เงื่อนไขให้เวกเตอร์ตั้งฉาก
เวกเตอร์จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณดอทของพวกมันเป็นศูนย์
ให้เวกเตอร์สองตัว a(xa;ya) และ b(xb;yb) เวกเตอร์เหล่านี้จะตั้งฉากถ้านิพจน์ xaxb + yayb = 0
เวกเตอร์จะขนานกันถ้าผลคูณไขว้เป็นศูนย์
สมการของเส้นตรงบนระนาบ ปัญหาพื้นฐานบนเส้นตรงบนเครื่องบิน
เส้นตรงใดๆ บนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการอันดับหนึ่ง Ax + By + C = 0 และค่าคงที่ A และ B จะไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน กล่าวคือ A2 + B2 0 สมการอันดับหนึ่งนี้เรียกว่าสมการทั่วไปของเส้นตรง ขึ้นอยู่กับค่าของค่าคงที่ A, B และ C กรณีพิเศษต่อไปนี้เป็นไปได้: - C = 0, A 0, B 0 – เส้นตรงผ่านจุดกำเนิด - A = 0, B 0 , C 0 ( โดย
C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Oy - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - เส้นตรงขนานกับแกน Oy - B = C = 0, A 0 - เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Oy - A = C = 0, B 0 – เส้นตรงเกิดขึ้นพร้อมกับแกน Ox สมการของเส้นตรงสามารถนำเสนอในรูปแบบที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
หากค่าสัมประสิทธิ์ A, B, C ของระดับ Ax+By+C=0 อย่างน้อยหนึ่งค่าเท่ากับ 0 ระดับ
เรียกว่า ไม่สมบูรณ์ ด้วยรูปแบบของสมการของเส้นตรง เราสามารถตัดสินตำแหน่งของเส้นตรงได้
ความเรียบ OXU กรณีที่เป็นไปได้:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) เป็นไปตามสมการนี้ ซึ่งหมายความว่าเป็นเส้นตรง
ผ่านจุดกำเนิด
2 A=0 L: Ву+С=0 - VP ปกติ n=(0,B) ตั้งฉากกับแกน OX จากที่นี่
ตามมาว่าเส้นตรงขนานกับแกน OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - ค่าระบุ n=(A,0) ตั้งฉากกับแกน OY จากตรงนี้
ตามมาว่าเส้นตรงขนานกับแกนของ op-amp
4 A=0, C=0 L: โดย=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: ขวาน=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - ไม่ผ่านจุดกำเนิดและตัดกัน)
ทั้งสองขวาน
สมการของเส้นตรงบนระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด และ: 
มุมระหว่างระนาบ
การคำนวณปัจจัยกำหนด
การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่ทราบ ซึ่งใช้กับดีเทอร์มิแนนต์ของคำสั่งซื้อทั้งหมด เหล่านี้คือคุณสมบัติ:
1. หากคุณจัดเรียงดีเทอร์มิแนนต์สองแถว (หรือสองคอลัมน์) ใหม่ ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย
2. หากองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของสองคอลัมน์ (หรือสองแถว) ของดีเทอร์มิแนนต์เท่ากันหรือเป็นสัดส่วน ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับศูนย์
3. ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณสลับแถวและคอลัมน์ โดยรักษาลำดับไว้
4. หากองค์ประกอบทั้งหมดของแถว (หรือคอลัมน์) มีปัจจัยร่วมกัน ก็สามารถนำออกจากเครื่องหมายดีเทอร์มิแนนต์ได้
5. ค่าของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแถว (หรือคอลัมน์) อื่นลงในองค์ประกอบของแถวหนึ่ง (หรือคอลัมน์) คูณด้วยตัวเลขเดียวกัน
เดอะเมทริกซ์และการกระทำที่อยู่เหนือพวกเขา
เมทริกซ์- วัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เขียนในรูปแบบของตารางตัวเลขสี่เหลี่ยม (หรือองค์ประกอบของวงแหวน) และอนุญาตให้ดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต (การบวก การลบ การคูณ ฯลฯ ) ระหว่างวัตถุนั้นกับวัตถุอื่นที่คล้ายคลึงกัน โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์จะแสดงเป็นตารางสองมิติ (สี่เหลี่ยม) บางครั้งอาจพิจารณาเมทริกซ์หลายมิติหรือเมทริกซ์ที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยม
โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์จะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ของตัวอักษรละตินและเน้นด้วยวงเล็บกลม “(…)” (หรือทำเครื่องหมายด้วยวงเล็บเหลี่ยม “[…]” หรือเส้นตรงคู่ “||…||”)
