ระบบพิกัดเชิงขั้ว (พิกัดเชิงขั้ว)

ระบบพิกัดเชิงขั้วบนระนาบคือการรวมกันของจุด O เรียกว่าขั้ว และ OX ครึ่งเส้นเรียกว่าแกนขั้วโลก นอกจากนี้ก็กำหนดไว้ด้วย ส่วนขนาดสำหรับวัดระยะทางจากจุดระนาบถึงเสา ตามกฎแล้ว เวกเตอร์ \vec(i) จะถูกเลือกบนแกนเชิงขั้ว และนำไปใช้กับจุด O ซึ่งความยาวของจุดนั้นถือเป็นค่าของส่วนของสเกล และทิศทางของเวกเตอร์จะระบุทิศทางที่เป็นบวกบนขั้ว แกน (รูปที่ 2.28a)

ตำแหน่งของจุด M ใน ระบบขั้วโลกพิกัดถูกกำหนดโดยระยะทาง r ( รัศมีขั้วโลก) จากจุด M ถึงขั้ว (เช่น r=\vert\overrightarrow(OM)\vert) และมุม \varphi (มุมเชิงขั้ว) ระหว่างแกนเชิงขั้วกับเวกเตอร์ \overrightarrow(OM)- รัศมีเชิงขั้วและมุมเชิงขั้วคือ พิกัดเชิงขั้วจุด M ซึ่งเขียนเป็น M(r,\varphi) มุมเชิงขั้ววัดเป็นเรเดียนและวัดจากแกนเชิงขั้ว:

ในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) หากค่ามุมเป็นบวก

ในทิศทางลบ (ทิศทางตามเข็มนาฬิกา) หากค่ามุมเป็นลบ

รัศมีเชิงขั้วถูกกำหนดไว้สำหรับจุดใดๆ ในระนาบ และรับค่าที่ไม่เป็นลบ r\geqslant0 มุมเชิงขั้ว \varphi ถูกกำหนดไว้สำหรับจุดใดๆ ในระนาบ ยกเว้นขั้ว O และรับค่าต่างๆ -\ปี่<\varphi\leqslant\pi , เรียกว่า ค่าหลักของมุมเชิงขั้ว- ในบางกรณี แนะนำให้สมมติว่ามุมเชิงขั้วถูกกำหนดเป็นเงื่อนไข 2\pi n โดยที่ n\in\mathbb(Z) ในกรณีนี้ ค่า \varphi+2\pi n ของมุมเชิงขั้วสำหรับ n\in\mathbb(Z) ทั้งหมดสอดคล้องกับทิศทางเดียวกันของเวกเตอร์รัศมี

ระบบพิกัดเชิงขั้ว หรือ\วาร์ฟี สามารถเชื่อมโยงกับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O\vec(i)\vec(j) ซึ่งมีจุดกำเนิด O ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับขั้ว และแกนแอบซิสซา (หรือแม่นยำกว่านั้นคือ กึ่งแอบซิสซาที่เป็นบวก axis) เกิดขึ้นพร้อมกับแกนเชิงขั้ว แกนพิกัดเสร็จสมบูรณ์ตั้งฉากกับแกน abscissa เพื่อให้ได้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมทางขวา (รูปที่ 2.28, b) ความยาวของเวกเตอร์พื้นฐานถูกกำหนดโดยส่วนของสเกลบนแกนเชิงขั้ว

ในทางตรงกันข้าม หากให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมทางขวาบนระนาบ จากนั้นเมื่อนำครึ่งแกนบวกของแอบซิสซาเป็นแกนขั้วโลก เราจะได้ระบบพิกัดเชิงขั้ว (สัมพันธ์กับระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด)

ขอให้เราได้สูตรที่เชื่อมต่อพิกัดสี่เหลี่ยม x,y ของจุด M ซึ่งแตกต่างจากจุด O และพิกัดเชิงขั้ว r,\varphi ตามรูปที่ 2.28b เราได้รับ

\begin(cases)x=r\cdot\cos\varphi,\\y=r\cdot\sin\varphi.\end(เคส)

สูตรเหล่านี้ช่วยให้คุณค้นหาพิกัดสี่เหลี่ยมจากพิกัดเชิงขั้วที่ทราบได้ การเปลี่ยนผ่านแบบย้อนกลับจะดำเนินการตามสูตร:

\left\(\begin(ชิด)r&= \sqrt(x^2+y^2),\\ \cos\varphi&= \frac(x)(r)=\frac(x)(\sqrt(x^ 2+y^2)),\\ \sin\varphi&= \frac(y)(r)=\frac(y)(\sqrt(x^2+y^2)).\end(ชิด)\right .

