คณิตศาสตร์
พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์
(การคำนวณมาตรฐาน)
แนวทางและการควบคุมงาน
สำหรับ งานอิสระนักเรียน
ความเชี่ยวชาญพิเศษของภูเขา เต็มเวลาการฝึกอบรม
เรียบเรียงโดย M.K. Kurchin
ได้รับการอนุมัติในที่ประชุมแผนก
คณะกรรมการด้านการศึกษาและระเบียบวิธี
พิเศษ 130403
พิธีสารหมายเลข 10 เมื่อวันที่ 27/04/2552
สำเนาอิเล็กทรอนิกส์จะถูกเก็บไว้
ในห้องสมุดอาคารหลัก
กู คุซGTU
| |
งานนี้ให้บริการการคำนวณมาตรฐานคุณภาพสูงโดยนักศึกษาปีแรกในช่วงแรก ภาคการศึกษาตามหัวข้อ " พีชคณิตเชิงเส้น" และ " เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- แนะนำให้ใช้ "Kurchin M.K. Algebra and Geometry for Engineers: Textbook" เป็นตำราเรียนหลัก เบี้ยเลี้ยง / มหาวิทยาลัยรัฐ KuzGTU – เคเมโรโว, 2004. – 158 หน้า” กล่าวคือตามตำราเรียนนี้มีการระบุย่อหน้าสำหรับงานอิสระไว้ในแนวทางแก้ไขปัญหาที่กำหนด แนวทางประกอบด้วยตัวอย่างการคำนวณทั่วไป (หกงาน) และงานควบคุมจำนวน 36 ตัวเลือก ในตอนท้าย คำแนะนำระเบียบวิธีมีคำตอบให้กับทุกปัญหา
ตัวอย่างการคำนวณทั่วไป
ปัญหาที่ 1- แก้ระบบ
ก) วิธีการ การกำจัดตามลำดับไม่ทราบ;
b) วิธีการกำหนด; c) วิธีเมทริกซ์
สารละลาย. ก) เราควร (§1) เขียนเมทริกซ์จากค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ แนบคอลัมน์ที่มีเงื่อนไขอิสระคั่นไว้เพื่อความสะดวกด้วยแถบแนวตั้ง และทำการแปลงทั้งหมดในแถวของเมทริกซ์ที่ขยายนี้
ให้เราแปลงเมทริกซ์ขยายของระบบนี้: 
- ไม่จำเป็นต้องแปลงเมทริกซ์แบบขยายอีกต่อไป
เราจึงมาถึงระบบสมการ
หรือ 
ครอบครอง ทางออกเดียว เอ็กซ์ = –1, ย = -2, z = 1.
ระบบเริ่มแรกปรากฏชัดเจน
ข) สำหรับระบบของเรา (§5 และ §6) เราคำนวณปัจจัยกำหนดที่จำเป็นทั้งหมด ที่นี่:
,
,
,
,
ตอนนี้เราพบมันแล้ว
c) เมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบจะเป็น:
- ดีเทอร์มิแนนต์ D = | ก- = 2 ดังนั้น เมทริกซ์ผกผัน ก- มี 1 อยู่ (§44 และ §45) และ
เมทริกซ์คอลัมน์ของเงื่อนไขอิสระของสมการระบบจะเป็น: คำตอบของระบบจะเป็นเมทริกซ์:
, เช่น.
|
ปัญหาที่ 2- จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุด ก(–5; 1; 3), บี(–5; 4; 7) และ ค(5; –4; –7) ค้นหาพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม ขนาดของมุม กและโคไซน์ทิศทางของเส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้
สารละลาย. เพื่อค้นหาพิกัดของจุด เอฟเป็นจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยม โปรดทราบว่ามันแบ่งค่ามัธยฐาน บีดีในอัตราส่วน 2:1 นับจากด้านบน บีและชี้ ดีแบ่งด้านข้าง ค.ศครึ่งหนึ่ง (§§7-15) ค้นหาพิกัดของจุด ดีซึ่งเราใช้สูตรในการแบ่งส่วนครึ่งหนึ่ง:
ดังนั้น, 
และช่วงเวลา เอฟแบ่งส่วน บีดีมีความสัมพันธ์
.
การหาพิกัดของจุด เอฟ:
และจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุดนั้น 
เพื่อที่จะหามุม กเราระบุเวกเตอร์ (รูปที่ 1)
และ 
(ลบพิกัดเริ่มต้นออกจากพิกัดสิ้นสุด) และค้นหาความยาว:
แล้ว 
,
และมุมนั้นเอง กจะเท่ากับ "37.17 องศา
โคไซน์ทิศทางของเส้นแบ่งครึ่งมุม กสามารถพบได้สองวิธี มาดูพวกเขากันดีกว่า
1 วิธี- แบ่งครึ่ง มุมภายในสามเหลี่ยมแบ่ง ฝั่งตรงข้ามเป็นส่วนต่างๆ ตามสัดส่วนของด้านที่อยู่ติดกัน จากนี้เราก็สรุปได้ว่าประเด็นนี้ เคแบ่งส่วน NEมีความสัมพันธ์ 
การหาพิกัดของจุด เค:
|
ดังนั้น และเวกเตอร์เส้นแบ่งครึ่ง
ความยาวของมัน 
2 ทาง- เราจะพิจารณาในทิศทางของเวกเตอร์ เวกเตอร์หน่วย
และ 
.
ถ้าเราบวกเวกเตอร์พวกนี้, แล้วสี่เหลี่ยมด้านขนาน AMLNจะเป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและเส้นทแยงมุมในเวลาเดียวกัน อัลจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม ก- เพราะฉะนั้น, 
ลองหาความยาวของเวกเตอร์นี้: 
ปัญหา 3- คำนวณระยะทางจากจุด เค(2; –1; –2) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 1 (3; –3; –5) และเส้นตรง 
รจากจุด เค.
สารละลาย. เส้นที่กำหนดจะผ่านจุดหนึ่ง ม 0 (6; 1; 2) ขนานกับเวกเตอร์ = (6; 8; –5) (§27, ปัญหา 4) ลองหาเวกเตอร์กัน =(–3; –4; –7) เวกเตอร์ระนาบปกติ รตั้งฉากกับเวกเตอร์และ เราก็เลยเอามาเป็นเวกเตอร์ปกติได้ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์และ .
|
.
จะสะดวกกว่าสำหรับเราที่จะใช้เป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์นั้นสั้นกว่า –19 เท่า เช่น = (4; –3; 0) ทีนี้ลองเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดนั้นลงไป ม 1 ตั้งฉากกับเวกเตอร์:
4(x – 3) – 3(ย + 3) = 0, ป: 4x – 3ย – 21 = 0.
มันยังคงคำนวณระยะทางของจุด เคจากเครื่องบิน ร:
.
และเขียนสมการของการตั้งฉากที่ตกจากจุดหนึ่งลงไป เคไปที่เครื่องบิน ร:
.
ปัญหาที่ 4- สมการที่ให้มา เอ็กซ์ – 2ที่ – 1 = 0, เอ็กซ์ + 3ที่– 6 = 0 และ 3 เอ็กซ์ – ที่+ 2 = 0 ของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมและค่ามัธยฐาน เขียนสมการสำหรับด้านที่สามของสามเหลี่ยมและระดับความสูงลดลงมาทางด้านนี้
สารละลาย. ให้สมการของด้านต่างๆ
เอบี: เอ็กซ์ – 2ที่– 1 = 0 และ บี.ซี.: เอ็กซ์ + 3ที่ – 6 = 0.
ค้นหา (§28) พิกัดของจุดยอด บี: 
บี(3; 1).
พิกัดจุดยอด บีสมการค่ามัธยฐานไม่เป็นที่พอใจ: 3 3 – 1 – 6 ¹ 0 ให้ดึงค่ามัธยฐานจากจุดยอด กไปทางด้านข้าง บี.ซี.- ค้นหาพิกัดของจุดยอด
|
ก: 
ก(–1; –1).
ตอนนี้เรามาดูพิกัดของจุดกัน เคสี่แยกมัธยฐาน อ.เค.กับด้านข้าง บี.ซี.:
เค: 
เค(0; 2).
จุด คแบ่งส่วน บี.เค.ภายนอกที่เกี่ยวข้องกับ 
.
เพราะฉะนั้น, ค(–3; 3).
เวกเตอร์ 
และสมการของด้าน เอ.ซี.เหมือนผ่านจุดหนึ่ง ก, ขนานกับเวกเตอร์, จะถูกเขียน:
หรือ 2 x + ย + 3 = 0.
ความสูง บี.เอช.ไปด้านบน บีและในฐานะเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถใช้เวกเตอร์ได้ จากนั้นสมการของมันจะเขียนว่า:
–2(x – 3) + 4(ย– 1) = 0 หรือ x – 2ย – 1 = 0.
ปัญหาที่ 5- ผ่านจุด ใน(8; -3) วาดเส้นตรงเพื่อให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นและแกนพิกัดเท่ากับหนึ่งหน่วยสี่เหลี่ยม
สารละลาย- ขอให้เราใช้สมการของเส้นตรงในรูปของสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ โดยที่ กและ ข– ค่าของส่วนตัดเป็นเส้นตรงที่ แกนประสานงาน(§28)
|
ปัญหามี 2 วิธีแก้ไข ตรงอันหนึ่ง ล 1 ตัดกับมุมพิกัดแรกที่ ก > 0, ข> 0 และ เกี่ยวกับ> 0. เส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง ล 2 ตัดกับมุมพิกัดที่สาม ซึ่ง ก < 0, ข < 0 и เกี่ยวกับ > 0.