ตัวเลขที่ประกอบเป็นเมทริกซ์ (องค์ประกอบของเมทริกซ์) มักจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับเมทริกซ์ แต่เป็นตัวพิมพ์เล็ก (เช่น a11 เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ A)
องค์ประกอบเมทริกซ์แต่ละรายการมีตัวห้อย 2 ตัว (aij) - ตัว “i” ตัวแรกหมายถึงหมายเลขแถวที่มีองค์ประกอบนั้นอยู่ และตัวที่สอง “j” หมายถึงหมายเลขคอลัมน์ พวกเขาพูดว่า "เมทริกซ์มิติ" ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์มีแถว m และ n คอลัมน์ อยู่ในเมทริกซ์เดียวกันเสมอ
การดำเนินงานเกี่ยวกับเมทริกซ์
ให้ aij เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ A และ bij เป็นองค์ประกอบของเมทริกซ์ B
การดำเนินการเชิงเส้น:
การคูณเมทริกซ์ A ด้วยตัวเลข แลมบ์ดา (สัญลักษณ์: แลมบ์ดา) ประกอบด้วยการสร้างเมทริกซ์ B ซึ่งองค์ประกอบนั้นได้มาจากการคูณแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ A ด้วยจำนวนนี้ นั่นคือ แต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ B เท่ากับ
การบวกเมทริกซ์ A + B คือการดำเนินการค้นหาเมทริกซ์ C ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดจะเท่ากับผลรวมคู่ขององค์ประกอบที่สอดคล้องกันทั้งหมดของเมทริกซ์ A และ B นั่นคือแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์ C เท่ากับ
การลบเมทริกซ์ A − B ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับการบวก นี่คือการดำเนินการค้นหาเมทริกซ์ C ที่มีองค์ประกอบต่างๆ
การบวกและการลบทำได้เฉพาะกับเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันเท่านั้น
มีเมทริกซ์ศูนย์ Θ ซึ่งการเพิ่มเข้าไปในเมทริกซ์ A อื่นจะไม่เปลี่ยน A นั่นคือ
องค์ประกอบทั้งหมดของเมทริกซ์ศูนย์มีค่าเท่ากับศูนย์
การดำเนินการแบบไม่เชิงเส้น:
การคูณเมทริกซ์ (การกำหนด: AB น้อยกว่าด้วยเครื่องหมายคูณ) คือการดำเนินการของการคำนวณเมทริกซ์ C ซึ่งองค์ประกอบจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ขององค์ประกอบในแถวที่สอดคล้องกันของปัจจัยแรกและคอลัมน์ที่สอง .cij = ∑ aikbkj k
ปัจจัยแรกจะต้องมีจำนวนคอลัมน์เท่ากันกับจำนวนแถวในวินาที หากเมทริกซ์ A มีมิติ B - ดังนั้นมิติของผลิตภัณฑ์ AB = C คือ การคูณเมทริกซ์ไม่ใช่การสับเปลี่ยน
การคูณเมทริกซ์มีความเชื่อมโยง มีเพียงเมทริกซ์จตุรัสเท่านั้นที่สามารถยกกำลังได้
การขนย้ายเมทริกซ์ (สัญลักษณ์: AT) เป็นการดำเนินการที่เมทริกซ์จะสะท้อนสัมพันธ์กับเส้นทแยงมุมหลักนั่นคือ
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด ดังนั้น AT จะเป็นเมทริกซ์ขนาด
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
ฟังก์ชันเชิงซ้อนมีรูปแบบ: F(x) = f(g(x)) เช่น เป็นฟังก์ชันของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น y = sin2x, y = ln(x2+2x) เป็นต้น
ถ้า ณ จุด x ฟังก์ชัน g(x) มีอนุพันธ์ g"(x) และ ณ จุด u = g(x) ฟังก์ชัน f(u) มีอนุพันธ์ f"(u) ดังนั้นอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันที่ซับซ้อน f(g(x)) ที่จุด x มีอยู่และเท่ากับ f"(u)g"(x)
อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนัย
ในหลายๆ ปัญหา ฟังก์ชัน y(x) จะถูกระบุโดยปริยาย ตัวอย่างเช่น สำหรับฟังก์ชันด้านล่างนี้
เป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับการพึ่งพา y(x) อย่างชัดเจน
อัลกอริธึมสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ y"(x) จากฟังก์ชันโดยนัยมีดังนี้:
ก่อนอื่นคุณต้องแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพต่อ x โดยสมมติว่า y เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ของ x และใช้กฎในการคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
แก้สมการผลลัพธ์สำหรับอนุพันธ์ y"(x)
ลองดูตัวอย่างบางส่วนเพื่ออธิบาย
แยกความแตกต่างของฟังก์ชัน y(x) ที่กำหนดโดยสมการ
ลองแยกความแตกต่างทั้งสองด้านของสมการด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