ความเท่าเทียมกันสองตัวสุดท้ายจะกำหนดมุมเชิงขั้วจนถึงพจน์ 2\pi n โดยที่ n\in\mathbb(Z) สำหรับ x\ne0 มันจะตามมาจากพวกมัน \ชื่อผู้ดำเนินการ(tg)\frac(y)(x)\วาร์ฟี~(-\pi<\varphi\leqslant\pi) พบได้ตามสูตร (รูปที่ 2.29):

\varphi=\left\(\begin(ชิด)\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(y)(x),\quad&x>0,\\\pi+\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(y)(x),\ รูปสี่เหลี่ยม&x<0,\,y\geqslant0,\\-\pi+\operatorname{arctg}\frac{y}{x},\quad&x<0,\,y<0,\\\frac{\pi}{2},\quad&x=0,\,y>0,\\-\frac(\pi)(2),\quad&x=0,\,y<0.\end{aligned}\right.

ตัวอย่างที่ 2.9ในระบบพิกัดเชิงขั้ว Or\varphi :

ก) วาดเส้นพิกัด r=1,~r=2,~r=3,~\varphi=\frac(\pi)(4),~\varphi=\frac(\pi)(2);

b) แสดงถึงจุด M_1,~M_2 ด้วยพิกัดเชิงขั้ว r_1=3,~\varphi_1=\frac(9\pi)(4),~r_2=3,~\varphi=-\frac(7\pi)(4)- ค้นหาค่าหลักของมุมเชิงขั้วของจุดเหล่านี้

c) ค้นหาพิกัดสี่เหลี่ยมของจุด M_1,~M_2

สารละลาย.ก) เส้นพิกัด r=1,~r=2,~r=3 แทนวงกลมที่มีรัศมีสอดคล้องกัน และเส้นพิกัด \varphi=\frac(\pi)(4), \varphi=\frac(\pi)(2)และ \varphi=\frac(3\pi)(4)- กึ่งตรง (รูปที่ 2.30, ก)

b) มาพล็อตประเด็นกัน M_1\!\left(3,\frac(9\pi)(4)\right)และ M_2\!\left(3,-\frac(7\pi)(4)\right)(รูปที่ 2.30, b, c) พิกัดของพวกมันต่างกันในมุมเชิงขั้ว แต่มีความหมายหลักเหมือนกัน \varphi=\frac(\pi)(4)- นี่จึงเป็นจุดเดียวกันซึ่งตรงกับจุดนั้น M\!\left(3,\frac(\pi)(4)\right)ดังแสดงในรูปที่ 2.30 ก.

c) เมื่อคำนึงถึงจุด “b” ลองหาพิกัดสี่เหลี่ยมของจุด M กัน การใช้สูตร (2.17) เราได้รับ:

x=r\cdot\cos\varphi=3\cdot\cos\frac(\pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2);~y=r\cdot\sin\frac( \pi)(4)=\frac(3\sqrt(2))(2),นั่นคือ M\!\left(\frac(3\sqrt(2))(2),\frac(3\sqrt(2))(2)\right)

หมายเหตุ 2.8

1. สามารถเลือกค่าหลักของมุมเชิงขั้วได้แตกต่างกัน เช่น 0\leqslant\varphi<2\pi .

2. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด M_1(r_1,\วาร์ฟี_1)และ M_2(r_2,\วาร์ฟี_2)(ความยาวของส่วน M_1M_2) คำนวณโดยสูตร

M_1M_2=\sqrt(r_1^2+r_2^2-2\cdot r_1\cdot r_2\cdot\cos(\varphi_2-\varphi_1)),

ซึ่งตามมาจากทฤษฎีบทโคไซน์ (รูปที่ 2.31)

3. พื้นที่เชิง S_(\ast)^(\land) ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 2.31) ซึ่งสร้างบนเวกเตอร์รัศมี และ พบได้จากสูตร

S_(\ast\overrightarrow(OM_1),\overrightarrow(OM_2))^(\land)=\overrightarrow(OM_1)\land\overrightarrow(OM_2)=r_1\cdot r_2\cdot\sin(\varphi_2-\varphi_1) .