พื้นที่ของสามเหลี่ยมและเนื่องจากเรามีไม่ว่าในกรณีใด
นอกจากนี้เส้นตรงที่ต้องการจะผ่านจุดนั้นด้วย ในและพิกัดของอันหลังเป็นไปตามสมการเส้นตรง
ดังนั้นตามเงื่อนไขของปัญหาเราก็มีระบบ
มาแก้ระบบนี้กัน:
หรือ 
คำตอบของระบบนี้จะเป็นค่าสองคู่:
และ
ดังนั้น เส้นตรงที่ต้องการจึงมีสมการดังนี้
|
หรือ x + 2ย – 2 = 0;
หรือ 9 x + 32ย – 24 = 0.
คำตอบ: เอ็กซ์ + 2ที่ -2 = 0; 9เอ็กซ์ +32ที่ –24 = 0.
ปัญหาที่ 6- จากจุด บี(4; 0) ลำแสงพุ่งตรงเป็นมุมโค้งกับเส้นตรง x – 2ย
สารละลาย. 1). ให้รังสีตกกระทบพุ่งเป็นเส้นตรง ปริญญาตรีดังนั้นมุม บ.บ x – 2ย ปริญญาตรีได้มาจากการหมุนเวกเตอร์ทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุม φ ลองใช้สูตรในการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ที่ได้จากการหมุนทวนเข็มนาฬิกา เวกเตอร์ที่กำหนดในบางมุม (§20):
(1)
ในฐานะเวกเตอร์ คุณสามารถใช้เวกเตอร์แบบยืดได้ เช่น สูตร (1) จะอยู่ในรูปแบบ:
หรือด้วยข้อมูลงาน 
.
ลองหาสมการของเส้นตรงกัน เอบี,ผ่านจุด บีและมีเวกเตอร์ปกติ (§28):
4(x – 4) –3(ย–0) = 0 หรือ 4 x – 3ย = 16.
การหาพิกัดของจุด ก: 
สำหรับรังสีสะท้อน เราสามารถหาเวกเตอร์ปกติได้โดยการหมุนเวกเตอร์ด้วยมุม φ เท่ากัน แต่ตอนนี้หมุนตามเข็มนาฬิกา การแทนที่มุม φ ด้วยมุม –φ ในสูตรสำหรับการคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ที่ถูกแปลง เราได้ระบบ:
หรือด้วยข้อมูลงาน 
หากต้องการระบุพิกัดเวกเตอร์เป็นจำนวนเต็ม ให้ใช้เวกเตอร์ 
- จากนั้นสมการของรังสีสะท้อนจะถูกเขียน:
0(x – 10) – 5(ย– 8) = 0 หรือ ย = 8.
2). ตอนนี้ให้รังสีตกกระทบพุ่งเป็นเส้นตรง บี.ซี.ดังนั้นมุม บี.ซี.เอ.เท่ากับ φ = อาร์คแทน เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนด x – 2ย+ 6 = 0 ก็จะมีเวกเตอร์ด้วย เวกเตอร์ปกติของรังสีตกกระทบจะเป็นเส้นตรง บี.ซี.ได้มาจากการหมุนเวกเตอร์ทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุม π – φ ซึ่งเทียบเท่า – ขึ้นอยู่กับทางเลือกของทิศทาง – เพื่อหมุนเวกเตอร์ตามเข็มนาฬิกาด้วยมุม φ แต่นี่จะเป็นเพียงเวกเตอร์ - สมการรังสีตกกระทบ บี.ซี.จะสมัคร: 0( x – 4) – 5(ย– 0) = 0 หรือ ย= 0 จากนั้น กับ(–6; 0) และสำหรับรังสีสะท้อน เวกเตอร์ปกติจะเป็น - ในที่สุดสมการของรังสีสะท้อนจะถูกเขียน: 4( x + 6) – 3(ย– 0) = 0 หรือ 4 x – 3ย + 24 = 0.
คำตอบ: 1) ย = 8; 2) 4x – 3ย + 24 = 0.
1. พีชคณิตเชิงเส้น
แก้ระบบ สมการเชิงเส้นก) โดยวิธีการแยกสิ่งที่ไม่ทราบตามลำดับ b) วิธีการกำหนด; c) วิธีเมทริกซ์
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 23. 24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
2. พีชคณิตเวกเตอร์
จุดยอดของสามเหลี่ยมอยู่ที่จุด ก, ในและ กับ- ค้นหาพิกัดจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม โคไซน์ทิศทางของเส้นแบ่งครึ่งมุม กและขนาดของมุมนี้
| ตัวเลือก | ||||||
| ก | –4;–2;–4 | –4; 2; –2 | –1; 2; –8 | –6; 3; –2 | –8; 2; –4 | –3; –2; –2 |
| บี | –3; 2; 4 | 4; –6; 2 | –3; –6; 8 | –6; 6; 2 | –7; 6; 4 | 4; 2; 2 |
| ค | 4; 2; 4 | –2; 6; 2 | 3; 6; –1 | 6; –6; –2 | 8; –6; –2 | –1; 2; 2 |
| ตัวเลือก | ||||||
| ก | 2; –1; –1 | –5; 3; –2 | 7; 2; 0 | –1; 3; –5 | –8; 2; –3 | 5; –6; –4 |
| บี | 1; –3; –3 | 6; –7; –4 | –7; –6; –8 | 1; 7; –1 | –4; 6; 4 | –5; 5; –6 |
| ค | –2; 3; –3 | –2; 9; 4 | 8; 6; 8 | 1; –7; 6 | 8; –6; –5 | 5; 0; 4 |
| ตัวเลือก | ||||||
| ก | 4; –1; 4 | –6; –4; 2 | –2; 1; –1 | 6; –3; –4 | 4; 5; 0 | 3; –2; –1 |
| บี | –4;–3;–12 | –8; 0; 6 | 2; –3; 1 | –10;–5; 4 | 5; 9; 8 | 5; 2; 3 |
| ค | 5; 3; 12 | 8; 4; –6 | –1; 3; 1 | 10; 5; 4 | –4;–9;–8 | –5; 2; –2 |
| ตัวเลือก | ||||||
| ก | 5; 2; 1 | –6;–6;–3 | 1; –8; –4 | –6; 1; –2 | –1;–4;–8 | –7;–4;–3 |
| บี | –9;–6;–7 | –3; 0; 3 | –1; 8; 4 | –4; 5; 2 | 1; 4; 8 | –3; 4; 5 |
| ค | 9; 6; 8 | 6; 6; 3 | 2; –4; 4 | 6; –5; 2 | 0;–2;–6 | 7; 4; 5 |
| ตัวเลือก | ||||||
| ก | 4; 2; –7 | –1;–4;–8 | 0;–3;–4 | 5; –1; 4 | –1; –8; 1 | 3; –3; 1 |
| บี | 5; 6; 1 | 1; 4; 8 | 3; –3; 0 | 6; 1; 6 | –3; 8; –7 | 7; 5; 9 |
| ค | –4; –6; 7 | 1; 0; –4 | 0; 3; 4 | –6; 1; –6 | 3; –4; 8 | –7;–5;–10 |
| ตัวเลือก | ||||||
| ก | –5;–6;–4 | –1; 4; 3 | 4; –8; –4 | 3; 1; –2 | –2; 2; –6 | –8;–1;–4 |
| บี | 4; 6; –4 | 1; –7; –7 | 5; –4; 4 | –4; –3; 2 | 2; 6; 1 | –7; 3; 4 |
| ค | –4; –2; 4 | –1; 7; 7 | –4; 8; –2 | 4; 3; 0 | –2; –7; 6 | 8; –3; 4 |
3. ระนาบและเส้นตรงในอวกาศ
1. คำนวณระยะทางจากจุด เค(–5; 3; –2) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (3; 2; 4) ขนานกับเวกเตอร์ 
และตั้งฉากกับระนาบที่ 4 x + ย – 3z – 7 = 0, รจากจุด เค.
2. คำนวณระยะทางจากจุด เค(1; –1; 4) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (–2; –5; 3) ตั้งฉากกับเส้นตรง 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
3. คำนวณระยะทางจากจุด เค(–3; 0; 1) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ขนานกับเวกเตอร์ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
4. คำนวณระยะทางจากจุด เค(1; 1; 5) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (2;–1;–3) ตั้งฉากกับระนาบสองระนาบ 5 x – 2ย + 12z+ 4 = 0 และ 10 x + 7ย + 24z รจากจุด เค.
5. คำนวณระยะทางจากจุด เค(2; 5; 3) สู่เครื่องบิน ร,ผ่านจุด ม 0 (–4; 3; –1) ขนานกับเส้นตรงสองเส้น 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
6. คำนวณระยะทางจากจุด เค(4; –1; –2) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ตั้งฉากกับระนาบ –4 x + 7z+ 3 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
7. คำนวณระยะทางจากจุด เค(4; 1; 3) สู่เครื่องบิน รผ่านจุดสองจุด ม 1 (5; 3; –4) และ ม 2 (–8; 4; 8) รจากจุด เค.
8. คำนวณระยะทางจากจุด เค(4; –5; –2) สู่ระนาบ ร 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
9. คำนวณระยะทางจากจุด เค(1; –2; 3) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (4; –3; 1) ขนานกับเวกเตอร์สองตัว 
รจากจุด เค.