สิ่งที่นำไปสู่ผลลัพธ์
กฎของลาปิตัล
กฎของโลปิตาล ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) และ g(x) มีอยู่ในสภาพแวดล้อม t-ki x0 pr-nye f' และ g' ไม่รวมความเป็นไปได้ของ t-tu x0 นี้เอง ให้ lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 ดังนั้น f(x)/g(x) สำหรับ x®x0 จะได้ 0/0 lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) เมื่อเกิดขึ้นพร้อมกับขีดจำกัดของอัตราส่วนของฟังก์ชัน lim(x®x0)f(x)/g(x)= ลิม(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(เกณฑ์สำหรับความน่าเบื่อของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในช่วงเวลา) ปล่อยให้ฟังก์ชัน 
อย่างต่อเนื่อง
(a,b) และมีอนุพันธ์ f"(x) ในแต่ละจุด แล้ว
1)f เพิ่มขึ้นโดย (a,b) ก็ต่อเมื่อเท่านั้น
2) ลดลง (a,b) ถ้าและต่อเมื่อ
2. (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความซ้ำซ้อนที่เข้มงวดของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในช่วงเวลา) ปล่อยให้ฟังก์ชัน 
ต่อเนื่องบน (a,b) และมีอนุพันธ์ f"(x) ในแต่ละจุด จากนั้น
1) ถ้า f เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดใน (a,b);
2) ถ้าแล้ว f ลดลงอย่างเคร่งครัดใน (a,b)
การสนทนาโดยทั่วไปไม่เป็นความจริง อนุพันธ์ของฟังก์ชันโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัดสามารถหายไปได้ อย่างไรก็ตาม เซตของจุดที่อนุพันธ์ไม่เป็นศูนย์จะต้องมีความหนาแน่นในช่วง (a,b) แม่นยำยิ่งขึ้น
3. (เกณฑ์สำหรับความน่าเบื่อหน่ายที่เข้มงวดของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ในช่วงเวลา) และอนุพันธ์ f"(x) ถูกกำหนดไว้ทุกที่ในช่วงเวลา จากนั้น f จะเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดในช่วงเวลา (a,b) ถ้าหากตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:
ผลคูณดอทของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์ ภาวะความขนานหรือความตั้งฉากของเวกเตอร์
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คือผลคูณของความยาวและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:
ข้อความต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกับใน planimetry:
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน
สเกลาร์กำลังสองของเวกเตอร์ ซึ่งก็คือผลคูณสเกลาร์ของตัวมันเองและตัวมันเอง เท่ากับกำลังสองของความยาวเวกเตอร์
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวและกำหนดโดยพิกัดสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร
เวกเตอร์จะตั้งฉากก็ต่อเมื่อผลคูณดอทของพวกมันเป็นศูนย์ ตัวอย่าง. ให้เวกเตอร์สองตัวและ เวกเตอร์เหล่านี้จะตั้งฉากถ้านิพจน์ x1x2 + y1y2 = 0 มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์คือมุมระหว่างเส้นตรงที่เวกเตอร์เหล่านี้เป็นตัวนำ ตามคำนิยาม มุมระหว่างเวกเตอร์ใดๆ กับเวกเตอร์ศูนย์จะถือว่าเท่ากับศูนย์ ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์คือ 90° เวกเตอร์ดังกล่าวจะเรียกว่าตั้งฉาก เราจะแสดงมุมระหว่างเวกเตอร์ดังนี้:
บทความนี้เปิดเผยความหมายของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวบนระนาบในปริภูมิสามมิติ และการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์หนึ่งคู่หรือทั้งคู่ หัวข้อนี้ใช้ได้กับปัญหาเกี่ยวกับสมการเส้นตรงและระนาบ
เราจะพิจารณาเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว แก้วิธีการหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด และสัมผัสกับสถานการณ์ในการค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว
ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว
ลองใช้กฎเกี่ยวกับเวกเตอร์ตั้งฉากบนระนาบและในปริภูมิสามมิติ
คำจำกัดความ 1
โดยให้มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวเท่ากับ 90 ° (π 2 เรเดียน) เรียกว่า ตั้งฉาก.
