çokgenin açı sayısı kenar sayısına eşittir. Her çokgenin açıları 180°'den küçüktür. Çokgenin kenarlarına ve açılarına denir elemanlarçokgen. Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Herhangi bir n-gon'un n-2 köşegeni olabilir. Tanım 3.Çokgen denir dışbükey, eğer kendi tarafını içeren her satırın bir tarafında yer alıyorsa. Bu koşulu sağlamayan çokgenlere dışbükey olmayan denir. Dışbükey çokgenlerin özellikleri. Mülk 1. Dışbükey bir çokgenin tüm açıları 180°'den küçüktür. İspat: P dışbükey çokgeninin herhangi bir A açısını ve A köşesinden gelen a kenarını alın. L, a kenarını içeren düz bir çizgi olsun. P çokgeni dışbükey olduğundan l çizgisinin bir tarafında yer alır. Bu nedenle A açısı l düz çizgisinin bir tarafında yer alır. Sonuç olarak, A açısı açılmış olandan daha küçüktür, yani ÐA< 180°.
Mülk 2. Bir dışbükey çokgenin herhangi iki noktasını birleştiren bir doğru parçası bu çokgenin içinde bulunur. İspat: Bir dışbükey P çokgeninin herhangi iki M ve N noktasını alın. P çokgeni birkaç yarım düzlemin kesişimidir. MN segmenti bu yarım düzlemlerin her birinde yer alır. Bu nedenle R poligonunda da bulunur. Mülk 3. Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı (n – 2)∙180°'dir. İspat: Dışbükey P çokgeninin içinde rastgele bir O noktası alın ve onu çokgenin tüm köşelerine bağlayın. Her birinin açılarının toplamı 180° olan N adet üçgen oluşuyor. O köşesindeki açıların toplamı 360° = 2∙180° olur. Dolayısıyla bir çokgenin açılarının toplamı n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°'dir. Paralelkenar kavramı. Paralelkenarın özellikleri. Tanım 1. Karşılıklı kenarları çiftler halinde paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Her paralelkenarın dört köşesi, dört kenarı ve dört köşesi vardır. Uçları ortak olan iki tarafa denir bitişik. Her paralelkenarın iki köşegeni vardır - paralelkenarın zıt köşelerini bağlayan bölümler. Paralelkenarın açılarının toplamı 360°'dir. Paralelkenarın özellikleri. İspat: AC köşegenini çizelim. AC – genel; РВАС = РАСD (AB II BC'de ve AC sekantında dahili çapraz uzanan); РВСА = РСАD (MS II BC'de ve AC sekantında iç çapraz uzanan); Þ DABC = DADC (2 özelliğe dayalı). AB = CD; BC = MS; РВ = РD. RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Ş РА = РС. Mülk 2. Paralelkenarda bir kenara bitişik açıların toplamı 180°'dir. Kanıt: РВ + РА =180° (BC II AD ve sekant AB ile dahili tek taraflı). ÐB + ÐС =180° (AB II CD ve sekant BC ile iç tek taraflı). ÐD + ÐC =180° (BC II AD ve sekant CD ile iç tek taraflı). ÐA + ÐD =180° (AB II CD ve sekant AD ile dahili tek taraflı). Mülk 3. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür. AB = CD (birinci paralelkenara göre); ÐABO = ÐODC (AB II CD ve sekant BD'de iç çapraz uzanan); РБАО = РОСD (AB II CD ve sekant AC'de dahili çapraz uzanan); Þ DABO = DODC (2 özelliğe dayalı). BO = OD; AO = OC. Paralelkenarın işaretleri. İmza 1. Bir dörtgenin iki kenarı eşit ve paralel ise bu dörtgen bir paralelkenardır. Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Daha sonra bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri kanıtlayacağız. Sonuç olarak, ileriki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız. Konu: Dörtgenler Ders: Çokgenler Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler. Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1). Pirinç. 1. Üçgen İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil. Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey çokgen Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez. Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir. Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen. Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir; bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2). Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir. Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı. Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan. Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler. Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'de bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir. Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var. Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa. Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3. Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür. Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım. Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon). Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede? Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon. Pirinç. 4. Dışbükey n-gon Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur: Q.E.D. İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın. Pirinç. 5. N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz: Q.E.D. Kanıtlanmış. Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb. Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon). Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , ..., dış açılardır. Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin. Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık. Kanıtlanmış. Kanıtlanmış teoremden ilginç bir gerçek çıkar: dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: Referanslar Ev ödevi Çokgen kavramı Tanım 1 Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların sonu - çokgenin köşeleri. Tanım 2 $n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir. Tanım 3 Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1). Şekil 1. Dışbükey çokgen Tanım 4 Bir çokgen, kenarlarından geçen en az bir düz çizginin karşıt taraflarında yer alıyorsa, bu çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2). Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım. Teorem 1 Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir \[(n-2)\cdot (180)^0\] Kanıt. Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini bu çokgenin diğer tüm köşelerine bağlayalım (Şekil 3). Şekil 3. Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, dışbükey bir üçgenin açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz. \[(n-2)\cdot (180)^0\] Teorem kanıtlandı. $2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır. Tanım 5 Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4). Şekil 4. Dörtgen Bir dörtgen için, dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan dörtgen kavramları benzer şekilde tanımlanır. Dışbükey dörtgenlerin klasik örnekleri kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5). Şekil 5. Dışbükey dörtgenler Teorem 2 Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır Kanıt. $1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz: \[(n-2)\cdot (180)^0\] Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir: \[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\] Teorem kanıtlandı. Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Daha sonra bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri kanıtlayacağız. Sonuç olarak, ileriki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız. Konu: Dörtgenler Ders: Çokgenler Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler. Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1). Pirinç. 1. Üçgen İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil. Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey çokgen Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez. Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir. Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen. Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir; bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2). Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir. Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı. Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan. Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler. Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'de bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir. Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var. Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa. Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3. Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür. Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım. Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon). Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede? Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon. Pirinç. 4. Dışbükey n-gon Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur: Q.E.D. İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın. Pirinç. 5. N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz: Q.E.D. Kanıtlanmış. Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb. Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon). Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , ..., dış açılardır. Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin. Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık. Kanıtlanmış. Kanıtlanmış teoremden ilginç bir gerçek çıkar: dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: Referanslar Ev ödeviİçeride bir köşegenle kesişen normal bölümlerin sayısı
Dışbükey çokgenlerin alanı
Mülk 1. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit ve zıt açıları çiftler halinde eşittir.
İspat: O noktasında kesişen AC ve BD köşegenlerini çizelim.Verilenler: ABCD – dörtgen; MS II M.Ö.
ve benzer şekilde geri kalan dış köşeler için. Daha sonra:
açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.Çokgen türleri
Bir çokgenin açılarının toplamı
Dörtgen kavramı
ve benzer şekilde geri kalan dış köşeler için. Daha sonra:açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.