10. คำนวณระยะทางจากจุด เค(1; –1; 0) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (5; 2; –2) และเส้นตรง แล้วเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
11. คำนวณระยะทางจากจุด เค(2; –1; –2) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (2; –4; 0) ขนานกับเวกเตอร์ 
และตั้งฉากกับระนาบ ย + 3z รจากจุด เค.
12. คำนวณระยะทางจากจุด เค(3; 1; 2) สู่เครื่องบิน ร,ผ่านจุด ม 0 (–4; –5; 1) ตั้งฉากกับเส้นตรง 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
13. คำนวณระยะทางจากจุด เค(2; –3; 4) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ขนานกับเวกเตอร์ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
14. คำนวณระยะทางจากจุด เค(–3; 4; –8) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (–1; 3; –5) ตั้งฉากกับระนาบสองระนาบ 4 x – 2ย + 3z– 1 = 0 และ 5 x + z+ 9 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
15. คำนวณระยะทางจากจุด เค(7; 2; 5) เพื่อขึ้นเครื่องบิน ร,ผ่านจุด ม 0 (3; –2; 11) ขนานกับเส้นตรงสองเส้น 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
16. คำนวณระยะทางจากจุด เค(3; 1; 6) เพื่อขึ้นเครื่องบิน ร,ผ่านเส้น 
ตั้งฉากกับระนาบ –8 x + 3ย + 5z– 1 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
17. คำนวณระยะทางจากจุด เค(3; 6; –6) สู่ระนาบ รผ่านจุดสองจุด ม 1 (2; 4; –5) และ ม 2 (2; 5; –6) ขนานกับเวกเตอร์ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
18. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–2; –1; 7) สู่ระนาบ รผ่านเส้นขนานสองเส้น 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
19. คำนวณระยะทางจากจุด เค(2; 1; 6) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (–1; –4; 8) ขนานกับเวกเตอร์สองตัว 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
20. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(1; 3; 1) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (5;2;–2) และเส้นตรง 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
21. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(6; 3; 3) สู่เครื่องบิน ร,ผ่านจุด ม 0 (4; –3; 5) ขนานกับเวกเตอร์ 
และตั้งฉากกับระนาบ 7 x + 4ย + 3z– 2 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
22. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–3; 5; 3) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (–3; 1; 2) ตั้งฉากกับเส้นตรง 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
23. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(1; –2; 4) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ขนานกับเวกเตอร์ แล้วเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
24. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(7; 2; 5) เพื่อขึ้นเครื่องบิน ร,ผ่านจุด ม x + 3ย – 4z+ 8 = 0 และ ย + z รจากจุด เค.
25. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–1; 4; –3) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (4; –5; –2) ขนานกับเส้นตรงสองเส้น 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
26. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–1; –1; –9) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ตั้งฉากกับระนาบ 3 x + z+ 4 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
27. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–6; –1; –4) สู่ระนาบ รผ่านจุดสองจุด ม 1 (–1; 2; –6) และ ม 2 (4; –1; 2) ขนานกับเวกเตอร์ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
28. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(2; 3; –3) สู่ระนาบ รผ่านเส้นขนานสองเส้น 
และ 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
29. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–2; 3; –1) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (1; –2; 3) ขนานกับเวกเตอร์สองตัว 
และ และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
30. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(0; –1; –2) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (3; –3; –5) และโดยตรง 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
31. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(0; 2; –1) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (–1; 1; –2) ขนานกับเวกเตอร์ 
และตั้งฉากกับระนาบที่ 2 x + 5ย+ 6 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
32. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(2; 4; 1) สู่เครื่องบิน ร,ผ่านจุด ม 0 (5; 2; –4) ตั้งฉากกับเส้นตรง 
และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
33. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(4; –2; 3) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ขนานกับเวกเตอร์ แล้วเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
34. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(7; 2; –4) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (2; –4; 1) ตั้งฉากกับระนาบสองระนาบ 4 x + 3ย – 4z+ 8 = 0 และ ย + z– 3 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
35. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(–3; –2; –5) สู่ระนาบ ร,ผ่านจุด ม 0 (1; 4; –3) ขนานกับเส้นตรงสองเส้น 
และ และเขียนสมการของการตกตั้งฉากลงบนระนาบ รจากจุด เค.
36. คำนวณระยะทางจากจุดหนึ่ง เค(2; –4; 1) สู่ระนาบ ร,ผ่านเส้น 
ตั้งฉากกับระนาบ 7 x – 4ย– 3 = 0 และเขียนสมการของเส้นตั้งฉากที่ตกลงบนระนาบ รจากจุด เค.
4. ตรงบนเครื่องบิน
1. รับสมการ 2 เอ็กซ์ + 7ที่– 4 = 0 และ 4 เอ็กซ์ – 5ที่+ 30 = 0 ของด้านสองด้านที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานและจุด ม(–6; 5) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
2. เขียนสมการของด้านข้างและคำนวณพิกัดของจุดยอดของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ก(6; –1) ประเด็น โอ(0; 1) จุดตัดของเส้นทแยงมุมและจุด เอฟ(2; 3) ที่ด้านใดด้านหนึ่ง
3. เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีให้สมการ เอ็กซ์ + 3ที่– 17 = 0 และ เอ็กซ์ + 3ที่+ 3 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ เอ็กซ์ + 7ที่– 37 = 0 เส้นทแยงมุม ค้นหาสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมที่สองของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
4. ให้สอง กับ(–3; 2) และ ดี(1; 4) จุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดีและช่วงเวลา ถาม(0; –1) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการสำหรับทุกด้านและความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด กไปทางด้านข้าง ดวงอาทิตย์สี่เหลี่ยมด้านขนาน.
5. คำนวณพิกัดของจุดยอดและเขียนสมการของด้านของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบสมการ เอ็กซ์ – 7ที่+ 38 = 0 และ เอ็กซ์ – 7ที่+ 8 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ เอ็กซ์ – 2ที่+ 8 = 0 ของเส้นทแยงมุมอันใดอันหนึ่ง
6. ให้จุดยอดสองอัน ใน(3; 7) และ กับ(–11; –7) สามเหลี่ยมและจุด ร(4; 3) จุดตัดของความสูง เขียนสมการของด้านข้างและค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดที่สามของรูปสามเหลี่ยม
7. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีให้ไว้: สมการด้านข้าง เอบี: เอ็กซ์ + ที่+ 1 = 0 และสมการของสองความสูง: หนึ่ง: 3เอ็กซ์ – 8ที่+ 3 = 0 และ วีเค: 3เอ็กซ์ + 2ที่+ 9 = 0 เขียนสมการของค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดตรงข้ามด้านที่กำหนด
8. ค้นหาพิกัดของจุดยอดและสร้างสมการสำหรับด้านข้างของสามเหลี่ยม โดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ก(1; 3) และสมการที่ 4 เอ็กซ์ + 7ที่– 1 = 0 และ เอ็กซ์ – 4ที่– 13 = 0 สองความสูง เขียนสมการความสูงที่สามลงไป.
9. สมการที่กำหนด เอ็กซ์ – 2ที่ – 4 = 0, 5เอ็กซ์ – ที่+ 7 = 0 และ เอ็กซ์ + ที่– 1 = 0 ของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและค่ามัธยฐาน เขียนสมการสำหรับด้านที่สามของสามเหลี่ยมและระดับความสูงลดลงมาทางด้านนี้
10. เขียนสมการสำหรับด้านของรูปสามเหลี่ยมโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ใน(–1; 5) รวมถึงสมการความสูง 3 เอ็กซ์ + ที่+ 5 = 0 และค่ามัธยฐาน 3 เอ็กซ์ + 2ที่+ 4 = 0 ดึงมาจากจุดยอดหนึ่งจุด
11. สร้างสมการของด้านข้างและคำนวณพิกัดของจุดยอดของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน โดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ใน(2; 1) ประเด็น ส(3; 3) จุดตัดของเส้นทแยงมุมและจุด ร(1; 2) ด้านใดด้านหนึ่ง (ผ่านจุดยอด ใน).
12. สมการที่กำหนด เอ็กซ์ + 3ที่ + 7 = 0, 3เอ็กซ์ – 8ที่+ 4 = 0 และ 4 เอ็กซ์ – 5ที่– 6 = 0 ของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและค่ามัธยฐาน เขียนสมการสำหรับด้านที่สามของสามเหลี่ยมและระดับความสูงลดลงมาทางด้านนี้
13. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีให้สมการที่ 4 เอ็กซ์ – ที่+ 34 = 0 และ 4 เอ็กซ์ – ที่– 17 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ 7 เอ็กซ์ + 11ที่– 17 = 0 เส้นทแยงมุม ค้นหาสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมที่สองของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
14. ให้จุดยอดสองจุด กับ(–4; –4) และ ก(3; –3) สามเหลี่ยมและจุด ถาม(–1; 5) จุดตัดของความสูง เขียนสมการของด้านข้างและค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดที่สามของรูปสามเหลี่ยม
15. ให้สอง ดี(4; 1) และ ก(–2; 3) จุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดีและช่วงเวลา ร(1; 0) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการสำหรับทุกด้านและความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด ในไปทางด้านข้าง ซีดีสี่เหลี่ยมด้านขนาน.
16. ค้นหาพิกัดของจุดยอดและสร้างสมการสำหรับด้านข้างของสามเหลี่ยมโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ใน(–3; 4) และสมการ เอ็กซ์ – 5ที่+ 4 = 0 และ 4 เอ็กซ์ – 3ที่+ 5 = 0 สองความสูง เขียนสมการความสูงที่สามลงไป.