สิ่งนี้หมายความว่าอย่างไรและในสถานการณ์ใดบ้างที่จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับความตั้งฉากของพวกเขา?
การสร้างความตั้งฉากสามารถทำได้ผ่านการวาดภาพ เมื่อวาดเวกเตอร์บนระนาบจากจุดที่กำหนด คุณสามารถวัดมุมระหว่างจุดเหล่านั้นในเชิงเรขาคณิตได้ แม้ว่าความตั้งฉากของเวกเตอร์จะถูกสร้างขึ้นแล้ว แต่ก็จะไม่แม่นยำทั้งหมด บ่อยครั้งที่งานเหล่านี้ไม่อนุญาตให้คุณทำเช่นนี้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ ดังนั้นวิธีนี้จึงใช้ได้เฉพาะเมื่อไม่มีใครรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์อีก
กรณีส่วนใหญ่ของการพิสูจน์ความตั้งฉากของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวบนระนาบหรือในอวกาศนั้นเสร็จสิ้นแล้ว เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว.
ทฤษฎีบท 1
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว a → และ b → เท่ากับศูนย์เพื่อให้เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน a → , b → = 0 ก็เพียงพอแล้วสำหรับการตั้งฉากของพวกมัน
หลักฐานที่ 1
ปล่อยให้เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ตั้งฉาก จากนั้นเราจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกัน a ⇀ , b → = 0 .
จากคำนิยามของ ผลคูณดอทของเวกเตอร์เรารู้ว่ามันเท่าเทียมกัน ผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด ตามเงื่อนไข a → และ b → ตั้งฉากซึ่งหมายความว่าตามคำจำกัดความ มุมระหว่างพวกมันคือ 90 ° จากนั้นเราก็มี → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
ส่วนที่สองของการพิสูจน์
โดยมีเงื่อนไขว่า ⇀, b → = 0 พิสูจน์ความตั้งฉากของ a → และ b →
ในความเป็นจริงการพิสูจน์เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับข้อพิสูจน์ก่อนหน้านี้ เป็นที่ทราบกันว่า a → และ b → ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งหมายความว่าจากความเท่าเทียมกัน a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ เราพบโคไซน์ จากนั้นเราจะได้ cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 เนื่องจากโคไซน์เป็นศูนย์ เราสามารถสรุปได้ว่ามุม a →, b → ^ ของเวกเตอร์ a → และ b → เท่ากับ 90 ° ตามคำนิยามแล้ว นี่เป็นทรัพย์สินที่จำเป็นและเพียงพอ
สภาพตั้งฉากบนระนาบพิกัด
บท ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ในพิกัดแสดงให้เห็นถึงความไม่เท่าเทียมกัน (a → , b →) = a x · b x + a y · b y ใช้ได้กับเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (a x , a y) และ b → = (b x , b y) บนระนาบ และ (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y สำหรับเวกเตอร์ a → = (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) ในอวกาศ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในระนาบพิกัดคือ a x · b x + a y · b y = 0 สำหรับปริภูมิสามมิติ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0
ลองนำไปปฏิบัติและดูตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1
ตรวจสอบคุณสมบัติของความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4)
สารละลาย
เพื่อแก้ปัญหานี้ คุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ ถ้าตามเงื่อนไขมีค่าเท่ากับศูนย์ แสดงว่าตั้งฉากกัน
(ก → , b →) = a x · b x + a y · by = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 เป็นไปตามเงื่อนไข ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ที่กำหนดตั้งฉากกับระนาบ
คำตอบ:ใช่แล้ว เวกเตอร์ที่กำหนดให้ a → และ b → นั้นตั้งฉากกัน
ตัวอย่างที่ 2
ให้พิกัดเวกเตอร์ i → , j → , k → ตรวจสอบว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 · j → + 2 · k → สามารถตั้งฉากได้หรือไม่
สารละลาย
เพื่อที่จะจดจำวิธีการกำหนดพิกัดเวกเตอร์ คุณต้องอ่านบทความเกี่ยวกับ พิกัดเวกเตอร์ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมดังนั้น เราพบว่าเวกเตอร์ที่ให้มา i → - j → และ i → + 2 · j → + 2 · k → มีพิกัดที่สอดคล้องกัน (1, - 1, 0) และ (1, 2, 2) เราแทนที่ค่าตัวเลขและรับ: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
