คำนิยาม. ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a (ตัวคูณ) และเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ (ตัวคูณ) คือเวกเตอร์ตัวที่สาม c (ผลคูณ) ซึ่งมีโครงสร้างดังนี้:

1) โมดูลของมันคือตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานในรูป 155) สร้างบนเวกเตอร์ กล่าวคือ เท่ากับทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานดังกล่าว

3) ในกรณีนี้ ทิศทางของเวกเตอร์ c ถูกเลือก (จากสองที่เป็นไปได้) เพื่อให้เวกเตอร์ c เป็นระบบทางขวา (§ 110)

การกำหนด: หรือ

นอกเหนือจากคำจำกัดความแล้ว หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน เมื่อพิจารณาว่ารูปนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (แบบมีเงื่อนไข) ก็เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดพื้นที่เป็นศูนย์ ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์จึงถือว่าเท่ากับเวกเตอร์ว่าง

เนื่องจากเวกเตอร์ว่างสามารถกำหนดทิศทางใดก็ได้ ข้อตกลงนี้จึงไม่ขัดแย้งกับคำจำกัดความของย่อหน้าที่ 2 และ 3

หมายเหตุ 1. ในคำว่า “ผลคูณเวกเตอร์” คำแรกบ่งชี้ว่าผลลัพธ์ของการกระทำนั้นเป็นเวกเตอร์ (ตรงข้ามกับผลคูณสเกลาร์; cf. § 104, หมายเหตุ 1)

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาผลคูณเวกเตอร์โดยที่เวกเตอร์หลักของระบบพิกัดที่ถูกต้อง (รูปที่ 156)

1. เนื่องจากความยาวของเวกเตอร์หลักเท่ากับหนึ่งหน่วยมาตราส่วน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) จึงเป็นตัวเลขเท่ากับหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

2. เนื่องจากตั้งฉากกับระนาบคือแกน ผลคูณเวกเตอร์ที่ต้องการจึงเป็นเวกเตอร์โคลิเนียร์กับเวกเตอร์ k และเนื่องจากทั้งคู่มีโมดูลัส 1 ผลคูณเวกเตอร์ที่ต้องการจึงเท่ากับ k หรือ -k

3. จากเวกเตอร์ที่เป็นไปได้ทั้งสองนี้ ต้องเลือกเวกเตอร์แรก เนื่องจากเวกเตอร์ k เป็นระบบที่ถนัดขวา (และเวกเตอร์เป็นระบบที่ถนัดซ้าย)

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาผลคูณไขว้

สารละลาย. ดังตัวอย่างที่ 1 เราสรุปได้ว่าเวกเตอร์มีค่าเท่ากับ k หรือ -k แต่ตอนนี้เราต้องเลือก -k เนื่องจากเวกเตอร์สร้างระบบทางขวา (และเวกเตอร์ก่อตัวเป็นระบบทางซ้าย) ดังนั้น,

ตัวอย่างที่ 3 เวกเตอร์มีความยาวเท่ากับ 80 และ 50 ซม. ตามลำดับ และมีมุม 30° นำเมตรเป็นหน่วยของความยาว หาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ a

สารละลาย. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เท่ากับ ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่ต้องการเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เดียวกัน โดยใช้หน่วยเซนติเมตรเป็นหน่วยความยาว

สารละลาย. เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์เท่ากัน ความยาวของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงเท่ากับ 2,000 ซม. เช่น

จากการเปรียบเทียบตัวอย่างที่ 3 และ 4 เห็นได้ชัดว่าความยาวของเวกเตอร์ไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับความยาวของตัวประกอบเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการเลือกหน่วยความยาวด้วย

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จากปริมาณทางกายภาพจำนวนมากที่แสดงโดยผลคูณเวกเตอร์ เราจะพิจารณาเฉพาะช่วงเวลาแห่งแรงเท่านั้น

ให้ A เป็นจุดที่ใช้แรง โมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุด O เรียกว่าผลคูณเวกเตอร์ เนื่องจากโมดูลัสของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์นี้มีตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 157) โมดูลัสของโมเมนต์เท่ากับผลคูณของฐานและความสูง กล่าวคือ แรงคูณด้วยระยะห่างจากจุด O ถึงเส้นตรงที่แรงกระทำ

ในกลศาสตร์ ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเพื่อให้วัตถุแข็งเกร็งอยู่ในสภาวะสมดุล จำเป็นที่ไม่เพียงแต่ผลรวมของเวกเตอร์ที่เป็นตัวแทนของแรงที่กระทำต่อร่างกายจะต้องเท่ากับศูนย์เท่านั้น แต่ยังต้องรวมผลรวมของโมเมนต์ของแรงด้วย ในกรณีที่แรงทั้งหมดขนานกับระนาบเดียว การบวกเวกเตอร์ที่แทนโมเมนต์สามารถแทนที่ได้ด้วยการบวกและการลบขนาดของพวกมัน แต่ด้วยทิศทางของกองกำลังตามอำเภอใจ การทดแทนดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ ด้วยเหตุนี้ ผลคูณเวกเตอร์จึงถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์อย่างแม่นยำ ไม่ใช่ตัวเลข

7.1. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

เวกเตอร์ a, b และ c ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบสามตัว ถ่ายตามลำดับที่ระบุ สร้างแฝดสามทางขวา ถ้าจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม c เห็นการหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรก a ถึงเวกเตอร์ b ที่สอง ทวนเข็มนาฬิกา และแฝดซ้ายถ้าตามเข็มนาฬิกา (ดูรูปที่ 16)

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a และเวกเตอร์ b เรียกว่าเวกเตอร์ c ซึ่ง:

1. ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เช่น c ^ a และ c ^ ข ;

2. มีความยาวเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ a และขเช่นเดียวกับด้านข้าง (ดูรูปที่ 17) เช่น

3. เวกเตอร์ a, b และ c ประกอบเป็นรูปสามเท่าของมือขวา

ผลคูณกากบาทแสดงเป็น x b หรือ [a,b] ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ระหว่างเวกเตอร์หน่วยที่ฉันติดตามโดยตรงจากคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เจและ เค(ดูรูปที่ 18):

ฉัน x เจ = k, เจ x k = ฉัน, k x i = เจ
ให้เราพิสูจน์เป็นตัวอย่างว่าฉัน xj = k

1) k ^ ฉัน, k ^ เจ;

2) |k |=1 แต่ | ฉัน x เจ- = |ฉัน | |เจ | บาป(90°)=1;

3) เวกเตอร์ ผม, เจ และ เคสร้างสามด้านขวา (ดูรูปที่ 16)

7.2. คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม

1. เมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น และ xb =(b xa) (ดูรูปที่ 19)

เวกเตอร์ a xb และ b xa เป็นเส้นตรง มีโมดูลเดียวกัน (พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานยังคงไม่เปลี่ยนแปลง) แต่มีทิศทางตรงกันข้าม (สามเท่า a, b, xb และ a, b, b x a ในทิศทางตรงกันข้าม) นั่นคือ เอ๊กซ์บี = -(ขxa).