17. คำนวณพิกัดของจุดยอดและเขียนสมการของด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบสมการ 13 เอ็กซ์ – ที่+ 28 = 0 และ 13 เอ็กซ์ – ที่– 108 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ 3 เอ็กซ์ + 5ที่– 4 = 0 ของเส้นทแยงมุมอันใดอันหนึ่ง
18. สร้างสมการสำหรับด้านของสามเหลี่ยมโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง กับ(5; 2) เช่นเดียวกับสมการความสูง 2 เอ็กซ์ – ที่– 2 = 0 และค่ามัธยฐาน เอ็กซ์ – ที่= 0 ดึงมาจากจุดยอดหนึ่ง
19. รับสมการที่ 2 เอ็กซ์ + ที่+ 5 = 0 และ 4 เอ็กซ์ + 7ที่= 0 ของด้านที่อยู่ติดกันสองด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานและจุด ม(1; –2) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
20. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีให้ไว้: สมการด้านข้าง ดวงอาทิตย์: 7เอ็กซ์ – 2ที่+ 13 = 0 และสมการของสองความสูง: เอสอาร์: 5เอ็กซ์ + 2ที่– 1 = 0 และ บีอาร์: 3เอ็กซ์ – 5ที่– 11 = 0 เขียนสมการของค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดตรงข้ามด้านที่กำหนด
21. ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เอบีซีดีให้สมการ เอ็กซ์ – ที่+ 2 = 0 และ เอ็กซ์ – ที่+ 6 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ 3 เอ็กซ์ – 7ที่+ 26 = 0 เส้นทแยงมุม ค้นหาสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมที่สองของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
22. ให้จุดยอดสองจุด ก(–10; 8) และ ใน(11; 1) สามเหลี่ยมและจุด เอ็น(5; –7) จุดตัดของความสูง เขียนสมการของด้านข้างและค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดที่สามของรูปสามเหลี่ยม
23. ให้สอง ก(2; –4) และ ใน(4; 2) จุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดีและช่วงเวลา โอ(1; –1) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการสำหรับทุกด้านและความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด กับไปทางด้านข้าง ค.ศสี่เหลี่ยมด้านขนาน.
24. ค้นหาพิกัดของจุดยอดและสร้างสมการสำหรับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม โดยรู้ค่าหนึ่งและจุดยอดของมัน กับ(–2; –4) และสมการ 6 เอ็กซ์ + 5ที่– 16 = 0 และ เอ็กซ์ + 2ที่– 6 = 0 สองความสูง เขียนสมการความสูงที่สามลงไป.
25. คำนวณพิกัดของจุดยอดและเขียนสมการของด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบสมการ เอ็กซ์ + 4ที่+ 9 = 0 และ เอ็กซ์ + 4ที่– 21 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ เอ็กซ์ – ที่– 1 = 0 ของหนึ่งในเส้นทแยงมุมของมัน
26. สร้างสมการสำหรับด้านของสามเหลี่ยมโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ก(3; –7) รวมถึงสมการความสูง 2 เอ็กซ์ + 3ที่+ 5 = 0 และค่ามัธยฐาน เอ็กซ์ + 3ที่+ 7 = 0 ดึงจากจุดยอดหนึ่งจุด
27. สมการที่กำหนด 3 เอ็กซ์ – 5ที่+ 7 = 0 และ เอ็กซ์ + 5ที่+ 9 = 0 ของด้านสองด้านที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานและจุด ร(1; 0) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
28. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีให้ไว้: สมการด้านข้าง เครื่องปรับอากาศ: เอ็กซ์ – 3ที่– 10 = 0 และสมการของสองความสูง: AQ: 3 เอ็กซ์ + ที่= 0 และ ซม: เอ็กซ์ – 5ที่– 4 = 0 เขียนสมการของค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดตรงข้ามกับด้านที่กำหนด
29. สร้างสมการของด้านข้างและคำนวณพิกัดของจุดยอดของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ดี(–4; 1) ประเด็น เอ็น( 2; – 1) จุดตัดของเส้นทแยงมุมและจุด ต(–5; –1) ที่ด้านใดด้านหนึ่ง
30. สมการที่กำหนด เอ็กซ์ – ที่ + 4 = 0, 2เอ็กซ์ + 3ที่– 17 = 0 และ ที่– 3 = 0 ของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมและค่ามัธยฐาน เขียนสมการสำหรับด้านที่สามของสามเหลี่ยมและระดับความสูงลดลงไปด้านนั้น
31. ให้สอง ใน(–3; 1) และ กับ(1; –4) จุดยอดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนาน เอบีซีดีและช่วงเวลา เอ็น(2; 2) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการสำหรับทุกด้านและความสูงที่ดึงมาจากจุดยอด ดีไปทางด้านข้าง เอบีสี่เหลี่ยมด้านขนาน.
32. ค้นหาพิกัดของจุดยอดและสร้างสมการสำหรับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ก(3; –3) และสมการที่ 7 เอ็กซ์ – 4ที่+ 2 = 0 และ เอ็กซ์ – 7ที่+ 11 = 0 สองความสูง เขียนสมการความสูงที่สามลงไป.
33. คำนวณพิกัดของจุดยอดและเขียนสมการของด้านข้างของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหากทราบสมการ เอ็กซ์ – 8ที่+ 11 = 0 และ เอ็กซ์ – 8ที่– 49 = 0 ของทั้งสองด้านและสมการ 2 เอ็กซ์ – ที่– 8 = 0 ของเส้นทแยงมุมอันใดอันหนึ่ง
34. เขียนสมการสำหรับด้านของสามเหลี่ยมโดยรู้จุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง ใน(–9; –6) รวมถึงสมการความสูง 4 เอ็กซ์ + ที่+ 13 = 0 และค่ามัธยฐาน 2 เอ็กซ์ – ที่+ 5 = 0 ดึงมาจากจุดยอดหนึ่งจุด
35. รับสมการ 7 เอ็กซ์ + 4ที่+ 63 = 0 และ 3 เอ็กซ์ + 10ที่+ 27 = 0 ของด้านสองด้านที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมด้านขนานและจุด เค(–2; –5) จุดตัดของเส้นทแยงมุม เขียนสมการของอีกสองด้านและเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
36. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีให้ไว้: สมการด้านข้าง เอบี: เอ็กซ์ + ที่+ 2 = 0 และสมการของสองความสูง: หนึ่ง: 4เอ็กซ์ + ที่+ 11 = 0 และ วดี: 6เอ็กซ์ – ที่+ 5 = 0 เขียนสมการของค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดตรงข้ามด้านที่กำหนด
5. สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ
ผ่านจุด กับวาดเส้นตรงเพื่อให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากมันและแกนพิกัดเท่ากับ สหน่วยตาราง
| ตัวเลือก | |||||||||
| กับ | –8; –9 | 2; –2 | 8; 3 | –4; 2 | 1; 2 | 6; 1 | –4; –5 | 9; –4 | –8; 6 |
| ส, ตร.ม. หน่วย | 1,5 | ||||||||
| ตัวเลือก | |||||||||
| กับ | 4; 3 | 2; –3 | 2; –9 | –3; 8 | 6; 6 | 5; –6 | –2; 2 | 4; 4 | –3; 2 |
| ส, ตร.ม. หน่วย | 1,5 | 7,5 | 1,5 | ||||||
| ตัวเลือก | |||||||||
| กับ | 2; 4 | –8; 1 | –6; –2 | 8; –5 | 1; –4 | 4; 6 | 4; –1 | 6; 8 | –2; –6 |
| ส, ตร.ม. หน่วย | |||||||||
| ตัวเลือก | |||||||||
| กับ | 8; –1 | –4; 3 | –8; –2 | 5; –4 | 6; 5 | –5; –8 | 3; 2 | 8; 3 | 4; –2 |
| ส, ตร.ม. หน่วย | 7,5 |
6. หมุนเวกเตอร์ตามมุม
1. จากสมการของสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส: x – 3ย+ 8 = 0 และ x – 3ย– 2 = 0 เขียนสมการสำหรับอีกสองด้านที่เหลือโดยมีจุดนั้น ก(–6, –6) อยู่ที่ด้านข้างของจัตุรัสนี้
2. จุด บี(1; 4) คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมอยู่บนเส้นที่ 3 x – 4ย– 12 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
3. บี สามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้านบน กับ(4; –1) มุมแหลม เท่ากับอาร์คแทน 3 และสมการ ขาตรงข้าม 2x + ย– 2 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยม
4. ให้สอง จุดยอดตรงข้ามสี่เหลี่ยม ก(5; 1) และ กับ(–4; 2) ค้นหาพิกัดของจุดยอดอีกสองจุดแล้วเขียนสมการเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5. จากจุดหนึ่ง เอฟ(0; –4) ลำแสงพุ่งไปที่มุม arctan2 ถึงเส้นตรง 2 x – ย+ 6 = 0 ค้นหาสมการของรังสีที่สะท้อนจากเส้นนี้
6. จุด กับ(–4, –5) คือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีด้านหนึ่งอยู่บนเส้นตรง x – 2ย+ 4 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
7. ค้นหาพิกัดของจุดยอดของสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยรู้สมการของด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 x – 3ย– 5 = 0 และบนสุด มุมฉาก ก(–1; 2).
8. กำหนดสมการของสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส x + 2ย– 9 = 0 และ x + 2ย+ 6 = 0 เขียนสมการสำหรับอีกสองด้านโดยมีเงื่อนไขว่าจุดนั้น เอฟ(–4; 4) อยู่ที่ด้านข้างของจัตุรัสนี้
9. จุด กับ(2; 5) คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมอยู่บนเส้นที่ 2 x + 3ย– 6 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
10. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่จุดยอด ก(–9; 5) มุมแหลมเท่ากับอาร์คแทน5 และสมการของขาตรงข้าม x + 2ย+ 4 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมผืนผ้า
11. ให้จุดยอดตรงข้ามกันสองจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ใน(–3; 1) และ ดี(3; 3). ค้นหาพิกัดของจุดยอดอีกสองจุดแล้วเขียนสมการเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
12. จากจุดหนึ่ง เอ็น(–8; 8) ที่มุม arctan4 ถึงเส้นตรง 3 x – 2ย– 12 = 0 ลำแสงถูกชี้ทิศทาง จงหาสมการของรังสีที่สะท้อนจากเส้นนี้
13. จุด ดี(–5; 1) คือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีด้านหนึ่งวางอยู่บนเส้น x + 2ย– 7 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
14. ค้นหาพิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตรง โดยรู้สมการของด้านตรงข้ามมุมฉาก 2 x + 3ย= 0 และจุดยอดของมุมขวา ใน(3; 5).
15. จากสมการสองด้านของกำลังสองของกำลังสอง x + ย+ 33 = 0 และ 4 x + ย– 18 = 0 เขียนสมการสำหรับอีกสองด้านที่เหลือโดยมีจุดนั้น เอ็น(–1; 5) อยู่ที่ด้านข้างของจัตุรัสนี้
16. จุด ดี(–8, –5) คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมอยู่บนเส้นที่ 3 x + 5ย+ 15 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
17. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่จุดยอด ใน(5; 1) มุมแหลมเท่ากับอาร์คแทน2 และสมการของด้านตรงข้ามคือ 2 x – ย+ 6 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสามเหลี่ยม
18. ให้จุดยอดตรงข้ามกันสองจุดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส กับ(6; 2) และ ก(–5; 3) ค้นหาพิกัดของจุดยอดอีกสองจุดแล้วเขียนสมการเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
19. จากจุดหนึ่ง ร(1; 4) ลำแสงมีทิศทางทำมุมกับเส้นตรง x + 3ย– 3 = 0 จงหาสมการของรังสีที่สะท้อนจากเส้นนี้
20. จุด ก(2; 4) คือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีด้านหนึ่งอยู่บนเส้นที่ 7 x + 5ย+ 40 = 0 ค้นหาพิกัดของจุดยอดที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
21. ค้นหาพิกัดของจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วตรง โดยรู้สมการของด้านตรงข้ามมุมฉาก 11 x – 5ย– 13 = 0 และจุดยอดของมุมฉาก กับ(6; –4).
22. จากสมการสองด้านของกำลังสอง x – 5ย– 45 = 0 และ 2 x – 5ย+ 13 = 0 เขียนสมการสำหรับอีกสองด้านที่เหลือโดยมีจุดนั้น ร(3; –2) อยู่ด้านข้างของจัตุรัสนี้
23. จุด ก(–1, –4) คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีเส้นทแยงมุมอยู่
1. 137 ตร.ว. หน่วย 2.10; 20. 3. 4. 
,
,
.
5. 
และ 
6. 
,
,
.
7. 
,
,
,
.
8. 
,
,
- 9.1) วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่เสาและมีรัศมี 6 2) รังสีที่โผล่ออกมาจากขั้วเอียงไปทางแกนขั้วเป็นมุมฉาก 3) เส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกนขั้วโลกตัดส่วนที่อยู่บนมันออกโดยนับจากเสา 
- 4) เส้นตรงที่อยู่ในระนาบครึ่งบนขนานกับแกนขั้วโลกโดยมีระยะห่างจากมันที่ระยะเท่ากับ 6 5) วงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง 
และรัศมี 3 6) วงกลมมีจุดศูนย์กลาง 
และรัศมี 1. 10. วงรี 
,
,
,
,
- 11. อติพจน์ 
.
,
,
- 12. อติพจน์ 
- 
13. พาราโบลา: b) c) 
.
16. 
.
17. 
,
,
,
.
18. -2. 19. -2. 20. 
.
21. 
.
22. 
,
.
23. 
,
.
24. 
,
.
25.
.
26. 
.
27. -29. 28. 
14. ก) -7, ข) -21, ค) -139, ง) –2 15. 
- ขวาสาม 29.
31. .
32. .
33. .
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
และ 
..
38. 
.
39. 
.
40. 
.
41. 
.
42. 
.
43. 
.
44. 
.
45. 1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) ,
5) 
.
47. 
,
.
48. 
ลูกบาศก์ หน่วย 30. - 6. 
.
49. 
,
,
,
, ที่ไหน 
- 50.ก) 
.
51. 
,
,
.
, ข) 
- หมายเลขใดก็ได้ 54. ใช่ 55. ก) การฉายภาพบนเครื่องบิน ยู
, b) การสะท้อนกลับสัมพันธ์กับแกน 
- 56. ผู้ปฏิบัติงาน 
เชิงเส้น;
–เมทริกซ์ของมันอยู่ในฐาน 
.
57. 
,
,
.
58. ค่าลักษณะเฉพาะ: 
,
,
, eigenvectors: สำหรับ 
,
ลูกบาศก์ หน่วย 30. - 6. 
- สำหรับ 
,
ลูกบาศก์ หน่วย 30. - 6. 
- 
,
สำหรับ 
.
ที่ไหน
ตัวเลือกหมายเลข 23
เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์บนระนาบ: งานง่ายๆ ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์บนระนาบ ตรงไปบนเครื่องบิน; เส้นลำดับที่สองบนเครื่องบิน ก 1. ให้จุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ใน(2, 1) และ
(6, -1) คำนวณพื้นที่ของมัน ก(4, -6), ใน(6, -6), กับ 2. ให้จุดยอดสามจุด เอบีซีดี(-1, 6) สี่เหลี่ยมด้านขนาน ดี, ยอดเขาที่สี่ ในตรงข้าม
- กำหนดความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ ม 1 , 3. ค้นหาพิกัดของจุด ม 2 จุดสมมาตร ก(8, 2), ใน(5, 0).
(0, 1) สัมพันธ์กับเส้นที่ผ่านจุดต่างๆ ก(4, 1), ใน(1, –1), กับ 4. กำหนดจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม
(5, 2) เขียนสมการความสูงของมัน ก 5. ส่วนที่จำกัดด้วยคะแนน ใน(7, 10) และ
(13, 13) แบ่งออกเป็นสามส่วนเท่า ๆ กัน กำหนดพิกัดของจุดแบ่ง ก 6. ให้จุดยอดสองจุด ใน(–5, 2) และ เอบีซี(3, –2) สามเหลี่ยม เอ็นและช่วงเวลา
(2, 2) จุดตัดของความสูง เขียนสมการของด้านต่างๆ ของสามเหลี่ยมนี้ ก 7. จุด 
(–2, 5) คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมอยู่บนเส้นตรง
- เขียนสมการของด้านต่างๆ ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ เอบีซี,
8. สร้างสมการสำหรับด้านของรูปสามเหลี่ยม กหากมีการกำหนดจุดยอดอันใดอันหนึ่ง 
,
.
(2, 8) และสมการของค่ามัธยฐานสองตัว ก
บันทึก. ตรวจสอบให้แน่ใจจุด ก
และช่วงเวลา 
และ 
- อนุญาต 
และ 
- จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่บนค่ามัธยฐาน 
และ 
ตามลำดับและจุด เอบีและ เครื่องปรับอากาศ- จุดกึ่งกลางของกลุ่ม ในและ กับตามลำดับ ต่อไปคุณจะต้องค้นหาพิกัดของจุดยอด มและ กับสามเหลี่ยม. ตั้งแต่จุด 
นอนอยู่บนค่ามัธยฐาน 
, ที่ 
- แล้วจากความสัมพันธ์ 
หา 
- แทนค่าตัวเลขเพิ่มเติม 
ลงในสมการสำหรับ 
, หา 
และ 
ลงในสมการสำหรับ 
- แล้วรู้ 
ตามสูตร 
- แทนค่าตัวเลขเพิ่มเติม 
ลงในสมการสำหรับ 
- ต่อไปเป็นการแทนค่าตัวเลข 
และ 
- รู้ 
- แล้วจากความสัมพันธ์ 
จากความสัมพันธ์
- ท้ายที่สุด เมื่อทราบพิกัดของจุดยอดทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมแล้ว ให้ค้นหาสมการทั่วไปของด้านข้าง
9. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดในพิกัดเชิงขั้วโดยสมการต่อไปนี้ (สร้างบนภาพวาด): 
ก) 
- 
ข) 
;
- 
วี) 
.
-
ช) 
ง) 
.
- กจ) 
10. กำหนดว่าเส้นใดถูกกำหนดโดยสมการ ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์กลาง กึ่งแกน ความเยื้องศูนย์ วาดรูป.