นิพจน์ไม่เท่ากับศูนย์ (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 j → + 2 k → ไม่ตั้งฉากเนื่องจากไม่ตรงตามเงื่อนไข
คำตอบ:ไม่ เวกเตอร์ i → - j → และ i → + 2 · j → + 2 · k → ไม่ตั้งฉาก
ตัวอย่างที่ 3
ให้เวกเตอร์ a → = (1, 0, - 2) และ b → = (แลม, 5, 1) จงหาค่าของ แล ที่เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน
สารละลาย
เราใช้เงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัวในอวกาศในรูปแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วเราจะได้
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ lad = 2
คำตอบ:เวกเตอร์ตั้งฉากกับค่า แล = 2
มีหลายกรณีที่คำถามเรื่องการตั้งฉากเป็นไปไม่ได้แม้จะอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอก็ตาม เมื่อพิจารณาข้อมูลที่ทราบแล้วในด้านทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมบนเวกเตอร์สองตัว ก็เป็นไปได้ที่จะค้นหา มุมระหว่างเวกเตอร์และตรวจสอบมัน
ตัวอย่างที่ 4
เมื่อกำหนดรูปสามเหลี่ยม A B C โดยมีด้าน A B = 8, A C = 6, B C = 10 ซม. ตรวจสอบเวกเตอร์ A B → และ A C → เพื่อดูความตั้งฉาก
สารละลาย
ถ้าเวกเตอร์ A B → และ A C → ตั้งฉากกัน สามเหลี่ยม A B C จะถือเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก จากนั้นเราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยที่ B C คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม ความเท่าเทียมกัน B C 2 = A B 2 + AC 2 จะต้องเป็นจริง ตามมาด้วย 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 ซึ่งหมายความว่า A B และ A C เป็นขาของสามเหลี่ยม A B C ดังนั้น A B → และ A C → จึงตั้งฉากกัน
สิ่งสำคัญคือต้องเรียนรู้วิธีค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับค่าที่ระบุ สิ่งนี้เป็นไปได้ทั้งบนเครื่องบินและในอวกาศ โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์จะต้องตั้งฉากกัน
การหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดในระนาบ
เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ a → สามารถมีเวกเตอร์ตั้งฉากบนระนาบได้ไม่จำกัด ลองพรรณนาสิ่งนี้บนเส้นพิกัด
เมื่อกำหนดเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ a → นอนอยู่บนเส้นตรง a จากนั้น b → ที่กำหนดให้ซึ่งอยู่บนเส้นตั้งฉากกับเส้น a จะตั้งฉากกับ a → ถ้าเวกเตอร์ i → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ j → หรือเวกเตอร์ใดๆ แลม · j → โดยที่ แล เท่ากับจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ แล้วหาพิกัดของเวกเตอร์ b → ตั้งฉากกับ a → = (a x , a y ) ลดลงเหลือชุดของคำตอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ → = (a x , a y) . ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องเขียนเงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์ในรูปแบบต่อไปนี้: a x · b x + a y · b y = 0 เรามี b x และ b y ซึ่งเป็นพิกัดที่ต้องการของเวกเตอร์ตั้งฉาก เมื่อ a x ≠ 0 ค่าของ b y ไม่ใช่ศูนย์ และ b x สามารถคำนวณได้จากความไม่เท่าเทียมกัน a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x สำหรับ a x = 0 และ a y ≠ 0 เราจะกำหนดค่า b x ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ และค้นหา b y จากนิพจน์ b y = - a x · b x a y
ตัวอย่างที่ 5
กำหนดเวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (- 2 , 2) จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับสิ่งนี้
สารละลาย
ให้เราแสดงเวกเตอร์ที่ต้องการเป็น b → (b x , b y) . พิกัดของมันสามารถพบได้จากเงื่อนไขที่ว่าเวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน จากนั้นเราจะได้: (a → , b →) = a x · bx + a y · b y = - 2 · bx + 2 · by = 0 ลองกำหนด b y = 1 และแทน: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 ดังนั้น จากสูตรเราจะได้ b x = - 2 - 2 = 1 2 ซึ่งหมายความว่าเวกเตอร์ b → = (1 2 , 1) เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ a →
คำตอบ:ข → = (1 2 , 1) .