2. ผลคูณเวกเตอร์มีคุณสมบัติการรวมโดยคำนึงถึงปัจจัยสเกลาร์ เช่น l (a xb) = (l a) x b = a x (l b)

ให้ l >0 เวกเตอร์ l (a xb) ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b เวกเตอร์ ( ลขวาน ขยังตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ ข(เวกเตอร์ ก, ลแต่นอนอยู่ในระนาบเดียวกัน) นี่หมายความว่าเวกเตอร์ ล(กxb) และ ( ลขวาน ขคอลลิเนียร์ เห็นได้ชัดว่าทิศทางของพวกเขาตรงกัน มีความยาวเท่ากัน:

นั่นเป็นเหตุผล ล(กxb)= ลเอ็กซ์บี ก็ได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกันสำหรับ ล<0.

3. เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว a และ ขเป็นเส้นตรงก็ต่อเมื่อผลคูณเวกเตอร์ของพวกมันเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ นั่นคือ a ||b<=>และ xb = 0

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง i *i =j *j =k *k =0

4. ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์มีคุณสมบัติการกระจาย:

(ก+ข) xc = ก xc + ข xs

เราจะยอมรับโดยไม่มีข้อพิสูจน์

7.3. การแสดงผลคูณไขว้ในแง่ของพิกัด

เราจะใช้ตารางผลคูณของเวกเตอร์ i เจและเค:

ถ้าทิศทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์แรกถึงวินาทีตรงกับทิศทางของลูกศร ผลคูณจะเท่ากับเวกเตอร์ที่สาม หากไม่ตรงกัน เวกเตอร์ที่สามจะถูกใช้เครื่องหมายลบ

ให้เวกเตอร์สองตัว a =a x i +a y มอบให้ เจ+ก เคและ ข = ข x ฉัน+บี เจ+บีซ เค- ลองหาผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์เหล่านี้โดยการคูณมันเป็นพหุนาม (ตามคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์):

สูตรผลลัพธ์สามารถเขียนได้สั้นยิ่งขึ้น:

เนื่องจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน (7.1) สอดคล้องกับการขยายตัวของปัจจัยลำดับที่สามในแง่ขององค์ประกอบของแถวแรก ความเท่าเทียมกัน (7.2) นั้นง่ายต่อการจดจำ

7.4. การใช้งานบางส่วนของผลิตภัณฑ์ข้าม

การสร้างความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์

การหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานและสามเหลี่ยม

ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กและข |a xb | -|a | * |b |sin g เช่น S คู่ = |a x b | ดังนั้น D S =1/2|a x b |

การหาโมเมนต์แรงรอบจุดหนึ่ง

ให้ออกแรงที่จุด A เอฟ =เอบีปล่อยมันไป เกี่ยวกับ- บางจุดในอวกาศ (ดูรูปที่ 20)

เป็นที่ทราบกันดีจากฟิสิกส์ว่า ช่วงเวลาแห่งพลัง เอฟ สัมพันธ์กับประเด็น เกี่ยวกับเรียกว่าเวกเตอร์ เอ็มซึ่งผ่านจุดนั้นไป เกี่ยวกับและ:

1) ตั้งฉากกับระนาบที่ผ่านจุดต่างๆ โอ้, ก, บี;

2) ตัวเลขเท่ากับผลคูณของแรงต่อแขน

3) สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้านขวาด้วยเวกเตอร์ OA และ A B

ดังนั้น M = OA x F

การหาความเร็วการหมุนเชิงเส้น

ความเร็ว โวลต์จุด M ของวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุม วรอบแกนคงที่ จะถูกกำหนดโดยสูตรของออยเลอร์ v =w xr โดยที่ r =OM โดยที่ O คือจุดคงที่ของแกน (ดูรูปที่ 21)

คำนิยาม คอลเลกชันที่ได้รับคำสั่งของ (x 1 , x 2 , ... , xn) n จำนวนจริงเรียกว่า เวกเตอร์ n มิติและตัวเลข x i (i = ) - ส่วนประกอบหรือ พิกัด,

ตัวอย่าง. ตัวอย่างเช่น หากโรงงานผลิตรถยนต์แห่งหนึ่งต้องผลิตรถยนต์ 50 คัน รถบรรทุก 100 คัน รถโดยสาร 10 คัน อะไหล่รถยนต์ 50 ชุด และรถบรรทุกและรถโดยสาร 150 ชุดต่อกะ ดังนั้น โปรแกรมการผลิตของโรงงานนี้สามารถเขียนเป็นเวกเตอร์ได้ (50, 100 , 10, 50, 150) มีองค์ประกอบ 5 ส่วน

สัญกรณ์ เวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวอักษรพิมพ์เล็กตัวหนาหรือตัวอักษรที่มีแถบหรือลูกศรอยู่ด้านบน เช่น กหรือ- เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า เท่ากันถ้ามีจำนวนส่วนประกอบเท่ากันและมีส่วนประกอบเท่ากัน

ส่วนประกอบเวกเตอร์ไม่สามารถสลับได้ เช่น (3, 2, 5, 0, 1)และ (2, 3, 5, 0, 1) เวกเตอร์ที่แตกต่างกัน
การดำเนินการกับเวกเตอร์การทำงาน x= (x 1 , x 2 , ... ,xn) ด้วยจำนวนจริงλ เรียกว่าเวกเตอร์λ x= (แลมป์ x 1, แลมบ์ 2, ..., แลมโบล)

จำนวนx= (x 1 , x 2 , ... ,xn) และ ย= (y 1 , y 2 , ... ,yn) เรียกว่าเวกเตอร์ x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , xn + + yn)

พื้นที่เวกเตอร์เอ็น -ปริภูมิเวกเตอร์มิติ ร n ถูกกำหนดให้เป็นเซตของเวกเตอร์ n มิติทั้งหมด ซึ่งนิยามการดำเนินการคูณด้วยจำนวนจริงและการบวก

ภาพประกอบทางเศรษฐกิจ ภาพประกอบทางเศรษฐกิจของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ: พื้นที่ของสินค้า (สินค้า- ภายใต้ สินค้าเราจะเข้าใจถึงสินค้าหรือบริการบางอย่างที่ลดราคา ณ เวลาใดสถานที่หนึ่ง สมมติว่ามีสินค้าจำนวนจำกัดn; ปริมาณของผู้บริโภคแต่ละคนที่ซื้อนั้นมีลักษณะเป็นชุดสินค้า

x= (x 1 , x 2 , ..., xn)

โดยที่ x i หมายถึงจำนวนสินค้า i-th ที่ผู้บริโภคซื้อ เราจะถือว่าสินค้าทั้งหมดมีคุณสมบัติในการหารลงตัวได้ เพื่อให้สามารถซื้อสินค้าในปริมาณที่ไม่เป็นลบของสินค้าแต่ละรายการได้ จากนั้นเซตของสินค้าที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือเวกเตอร์ของปริภูมิสินค้า C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , xn) x ผม ≥ 0, ผม = )