เป็นบวกถ้า \วาร์ฟี_1<\varphi_2 (ในกรณีนี้คือการวางแนวของเวกเตอร์รัศมีคู่หนึ่ง \overrightarrow(OM_1)และ \overrightarrow(OM_2)ขวา) และถ้าเป็นลบ \varphi_1>\varphi_2(การวางแนวของเวกเตอร์รัศมีคู่หนึ่ง \overrightarrow(OM_1)และ \overrightarrow(OM_2)ซ้าย).

ตัวอย่าง 2.10.พิกัดเชิงขั้วจะได้รับ \varphi_A=\frac(\pi)(3),~r_A=4และ \varphi_B=\frac(2\pi)(3),~r_B=2จุด A และ B (รูปที่ 2.32) จำเป็นต้องค้นหา:

ก) ผลิตภัณฑ์สเกลาร์ \bigl\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\bigl\rangle;

b) ความยาวของส่วน AB;

c) ผลิตภัณฑ์ภายนอก \overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB);

d) พื้นที่ S_(OAB) ของสามเหลี่ยม OAB;

e) พิกัดของจุดศูนย์กลาง C ของส่วน AB ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่เกี่ยวข้องกับขั้วที่กำหนด

สารละลาย.ก) ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่เราพบ

\left\langle\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB)\right\rangle=\left|\overrightarrow(OA)\right|(\cdot)\left|\overrightarrow(OB)\right|\!\cdot \cos\psi=r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A)=4\cdot2\cdot\cos\frac(\pi)(3)=4

b) ค้นหาความยาวของส่วน (ดูวรรค 2 ของหมายเหตุ 2.8):

AB=\sqrt(r_A^2+r_B^2-2\cdot r_A\cdot r_B\cdot\cos(\varphi_B-\varphi_A))=\sqrt(4^2+2^2-2\cdot4\cdot2\ cdot\frac(1)(2))=2\sqrt(3)

c) เราพบว่าผลิตภัณฑ์ด้านนอกเป็นพื้นที่เชิงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และ:

\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)=r_A\cdot r_B\cdot\sin(\varphi_B-\varphi_A)=2\cdot4\cdot\sin\frac(\pi)(3)=4\sqrt( 3).

พื้นที่เป็นบวก เนื่องจากเวกเตอร์ \overrightarrow(โอเอ)และ \overrightarrow(OB)สร้างคู่ที่เหมาะสม (\varphi_A<\varphi_B) .

d) พื้นที่ของสามเหลี่ยม OAB พบว่าเป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างโดยใช้เวกเตอร์รัศมี \overrightarrow(โอเอ)และ \overrightarrow(OB).

เพราะ S_(\ast\overrightarrow(OA),\overrightarrow(OB))=\left|\overrightarrow(OA)\land\overrightarrow(OB)\right|=4\sqrt(3)(ดูย่อหน้า "c") จากนั้น S_(OAB)=\frac(1)(2)\cdot4\sqrt(3)=2\sqrt(3).

e) การใช้สูตร (2.17) เราค้นหาพิกัดสี่เหลี่ยมของจุด A และ B:

\begin(รวบรวม)x_A=r_A\cdot\cos\varphi_A=4\cdot\frac(1)(2)=2,\quad y_A=r_A\cdot\sin\varphi_A=4\cdot\frac(\sqrt( 3))(2)=2\sqrt(3);\\ x_B=r_B\cdot\cos\varphi_B=2\cdot\frac(-1)(2)=-1,\ควอด y_B=r_B\cdot\ sin\varphi_B=2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)=\sqrt(3).\end(รวบรวม)

จากนั้นพิกัดของ C ตรงกลางของส่วน AB (ดูย่อหน้าที่ 3 ของหมายเหตุ 2.1):

x_C=\frac(x_A+x_b)(2)=\frac(2+(-1))(2)=\frac(1)(2);\รูปสี่เหลี่ยม y_C=\frac(y_A+y_B)(2) =\frac(2\sqrt(3)+\sqrt(3))(2)=\frac(3\sqrt(3))(2)