11. เขียนสมการสำหรับไฮเปอร์โบลาและหาพิกัดของจุดศูนย์กลางและกึ่งแกน ถ้ารู้ว่าจุดยอดซ้ายของไฮเปอร์โบลาอยู่ที่โฟกัสขวาของวงรี ในขณะที่จุดยอดขวาของไฮเปอร์โบลาอยู่ที่ จุดยอดของพาราโบลา 
ความเยื้องศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลามีค่าเท่ากับ 12. สร้างสมการเส้นตรงสำหรับจุดแต่ละจุดที่มีระยะห่างจากจุดนั้น(1, 2) เป็นระยะทางสองเท่าจากเส้นตรง
จำเป็น: ก) สร้างเส้นโดยใช้จุดเริ่มต้นจาก 
ก่อน 
และการให้ 
ค่าตลอดช่วงเวลา 
;
b) ค้นหาสมการของเส้นนี้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน โดยที่จุดกำเนิดเกิดขึ้นพร้อมกับขั้ว และครึ่งแกนบวกเกิดขึ้นพร้อมกับแกนขั้วโลก
c) ใช้สมการผลลัพธ์พิจารณาว่าเป็นเส้นใด
ปัจจัยกำหนด พื้นฐานในอวกาศ พิกัดเวกเตอร์
14. คำนวณปัจจัยกำหนด:
ก) ตามกฎสามเหลี่ยม
b) การขยายออกเป็นองค์ประกอบของแถวแรก
c) การขยายไปสู่องค์ประกอบของคอลัมน์ที่สอง
d) การลดลงเป็นรูปสามเหลี่ยม:
ก) 
, ข) 
, วี) 
, ก) 
.
15. ให้เวกเตอร์: 
1 =(3,
-2, 1);
2 =(0,
-1, 3);
3 =(2,
4, 0);
=(-9, 4, 3) ในบางพื้นฐาน แสดงว่าเวกเตอร์สามตัวแรกนั้นสร้างพื้นฐานและค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ 
ในพื้นฐานนี้
3. การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน สเกลาร์ เวกเตอร์ และผลคูณของเวกเตอร์
16. ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์หน่วย (ออร์ตา) 
, มีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ 
=(7,
-4, 4).
17. เวกเตอร์สองตัว 
=(6, 2, -3) และ 
=(-1, –2, 2) ใช้กับจุดเดียว ค้นหาพิกัด:
ก) ออร์ตอฟ 
และ 
เวกเตอร์ 
และ 
;
ข) เวกเตอร์ 
+
;
ค) เวกเตอร์ 
กำกับไปตามเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างเวกเตอร์ 
และ 
โดยมีเงื่อนไขว่า 
.
18. จงหาเส้นโครงของเวกเตอร์ 
=(2, 4, 3) บนทิศทางของเวกเตอร์ 
.
19. จงหาเส้นโครงของเวกเตอร์ 
ต่อแกน ส่วนประกอบที่มีแกนพิกัด 
และ 
มุม 
และมีแกน 
มุมป้าน 
.
20. ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอบีซีดี
(การกำหนดจุดยอดจะดำเนินการในทิศทางตามเข็มนาฬิกา) ความยาวด้านคือ 8 จุด เกี่ยวกับถูกเลือกในระนาบสี่เหลี่ยมดังนั้น 
,
- หา 
.
ก) แนะนำระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน 
เริ่มต้นที่จุดหนึ่ง เกี่ยวกับเพื่อให้แกน 
ถูกกำกับไปตามเวกเตอร์ 
และแกน 
ชี้ไปที่ตำแหน่งของจัตุรัส
b) การนับความยาว 
เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ต้องแน่ใจว่า (ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 
- สี่เหลี่ยม ( 
), และดังนั้นจึง 
;
c) ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ 
, ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ 
และ 
(อย่างชัดเจน 
) โดยใช้ความเท่าเทียมกัน 
, ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ 
;
d) รู้พิกัดของเวกเตอร์ 
และ 
, หา 
, ที่ไหน 
, และ 
.
21. เวกเตอร์ 
(0, -2, -4) และ 
คือด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน โอเอเอสวี- จุด N – ตรงกลางด้านข้าง ดวงอาทิตย์- หา 
.
22. ให้ไว้ 
2,
3,
- หา 
และขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ 
และ 
, ถ้า 
.
23. คำนวณพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ 
และความยาวของมัน 
, ถ้า 
=(1,
3, 0), 
.
24. เมื่อพิจารณาจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม เอบีซี: ก(1, -1, 2),ใน(2, 1, 0) และ กับ(6, 3, 4) หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมและความยาวของความสูงที่ตกจากจุดยอด ก.
25. เวกเตอร์ 
ตั้งฉากกับแกน 
และเวกเตอร์ 
(-3, 4, 1) และรูปแบบที่มีแกน 
มุมที่คมชัด ค้นหาพิกัดเวกเตอร์ 
, ถ้า 
15.
26. ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ 
และ 
, ถ้า 
,
และ 
.
27. คำนวณผลคูณผสมของเวกเตอร์ 
,
(1,
-2, 0), 
(-1,
0, 2).
28. บนพื้นฐานที่ถูกต้อง 
ได้รับเวกเตอร์: 
,
,
- แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสามนี้ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน กำหนดการวางแนวของเวกเตอร์แฝด 
.
29. คำนวณปริมาตรของปิรามิดที่มีจุดยอด ก(1, 2, 1), ใน(–2, 3, –3), กับ(1, 3, 3), ดี(2, 1, -3).
30. เวกเตอร์ 
ตั้งฉากกับเวกเตอร์ 
และ 
- คำนวณ 
, ถ้า 
,
,
1,
4 และทั้งสามเป็นเวกเตอร์ 
- ซ้าย.
4. เรขาคณิตวิเคราะห์ในอวกาศ: ระนาบและเส้นตรงในอวกาศ พื้นผิวลำดับที่สอง
31. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 0 (1, 2, -1) ขนานกับระนาบ 
.
32. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 0 (3, 4, 0) และเส้นตรง 
.
33. เขียนสมการของระนาบที่ลากผ่านเส้นตรง 
ตั้งฉากกับเครื่องบิน 
.
34. สร้างสมการของระนาบที่ผ่านจุด M 0 (3, 0, 2) ตั้งฉากกับระนาบสองระนาบ 
และ .
35. ค้นหาระยะทาง 
จากจุด M 0 (2, 2, -1) ถึงเครื่องบิน
36. เมื่อพิจารณาจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ก(2, 2, -1), ใน(4, 3, 1), กับ(2, –3, –2) เขียนสมการมาตรฐานของเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในที่จุดยอด ใน.
37. บนแกน 
ค้นหาพิกัดของจุดที่อยู่ห่างจากเครื่องบิน 
=2.
38. เขียนสมการทางบัญญัติของเส้นที่ผ่านจุด M 0 (1, 2, –1) ขนานกับเส้น 
,
,
.
39. ค้นหาพิกัดของจุดตัดของเส้น 
และเครื่องบิน 
.
40. ค้นหาเส้นโครงของจุด ร(3, 3, 0) ไปยังเส้นตรง 
,
+1,
.
41. ค้นหาพิกัดของจุด ถาม, จุดสมมาตร ร(3, 3, 4) สัมพันธ์กับระนาบ 
.
42. ค้นหาพิกัดของจุด ถาม, จุดสมมาตร ร(5, 2, 4) สัมพันธ์กับเส้นตรง 
.
43. คำนวณระยะทาง 
จากจุด ร(1, -2, –2) เป็นเส้นตรง 
.
44. ค้นหาสมการมาตรฐานของเส้นตรง 
ซึ่งผ่านจุด M 0 (5, 1, 7) ขนานกับระนาบและตัดเส้น 
.
บันทึก. ใช้ลำดับของการกระทำ:
ก) สร้างสมการของระนาบ 
ผ่านจุด M 0 ขนานไปกับเครื่องบิน 
;
b) ค้นหาพิกัดของจุด M 1 ของจุดตัดของเส้น 
กับเครื่องบิน 
(ดูปัญหาที่ 39);
c) เขียนสมการทางบัญญัติของเส้นที่ผ่านจุด M 0 และ M 1
45. ให้พิกัดของจุดยอดของปิรามิด ก 1 (–1, 3, 3), ก 2 (4, 2, 4), ก 3 (2, 0, 1), เอ 4 (3, 3, 5) หา:
มุมระหว่างซี่โครง ก 1 ก 2 และ ก 1 ก 4 ;
มุมขอบ ก 1 ก 4 และขอบ ก 1 ก 2 ก 3 ;
สมการของเส้น ก 1 ก 2 ;
สมการระนาบ ก 1 ก 2 ก 3 ;
5) สมการความสูงตกจากจุดยอด ก 4 ไปจนสุดขอบ ก 1 ก 2 ก 3 .
46. สร้างภาพร่างของร่างกายที่ล้อมรอบด้วยพื้นผิว:
ก) 
,
,
(
).
ข) 
,
,
.
5. องค์ประกอบของพีชคณิตเชิงเส้น: ระบบสมการเชิงเส้น เมทริกซ์; ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้น ตัวดำเนินการเชิงเส้น
47. แก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีเกาส์
48. จงหาเมทริกซ์จำนวนจริงทั้งหมดที่สับเปลี่ยนกับเมทริกซ์ 
.
49. ค้นหาเมทริกซ์โดยที่
ก= 
, วี= 
, ค= 
.
50. ค้นหาอันดับของเมทริกซ์:
ก) 
ก) 
.
51. กำหนดระบบสมการเชิงเส้น
พิสูจน์ความเข้ากันได้และแก้ไขด้วยสามวิธี:
ก) วิธีเกาส์เซียน
b) โดยแคลคูลัสเมทริกซ์
c) ตามสูตรของแครเมอร์
52. เป็นปริภูมิเชิงเส้นจริง:
ก) เซตของเมทริกซ์จริงลำดับที่สองทั้งหมดของแบบฟอร์ม 
, ที่ไหน 
;
b) เซตของเมทริกซ์จริงลำดับที่สองทั้งหมดของแบบฟอร์ม 
, ที่ไหน 
.