ความเป็นอิสระเชิงเส้น ระบบ จ 1 , จ 2 , ... , จ m เวกเตอร์มิติเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีตัวเลขดังกล่าวแล 1 , แล 2 , ... , แลม ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็นศูนย์ เท่ากับว่ามีความเท่าเทียมกันแล 1 จ 1 + แล 2 จ 2 +... + แลม จม. = 0; มิฉะนั้นจะเรียกว่าระบบเวกเตอร์นี้ เป็นอิสระเชิงเส้นนั่นคือความเท่าเทียมกันที่ระบุเป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่ทั้งหมด - ความหมายทางเรขาคณิตของการพึ่งพาเชิงเส้นของเวกเตอร์ใน ร 3 ตีความเป็นส่วนกำกับ อธิบายทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1 ระบบที่ประกอบด้วยเวกเตอร์หนึ่งตัวจะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงก็ต่อเมื่อเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์เท่านั้น

ทฤษฎีบท 2 เพื่อให้เวกเตอร์สองตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสองจะต้องอยู่ในแนวเดียวกัน (ขนานกัน)

ทฤษฎีบท 3 - เพื่อให้เวกเตอร์สามตัวขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง จำเป็นและเพียงพอที่เวกเตอร์ทั้งสามจะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน (อยู่ในระนาบเดียวกัน)

เวกเตอร์สามเท่าซ้ายและขวา เวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์สามเท่า ก ข คเรียกว่า ขวาถ้าผู้สังเกตจากแหล่งกำเนิดร่วมกันเลี่ยงส่วนปลายของเวกเตอร์ ก ข คตามลำดับที่กำหนดให้ปรากฏว่าเกิดขึ้นตามเข็มนาฬิกา มิฉะนั้น ก ข ค -เหลือสาม- เรียกว่าเวกเตอร์สามเท่าทางขวา (หรือซ้าย) เหมือน มุ่งเน้น

พื้นฐานและพิกัด ทรอยก้า จ 1, จ 2 , จเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบระนาบ 3 ตัวใน ร 3 เรียกว่า พื้นฐานและเวกเตอร์นั้นเอง จ 1, จ 2 , จ 3 - ขั้นพื้นฐาน- เวกเตอร์ใดๆ กสามารถขยายเป็นเวกเตอร์พื้นฐานได้โดยเฉพาะ กล่าวคือ แสดงในรูปแบบ

ก= x 1 จ 1+x2 จ 2 + x3 จ 3, (1.1)

เรียกตัวเลข x 1 , x 2 , x 3 ในส่วนขยาย (1.1) พิกัดกในพื้นฐาน จ 1, จ 2 , จ 3 และถูกกำหนดไว้ ก(x1,x2,x3)

พื้นฐานออร์โธนอร์มอล ถ้าเป็นเวกเตอร์ จ 1, จ 2 , จ 3 นั้นตั้งฉากกันเป็นคู่และความยาวของแต่ละอันมีค่าเท่ากับ 1 แล้วจึงเรียกว่าฐาน ออร์โธนอร์มอลและพิกัด x 1 , x 2 , x 3 - สี่เหลี่ยมเวกเตอร์พื้นฐานของพื้นฐานออร์โธนอร์มอลจะถูกแสดงโดย ฉัน เจ เค

เราจะถือว่าสิ่งนั้นอยู่ในอวกาศ ร 3 เลือกระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนที่ถูกต้อง (0, ฉัน เจ เค}.

งานศิลปะของเว็กเตอร์ งานศิลปะของเว็กเตอร์ กเป็นเวกเตอร์ ขเรียกว่าเวกเตอร์ คซึ่งถูกกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:

1. ความยาวเวกเตอร์ คตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ กและ ขเช่น.
ค= |ก||ข|บาป ( ก^ข).

2. เวกเตอร์ คตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัว กและ ข.

3. เวกเตอร์ ก, ขและ คดำเนินการตามลำดับที่ระบุไว้ในรูปแบบสามที่ถูกต้อง

สำหรับผลิตภัณฑ์ข้าม คมีการแนะนำการกำหนด ค =[เกี่ยวกับ] หรือ
ค = ก × ข.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ กและ ขเป็นเส้นตรงแล้วบาป ( เอ^บี) = 0 และ [ เกี่ยวกับ] = 0 โดยเฉพาะ [ อ่า] = 0 ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์หน่วย: [ ฉัน]=เค [เจเค] = ฉัน, [คิ]=เจ.

ถ้าเป็นเวกเตอร์ กและ ขระบุไว้ในพื้นฐาน ฉัน เจ เคพิกัด ก(ก 1 , 2 , 3) ข(ข 1, ข 2, ข 3) จากนั้น

งานผสม. ถ้าผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว กและ ขคูณด้วยเวกเตอร์ที่สามแบบสเกลาร์ ค,จากนั้นจึงเรียกผลคูณของเวกเตอร์สามตัวดังกล่าว งานผสมและมีการระบุด้วยสัญลักษณ์ ก บีค

ถ้าเป็นเวกเตอร์ ก, ขและ คในพื้นฐาน ฉัน เจ เคกำหนดโดยพิกัดของพวกเขา
ก(ก 1 , 2 , 3) ข(ข 1, ข 2, ข 3), ค(ค 1, ค 2, ค 3) จากนั้น

.

ผลิตภัณฑ์ผสมมีการตีความทางเรขาคณิตอย่างง่าย - เป็นสเกลาร์ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ที่กำหนดสามตัว

หากเวกเตอร์ก่อตัวเป็นสามเท่าที่ถูกต้อง ผลคูณของพวกมันจะเป็นจำนวนบวกเท่ากับปริมาตรที่ระบุ ถ้าเป็นสาม ก ข ค -ซ้ายแล้ว เอ บี ซี<0 и V = - เอ บี ซีดังนั้น V =|กขค|.

พิกัดของเวกเตอร์ที่พบในปัญหาของบทแรกจะถือว่าให้สัมพันธ์กับพื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง เวกเตอร์หน่วยโคทิศทางกับเวกเตอร์ เอ,ที่ระบุด้วยสัญลักษณ์ กโอ เครื่องหมาย ร=โอมเขียนแทนด้วยเวกเตอร์รัศมีของจุด M สัญลักษณ์ a, AB หรือ|a|, | เอบี|โมดูลของเวกเตอร์จะแสดงแทน กและ เอบี

ตัวอย่าง 1.2. ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ ก= 2ม+4nและ ข= ม-น, ที่ไหน มและ ไม่มีเวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่าง มและ nเท่ากับ 120 โอ

สารละลาย- เรามี: cos φ = เกี่ยวกับ/ab เอบี =(2ม+4n) (ม-น) = 2ม 2 - 4n 2 +2นาที=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; ก = - ก 2 = (2ม+4n) (2ม+4n) =
= 4ม 2 +16นาที+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12 ซึ่งหมายถึง a = ข = - ข 2 =
= (ม-น)(ม-น) = ม 2 -2นาที+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3 ซึ่งหมายถึง b = ในที่สุดเราก็ได้: cosφ = = -1/2, φ = 120 o

ตัวอย่างที่ 1.3รู้จักเวกเตอร์ เอบี(-3,-2.6) และ บี.ซี.(-2,4,4) คำนวณความยาวของ AD ระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABC

สารละลาย- แสดงถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม ABC ด้วย S เราได้รับ:
S = 1/2 ปีก่อนคริสต์ศักราช แล้ว AD=2S/BC, BC= = = 6,
ส = 1/2| เอบี ×เอซี|. เอซี=เอบี+บีซีซึ่งหมายถึงเวกเตอร์ เอ.ซี.มีพิกัด
. .