ตัวอย่าง 2.11.จุด A(4,-3) ถูกทำเครื่องหมายไว้บนระนาบพิกัด Oxy หา:

ก) พิกัดเชิงขั้วของจุด A" ซึ่งเป็นภาพของจุด A เมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมี \overrightarrow(โอเอ)โดยมุม \frac(\pi)(3) รอบจุดกำเนิด (รูปที่ 2.33)

ข) พิกัดเชิงขั้วของจุด A_1 รูปภาพของจุด A เมื่อระนาบกลับด้านสัมพันธ์กับวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (ดูตัวอย่าง ข ของการแปลงระนาบในส่วนที่ 2.2.4)

สารละลาย.ก) ค้นหาพิกัดเชิงขั้วของจุด A ตามสูตร (2.17) โดยคำนึงถึงรูปที่ 2.29 เราได้รับ:

r_A=\sqrt(x_A^2+y_A^2)=\sqrt(4^2+(-3)^2)=5;\quad\varphi_A=\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)\frac(y_A)(x_A)= \ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)\frac(-3)(4)=-\ชื่อตัวดำเนินการ(arctg)\frac(3)(4)

เนื่องจากจุด A อยู่ใน \text(IV) ควอเตอร์

เมื่อหมุนเวกเตอร์รัศมี \overrightarrow(โอเอ)รอบขั้วด้วยมุม \frac(\pi)(3) รัศมีเชิงขั้วจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่มุมเชิงขั้วจะเพิ่มขึ้น ดังนั้นพิกัดเชิงขั้วของจุด A": r_(A")=r_(A)=5, \varphi_(A")=\varphi_(A)+\frac(\pi)(3)=\frac(\pi)(3)-\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(3)(4)และ \varphi_(A") คือค่าหลักของมุมเชิงขั้ว (-\pi<\varphi_{A"}\leqslant\pi) .

b) เมื่อกลับด้านด้วยความเคารพต่อวงกลมที่มีรัศมี R พิกัดเชิงขั้ว r",\varphi" ของภาพจะแสดงผ่านพิกัดเชิงขั้ว r,\varphi ของภาพผกผันตามสูตรต่อไปนี้:

r"=\frac(R^2)(r),\quad\varphi"=\varphi.

ดังนั้นเมื่อคำนึงถึงจุด “a” เราจึงพบ (สำหรับ R=1):

r_(A_1)=\frac(1)(r_A)=\frac(1)(5),\quad\varphi_(A_1)=\varphi_(A)=-\ชื่อผู้ดำเนินการ(arctg)\frac(3)(4 ).

หน้า 1

พิกัด y ของจุดใดๆ ในจตุภาคแรกนั้นเป็นค่าบวก

จุดในจตุภาคที่สามและสี่มีพิกัด Y เป็นลบ และในจตุภาคที่สาม พิกัด X ของจุดนั้นเป็นลบ

บอร์ดพิกัดจะแสดงพิกัด X และ Y ที่แน่นอนของตำแหน่งปัจจุบันของเคอร์เซอร์ ArchiCAD ในระบบพิกัดที่ใช้

ในจตุภาคที่สอง พิกัด X ของจุดเป็นบวก และพิกัด Y นั้นเป็นลบ

ปัญหาคือตำแหน่งของราชินีถูกกำหนดโดยพิกัด Y เท่านั้น และพิกัด X ไม่ได้ปรากฏอย่างชัดเจนในการแสดงตำแหน่ง

เมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา โปรแกรมจะแสดงในรูป 4.7 ทดสอบค่าต่างๆ ของพิกัด Y ของราชินี ลำดับของการแจกแจงตัวเลือกอื่นระบุอยู่ในโปรแกรมที่ไหน?