53. ค้นหาค่าทั้งหมด 
ซึ่งเวกเตอร์นั้น 
แสดงเชิงเส้นในรูปของเวกเตอร์ 
, ถ้า 
=(1,
–2, 
),
=(-1,
-1, -1), 
=(1,
1, 2), 
=(2,
4, 6).
54. ค้นหาว่า ระบบนี้เวกเตอร์จาก 
ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น? 
=(1,
2, 0, 1), 
=(2,
1, -1, -1), 
=(1,
2, 2, 2), 
=(3,
3, -1, 0).
55. ค้นหาความหมายทางเรขาคณิตของการกระทำของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กำหนดในปริภูมิธรรมดา โอ้โหzซึ่งมีเมทริกซ์สัมพันธ์กับพื้นฐานออร์โธนอร์มอล 
มีแบบฟอร์ม:
ก) 
ก) 
.
56. ในอวกาศ ร 2
พหุนามดีกรีทั้งหมด 
ใจดี 
, ที่ไหน 
ตัวดำเนินการ 
ทำงานเช่นนี้: 
- พิสูจน์ว่าผู้ปฏิบัติงาน 
เป็นเส้นตรงและหาเมทริกซ์บนฐาน 
,
,
.
57. ในพื้นที่ธรรมดา ตัวดำเนินการเชิงเส้น 
มิเรอร์เวกเตอร์สัมพันธ์กับเส้นตรง 
และตัวดำเนินการเชิงเส้น 
โปรเจ็กต์เวกเตอร์ตั้งฉากบนเครื่องบิน 
- ค้นหาเมทริกซ์ของตัวดำเนินการเชิงเส้น 
,
,
ในพื้นฐาน 
.
58. ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของการแปลงเชิงเส้นที่ระบุในเมทริกซ์ที่แน่นอน 
.
§ 14. สมการปกติของเส้นตรง ปัญหาการกำหนดระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง
ขึ้นเครื่องบินได้เลย xOyให้เส้นตรง ให้เราวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นนี้ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดแล้วเรียกมันว่าเส้นปกติ มาแสดงกันเถอะ
ผ่าน รจุดตัดของเส้นปกติด้วยเส้นที่กำหนดและกำหนดทิศทางบวกของเส้นปกติจากจุดนั้น เกี่ยวกับตรงประเด็น ร.
ถ้า a เป็นมุมเชิงขั้วของเส้นปกติ พี- ความยาวของส่วน (รูปที่ 10) จากนั้นสมการของเส้นนี้สามารถเขียนได้ในรูป
เอ็กซ์คอสα + คุณทำบาป α - พี = 0;
สมการประเภทนี้เรียกว่าปกติ
ปล่อยให้มีประเด็นที่ตรงไปตรงมาและไร้เหตุผล
อึ. 10 ม*;ให้เราแสดงด้วย d ระยะห่างของจุด ม*จากบรรทัดนี้ จุดเบี่ยงเบน ม*จากบรรทัดเรียกว่าตัวเลข +d , ถ้า จุดที่กำหนดและมีที่มาของพิกัดอยู่ตลอด ด้านที่แตกต่างกันจากบรรทัดที่กำหนดและ - และ,ถ้าจุดที่กำหนดและจุดกำเนิดอยู่ด้านเดียวกันของเส้นที่กำหนด (สำหรับจุดที่วางอยู่บนเส้นตรงที่สุด = 0)
ถ้าให้พิกัด x* ใช่*คะแนน ม*และสมการปกติของเส้นตรง เอ็กซ์คอสα + คุณทำบาปα -พี = 0;จากนั้นค่าเบี่ยงเบน https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = เอ็กซ์*เพราะแอลฟา + คุณ*บาป α - ร.
ดังนั้น ในการหาความเบี่ยงเบนของจุด M* จากเส้นตรงที่กำหนด คุณจำเป็นต้องค้นหา ด้านซ้ายสมการปกติของเส้นนี้แทนพิกัดปัจจุบัน แทนพิกัดของจุด ม*.จำนวนผลลัพธ์จะเท่ากับค่าเบี่ยงเบนที่ต้องการ
หากต้องการค้นหาระยะทาง d จากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่งก็เพียงพอที่จะคำนวณค่าเบี่ยงเบนและรับโมดูล: d =
หากได้รับ สมการทั่วไปเส้นตรง Аx+Bу+С=0 จากนั้นเพื่อให้เป็นรูปแบบปกติ คุณต้องคูณเงื่อนไขทั้งหมดของสมการนี้ด้วยปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐาน μ ., กำหนดโดยสูตร
เลือกเครื่องหมายของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้ว เครื่องหมายตรงข้ามระยะอิสระของสมการปกติ
309. พิจารณาว่าสมการเส้นใดต่อไปนี้เป็นสมการปกติ:
1) x- ย-3=0; 2) EN-US style="color:black">x - ย-1 = 0;
3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width="21" height="41 src="> ที่ + 2 = 0; 4) -สี:สีดำ">+สี:สีดำ">- 2 = 0;
5) - เอ็กซ์ + 2 = 0; 6) เอ็กซ์ - 2 = 0; 7) ที่ + 2 = 0; 8) - ที่ - 2 = 0.
310. ลดสมการทั่วไปของเส้นให้อยู่ในรูปแบบปกติในแต่ละกรณีต่อไปนี้:
1) 4เอ็กซ์ -3ที่-10 = 0; 2) x -ย+10 = 0;
3) 12เอ็กซ์ - 5ที่ + 13 = 0; 4) เอ็กซ์ + 2 = 0; 5) 2เอ็กซ์ - ที่ -= 0.
311. จะได้สมการของเส้นดังนี้:
1) เอ็กซ์-2 = 0; 2) เอ็กซ์ + 2 = 0; 3) ที่ -3 = 0; 4) ที่ + 3 = 0;
5) x + ที่-6 = 0; 6) เอ็กซ์-ที่+2 = 0; 7) เอ็กซ์ + ที่+2 = 0;
8) xเพราะ b -y บาป b - ถาม = 0, ถาม >0; b - มุมเฉียบพลัน;
9) x cos b + y บาป b + ถาม = 0, ถาม > 0; ข - มุมเฉียบพลัน
กำหนดมุมเชิงขั้วของเส้นปกติก และส่วน รสำหรับแต่ละบรรทัดเหล่านี้ ขึ้นอยู่กับค่าพารามิเตอร์ที่ได้รับก และ รวาดเส้นเหล่านี้บนภาพวาด (ในสองกรณีหลัง ให้สร้างเส้นตรงโดยการนับข = 30° และ ถาม = 2).
312. คำนวณจำนวนส่วนเบี่ยงเบนง และระยะทาง งจุดจากเส้นตรงในกรณีต่อไปนี้:
1)ก(2;-1)) 4เอ็กซ์ + 3ที่+10 = 0;
2) ใน(0; - 3), 5เอ็กซ์-12ที่-23=0;
3) ร(-2; 3), 3เอ็กซ์ -4ที่ -2 = 0;
4) ถาม(ล; -2) เอ็กซ์-2ที่ -5 = 0.
313. พิจารณาว่ามีประเด็นอยู่หรือไม่ ม(1; -3) และที่มาของพิกัดด้านหนึ่งหรือด้านตรงข้ามของแต่ละบรรทัดต่อไปนี้:
1) 2เอ็กซ์-ที่ + 5 = 0; 2) เอ็กซ์ -3ที่ -5 = 0; 3) 3เอ็กซ์+2ที่-1 = 0;
2) เอ็กซ์-3ที่+ 2 = 0; 5) 10เอ็กซ์ + 24ที่+15 = 0.
314. จุด ก(2; -5) คือความยาวของสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านหนึ่งวางอยู่บนเส้นตรง
เอ็กซ์ - 2ที่- 7 = 0.
คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้
315. เมื่อพิจารณาสมการด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
3เอ็กซ์ -2ที่ - 5 = 0, 2เอ็กซ์ + 3ที่ + 7 = 0
และยอดเขาแห่งหนึ่ง ก(-2; 1) คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้
316. พิสูจน์ว่ามันตรง
2เอ็กซ์+ที่+3 = 0
ตัดส่วนที่ล้อมรอบด้วยจุด ก(-5; 1) และ ใน(3; 7).
317. พิสูจน์ว่ามันตรง
2เอ็กซ์ -3ที่+6 = 0
ไม่ตัดกันส่วนของเส้นตรง จำกัดด้วยคะแนน M1(- 2; -3) และ M2(1; -2)
318. จุดยอดต่อเนื่องกันของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือจุด ก(-3; 5), ใน(- 1; -4), ค(7;- 1) และ ดี(2; 9). พิจารณาว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้นูนหรือไม่
319. จุดยอดต่อเนื่องกันของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือจุด ก(-1; 6), บี(1; -3), กับ(4; 10) และ ดี(9; 0) พิจารณาว่ารูปสี่เหลี่ยมนี้นูนหรือไม่
320. เมื่อพิจารณาจากจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม: ก(-10; -13), ใน(- 2; 3) และ กับ(2; 1). คำนวณความยาวของเส้นตั้งฉากที่ตกลงมาจากจุดยอด ในไปยังค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอด กับ.
321. ข้าง AB ดวงอาทิตย์และ SAสามเหลี่ยม เอบีซีจะได้รับตามลำดับโดยสมการ
เอ็กซ์+ 21ที่ - 22 = 0, 5เอ็กซ์- 12ที่+ 7 = 0, 4เอ็กซ์ - 33ที่+ 146 = 0.
คำนวณระยะทางจากจุดศูนย์ถ่วงของสามเหลี่ยมนี้ไปด้านข้าง ดวงอาทิตย์.
322. คำนวณระยะทาง งระหว่างเส้นคู่ขนานในแต่ละกรณีดังต่อไปนี้
1) 3เอ็กซ์ -4ที่-10 = 0, 2) 5เอ็กซ์-12ที่ + 26 = 0,
6เอ็กซ์ -8ที่+ 5 = 0; 5เอ็กซ์-12ที่-13 = 0;
3) 4เอ็กซ์ - 3ที่+ 15 = 0, 4) 24เอ็กซ์-10ที่ + 39 = 0,
8เอ็กซ์-6ที่+ 25 = 0; 12เอ็กซ์ -2ที่ -26 = 0.
323. ด้านสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสวางอยู่บนเส้นตรง
5เอ็กซ์- 12ที่ - 65 = 0, 5เอ็กซ์- 12ที่ + 26 = 0.
คำนวณพื้นที่ของมัน
324. พิสูจน์ว่าเส้น
5เอ็กซ์- 2ที่- 1 = 0
ขนานไปกับเส้นตรง
5เอ็กซ์ -2ที่ + 7 = 0, 5เอ็กซ์ -2ที่-9 = 0
และแบ่งระยะห่างระหว่างกันครึ่งหนึ่ง
325. ให้เส้นขนานสามเส้น
10เอ็กซ์+15ที่ -3 = 0, 2เอ็กซ์+3ที่ + 5 = 0, 2เอ็กซ์+3ที่ -9 = 0.
กำหนดว่าอันแรกอยู่ระหว่างอีกสองอัน แล้วคำนวณอัตราส่วนที่ใช้แบ่งระยะห่างระหว่างกัน
326. พิสูจน์สิ่งนั้นผ่านประเด็น ป(2; 7) คุณสามารถวาดเส้นตรงสองเส้นเพื่อให้ห่างจากจุดนั้น ถาม(l; 2) เท่ากับ 5 เขียนสมการของเส้นตรงเหล่านี้
327. พิสูจน์สิ่งนั้นผ่านประเด็น ร(2; 5) สามารถลากเส้นตรงสองเส้นเพื่อให้ห่างจากจุดนั้นได้ ถาม(5; 1) เท่ากับ 3 เขียนสมการของเส้นตรงเหล่านี้
328. พิสูจน์สิ่งนั้นผ่านประเด็น กับ(7; - 2) เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเพื่อให้ห่างจากจุดนั้น เอ(4; - 6) เท่ากับ 5 สร้างสมการขึ้นมา
329. พิสูจน์สิ่งนั้นผ่านประเด็น ใน(4; -5) เป็นไปไม่ได้ที่จะวาดเส้นตรงเพื่อให้ห่างจากจุดนั้น กับ(- 2; 3) เท่ากับ 12
330. จงหาสมการ สถานที่จุดที่เบี่ยงเบนจากเส้นตรงคือ 8 เอ็กซ์-15ที่- 25 = 0 เท่ากับ -2
331. เขียนสมการของเส้นขนานกับเส้นที่ 3 เอ็กซ์-4ที่- 10 = 0 และอยู่ห่างจากมัน ง=3.
332. ให้จุดยอดสองจุดที่อยู่ติดกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ก(2; 0) และ ใน(-1; 4) เขียนสมการด้านของมัน.
333. จุด ก(5; -1) คือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีด้านหนึ่งวางอยู่บนเส้น
4เอ็กซ์ - 3ที่ - 7 = 0.
เขียนสมการของเส้นตรงที่ด้านที่เหลือของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้อยู่
334. เมื่อพิจารณาสมการของสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4เอ็กซ์ -3ที่ + 3 = 0, 4เอ็กซ์-3ที่-17 = 0
และยอดเขาแห่งหนึ่ง ก(2; -3) เขียนสมการสำหรับอีกสองด้านของกำลังสองนี้
335. เมื่อพิจารณาสมการของสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส
5เอ็กซ์+12ที่-10 = 0, 5เอ็กซ์+12ที่+29 = 0.
เขียนสมการสำหรับอีกสองด้านโดยมีจุดนั้น ม 1(-3; 5) อยู่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้
336. การเบี่ยงเบนจุด มจากทางตรง
5เอ็กซ์-12ที่-13=0 และ 3 เอ็กซ์ -4ที่-19 = 0
มีค่าเท่ากับ - 3 และ - 5 ตามลำดับ กำหนดพิกัดของจุด ม.
337. เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง พี(-2; 3) ในระยะทางเท่ากันจากจุดต่างๆ ก(5; - 1) และ ใน(3; 7).
338. สร้างสมการสำหรับตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากเส้นคู่ขนานสองเส้นเท่ากัน:
1) 3เอ็กซ์- ที่+ 7 = 0, 2) เอ็กซ์ - 2ที่ + 3 = 0, 3) 5เอ็กซ์ - 2ที่ - 6 = 0,
3เอ็กซ์- ที่- 3 = 0; เอ็กซ์ -2ที่ + 7 = 0; เอ็กซ์-4у + 3 = 0
339. เขียนสมการสำหรับเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่เกิดจากเส้นตัดกันสองเส้น:
1) เอ็กซ์ - 3ที่ + 5 = 0, 2) เอ็กซ์ - 2ที่ - 3 = 0, 3) 3เอ็กซ์ + 4ที่ - 1 = 0,
3เอ็กซ์-ที่ -2 = 0; 2เอ็กซ์ + 4ที่ + 7 = 0; 5เอ็กซ์+ 12ที่ - 2 = 0.
340. เขียนสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่ง ร(2; -1) และประกอบกันเป็นเส้นตรง
2เอ็กซ์- ที่ + 5 = 0, 3เอ็กซ์ + 6ที่ - 1 = 0
สร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
341. พิจารณาว่ามีประเด็นอยู่หรือไม่ ม(1; -2) และที่มาของพิกัดในหนึ่ง ในที่อยู่ติดกัน หรือ มุมแนวตั้งเกิดจากจุดตัดของเส้นสองเส้น:
1) 2เอ็กซ์-ที่ -5 = 0, 2) 4เอ็กซ์+3ที่-10 = 0, 3) เอ็กซ์ - 2ที่- 1=0,
3เอ็กซ์+ที่+10 = 0; 12เอ็กซ์-5ที่ -5 = 0; 3เอ็กซ์-ที่ -2 = 0.
342. พิจารณาว่าประเด็นอยู่หรือไม่ ม(2; 3) และ เอ็น(5; -1) ในมุมเดียวในมุมที่อยู่ติดกันหรือแนวตั้งที่เกิดจากจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น:
1) เอ็กซ์-3ที่-5 = 0, 2)2เอ็กซ์+7ที่ -5 = 0, 3) 12เอ็กซ์+ที่- 1=0,
2เอ็กซ์+9ที่ -2 = 0; เอ็กซ์ + 3ที่ + 7 = 0; 13เอ็กซ์ + 2ที่-5 = 0.
343. จงพิจารณาว่าจุดกำเนิดอยู่ภายในหรือภายนอกสามเหลี่ยมซึ่งด้านได้รับจากสมการ
7เอ็กซ์ -5ที่-11=0, 8เอ็กซ์+ 3ที่+ 31=0, เอ็กซ์ + 8ที่-19 = 0.
344. พิจารณาว่ามีประเด็นอยู่หรือไม่ ม(- 3; 2) ภายในหรือภายนอกรูปสามเหลี่ยมซึ่งด้านได้รับจากสมการ
เอ็กซ์ + ที่ -4 = 0, 3เอ็กซ์ - 7ที่ + 8 = 0, 4เอ็กซ์ - ที่ - 31 = 0.
345. จงพิจารณาว่ามุมใดมุมแหลมหรือมุมป้านที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้น
3เอ็กซ์ - 2ที่ + 5 = 0 และ 2 เอ็กซ์ + ที่ - 3 = 0,
ประกอบด้วยต้นกำเนิด
346. จงพิจารณาว่ามุมใดมุมแหลมหรือมุมป้านที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้น
3เอ็กซ์ -5ที่-4 = 0 และ เอ็กซ์ + 2ที่ + 3 = 0,
มีจุด ม(2; - 5).
347. เขียนสมการสำหรับเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างเส้นที่ 3 เอ็กซ์-ย- 4= 0 และ 2 เอ็กซ์+6ที่+3 = 0 ซึ่งเป็นตำแหน่งที่มาของพิกัดอยู่
348.
เอ็กซ์-7ย+5= 0, 5x+ 5ย- 3 = 0,
ติดกับมุมที่มีจุดกำเนิด
349. เขียนสมการสำหรับเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างเส้นตรง เอ็กซ์ + 2ที่-11 = 0 และ 3 เอ็กซ์ - 6ที่- 5 = 0 โดยที่จุดอยู่ ม(1;-3).
350. เขียนสมการสำหรับเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างเส้นตรง
2เอ็กซ์ - 3ที่ - 5 = 0, 6เอ็กซ์ - 4ที่+ 7 = โอ้
ติดกับมุมที่มีจุด ค (2;-1).
351. เขียนสมการของเส้นแบ่งครึ่ง มุมแหลมเกิดจากเส้นตรงสองเส้น
3x+4ย -5 = 0, 5เอ็กซ์-12ที่+3 = 0.
352. เขียนสมการของเส้นแบ่งครึ่ง มุมป้านเกิดจากเส้นตรงสองเส้น เอ็กซ์- 3ที่+ 5 = 0, 3เอ็กซ์- ที่+15 = 0.