ตัวอย่าง 1.4 - ให้เวกเตอร์สองตัวมา ก(11,10,2) และ ข(4,0,3) ค้นหาเวกเตอร์หน่วย ค,ตั้งฉากกับเวกเตอร์ กและ ขและกำกับเพื่อให้เวกเตอร์สามลำดับได้รับคำสั่ง ก ข คถูกต้อง

สารละลาย.ให้เราแสดงพิกัดของเวกเตอร์ คด้วยความเคารพต่อสิทธิออร์โธนอร์มอลพื้นฐานที่กำหนดในรูปของ x, y, z

เพราะว่า ค ⊥ ก, ค ⊥ข, ที่ แคลิฟอร์เนีย= 0,ซีบี= 0 ตามเงื่อนไขของปัญหา กำหนดให้ c = 1 และ เอ บี ซี >0.

เรามีระบบสมการในการค้นหา x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0

จากสมการแรกและที่สองของระบบเราได้รับ z = -4/3 x, y = -5/6 x เมื่อแทน y และ z ลงในสมการที่สาม เราจะได้: x 2 = 36/125 ดังนั้น
x=± - การใช้เงื่อนไข เอ บี ซี > 0 เราได้อสมการ

เมื่อคำนึงถึงนิพจน์สำหรับ z และ y เราจะเขียนผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ: 625/6 x > 0 ซึ่งบอกเป็นนัยว่า x>0 ดังนั้น x = , y = - , z =- .

ในบทนี้ เราจะดูการดำเนินการกับเวกเตอร์อีกสองรายการ: ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์และ ผลคูณของเวกเตอร์ (ลิงค์ทันทีสำหรับผู้ที่ต้องการมัน)- ไม่เป็นไร บางครั้งมันก็เกิดขึ้นเพื่อความสุขที่สมบูรณ์นอกเหนือจากนั้น ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จำเป็นต้องมีมากขึ้นเรื่อยๆ นี่คือการเสพติดเวกเตอร์ อาจดูเหมือนว่าเรากำลังเข้าสู่ป่าแห่งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ นี่เป็นสิ่งที่ผิด ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงส่วนนี้ โดยทั่วไปแล้วจะมีไม้เพียงเล็กน้อย ยกเว้นบางทีอาจจะเพียงพอสำหรับพินอคคิโอ ในความเป็นจริงวัสดุนี้เป็นเรื่องธรรมดาและเรียบง่าย - แทบจะไม่ซับซ้อนไปกว่านี้อีกแล้ว ผลิตภัณฑ์สเกลาร์จะมีงานทั่วไปน้อยลงด้วยซ้ำ สิ่งสำคัญในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อย่างที่หลายคนเชื่อหรือเชื่ออยู่แล้ว ไม่ใช่การทำผิดพลาดในการคำนวณ ทำซ้ำเหมือนมนต์สะกดแล้วคุณจะมีความสุข =)

หากเวกเตอร์ส่องแสงอยู่ที่ไหนสักแห่งที่อยู่ห่างไกล เช่น ฟ้าแลบบนขอบฟ้า ก็ไม่สำคัญ ให้เริ่มด้วยบทเรียน เวกเตอร์สำหรับหุ่นจำลองเพื่อฟื้นฟูหรือรับความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ ผู้อ่านที่เตรียมพร้อมมากขึ้นสามารถทำความคุ้นเคยกับข้อมูลแบบคัดเลือกได้ ฉันพยายามรวบรวมตัวอย่างที่สมบูรณ์ที่สุดที่มักพบในงานภาคปฏิบัติ

อะไรจะทำให้คุณมีความสุขทันที? เมื่อตอนที่ฉันยังเด็ก ฉันสามารถเล่นปาหี่ลูกบอลสองหรือสามลูกได้ มันได้ผลดี ตอนนี้คุณไม่จำเป็นต้องเล่นปาหี่เลยเพราะเราจะพิจารณา เวกเตอร์เชิงพื้นที่เท่านั้นและเวกเตอร์แฟลตที่มีพิกัดสองพิกัดจะถูกละไว้ ทำไม นี่คือที่มาของการกระทำเหล่านี้ - เวกเตอร์และผลคูณผสมของเวกเตอร์ถูกกำหนดและทำงานในพื้นที่สามมิติ ง่ายกว่านี้แล้ว!

การดำเนินการนี้เหมือนกับผลคูณสเกลาร์ที่เกี่ยวข้อง เวกเตอร์สองตัว- ปล่อยให้สิ่งเหล่านี้เป็นตัวอักษรที่ไม่เน่าเปื่อย

การกระทำนั้นเอง แสดงโดยดังต่อไปนี้: . มีตัวเลือกอื่นๆ แต่ฉันคุ้นเคยกับการแทนผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ด้วยวิธีนี้ในวงเล็บเหลี่ยมที่มีเครื่องหมายกากบาท

และทันที คำถาม: ถ้าเข้า. ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวกเตอร์สองตัวเกี่ยวข้องกัน และตรงนี้เวกเตอร์สองตัวก็คูณด้วย อะไรคือความแตกต่าง- ความแตกต่างที่ชัดเจนประการแรกคือในผลลัพธ์:

ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์คือ NUMBER:

ผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คือ VECTOR: นั่นคือเราคูณเวกเตอร์แล้วได้เวกเตอร์อีกครั้ง สโมสรปิด. ที่จริงแล้วนี่คือที่มาของชื่อของการดำเนินการ ในวรรณกรรมด้านการศึกษาต่างๆ การกำหนดอาจแตกต่างกันไป ฉันจะใช้ตัวอักษร

คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ข้าม

อันดับแรกจะมีคำจำกัดความพร้อมรูปภาพแล้วแสดงความคิดเห็น

คำนิยาม: สินค้าเวกเตอร์ ไม่ใช่คอลลิเนียร์เวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้เรียกว่าเวกเตอร์ ความยาวซึ่งเป็นตัวเลข เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์เหล่านี้ เวกเตอร์ ตั้งฉากกับเวกเตอร์และได้รับการกำกับเพื่อให้พื้นฐานมีทิศทางที่ถูกต้อง:

เรามาแจกแจงคำจำกัดความทีละส่วน มีอะไรน่าสนใจมากมายที่นี่!

ดังนั้นจึงสามารถเน้นประเด็นสำคัญต่อไปนี้ได้:

1) เวกเตอร์ดั้งเดิม ระบุด้วยลูกศรสีแดง ตามคำจำกัดความ ไม่ใช่แนวตรง- จะเหมาะสมที่จะพิจารณากรณีของเวกเตอร์คอลลิเนียร์ในภายหลังเล็กน้อย

2) ถ่ายเวกเตอร์ ตามลำดับที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด: – "a" คูณด้วย "เป็น"และไม่ใช่ "เป็น" กับ "a" ผลลัพธ์ของการคูณเวกเตอร์คือ VECTOR ซึ่งระบุด้วยสีน้ำเงิน หากคูณเวกเตอร์ในลำดับย้อนกลับ เราจะได้เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันและมีทิศทางตรงกันข้าม (สีราสเบอร์รี่) นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง .

3) ตอนนี้เรามาทำความคุ้นเคยกับความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์กันดีกว่า นี่เป็นจุดสำคัญมาก! ความยาวของเวกเตอร์สีน้ำเงิน (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเวกเตอร์สีแดงเข้ม) จึงเป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ในรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นสีเทาดำ

บันทึก : การวาดภาพเป็นแผนผังและโดยธรรมชาติแล้วความยาวที่ระบุของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ไม่เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ให้เรานึกถึงสูตรเรขาคณิตสูตรหนึ่ง: พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกันและไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านั้น- ดังนั้น จากสูตรข้างต้น สูตรคำนวณ LENGTH ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จึงใช้ได้:

ฉันขอย้ำว่าสูตรนี้เกี่ยวกับ LENGTH ของเวกเตอร์ และไม่เกี่ยวกับเวกเตอร์นั้นเอง ความหมายเชิงปฏิบัติคืออะไร? และความหมายก็คือในปัญหาของเรขาคณิตวิเคราะห์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานมักพบผ่านแนวคิดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ขอให้เราได้สูตรสำคัญที่สอง เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เส้นประสีแดง) แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างบนเวกเตอร์ (การแรเงาสีแดง) ได้โดยใช้สูตร:

4) ข้อเท็จจริงที่สำคัญไม่แพ้กันก็คือ เวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเวกเตอร์ นั่นก็คือ - แน่นอนว่า เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม (ลูกศรราสเบอร์รี่) ก็มีตั้งฉากกับเวกเตอร์ดั้งเดิมเช่นกัน

5) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางเช่นนั้น พื้นฐานมันมี ขวาปฐมนิเทศ. ในบทเรียนเกี่ยวกับ การเปลี่ยนไปสู่พื้นฐานใหม่ฉันพูดรายละเอียดเพียงพอเกี่ยวกับ การวางแนวเครื่องบินและตอนนี้ เราจะหาว่าการวางแนวของอวกาศคืออะไร ฉันจะอธิบายบนนิ้วของคุณ มือขวา- ประสานจิต นิ้วชี้ด้วยเวกเตอร์และ นิ้วกลางด้วยเวกเตอร์ นิ้วนางและนิ้วก้อยกดมันลงบนฝ่ามือของคุณ ผลที่ตามมา นิ้วหัวแม่มือ– ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะค้นหาขึ้น นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้อง (นี่คืออันนี้ในรูป) ตอนนี้เปลี่ยนเวกเตอร์ ( นิ้วชี้และนิ้วกลาง) ในบางสถานที่ ผลก็คือ นิ้วหัวแม่มือจะหมุน และผลิตภัณฑ์เวกเตอร์จะมองลงมาแล้ว นี่เป็นพื้นฐานที่ถูกต้องเช่นกัน คุณอาจมีคำถาม: พื้นฐานใดที่ออกจากการปฐมนิเทศ? “กำหนด” ให้เป็นนิ้วเดียวกัน มือซ้ายเวกเตอร์ และรับพื้นฐานด้านซ้ายและการวางแนวด้านซ้ายของปริภูมิ (ในกรณีนี้นิ้วหัวแม่มือจะอยู่ในทิศทางของเวกเตอร์ด้านล่าง)- หากพูดเป็นรูปเป็นร่าง ฐานเหล่านี้จะ "บิด" หรือปรับทิศทางพื้นที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และแนวคิดนี้ไม่ควรถือเป็นสิ่งที่ลึกซึ้งหรือเป็นนามธรรม - ตัวอย่างเช่น การวางแนวของอวกาศถูกเปลี่ยนโดยกระจกธรรมดาที่สุด และหากคุณ "ดึงวัตถุที่สะท้อนออกจากกระจกมอง" ในกรณีทั่วไป จะไม่สามารถนำมารวมกับ "ต้นฉบับ" ได้ ยังไงก็ตาม ชูสามนิ้วขึ้นไปที่กระจกแล้ววิเคราะห์การสะท้อน ;-)

...ตอนนี้คุณรู้ดีแค่ไหนแล้ว ไปทางขวาและซ้ายฐานเพราะคำพูดของอาจารย์บางคนเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการวางแนวนั้นน่ากลัว =)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์คอลลิเนียร์

มีการพูดคุยถึงคำจำกัดความโดยละเอียดแล้ว ยังคงต้องค้นหาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน หากเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ก็สามารถวางพวกมันบนเส้นตรงเส้นเดียวได้ และสี่เหลี่ยมด้านขนานของเราก็จะ "พับ" ให้เป็นเส้นตรงเส้นเดียวด้วย ดังที่นักคณิตศาสตร์กล่าวว่า เสื่อมโทรมสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับศูนย์ ตามสูตรเดียวกัน - ไซน์ของศูนย์หรือ 180 องศาเท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่เป็นศูนย์

ดังนั้น ถ้า แล้ว - พูดอย่างเคร่งครัด ผลคูณเวกเตอร์นั้นเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ แต่ในทางปฏิบัติมักถูกละเลยและเขียนไว้ว่ามันเท่ากับศูนย์

กรณีพิเศษคือผลคูณไขว้ของเวกเตอร์กับตัวมันเอง:

เมื่อใช้ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ คุณสามารถตรวจสอบความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์สามมิติได้ และเราจะวิเคราะห์ปัญหานี้และอื่นๆ ด้วย

เพื่อแก้ตัวอย่างเชิงปฏิบัติที่คุณอาจต้องการ ตารางตรีโกณมิติเพื่อหาค่าของไซน์จากมัน

มาจุดไฟกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 1

ก) จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ ถ้า

b) ค้นหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์ ถ้า

สารละลาย: ไม่ นี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด ฉันจงใจทำให้ข้อมูลเริ่มต้นในส่วนคำสั่งเหมือนกัน เพราะการออกแบบโซลูชั่นจะแตกต่างออกไป!