เนื่องจากเป็นเรื่องปกติที่จะต้องเขียนพิกัด X ของจุดก่อนแล้วตามด้วยพิกัด Y นิพจน์ - r - / Q - P ยังไม่ได้กำหนดค่าที่ต้องการ ผลลัพธ์จะเท่ากับผลหารของการหารความแตกต่างในพิกัดตามแกน X ด้วยความแตกต่างในค่าพิกัดตามแกน Y ซึ่งตามคำจำกัดความจะให้ค่าผกผันของความชันของเส้น

COORDINATE VALUES) และวางไว้ในตารางข้อความเอาต์พุตและรายการข้อมูลเอาต์พุต ต่อจากนั้นคำสั่งนี้ซึ่งประกอบด้วยพิกัด X และ Y ของตำแหน่งหน้าจอที่เลือกจะถูกส่งไปยังคอมพิวเตอร์หลัก

ตำแหน่งของระบบใหม่ XOt Y ที่สัมพันธ์กับระบบเก่า xOy จะถูกกำหนดหากพิกัด a และ b ของจุดกำเนิดใหม่ O เป็นที่รู้จักตามระบบเก่าและมุม a ระหว่างแกน Ox และ OtX ให้เราแสดงพิกัดของจุด M ตามอำเภอใจที่สัมพันธ์กับระบบเก่าด้วย x และ y และพิกัด X และ Y ของจุดเดียวกันที่สัมพันธ์กับระบบใหม่ หน้าที่ของเราคือแสดงพิกัดเก่า x และ y ผ่านพิกัด X และ Y ใหม่ สูตรการแปลงผลลัพธ์ที่ได้ควรรวมค่าคงที่ a, b และ oc ไว้อย่างชัดเจน เราจะได้แนวทางแก้ไขปัญหาทั่วไปนี้โดยการพิจารณากรณีพิเศษสองกรณี

โดยอ้างถึงสององค์ประกอบในรายการข้อมูล - X และ Y ตัวประมวลผลการแสดงผลของเทอร์มินัลของเรามีคำสั่งแยกต่างหากเพื่อย้ายลำแสงไปยังตำแหน่งใหม่ในพิกัด X และ Y ดังนั้นรูทีนคำสั่ง SET ORIGIN จะต้องสร้างคำสั่งตัวประมวลผลการแสดงผลสองคำสั่ง นอกจากนี้ คุณต้องพิจารณาว่าวัตถุที่กำลังเตรียมใช้งานด้วยคำสั่ง SET ORIGIN นั้นเป็นเซ็กเมนต์หรือองค์ประกอบ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ขั้นตอนจะสอบถามตารางความสัมพันธ์โดยใช้ฟิลด์พารามิเตอร์คำสั่ง ในกรณีของเซ็กเมนต์ ตำแหน่งบนหน้าจอจะถูกระบุในพิกัดสัมบูรณ์ ในกรณีขององค์ประกอบ - ในตำแหน่งที่สัมพันธ์กัน รูทีนที่ดำเนินการคำสั่ง SET ORIGIN จะต้องตั้งค่าหรือล้างบิตพิเศษสำหรับคำสั่งตัวประมวลผลการแสดงผลที่เกี่ยวข้อง

โปรแกรมจะสำรวจขอบเขตอวกาศอันไม่มีที่สิ้นสุดนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยจะไม่เข้าใกล้เป้าหมายอีกต่อไป สภาพพื้นที่ของปัญหาราชินีทั้งแปด ซึ่งกำหนดไว้ในส่วนนี้ เมื่อมองแวบแรกจะมีกับดักประเภทนี้ทุกประการ แต่ปรากฎว่ามันยังคงมีจำกัด เนื่องจากพิกัด Y ถูกเลือกจากเซตที่จำกัด ดังนั้นจึงไม่สามารถวางควีนไว้บนกระดานได้อย่างปลอดภัยเกินแปดตัว

โพรซีเดอร์ที่ดำเนินการคำสั่งนี้มีวิธีการสี่ประเภทสำหรับการสร้างอ็อบเจ็กต์แบบโต้ตอบ เครื่องมือแรกคือขั้นตอนทั่วไปในการวาดเส้นตรง การวาดทำได้โดยการย้ายเครื่องหมายพิเศษไปที่จุดเริ่มต้นของบรรทัดแล้วย้ายไปที่จุดสิ้นสุดของบรรทัด เมื่อคุณย้ายป้ายกำกับไปที่ท้ายบรรทัด เวกเตอร์จะถูกสร้างขึ้นโดยเชื่อมต่อจุดเริ่มต้นของบรรทัดกับตำแหน่งปัจจุบันของป้ายกำกับ เมื่อปล่อยปุ่มบนตัวปากกาแสง คุณสามารถย้ายเครื่องหมายจากปลายด้านหนึ่งของเส้นที่คุณกำลังวาดไปยังอีกด้านหนึ่งได้ เมื่อผู้ใช้ชี้ไปที่ปุ่มไฟ ACCEPT คำสั่ง L4 จะถูกสร้างขึ้นด้วยความช่วยเหลือซึ่งพิกัด X, Y ของเส้นที่ลากจะถูกส่งไปยังคอมพิวเตอร์หลัก

หน้า: 1

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบประกอบด้วยแกนพิกัดตั้งฉากกันสองแกน OX และ OY แกนพิกัดตัดกันที่จุด O ซึ่งเรียกว่าจุดเริ่มต้น และเลือกทิศทางบวกบนแต่ละแกน ในระบบพิกัดทางขวามือ ทิศทางบวกของแกนจะถูกเลือก ดังนั้นเมื่อแกน OY ชี้ขึ้นด้านบน แกน OX จะหันไปทางขวา

มุมทั้งสี่ (I, II, III, IV) ที่เกิดจากแกนพิกัด X"X และ Y"Y เรียกว่ามุมพิกัดหรือควอแดรนต์

ตำแหน่งของจุด A บนระนาบถูกกำหนดโดยพิกัด x และ y สองพิกัด พิกัด x เท่ากับความยาวของส่วน OB พิกัด y เท่ากับความยาวของส่วน OC ในหน่วยการวัดที่เลือก เซ็กเมนต์ OB และ OC ถูกกำหนดโดยเส้นที่ลากจากจุด A ขนานกับแกน Y"Y และ X"X ตามลำดับ พิกัด x เรียกว่า abscissa ของจุด A พิกัด y เรียกว่าพิกัดของจุด A เขียนไว้ดังนี้:

ถ้าจุด A อยู่ในมุมพิกัด I แล้วจุด A จะมีจุดหักมุมที่เป็นบวกและกำหนดพิกัด ถ้าจุด A อยู่ในมุมพิกัด II แล้วจุด A จะมีค่าลบและค่าพิกัดที่เป็นบวก ถ้าจุด A อยู่ในพิกัดมุม III แล้วจุด A จะมีจุดตัดและพิกัดเป็นลบ ถ้าจุด A อยู่ในมุมพิกัด IV แล้วจุด A จะมีจุดหักมุมที่เป็นบวกและมีลำดับที่เป็นลบ

ระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในอวกาศเกิดขึ้นจากแกนพิกัดตั้งฉากซึ่งกันและกันสามแกน OX, OY และ OZ แกนพิกัดตัดกันที่จุด O ซึ่งเรียกว่าจุดเริ่มต้น ในแต่ละแกนจะมีการเลือกทิศทางที่เป็นบวก ซึ่งระบุด้วยลูกศร และมีหน่วยการวัดสำหรับส่วนต่างๆ บนแกน โดยปกติหน่วยจะเหมือนกันทุกแกน (ซึ่งไม่บังคับ) OX - แกน abscissa, OY - แกนกำหนด, OZ - แกนใช้งาน

ถ้านิ้วโป้งของมือขวาถือเป็นทิศทาง X นิ้วชี้เป็นทิศทาง Y และนิ้วกลางเป็นทิศทาง Z ก็จะเกิดระบบพิกัดสำหรับมือขวา นิ้วที่คล้ายกันของมือซ้ายก่อให้เกิดระบบพิกัดด้านซ้าย กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทิศทางที่เป็นบวกของแกนจะถูกเลือกเพื่อให้เมื่อแกน OX หมุนทวนเข็มนาฬิกา 90° ทิศทางที่เป็นบวกจะสอดคล้องกับทิศทางที่เป็นบวกของแกน OY หากสังเกตการหมุนนี้จากทิศทางที่เป็นบวกของ OZ แกน. เป็นไปไม่ได้ที่จะรวมระบบพิกัดด้านซ้ายและขวาเพื่อให้แกนที่สอดคล้องกันตรงกัน