หากตั้งคำถามเกี่ยวกับปริภูมิสามมิติ ปัญหาก็จะได้รับการแก้ไขตามหลักการเดียวกัน สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนด a → = (a x , a y , a z) จะมีเวกเตอร์ตั้งฉากจำนวนอนันต์ จะแก้ไขปัญหานี้บนระนาบพิกัดสามมิติ ให้ → นอนอยู่บนเส้นก ระนาบตั้งฉากกับเส้นตรง a เขียนแทนด้วย α ในกรณีนี้ เวกเตอร์ b → ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จากระนาบ α จะตั้งฉากกับ a →
จำเป็นต้องค้นหาพิกัดของ b → ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ a → = (a x , a y , a z) .
ให้ b → ได้รับพร้อมกับพิกัด b x , b y และ b z . ในการค้นหาจำเป็นต้องใช้คำจำกัดความของเงื่อนไขตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว ต้องมีความเท่าเทียมกัน a x · b x + a y · by + a z · b z = 0 จากเงื่อนไข a → ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพิกัดใดพิกัดหนึ่งมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ สมมติว่า a x ≠ 0, (a y ≠ 0 หรือ a z ≠ 0) ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์หารความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมด a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ด้วยพิกัดนี้ เราได้นิพจน์ b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x . เรากำหนดค่าใด ๆ ให้กับพิกัด b y และ b x คำนวณค่าของ b x ตามสูตร b x = - a y · b y + a z · b z a x เวกเตอร์ตั้งฉากที่ต้องการจะมีค่า a → = (a x, a y, a z)
ลองดูหลักฐานโดยใช้ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 6
ให้เวกเตอร์ที่มีพิกัด a → = (1, 2, 3) ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด
สารละลาย
ให้เราแสดงเวกเตอร์ที่ต้องการด้วย b → = (b x , b y , b z) . ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่ว่าเวกเตอร์ตั้งฉาก ผลคูณสเกลาร์จะต้องเท่ากับศูนย์
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 by + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
ถ้าค่าของ b y = 1, b z = 1 แล้ว b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5 ตามนั้นพิกัดของเวกเตอร์ b → (- 5 , 1 , 1) . เวกเตอร์ b → เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนด
คำตอบ:ข → = (- 5 , 1 , 1) .
การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว
เราจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ในพื้นที่สามมิติ มันตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ a → (a x , a y , a z) และ b → = (b x , b y , b z) โดยมีเงื่อนไขว่าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง ก็เพียงพอแล้วที่จะหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับ a → หรือ b → ในโจทย์
เมื่อแก้โจทย์จะใช้แนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้ง a → และ b → พร้อมกัน ในการแก้ปัญหานี้ จะใช้ผลคูณเวกเตอร์ a → × b → สำหรับปริภูมิสามมิติ จะมีรูปแบบ a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
ลองดูที่ผลคูณเวกเตอร์โดยละเอียดโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 7
จะได้เวกเตอร์ b → = (0, 2, 3) และ a → = (2, 1, 0) ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ใดๆ ที่ตั้งฉากกับข้อมูลพร้อมกัน
สารละลาย
ในการแก้ปัญหา คุณต้องหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ (โปรดดูย่อหน้า การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เพื่อหาเวกเตอร์) เราได้รับ:
ก → × b → = ฉัน → เจ → k → 2 1 0 0 2 3 = ฉัน → 1 3 + เจ → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - เจ → 2 3 - ฉัน → 0 2 = 3 ผม → + (- 6) เจ → + 4 k →
คำตอบ: (3 , - 6 , 4) - พิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากพร้อมกันกับ a → และ b → ที่กำหนด
หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter
โอห์ม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแนะนำแนวคิดของเซ็กเมนต์
คำจำกัดความ 1
เราจะเรียกส่วนนี้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ล้อมรอบด้วยจุดทั้งสองด้าน
คำจำกัดความ 2
ส่วนปลายของส่วนคือจุดที่จำกัดส่วนนั้น
เพื่อแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์ เราเรียกปลายด้านหนึ่งของเซกเมนต์ว่าเป็นจุดเริ่มต้น
คำจำกัดความ 3
เราจะเรียกเวกเตอร์ (เซ็กเมนต์ที่มีทิศทาง) ว่าเป็นเซ็กเมนต์ที่ระบุว่าจุดขอบเขตใดเป็นจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของจุดใด
สัญลักษณ์: \overline(AB) เป็นเวกเตอร์ AB ที่เริ่มต้นที่จุด A และสิ้นสุดที่จุด B
มิฉะนั้น ให้ใช้อักษรตัวเล็กตัวเดียว: \overline(a) (รูปที่ 1)
คำจำกัดความที่ 4
เราจะเรียกเวกเตอร์ศูนย์ว่าจุดใดๆ ที่เป็นของระนาบ
สัญลักษณ์: \overline(0) .
ตอนนี้เราขอแนะนำคำจำกัดความของเวกเตอร์คอลลิเนียร์โดยตรง
นอกจากนี้เรายังจะแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ ซึ่งเราจะต้องใช้ในภายหลัง
คำนิยาม 6
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวคือสเกลาร์ (หรือตัวเลข) ที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์สองตัวนี้โดยมีโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
ในทางคณิตศาสตร์มันอาจมีลักษณะเช่นนี้:
\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))
ดอทโปรดัคยังสามารถพบได้โดยใช้พิกัดเวกเตอร์ดังนี้
\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
สัญลักษณ์ของความตั้งฉากผ่านสัดส่วน
ทฤษฎีบท 1
เพื่อให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ตั้งฉากกัน มีความจำเป็นและเพียงพอที่ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับศูนย์
การพิสูจน์.
ความจำเป็น: ให้เราได้รับเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) ที่มีพิกัด (α_1,α_2,α_3) และ (β_1,β_2,β_3) ตามลำดับ และพวกมันตั้งฉากกัน จากนั้นเราจะต้องพิสูจน์ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้
เนื่องจากเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) ตั้งฉากกัน มุมระหว่างพวกมันคือ 90^0 ลองหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตรจากคำจำกัดความ 6
\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0
ความพอเพียง: ให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง \overline(α)\cdot \overline(β)=0- ขอให้เราพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) จะตั้งฉากกัน
ตามคำจำกัดความที่ 6 ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ
ดังนั้น เวกเตอร์ \overline(α) และ \overline(β) จะตั้งฉากกัน
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
ตัวอย่างที่ 1
พิสูจน์ว่าเวกเตอร์ที่มีพิกัด (1,-5,2) และ (2,1,3/2) ตั้งฉากกัน
การพิสูจน์.
ลองหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยใช้สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
ซึ่งหมายความว่าตามทฤษฎีบทที่ 1 เวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกัน
การค้นหาเวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัวโดยใช้ผลคูณไขว้
ก่อนอื่นเราขอแนะนำแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ก่อน
คำนิยาม 7
ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวจะเป็นเวกเตอร์ที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองที่กำหนด และความยาวของมันจะเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้ และเวกเตอร์นี้ที่มีสองเวกเตอร์ด้วย ค่าเริ่มต้นมีทิศทางเดียวกันกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
การกำหนด: \overline(α)х\overline(β) x.
ในการหาผลคูณเวกเตอร์ เราจะใช้สูตร
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
เนื่องจากเวกเตอร์ของผลคูณครอสของเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองตัวนี้ มันจะเป็นเวกเตอร์ นั่นคือ เพื่อที่จะหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์สองตัว คุณเพียงแค่ต้องหาผลคูณเวกเตอร์ของพวกมัน
ตัวอย่างที่ 2
ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ด้วยพิกัด \overline(α)=(1,2,3) และ \overline(β)=(-1,0,3)
ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้กัน
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x
คำแนะนำ
หากเวกเตอร์ดั้งเดิมแสดงไว้ในภาพวาดในระบบพิกัดสองมิติสี่เหลี่ยมและจำเป็นต้องสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากที่นั่น ให้ดำเนินการต่อจากคำจำกัดความตั้งฉากของเวกเตอร์บนระนาบ โดยระบุว่ามุมระหว่างส่วนที่กำหนดคู่ดังกล่าวจะต้องเท่ากับ 90° สามารถสร้างเวกเตอร์ดังกล่าวได้จำนวนอนันต์ ดังนั้นให้วาดตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมในตำแหน่งที่สะดวกบนเครื่องบินวางส่วนที่เท่ากับความยาวของคู่จุดที่เรียงลำดับที่กำหนดและกำหนดให้ปลายด้านหนึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตั้งฉาก ทำสิ่งนี้โดยใช้ไม้โปรแทรกเตอร์และไม้บรรทัด
หากเวกเตอร์ดั้งเดิมกำหนดโดยพิกัดสองมิติ ā = (X₁;Y₁) ให้ถือว่าผลคูณสเกลาร์ของคู่ของเวกเตอร์ตั้งฉากจะต้องเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าคุณต้องเลือกเวกเตอร์ ō = (X₂,Y₂) ที่ต้องการ โดยที่ค่าความเท่าเทียมกัน (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 จะคงอยู่ ซึ่งสามารถทำได้ดังนี้: เลือกค่าใดก็ได้ ค่าที่ไม่ใช่ศูนย์สำหรับพิกัด X₂ และคำนวณพิกัด Y₂ โดยใช้สูตร Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (15;5) จะมีเวกเตอร์ ō โดยที่ abscissa เท่ากับ 1 และลำดับเท่ากับ -(15*1)/5 = -3 กล่าวคือ ō = (1;-3)
สำหรับระบบพิกัดสามมิติและพิกัดตั้งฉากอื่นๆ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเดียวกันสำหรับตั้งฉากของเวกเตอร์นั้นเป็นจริง - ผลคูณสเกลาร์จะต้องเท่ากับศูนย์ ดังนั้น ถ้ากำหนดทิศทางเริ่มต้นโดยพิกัด ā = (X₁,Y₁,Z₁) ให้เลือกคู่อันดับของจุด ō = (X₂,Y₂,Z₂) ซึ่งตั้งฉากกับพิกัดดังกล่าวที่เป็นไปตามเงื่อนไข (ā,ō ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0 วิธีที่ง่ายที่สุดคือการกำหนดค่าเดี่ยวให้กับ X₂ และ Y₂ และคำนวณ Z₂ จากความเท่าเทียมกันแบบง่าย Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁ ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ ā = (3,5,4) จะได้รูปแบบต่อไปนี้: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0 จากนั้นหาค่า abscissa และกำหนดลำดับของ เวกเตอร์ตั้งฉากเป็นหนึ่ง และในกรณีนี้ มันจะเท่ากับ -(3+5)/4 = -2
แหล่งที่มา:
- หาเวกเตอร์ถ้ามันตั้งฉาก
พวกมันถูกเรียกว่าตั้งฉาก เวกเตอร์ซึ่งมุมระหว่างนั้นคือ 90° เวกเตอร์ตั้งฉากถูกสร้างขึ้นโดยใช้เครื่องมือวาดภาพ หากทราบพิกัด ก็จะสามารถตรวจสอบหรือค้นหาความตั้งฉากของเวกเตอร์ได้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์
คุณจะต้องการ
- - ไม้โปรแทรกเตอร์;
- - เข็มทิศ;
- - ไม้บรรทัด.
คำแนะนำ
ตั้งไว้ที่จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ วาดวงกลมโดยมีรัศมีตามต้องการ จากนั้นสร้างสองจุดโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่วงกลมแรกตัดกับเส้นตรงที่เวกเตอร์อยู่ รัศมีของวงกลมเหล่านี้จะต้องเท่ากันและใหญ่กว่าวงกลมแรกที่สร้างขึ้น ที่จุดตัดของวงกลม ให้สร้างเส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมที่จุดกำเนิดของมัน และลากเส้นเวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์นี้
ค้นหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีพิกัดและเท่ากับ (x;y) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หาคู่ของตัวเลข (x1;y1) ที่จะเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน x x1+y y1=0 ในกรณีนี้ เวกเตอร์ที่มีพิกัด (x1;y1) จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่มีพิกัด (x;y)