ก) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา ความยาวเวกเตอร์ (ผลคูณข้าม) ตามสูตรที่เกี่ยวข้อง:

คำตอบ:

หากคุณถูกถามเกี่ยวกับความยาว ในคำตอบเราจะระบุมิติ - หน่วย

b) ตามเงื่อนไขคุณต้องค้นหา สี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจากเวกเตอร์ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เป็นตัวเลขเท่ากับความยาวของผลคูณเวกเตอร์:

คำตอบ:

โปรดทราบว่าคำตอบไม่ได้พูดถึงผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เลย พื้นที่ของรูปดังนั้น มิติข้อมูลจึงเป็นหน่วยสี่เหลี่ยม

เรามักจะมองหาสิ่งที่เราต้องค้นหาตามเงื่อนไข และจากสิ่งนี้ เราจึงกำหนดสูตรขึ้นมา ชัดเจนคำตอบ. อาจดูเหมือนเป็นวรรณกรรมตามตัวอักษร แต่มีครูที่เป็นวรรณกรรมจำนวนมาก และงานที่ได้รับมอบหมายก็มีโอกาสดีที่จะถูกส่งกลับเพื่อแก้ไข แม้ว่านี่จะไม่ใช่การพูดเล่นที่ลึกซึ้งนัก แต่หากคำตอบไม่ถูกต้อง เราก็จะรู้สึกว่าบุคคลนั้นไม่เข้าใจสิ่งง่ายๆ และ/หรือไม่เข้าใจแก่นแท้ของงาน ประเด็นนี้จะต้องถูกควบคุมเสมอเมื่อแก้ไขปัญหาใดๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูงและในวิชาอื่นๆ ด้วย

ตัวอักษรตัวใหญ่ “en” หายไปไหน? โดยหลักการแล้ว มันอาจจะแนบมากับโซลูชันเพิ่มเติมได้ แต่เพื่อที่จะย่อรายการให้สั้นลง ฉันไม่ได้ทำเช่นนี้ ฉันหวังว่าทุกคนจะเข้าใจสิ่งนั้นและเป็นการกำหนดสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่างยอดนิยมสำหรับโซลูชัน DIY:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านผลคูณเวกเตอร์มีระบุไว้ในความคิดเห็นต่อคำจำกัดความ คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

ในทางปฏิบัติ งานนี้เป็นเรื่องธรรมดามาก โดยทั่วไปแล้ว รูปสามเหลี่ยมสามารถทรมานคุณได้

เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ เราจะต้อง:

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์

เราได้พิจารณาคุณสมบัติบางอย่างของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์แล้ว แต่ฉันจะรวมคุณสมบัติเหล่านี้ไว้ในรายการนี้

สำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดเองและตัวเลขที่กำหนดเอง คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ในแหล่งข้อมูลอื่นๆ รายการนี้มักจะไม่ได้เน้นในคุณสมบัติ แต่มีความสำคัญมากในแง่การปฏิบัติ ดังนั้นปล่อยให้มันเป็นไป

2) – ทรัพย์สินมีการกล่าวถึงข้างต้นเช่นกัน บางครั้งเรียกว่า ต่อต้านการเปลี่ยนแปลง- กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลำดับของเวกเตอร์มีความสำคัญ

3) – เชื่อมโยงหรือ เชื่อมโยงกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ค่าคงที่สามารถเคลื่อนย้ายออกไปนอกผลคูณเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จริงๆ แล้วพวกเขาควรทำอะไรที่นั่น?

4) – การจำหน่ายหรือ การกระจายกฎหมายผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ ไม่มีปัญหาในการเปิดวงเล็บเช่นกัน

เพื่อสาธิต ลองดูตัวอย่างสั้นๆ:

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาว่า

สารละลาย:เงื่อนไขนี้จำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์อีกครั้ง มาวาดภาพจิ๋วของเรากันเถอะ:

(1) ตามกฎการเชื่อมโยง เราใช้ค่าคงที่อยู่นอกขอบเขตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

(2) เราย้ายค่าคงที่ออกไปนอกโมดูล และโมดูลจะ "กิน" เครื่องหมายลบ ความยาวต้องไม่เป็นลบ

(3) ส่วนที่เหลือชัดเจน

คำตอบ:

ถึงเวลาเพิ่มฟืนลงในกองไฟแล้ว:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ถ้า

สารละลาย: หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตร - สิ่งที่จับได้ก็คือเวกเตอร์ "tse" และ "de" นั้นถูกนำเสนอเป็นผลรวมของเวกเตอร์ อัลกอริทึมที่นี่เป็นมาตรฐานและค่อนข้างชวนให้นึกถึงตัวอย่างหมายเลข 3 และ 4 ของบทเรียน ผลคูณดอทของเวกเตอร์- เพื่อความชัดเจน เราจะแบ่งวิธีแก้ปัญหาออกเป็นสามขั้นตอน:

1) ในขั้นตอนแรก เราแสดงผลคูณเวกเตอร์ผ่านผลคูณเวกเตอร์ อันที่จริง ลองเขียนเวกเตอร์ในรูปของเวกเตอร์กัน- ยังไม่มีคำว่ายาว!

(1) แทนนิพจน์ของเวกเตอร์

(2) ใช้กฎการกระจาย เราจะเปิดวงเล็บตามกฎการคูณพหุนาม

(3) การใช้กฎเชื่อมโยง เราย้ายค่าคงที่ทั้งหมดไปไกลกว่าผลคูณเวกเตอร์ ด้วยประสบการณ์เพียงเล็กน้อยก็สามารถดำเนินการขั้นตอนที่ 2 และ 3 พร้อมๆ กันได้

(4) เทอมแรกและเทอมสุดท้ายมีค่าเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์) เนื่องจากคุณสมบัติที่ดี ในระยะที่สอง เราใช้คุณสมบัติของการต่อต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

(5) เรานำเสนอข้อกำหนดที่คล้ายกัน

เป็นผลให้เวกเตอร์แสดงผ่านเวกเตอร์ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นจะต้องทำให้สำเร็จ:

2) ในขั้นตอนที่สอง เราจะหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ที่เราต้องการ การดำเนินการนี้คล้ายกับตัวอย่างที่ 3:

3) ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ต้องการ:

ขั้นที่ 2-3 ของการแก้ปัญหาสามารถเขียนเป็นบรรทัดเดียวได้

คำตอบ:

ปัญหาที่พิจารณานั้นค่อนข้างบ่อยในการทดสอบ นี่คือตัวอย่างสำหรับการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาว่า

คำตอบสั้น ๆ และคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน มาดูกันว่าคุณใส่ใจแค่ไหนเมื่อศึกษาตัวอย่างก่อนหน้านี้ ;-)

ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์ในพิกัด

ระบุไว้ตามหลักออร์โธนอร์มอล แสดงโดยสูตร:

สูตรนั้นง่ายมาก: ในบรรทัดบนสุดของดีเทอร์มิแนนต์เราเขียนเวกเตอร์พิกัดในบรรทัดที่สองและสามเรา "ใส่" พิกัดของเวกเตอร์แล้วใส่ ตามลำดับที่เข้มงวด– ขั้นแรกพิกัดของเวกเตอร์ “ve” ตามด้วยพิกัดของเวกเตอร์ “double-ve” หากจำเป็นต้องคูณเวกเตอร์ในลำดับอื่น ควรสลับแถว:

ตัวอย่างที่ 10

ตรวจสอบว่าเวกเตอร์อวกาศต่อไปนี้เป็นเส้นตรงหรือไม่:
ก)
ข)

สารละลาย: การตรวจสอบจะขึ้นอยู่กับข้อความใดข้อความหนึ่งในบทเรียนนี้: ถ้าเวกเตอร์อยู่ในแนวเดียวกัน ผลคูณของเวกเตอร์จะเท่ากับศูนย์ (เวกเตอร์ศูนย์): .