ตำแหน่งของจุด A ในอวกาศถูกกำหนดโดยพิกัดสามพิกัด x, y และ z พิกัด x เท่ากับความยาวของส่วน OB พิกัด y คือความยาวของส่วน OC พิกัด z คือความยาวของส่วน OD ในหน่วยการวัดที่เลือก ส่วน OB, OC และ OD ถูกกำหนดโดยระนาบที่ลากจากจุด A ขนานกับระนาบ YOZ, XOZ และ XOY ตามลำดับ พิกัด x เรียกว่า abscissa ของจุด A พิกัด y เรียกว่าพิกัดของจุด A พิกัด z เรียกว่าแอปพลิเคชันของจุด A เขียนไว้ดังนี้:

โอดีเอ- เรียกว่าระบบพิกัด (O; , , ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ถ้า: 1) เวกเตอร์พื้นฐานมีความยาวหน่วย: = = =1;

2) เวกเตอร์พื้นฐานเป็นคู่ตั้งฉาก (ตั้งฉาก): ⏊ ⏊ .

เวกเตอร์พื้นฐานมักเรียกกันว่า เวกเตอร์พื้นฐาน และพิกัดคือ x, y, z แกนพิกัดเรียกว่า: Ox - แกน abscissa, Oy - แกนกำหนด, Oz - แกนประยุกต์

ทฤษฎีบท.ความยาวของเวกเตอร์ =(X,Y,Z) เท่ากับรากของผลรวมของกำลังสองของพิกัด: | -

เอกสาร- เวกเตอร์แสดงด้วยเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน X,

ความยาวของด้านของเส้นทแยงมุมเท่ากับ |X|,|Y|,|Z| เท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้าน (คุณต้องใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสองครั้ง) จากที่นี่เราจะได้สูตรที่ต้องการ

ผลที่ตามมาระยะห่างระหว่างจุด A() และ B() เท่ากับ AB=

เอกสาร- เอบี=| |, ก =()

13. ขนาดของเส้นโครงเวกเตอร์บนแกน ทิศทางโคไซน์.

แกนคือเส้นตรงที่เลือกทิศทาง ให้ทิศทางบนแกนถูกกำหนดโดยเวกเตอร์หน่วย

อนุญาต เป็นเวกเตอร์ใดๆ และให้ A΄ และ B΄ เป็นเส้นโครงมุมฉากของจุด A และ B ลงบนเส้นตรง l ชื่อเวกเตอร์ การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน l

โอดีเอ- ขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน l เรียกว่า พิกัดของเวกเตอร์บนเส้นตรง l สัมพันธ์กับเวกเตอร์ฐานคือ ตัวเลขดังกล่าวที่ = , .

ดังนั้นเราจึงแยกความแตกต่างระหว่างเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนและขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน: อันแรกคือเวกเตอร์และอันที่สองคือตัวเลข เมื่อเวกเตอร์ถูกถ่ายโอนแบบขนาน เวกเตอร์ก็จะถูกเลื่อนแบบขนานบนแกน l ด้วย ดังนั้นขนาดของเส้นโครงเวกเตอร์จึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนเวกเตอร์ นอกจากนี้ ขนาดเส้นโครงของผลรวมของเวกเตอร์จะเท่ากับผลรวมของขนาดเส้นโครงของเวกเตอร์

ทฤษฎีบท.ขนาดของการฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์นี้และโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน: =| |cosφ โดยที่ φ=<().

หมอลองพิจารณาสองกรณี: 1) มุมแหลม 2) มุมป้าน

ทิศทางโคไซน์

ให้ α, β, γ เป็นมุมที่เวกเตอร์ =(X,Y,Z) สร้างด้วยแกนพิกัด โคไซน์ของมุมเหล่านี้เรียกว่าcosα, cosβ, cosγ โคไซน์ทิศทางของเวกเตอร์

α=<(Ox. ); β=<(Oy ); γ=<(Oz, .

เห็นได้ชัดว่าพิกัดของเวกเตอร์เท่ากับขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์นี้บนแกนพิกัด ดังนั้น X= = |cosα; Y= = |cosβ; Z= = |คอสγ

จากตรงนี้เราสามารถหาโคไซน์ทิศทางได้: cos = = ; cosβ= ; คอสγ=