ก) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

ดังนั้นเวกเตอร์จึงไม่อยู่ในแนวเดียวกัน

b) ค้นหาผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

คำตอบ: ก) ไม่ใช่เส้นตรง b)

นี่อาจเป็นข้อมูลพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์

ส่วนนี้จะไม่ใหญ่มาก เนื่องจากมีปัญหาเล็กน้อยในการใช้ผลคูณของเวกเตอร์ผสม ในความเป็นจริงทุกอย่างจะขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ ความหมายทางเรขาคณิต และสูตรการทำงานสองสามสูตร

ผลคูณของเวกเตอร์คือผลคูณของเวกเตอร์สามตัว:

ดังนั้นพวกเขาจึงเข้าแถวเหมือนรถไฟและแทบรอไม่ไหวที่จะถูกระบุตัวตน

ประการแรก อีกครั้ง คำจำกัดความและรูปภาพ:

คำนิยาม: งานผสม ไม่ใช่ระนาบเวกเตอร์, ดำเนินการตามลำดับนี้, เรียกว่า ปริมาตรที่ขนานกันสร้างขึ้นบนเวกเตอร์เหล่านี้ โดยมีเครื่องหมาย “+” หากฐานถูกต้อง และเครื่องหมาย “–” หากเหลือฐาน

มาวาดรูปกันเถอะ เส้นที่เรามองไม่เห็นนั้นถูกวาดด้วยเส้นประ:

มาดำดิ่งสู่คำจำกัดความ:

2) ถ่ายเวกเตอร์ ในลำดับที่แน่นอนนั่นคือการจัดเรียงเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ใหม่ตามที่คุณอาจเดาได้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ

3) ก่อนที่จะแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับความหมายทางเรขาคณิต ฉันจะทราบข้อเท็จจริงที่ชัดเจน: ผลคูณผสมของเวกเตอร์คือ NUMBER- ในวรรณกรรมด้านการศึกษาการออกแบบอาจแตกต่างกันเล็กน้อย ฉันคุ้นเคยกับการแสดงถึงผลิตภัณฑ์แบบผสม และผลลัพธ์ของการคำนวณด้วยตัวอักษร "pe"

A-ไพรเออรี่ ผลคูณที่ผสมคือปริมาตรของเส้นขนานสร้างขึ้นจากเวกเตอร์ (รูปวาดด้วยเวกเตอร์สีแดงและเส้นสีดำ) นั่นคือจำนวนเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่กำหนด

บันทึก : ภาพวาดเป็นแผนผัง

4) ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับแนวคิดเรื่องการวางแนวของพื้นฐานและพื้นที่อีกต่อไป ความหมายของส่วนสุดท้ายคือสามารถเพิ่มเครื่องหมายลบลงในโวลุ่มได้ พูดง่ายๆ ก็คือ ผลิตภัณฑ์แบบผสมอาจเป็นค่าลบ:

โดยตรงจากคำจำกัดความตามสูตรในการคำนวณปริมาตรของเส้นขนานที่สร้างขึ้นบนเวกเตอร์

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ก่อนที่จะให้แนวคิดเกี่ยวกับผลคูณเวกเตอร์ ให้เราหันมาที่คำถามเกี่ยวกับการวางแนวของเวกเตอร์ลำดับสามของ a →, b →, c → ในปริภูมิสามมิติ

ขั้นแรก ให้แยกเวกเตอร์ a → , b → , c → ออกจากจุดหนึ่ง การวางแนวของสาม a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์ c → นั่นเอง ประเภทของทริปเปิ้ล a → , b → , c → จะถูกกำหนดจากทิศทางที่เวกเตอร์ a → ถึง b → จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ c → หมุนที่สั้นที่สุด

หากการหมุนทวนเข็มนาฬิกาสั้นที่สุดจะเรียกว่าสามเวกเตอร์ a → , b → , c → ขวาถ้าตามเข็มนาฬิกา – ซ้าย.

จากนั้น หาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์สองตัว a → และ b → จากนั้นให้เราพลอตเวกเตอร์ A B → = a → และ AC → = b → จากจุด A เรามาสร้างเวกเตอร์ A D → = c → ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง A B → และ A C → พร้อมกัน ดังนั้น เมื่อสร้างเวกเตอร์ด้วยตัว A D → = c → เราสามารถทำได้สองวิธี โดยกำหนดให้เป็นทิศทางเดียวหรือตรงกันข้าม (ดูภาพประกอบ)

ตามที่เราพบ เวกเตอร์สามเท่าของลำดับ a → , b → , c → สามารถเป็นได้ทั้งทางขวาหรือทางซ้าย ขึ้นอยู่กับทิศทางของเวกเตอร์

จากที่กล่าวมาข้างต้น เราสามารถแนะนำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ คำจำกัดความนี้ให้ไว้สำหรับเวกเตอร์สองตัวที่กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ

คำจำกัดความ 1

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → และ b → เราจะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวซึ่งกำหนดไว้ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติดังนี้:

• ถ้าเวกเตอร์ a → และ b → เป็นเส้นตรง มันจะเป็นศูนย์
• มันจะตั้งฉากกับทั้งเวกเตอร์ a → ​​​​ และเวกเตอร์ b → เช่น ∠ ก → ค → = ∠ ข → ค → = π 2 ;
• ความยาวถูกกำหนดโดยสูตร: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• เวกเตอร์สามเท่า a → , b → , c → มีทิศทางเดียวกับระบบพิกัดที่กำหนด

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → มีเครื่องหมายดังนี้: a → × b →

พิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

เนื่องจากเวกเตอร์ใดๆ มีพิกัดที่แน่นอนในระบบพิกัด เราจึงสามารถแนะนำคำจำกัดความที่สองของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้ ซึ่งจะช่วยให้เราค้นหาพิกัดของมันโดยใช้พิกัดที่กำหนดของเวกเตอร์ได้

คำจำกัดความ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมของปริภูมิสามมิติ ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัว a → = (a x ; a y ; a z) และ b → = (b x ; b y ; b z) เรียกว่าเวกเตอร์ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → โดยที่ i → , j → , k → เป็นเวกเตอร์พิกัด

ผลคูณเวกเตอร์สามารถแสดงเป็นตัวดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จตุรัสอันดับสาม โดยที่แถวแรกประกอบด้วยเวกเตอร์เวกเตอร์ i → , j → , k → แถวที่สองประกอบด้วยพิกัดของเวกเตอร์ a → และแถวที่สาม มีพิกัดของเวกเตอร์ b → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด นี่คือดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์มีลักษณะดังนี้: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

เมื่อขยายดีเทอร์มิแนนต์นี้เข้าไปในองค์ประกอบของแถวแรก เราจะได้ความเท่าเทียมกัน: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (มี b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้าม

เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณเวกเตอร์ในพิกัดนั้นแสดงเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z จากนั้นบนพื้นฐาน คุณสมบัติของตัวกำหนดเมทริกซ์ต่อไปนี้จะปรากฏขึ้น คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์:

1. การต่อต้านการกลายพันธุ์ a → × b → = - b → × a → ;
2. การกระจายตัว a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → หรือ a → × b (1) → + b (2) → = a → × ข (1) → + ก → × ข (2) → ;
3. การเชื่อมโยง แล a → × b → = แลม → × b → หรือ a → × (แลม b →) = แลม → × b → โดยที่ แล คือจำนวนจริงใดๆ

คุณสมบัติเหล่านี้มีการพิสูจน์ง่ายๆ

ตามตัวอย่าง เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติต้านการเปลี่ยนแปลงของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

หลักฐานการต่อต้านการเปลี่ยนแปลง

ตามคำนิยาม a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z และ b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z และถ้ามีการสลับเมทริกซ์สองแถว ค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ควรเปลี่ยนไปตรงกันข้าม ดังนั้น a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → ซึ่งและพิสูจน์ว่าผลคูณเวกเตอร์เป็นแบบต้านการเปลี่ยนแปลง

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ - ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

ในกรณีส่วนใหญ่ จะมีปัญหาสามประเภท

ในโจทย์ประเภทแรก มักจะให้ความยาวของเวกเตอร์สองตัวและมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านั้น และคุณจำเป็นต้องค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ ในกรณีนี้ ให้ใช้สูตรต่อไปนี้ c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →

ตัวอย่างที่ 1

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ถ้าคุณรู้ a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4

สารละลาย

โดยการหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ a → และ b → เราจะแก้ปัญหานี้: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

คำตอบ: 15 2 2 .

ปัญหาประเภทที่สองมีความเกี่ยวข้องกับพิกัดของเวกเตอร์ โดยในนั้นคือผลคูณเวกเตอร์ ความยาวของมัน ฯลฯ ถูกค้นหาผ่านพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ที่กำหนด ก → = (ก x; ก ย; ก z) และ ข → = (ข x ; โดย ; ข z) .

สำหรับปัญหาประเภทนี้ คุณสามารถแก้ไขตัวเลือกงานได้มากมาย ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถระบุพิกัดของเวกเตอร์ a → และ b → ได้ แต่จะขยายเป็นเวกเตอร์พิกัดของแบบฟอร์มไม่ได้ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → และ c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → หรือเวกเตอร์ a → และ b → สามารถระบุได้ด้วยพิกัดจุดเริ่มต้น และจุดสิ้นสุด

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 2

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ให้เวกเตอร์สองตัว: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1) ค้นหาผลิตภัณฑ์ข้ามของพวกเขา

สารละลาย

ตามคำจำกัดความที่สอง เราจะพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดที่กำหนด: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · by - ay · bx) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

หากเราเขียนผลคูณเวกเตอร์ผ่านดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ แล้วคำตอบของตัวอย่างนี้จะเป็นแบบนี้: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .

คำตอบ: ก → × b → = - 2 ผม → - 2 เจ → - 2 k → .

ตัวอย่างที่ 3

จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → โดยที่ i →, j →, k → เป็นเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม

สารละลาย

ก่อนอื่น เรามาค้นหาพิกัดของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ที่กำหนด i → - j → × i → + j → + k → ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด

เป็นที่ทราบกันว่าเวกเตอร์ i → - j → และ i → + j → + k → มีพิกัด (1; - 1; 0) และ (1; 1; 1) ตามลำดับ ลองหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ จากนั้นเราจะได้ i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - เจ → + 2 k → .

ดังนั้น ผลคูณเวกเตอร์ i → - j → × i → + j → + k → มีพิกัด (- 1 ; - 1 ; 2) ในระบบพิกัดที่กำหนด

เราค้นหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์โดยใช้สูตร (ดูหัวข้อการหาความยาวของเวกเตอร์): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

คำตอบ: ผม → - เจ → × ผม → + เจ → + k → = 6 . -

ตัวอย่างที่ 4

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พิกัดสามจุด A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) จะได้รับ จงหาเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ A B → และ A C → ในเวลาเดียวกัน

สารละลาย

เวกเตอร์ A B → และ AC → มีพิกัดต่อไปนี้ (- 1 ; 2 ; 2) และ (0 ; 4 ; 1) ตามลำดับ เมื่อพบผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ A B → และ A C → เห็นได้ชัดว่ามันเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากตามคำจำกัดความของทั้ง A B → และ A C → นั่นคือมันเป็นวิธีแก้ปัญหาของเรา ลองหามันมา A B → × AC → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

คำตอบ: - 6 ผม → + เจ → - 4 k → . - หนึ่งในเวกเตอร์ตั้งฉาก

ปัญหาประเภทที่สามจะเน้นไปที่การใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หลังจากสมัครแล้วเราจะได้แนวทางแก้ไขปัญหาที่กำหนด

ตัวอย่างที่ 5

เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน และมีความยาวเท่ากับ 3 และ 4 ตามลำดับ จงหาความยาวของผลคูณเวกเตอร์ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · ก → × - 2 · ข → + - ข → × ก → + - ข → × - 2 · ข → .

สารละลาย

ด้วยคุณสมบัติการกระจายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนได้ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 ก → × ก → + 3 ก → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

ด้วยคุณสมบัติของการเชื่อมโยงเราจะนำค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขออกจากเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ในนิพจน์สุดท้าย: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - ข → × - 2 · ข → = = 3 · ก → × ก → + 3 · (- 2) · ก → × ข → + (- 1) · ข → × ก → + (- 1) · (- 2) · ข → × ข → = = 3 ก → × ก → - 6 ก → × ข → - ข → × ก → + 2 ข → × ข →

ผลคูณเวกเตอร์ a → × a → และ b → × b → เท่ากับ 0 เนื่องจาก a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 และ b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 จากนั้น 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → -

จากการต้านคอมมิวทิวิตี้ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ดังนี้ - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × ข → . -

เมื่อใช้คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

ตามเงื่อนไข เวกเตอร์ a → และ b → ตั้งฉากกัน นั่นคือมุมระหว่างพวกมันเท่ากับ π 2 ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่าที่พบเป็นสูตรที่เหมาะสม: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · บาป (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · บาป π 2 = 60 .

คำตอบ: 3 ก → - ข → × ก → - 2 ข → = 60

ความยาวของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ตามคำจำกัดความ เท่ากับ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว (จากหลักสูตรของโรงเรียน) ว่าพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของทั้งสองด้านคูณด้วยไซน์ของมุมระหว่างด้านเหล่านี้ ดังนั้นความยาวของผลคูณเวกเตอร์จึงเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สามเหลี่ยมสองเท่าคือผลคูณของด้านข้างในรูปแบบของเวกเตอร์ a → และ b → วางลงจากจุดหนึ่งโดยไซน์ของ มุมระหว่างพวกเขา บาป ∠ a →, b →

นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์

ในกลศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของฟิสิกส์ ต้องขอบคุณผลคูณเวกเตอร์ คุณสามารถกำหนดโมเมนต์ของแรงสัมพันธ์กับจุดในอวกาศได้

คำจำกัดความ 3

เมื่อถึงโมเมนต์ของแรง F → ที่ใช้กับจุด B สัมพันธ์กับจุด A เราจะเข้าใจผลคูณเวกเตอร์ต่อไปนี้ A B → × F →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter