ระดับของพหุนามเรียกว่าอะไร? แนวคิดที่ซับซ้อนของพหุนาม

ตามคำนิยาม พหุนามคือ การแสดงออกทางพีชคณิตซึ่งเป็นผลรวมของ monomials

ตัวอย่างเช่น: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 เป็นพหุนาม และนิพจน์ z/(x - x*y^2 + 4) ไม่ใช่พหุนาม เนื่องจากไม่ใช่ผลรวมของพหุนาม พหุนามบางครั้งเรียกว่าพหุนาม และ monomials ที่เป็นส่วนหนึ่งของพหุนามเป็นสมาชิกของพหุนามหรือ monomials

แนวคิดที่ซับซ้อนของพหุนาม

ถ้าพหุนามประกอบด้วยสองเทอม จะเรียกว่าทวินาม ถ้าประกอบด้วยสามเทอมจะเรียกว่าตรีโกณมิติ ไม่ใช้ชื่อสี่นาม ห้านาม และอื่นๆ และในกรณีเช่นนี้ ชื่อก็แค่พูดว่าพหุนาม ชื่อดังกล่าวขึ้นอยู่กับจำนวนคำศัพท์ทำให้ทุกอย่างเข้าที่

และคำว่า monomial ก็กลายมาเป็นสัญชาตญาณ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ monomial เป็นกรณีพิเศษของพหุนาม monomial คือพหุนามที่ประกอบด้วยหนึ่งเทอม

เช่นเดียวกับ monomial พหุนามก็มีตัวมันเอง มุมมองมาตรฐาน- รูปแบบมาตรฐานของพหุนามคือสัญลักษณ์ของพหุนามซึ่งมี monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในพหุนามเป็นเงื่อนไขที่เขียนในรูปแบบมาตรฐานและมีเงื่อนไขที่คล้ายกัน

รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

ขั้นตอนในการลดพหุนามให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานคือการลด monomials แต่ละรายการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นจึงบวก monomial ที่คล้ายกันทั้งหมดเข้าด้วยกัน การบวกพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามเรียกว่า การลดลงของค่าที่คล้ายกัน
เช่น ให้ เงื่อนไขที่คล้ายกันในพหุนาม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b

เงื่อนไข 4*a*b^2*c^3 และ 6*a*b^2*c^3 มีความคล้ายคลึงกันที่นี่ ผลรวมของคำศัพท์เหล่านี้จะเป็น monomial 10*a*b^2*c^3 ดังนั้น พหุนามเดิม 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b สามารถเขียนใหม่เป็น 10*a*b^2*c^3 - a* ข รายการนี้จะเป็นรูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

จากข้อเท็จจริงที่ว่า monomial ใดๆ สามารถถูกลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้ ก็ตามมาด้วยว่าพหุนามใดๆ สามารถถูกลดให้เป็นรูปแบบมาตรฐานได้

เมื่อพหุนามถูกรีดิวซ์ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน เราสามารถพูดถึงแนวคิด เช่น ระดับของพหุนามได้ ระดับของพหุนามคือระดับสูงสุดของ monomial ที่รวมอยู่ใน ให้พหุนาม.
ตัวอย่างเช่น 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 เป็นพหุนามของดีกรีที่ 5 เนื่องจาก ระดับสูงสุด monomial ที่รวมอยู่ในพหุนาม (5*x^3*y^2) ที่ห้า

หรือโดยเคร่งครัด คือผลรวมอย่างเป็นทางการอันจำกัดของแบบฟอร์ม

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ xn i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), ที่ไหน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามในตัวแปรตัวหนึ่งคือผลรวมอย่างเป็นทางการอันจำกัดของรูปแบบ

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\dots +c_(m)x^(m)), ที่ไหน

แนวคิดของ "สมการพีชคณิต" และ "ฟังก์ชันพีชคณิต" มาจากการใช้พหุนาม

การศึกษาและการประยุกต์ใช้[ | ]

การศึกษาสมการพหุนามและการแก้โจทย์อาจเป็นประเด็นหลักของ "พีชคณิตคลาสสิก"

ที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาพหุนาม ทั้งบรรทัดการแปลงทางคณิตศาสตร์ ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการพิจารณาจำนวนศูนย์ ลบ และจำนวนเชิงซ้อน การเกิดขึ้นของทฤษฎีกลุ่มในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ และการจำแนกประเภทของฟังก์ชันพิเศษในการวิเคราะห์

ความเรียบง่ายทางเทคนิคของการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับพหุนามเมื่อเปรียบเทียบกับค่าอื่น ชั้นเรียนที่ซับซ้อนฟังก์ชัน ตลอดจนข้อเท็จจริงที่ว่าเซตของพหุนามมีความหนาแน่นในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตย่อยขนาดกะทัดรัดของปริภูมิยุคลิด (ดูทฤษฎีบทการประมาณของไวเออร์ชตราส) มีส่วนทำให้เกิดการพัฒนาวิธีการขยายอนุกรมและการประมาณค่าพหุนามในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

พหุนามก็เล่นเช่นกัน บทบาทสำคัญในเรขาคณิตพีชคณิต วัตถุถูกกำหนดให้เป็นคำตอบของระบบพหุนาม

คุณสมบัติพิเศษของการแปลงค่าสัมประสิทธิ์เมื่อคูณพหุนามใช้ในเรขาคณิตพีชคณิต พีชคณิต ทฤษฎีปม และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์เพื่อเข้ารหัสหรือแสดงคุณสมบัติของวัตถุต่างๆ ในพหุนาม

คำจำกัดความที่เกี่ยวข้อง[ | ]

  • พหุนามของแบบฟอร์ม c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ xn i n (\รูปแบบการแสดงผล cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))เรียกว่า เอกพจน์หรือ เอกพจน์หลายดัชนี I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
  • Monomial ที่สอดคล้องกับหลายดัชนี I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0))เรียกว่า สมาชิกฟรี.
  • ปริญญาเต็ม(ไม่ใช่ศูนย์) monomial c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ xn i n (\รูปแบบการแสดงผล c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (น)))เรียกว่าจำนวนเต็ม -.
  • ฉัน | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)) หลายดัชนีฉัน ซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ c ฉัน (\displaystyle c_(I)) ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าพาหะของพหุนาม และตัวเรือนูนออกมา.
  • รูปทรงหลายเหลี่ยมของนิวตันเรียกว่าอำนาจสูงสุดแห่งเอกพจน์ของมัน ระดับของศูนย์ที่เหมือนกันจะถูกกำหนดเพิ่มเติมโดยค่า − ∞ (\displaystyle -\infty ).
  • พหุนามที่เป็นผลรวมของสอง monomials เรียกว่า ทวินามหรือ ทวินาม,
  • พหุนามที่เป็นผลรวมของสาม monomials เรียกว่า ตรีโกณมิติ.
  • ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามมักจะนำมาจากวงแหวนสับเปลี่ยนเฉพาะ R (\รูปแบบการแสดงผล R)(ส่วนใหญ่มักเป็นช่องข้อมูล เช่น ช่องของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ในกรณีนี้ ด้วยความเคารพต่อการดำเนินการของการบวกและการคูณ พหุนามจะสร้างวงแหวน (ยิ่งกว่านั้น พีชคณิตแบบเชื่อมโยง-สับเปลี่ยนบนวงแหวน R (\รูปแบบการแสดงผล R)โดยไม่มีตัวหารเป็นศูนย์) ซึ่งแสดงว่า ร [ x 1 , x 2 , … , xn ] . (\displaystyle อาร์)
  • สำหรับพหุนาม p (x) (\displaystyle p(x))ตัวแปรตัวหนึ่งกำลังแก้สมการ p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0)เรียกว่ารากของมัน

ฟังก์ชันพหุนาม[ | ]

อนุญาต เอ (\displaystyle A)มีพีชคณิตอยู่เหนือวงแหวน R (\รูปแบบการแสดงผล R)- พหุนามตามอำเภอใจ p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , xn ] (\displaystyle p(x)\in R)กำหนดฟังก์ชันพหุนาม

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A).

กรณีที่พิจารณาบ่อยที่สุดคือ A = R (\รูปแบบการแสดงผล A=R).

ถ้า R (\รูปแบบการแสดงผล R)เป็นสนามจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (เช่นเดียวกับสนามอื่นๆ ด้วย จำนวนอนันต์องค์ประกอบ) ฟังก์ชัน f p: R n → R (\รูปแบบการแสดงผล f_(p):R^(n)\ถึง R)นิยามพหุนาม p อย่างสมบูรณ์ อย่างไรก็ตามใน กรณีทั่วไปสิ่งนี้ไม่ถูกต้อง เช่น พหุนาม p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x)และ p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2))จาก Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x])ถูกกำหนดไว้เหมือนกัน ฟังก์ชั่นที่เท่าเทียมกัน Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

ฟังก์ชันพหุนามของตัวแปรจำนวนจริงตัวหนึ่งเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะทั้งหมด

ประเภทของพหุนาม[ | ]

คุณสมบัติ [ | ]

การแบ่งแยก [ | ]

บทบาทของพหุนามที่ลดไม่ได้ในวงแหวนพหุนามนั้นคล้ายคลึงกับบทบาทของจำนวนเฉพาะในวงแหวนของจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทเป็นจริง: หากเป็นผลคูณของพหุนาม p q (\displaystyle pq)ก็หารด้วยพหุนามที่ลดไม่ได้แล้ว พีหรือ ถามหารด้วย แลมบ์ดา (\displaystyle \lambda)- พหุนามแต่ละตัวที่มีดีกรีมากกว่าศูนย์สามารถถูกแยกย่อยในเขตข้อมูลที่กำหนดเป็นผลคูณของตัวประกอบที่ลดไม่ได้ด้วยวิธีเฉพาะ (ขึ้นอยู่กับตัวประกอบของดีกรีศูนย์)

ตัวอย่างเช่น พหุนาม x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), ลดไม่ได้ในสนาม สรุปตัวเลข, สลายตัวออกเป็นสามตัวในสนามของจำนวนจริงและเป็นสี่ตัวในสนาม จำนวนเชิงซ้อน.

โดยทั่วไปแล้ว แต่ละพหุนามจะอยู่ในตัวแปรเดียว x (\รูปแบบการแสดงผล x)สลายตัวในสาขาจำนวนจริงเป็นตัวประกอบของดีกรีที่ 1 และ 2 ในสาขาจำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวประกอบของดีกรีที่ 1 (ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต)

สำหรับสองและ มากกว่าตัวแปรนี้ไม่สามารถระบุได้อีกต่อไป เหนือสนามเพื่อใครก็ตาม n > 2 (\displaystyle n>2)มีพหุนามมาจาก n (\displaystyle n)ตัวแปรที่ไม่สามารถลดได้ในส่วนขยายของฟิลด์นี้ พหุนามดังกล่าวเรียกว่าลดไม่ได้อย่างแน่นอน

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแยกตัวประกอบกำลังสองของพหุนามระดับที่ 5 โดยใช้พหุนามการประมาณค่าลากรองจ์

    คำจำกัดความของพหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ของระดับที่ 5

เพื่อขยายพหุนามที่ลดลง ที่ห้าองศาเป็นปัจจัย จำเป็นต้องเติมเต็มความเท่าเทียมกัน: f(x)=φ(x)·g(x) ในกรณีนี้ ระดับของพหุนาม φ(x) และ g(x) ไม่ควรสูงกว่าห้า

เพื่อกำหนดพหุนามจำนวนเต็ม ไม่สูงกว่าห้าองศาพร้อมตารางค่าที่กำหนดจะมีสูตร พหุนามการประมาณค่าลากรองจ์ (IML)):

φ(x) = F(x)· โดยที่ F(x)=(x-x 1)·(x-x 2)·(x-x 3)·(x-x 4)·(x-x 5)(x-x 6), Fʹ(x k) ค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน F(x) ที่จุด x k

ในกรณีที่จำเป็นต้องกำหนดพิกัดหกจุดบนเครื่องบิน

ในการกำหนดปัจจัย φ(x) และ g(x) เราเลือกค่าจำนวนเต็มหกค่าโดยพลการ x= x 1 ; x2; x 3 ; x 4 ; x5 ; x 6 แล้วลองแทนที่มันลงในความเท่าเทียมกัน f(x)= φ(x)·g(x) เราได้รับ:

ฉ(x 1)= φ(x 1) ก.(x 1) ; ฉ(x 2)= φ(x 2) ก.(x 2); ฉ(x 3)= φ(x 3) ก.(x 3);

ฉ(x 4)= φ(x 4) ก.(x 4) ; ฉ(x 5)=φ(x 5) ก.(x 5); ฉ(x 6)= φ(x 6) ก.(x 6)

ความเท่าเทียมกันเหล่านี้แสดงว่าแต่ละค่า φ(x k) ของตัวประกอบที่ต้องการ φ(x) เป็นตัวหารของตัวเลข f(x k)

เพื่อสร้างปัจจัย φ(x) ที่เราใช้ ไอเอ็มแอลและในฐานะ f(x k) เราจะแทนที่จำนวนเต็มตามอำเภอใจ A k และเราจะเลือกค่าของ x k ในรูปแบบของจำนวนเต็มต่อเนื่องกันใกล้กับศูนย์นั่นคือ

x 1 = -3; x 2 = -2; x 3 = -1; x 4 =0; x 5 =1; x 6 = 2.

ขยายแล้ว ไอเอ็มแอลφ(x) มีลักษณะดังนี้:

φ(x) = F(x) โดยที่ F(x)=(x+3)·(x+2)·(x+1)·x·(x-1)·(x-2) (2).

เพื่อสร้างปัจจัย φ(x) โดยใช้ ไอเอ็มแอลต้องระบุหมายเลข ก 1 - ก 2 - ก 3 - ก 4 - ก 5 - ก 6 .

คำนิยาม:ตัวเลข ก 1; เอ 2; เอ 3; เอ 4; เอ 5; และ 6 นำมาจากสูตร ไอเอ็มแอลเขียนเรียงกันเรียกว่า ลากรองจ์อยู่ใกล้ๆ

    การสลายตัวของพหุนามเป็นปัจจัยเชิงเส้นโดยใช้ IML

ทฤษฎีบท 1(ลักษณะทั่วไปของโครงการของฮอร์เนอร์)

พหุนาม φ(x) จะเป็นเส้นตรงถ้าตัวเลข A 1 ; เอ 2; เอ 3; เอ 4; เอ 5; และ 6 ก่อให้เกิดลำดับจำนวนเต็มที่เพิ่มขึ้น

การพิสูจน์:ให้เราลดพหุนาม (2) ให้เหลือน้อยที่สุด ตัวส่วนร่วม, เช่น. ถึง 120· F(x) เราเขียนตัวเศษที่ได้ในรูปของพหุนามของระดับที่ 5 ซึ่งสัมประสิทธิ์ประกอบด้วยตัวเลข A 1; เอ 2; เอ 3; เอ 4; เอ 5; เอ 6. เพื่อให้พหุนาม (2) เป็นเส้นตรง จำเป็นต้องเทียบสัมประสิทธิ์ที่ "x" ขององศาที่ห้า สี่ สาม และสองให้เป็นศูนย์ และค่าสัมประสิทธิ์ที่ "x" ของดีกรีแรกเท่ากับ 120 เป็นผลให้เราได้รับระบบสมการห้าสมการที่มีตัวแปรหกตัวดังต่อไปนี้:

5 ก 2 +80 ก 3 -150 ก 4 +80 ก 4 -5 ก 6 =0

4 ก 1 +30 ก 2 -120 ก 3 +40 ก 4 +60 ก 5 -6 ก 6 =120

หากเราแก้ไขหมายเลข A 6 ส่วนที่เหลือทั้งหมดจะแสดงออกมา สูตรต่อไปนี้: ก 1 =ก 6 -5; ก 2 =ก 6 -4; ก 3 =ก 6 -3; ก 4 =ก 6 -2; ก 5 =ก 6 -1.

เราได้รับลำดับจำนวนเต็มที่เพิ่มขึ้น

มันตามมาจากทฤษฎีบทที่ตัวคูณเชิงเส้นมี มุมมองถัดไป: φ(x)=x+ก 4 (3).

คำนิยาม: ลำดับตัวเลขที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เหล่านี้ A 1 = A 6 -5; ก 2 = ก 6 -4; ก 3 = ก 6 -3; เอ 4 = เอ 6 -2; เอ 5 = เอ 6 -1; และ 6 เรียกว่าอนุกรมลากรองจ์เชิงเส้น

คำนิยาม: อนุกรมลากรองจ์เชิงเส้นเรียกว่า " ผู้สมัคร» ถ้าตัวเลขทั้งหมด A k เป็นตัวหารของค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน f(x k) โดยที่ k=1;2;3;4;5;6

สำหรับผู้สมัครทุกคน เราสร้างตัวประกอบเชิงเส้น φ(x) โดยใช้สูตร (3) และตรวจสอบการหารลงตัวด้วย f(x)

ตามทฤษฎีบทที่ว่าตัวคูณเชิงเส้นมีรูปแบบดังต่อไปนี้ φ(x)=x+ก 4 ,

โดยที่ A 4 เป็นตัวหารของพจน์อิสระ เช่น ฉ(0) ตัวประกอบเชิงเส้นของพหุนามรีดิวซ์ถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์

ตัวอย่าง: f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8 เมื่อใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์ เราจะหาค่าของพหุนามที่ x = -3; -2; -1; 0;1;2. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางที่ 1:

ลองเขียนคอลัมน์สุดท้ายของตาราง 1 ใหม่ด้วยแถวแรกของตาราง 2 ลองเลือกตัวเลขในแถวนี้ที่มี จำนวนที่น้อยที่สุดวงเวียน. ในตัวอย่างของเรา ตัวเลขนี้คือ -8 ลองเขียนตัวหารทั้งหมดลงในคอลัมน์กัน สำหรับตัวหารแต่ละตัวของตัวเลข -8 เราจะเขียนชุดลากรองจ์เชิงเส้นเป็นเส้นตรง จากผลลัพธ์ของซีรีส์ Lagrangian เราจะเลือก "ผู้สมัคร" การใช้ “ผู้สมัคร” เราจะสร้างพหุนาม φ(x) ตามสูตร (3) และตรวจสอบการหารลงตัวด้วยพหุนามที่กำหนด f(x)= x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8

ตารางที่ 2:

"ผู้สมัคร"

ในตารางด้านบน 2 มีการแรเงา สีเทาสี่เหลี่ยมที่มีตัวเลขที่ไม่ใช่ตัวหารของค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน f(x) ตารางนี้ประกอบด้วยแถวหรือชุดลากรองจ์ของตัวเลขทั้งหมด ซึ่งเป็นตัวหารของค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน f(x) ชุดนี้เป็นเพียงผู้สมัครเท่านั้น ในชุดนี้ A 4 = -8 โดยแทนที่ φ(x)=x- A 4 ลงในสูตร เราจะพบ φ(x)=x- 8

การตรวจสอบ: x 5 -8x 4 +2x 3 -16x 2 +x-8=(x-8)·(x 4 +2x 2 +1) ผู้สมัครจริงจะถูกเน้นด้วยสีดำ

    การขยายตัวของตัวประกอบกำลังสองพหุนามโดยใช้ IML

ทฤษฎีบท 2- ตัวประกอบ φ(x) จะเป็นกำลังสองถ้าเป็นตัวเลข A 1; เอ 2; เอ 3; เอ 4; เอ 5; และทั้ง 6 เชื่อมโยงกันด้วยความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

ก 1 =5 (ก 5 +4)-4 ก 6

ก 2 =4 (ก 5 +3)-3 ก 6

ก 3 =3 (ก 5 +2)-2 ก 6

ก 4 =2·(ก 5 +1)-1·ก 6

การพิสูจน์:พิสูจน์: ให้เราลดพหุนาม (1) ให้เหลือตัวส่วนร่วมที่ต่ำที่สุด นั่นคือ ถึง 120· F(x) เราเขียนตัวเศษที่ได้ในรูปของพหุนามของระดับที่ 5 ซึ่งสัมประสิทธิ์ประกอบด้วยตัวเลข A 1; เอ 2; เอ 3; เอ 4; เอ 5; เอ 6. เพื่อให้พหุนาม (1) เป็นกำลังสอง จำเป็นต้องเทียบสัมประสิทธิ์ของ "x" ขององศาที่ห้า สี่ และสามให้เป็นศูนย์ และค่าสัมประสิทธิ์ของ "x" ของดีกรีที่สองเป็น 120 โดยที่ ผลลัพธ์ที่ได้คือระบบสมการสี่ตัวที่มีตัวแปร 6 ตัวดังนี้

ก 1 +5 ก 2 -10 ก 3 +10 ก 4 -5 ก 5 +ก 6 =0

5 ก 2 -20 ก 3 +30 ก 4 -20 ก 5 +5 ก 6 =0

5 ก 1 -35 ก 2 +70 ก 3 -50 ก 4 +5 ก 5 +5 ก 6 =0

5 ก 2 +80 ก 3 -150 ก 4 +80 ก 5 -5 ก 6 =120

หากเราแก้ไขตัวเลข A 5 และ A 6 สองตัว ส่วนที่เหลือทั้งหมดจะแสดงเป็นสูตรต่อไปนี้:

ก 1 =5·(ก 5 +4)-4·ก 6; ก 2 =4·(ก 5 +3)-3·ก 6;

ก 3 =3·(ก 5 +2)-2·ก 6; ก 4 =2·(ก 5 +1)-1·ก 6

จากทฤษฎีบทที่ว่าสูตรสามารถแสดงตัวประกอบกำลังสองได้ φ(x)=x 2 +(ก 6 - ก 5 -3) x+ ก 4 . (4)

คำนิยาม:ลำดับของจำนวนเต็มกำหนดไว้ดังต่อไปนี้

ความสัมพันธ์ A 1 =5·(A 5 +4)-4·A 6; ก 2 =4·(ก 5 +3)-3·ก 6; ก 3 =3·(ก 5 +2)-2·ก 6; A 4 =2·(A 5 +1)-1·A 6 เรียกว่าอนุกรมลากรองจ์กำลังสอง

คำนิยาม: อนุกรมลากรองจ์กำลังสองเรียกว่า "ผู้สมัคร" หากตัวเลขทั้งหมด A k เป็นตัวหารของค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน f(x k), k=1;2;3;4;5;6

สำหรับผู้สมัครทุกคน เราจะสร้างตัวประกอบกำลังสอง φ(x) โดยใช้สูตร (4) และตรวจสอบการหารลงตัวด้วย f(x)

    รูปแบบอย่างง่ายของอนุกรมลากรองจ์กำลังสอง

สูตรของอนุกรมลากรองจ์กำลังสองสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ ในการทำเช่นนี้ เรามาแสดงความแตกต่าง A 5 - A 6 ด้วยตัวอักษร "d" จากนั้นตัวเลขของอนุกรมลากรองจ์กำลังสองจะดูมากขึ้น สูตรง่ายๆและสะดวกต่อการก่อสร้าง:

ตัวอย่าง:ก 5 =7; และ 6 = 10 ก่อให้เกิดอนุกรมลากรองจ์กำลังสอง

ลองหา d=7-10=-3 แล้วใช้สูตรในตาราง มาหาตัวเลขกันเถอะของซีรีย์นี้:

คำตอบ: 15; 10; 7; 6; 7; 10.

ลองพิจารณาตัวอย่างการแยกตัวประกอบพหุนามรีดิวซ์ของดีกรีที่ 5: ฉ(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20.

    เมื่อใช้โครงร่างของฮอร์เนอร์เราจะค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ x=-3; -2;-1; 0;1;2. เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาสร้างตารางกัน:

  1. ให้เราพิจารณาว่าพหุนามที่กำหนดมี เชิงเส้นตัวคูณ ในการทำเช่นนี้ให้เขียนค่าฟังก์ชันผลลัพธ์ลงในตารางหมายเลข 3 จากนี้เราเลือกตัวเลขที่มีจำนวนตัวหารน้อยที่สุด ในตัวอย่างของเรา นี่คือตัวเลข "2" ลองเขียนตัวหารจำนวนเต็มลงในคอลัมน์กัน สำหรับตัวหารแต่ละตัวของตัวเลข "2" เราจะเขียนชุดลากรองจ์เชิงเส้นเป็นเส้นตรง เราจะเลือกผู้สมัครจากพวกเขา และตรวจสอบการหารลงตัวด้วยพหุนาม f(x) ที่กำหนด

ตารางที่ 3:

ในตารางที่ 3 นี้ เซลล์ที่มีตัวเลขซึ่งไม่ใช่ตัวหารของค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน f(x) จะถูกทำเครื่องหมายเป็นสีเทา ไม่จำเป็นต้องกรอกข้อมูลลงในเซลล์ว่าง เนื่องจากอนุกรมลากรองจ์กำลังสองที่สร้างขึ้นซึ่งมีตัวเลขในเซลล์สีเทาไม่ใช่ "ผู้สมัคร" อย่างแน่นอน จากตารางที่ 3 นี้ ชัดเจนว่าไม่มี “ผู้สมัคร” ซึ่งหมายความว่าพหุนาม f(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20 ไม่สามารถขยายเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้

    ลองพิจารณาว่าพหุนามที่กำหนดมีปัจจัยกำลังสองหรือไม่ ในการทำเช่นนี้ให้เขียนค่าฟังก์ชันผลลัพธ์ลงในตารางหมายเลข 4 จากนี้เราเลือกตัวเลขสองตัวที่มีจำนวนตัวหารน้อยที่สุด ในตัวอย่างของเรา นี่คือตัวเลข "2" และ "-6" เราจะเขียนตัวหารเป็นคอลัมน์ สำหรับตัวหารแต่ละคู่ของตัวเลข "2" และ "-6" เราจะเขียนอนุกรมลากรองจ์กำลังสองในบรรทัด เราจะเลือกผู้สมัครจากพวกเขาและตรวจสอบการหารลงตัวด้วยพหุนาม f(x) ที่กำหนดหรือไม่

ตารางที่ 4:

ในตารางที่ 4 นี้ เราเห็น "ผู้สมัคร" สองคน ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาโดยใช้สูตร φ(x)=x 2 +(A 6 - A 5 -3) x+ A 4 เราพบ ปัจจัยกำลังสอง: φ 1 (x)=x 2 -3x+ 4; φ 2 (x)=x 2 +x-4

การตรวจสอบแสดงให้เห็นว่าหนึ่งในสองปัจจัยเป็นจริง นี่คือ φ 1 (x) = x 2 -3x+ 4 และอีกปัจจัยหนึ่งกลายเป็นปัจจัยภายนอก

คำตอบ: x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20=(x 2 -3x+ 4)·(x 3 -2x 2 +3x-5).

ในตารางที่ 4 นี้ เราได้อนุกรมลากรองจ์กำลังสองจำนวน 32 ชุด จำนวนนี้ถูกกำหนดโดยจำนวนคู่ตัวหารที่แตกต่างกัน ทั้งบวกและลบ ของค่าฟังก์ชันสองค่า ซึ่งอยู่ในคอลัมน์สองคอลัมน์ที่อยู่ติดกัน

    การลดจำนวนอนุกรมลากรองจ์กำลังสอง

หากค่าของฟังก์ชันจำนวนตัวหารซึ่งน้อยที่สุดไม่ได้อยู่ใกล้ ๆ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท 3ให้รู้ A 4 และ A 6 แล้ว A 5 = (A 4 + A 6 1): 2-1

ให้รู้ A 3 และ A 6 แล้ว A 5 = (A 3 + A 6 2):3-2

ให้รู้ A 2 และ A 6 แล้ว A 5 = (A 2 + A 6 3):4-3

ให้รู้ A 1 และ A 6 แล้ว A 5 = (A 1 + A 6 ·4): 5-4

พิสูจน์: มาพิสูจน์ความเสมอภาคสุดท้าย A 5 =(A 1 +A 6 ·4):5-4. ตามคำจำกัดความของเลขลากรองจ์กำลังสอง A 1 =5·(A 5 +4)-4·A 6 เราจะแทนจำนวนนี้เป็นความเท่าเทียมกันดั้งเดิม และได้ A 5 =(5·(A 5 +4)-4· A 6 +A 6 4):5-4=(5 ·A 5 +20):5-4=A 5 +4-4=A 5 ซึ่งเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ความเท่าเทียมกันอื่นๆ สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะเดียวกัน

ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้เราลดจำนวนอนุกรมลากรองจ์กำลังสองได้ ลองดูตัวอย่างที่เราได้แก้ไขไปแล้ว ฉ(x)=x 5 -5x 4 +13x 3 -22x 2 +27x-20

และแก้มันในกรณีที่เราพิจารณาอนุกรมลากรองจ์กำลังสองที่สร้างโดยใช้ตัวหาร A 4 และ A 6

ตารางที่ 5:

(เอ 4 + เอ 6 1):2-1

ในตารางที่ 5 นี้ เราได้รับอนุกรมลากรองจ์กำลังสอง 24 ชุด เนื่องจากในสูตรผลรวมของ A 4 และ A 6 จะต้องหารด้วย 2 ดังนั้นตัวหาร A 4 และ A 6 จึงต้องเป็นคู่หรือคี่ทั้งคู่ ด้วยเหตุนี้ จำนวนซีรีส์ลากรองจ์กำลังสองจึงลดลง ถ้าคุณใช้ ทฤษฎีบทนี้ 3 เพื่อเขียนอนุกรมลากรองจ์กำลังสองที่สร้างโดยใช้ A 1 และ A 6 จากนั้นจำนวนอนุกรมจะลดลงเหลือ 12

ตารางที่ 6:

ในตารางที่ 6 จำนวนซีรีย์ลากรองจ์กำลังสองลดลงเหลือ 12 เนื่องจากพบ A 5 ตามสูตร (4A 1 + A 6): 5-4 และ A 5 เป็นจำนวนเต็มจะต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ ถึง -6 ในตารางทั้งหมด แถวที่ไฮไลต์สีดำคือ "ตัวเลือกที่ถูกต้อง" ผู้สมัครที่เหลือคือ "จินตนาการ"

สำหรับพหุนามระดับที่ 6 สามารถพิสูจน์ได้ว่าสามารถหาปัจจัยกำลังสองได้โดยใช้สูตร: φ(x)=x 2 +(A 7 - A 6 - 5) x+ A 4 โดยที่ตัวเลขคือ A 1 ; เอ 2; เอ 3; เอ 4; เอ 5; เอ 6; และ 7 ประกอบเป็นอนุกรมลากรองจ์กำลังสอง

    ข้อสรุป:

    วิธีการสลายตัวโดยใช้ IML นี้เป็นลักษณะทั่วไปของโครงการฮอร์เนอร์

    วิธีนี้สามารถใช้ในการหาปัจจัยกำลังสองสำหรับพหุนามที่อยู่เหนือระดับที่ 5

    เมื่อใช้วิธีนี้ คุณสามารถสำรวจคุณสมบัติของตัวเลขลากรองจ์เพื่อกำหนดได้ พหุนามลูกบาศก์ในการขยายพหุนามระดับที่ 5 ขึ้นไป

    วรรณกรรม:

1. A. N. Chebotarev “พื้นฐานของทฤษฎี Galois”, OMTI GTTI, 1934, 1 ชั่วโมง

2. “ตัวเลขและพหุนาม” เรียบเรียงโดย A.A. Egorov - M.: Bureau Quantum, 2000/ เสริมนิตยสาร Quantum หมายเลข 6, 2000

หลังจากศึกษา monomial แล้ว เราก็ไปยังพหุนาม บทความนี้จะบอกคุณเกี่ยวกับทุกคน ข้อมูลที่จำเป็นจำเป็นต้องดำเนินการกับสิ่งเหล่านั้น เราจะนิยามพหุนามด้วย คำจำกัดความที่แนบมาด้วยเทอมของพหุนามซึ่งเป็นอิสระและคล้ายกัน พิจารณาพหุนามของรูปแบบมาตรฐาน แนะนำปริญญาและเรียนรู้วิธีค้นหา ทำงานกับค่าสัมประสิทธิ์ของมัน

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

พหุนามและคำศัพท์ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จำเป็นต้องมีคำจำกัดความของพหุนามกลับเข้าไป 7 ชั้นเรียนหลังจากเรียน monomials เรามาดูคำจำกัดความแบบเต็มของมันกันดีกว่า

คำจำกัดความ 1

พหุนามพิจารณาผลรวมของ monomial และ monomial เองก็เป็นเช่นนั้น กรณีพิเศษพหุนาม

จากคำจำกัดความ ตัวอย่างของพหุนามอาจแตกต่างกันได้: 5 , 0 , − 1 , x, 5 เอ บี 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z และอื่นๆ จากคำจำกัดความที่เรามี 1+x, ก 2 + ข 2 และนิพจน์ x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x เป็นพหุนาม

เรามาดูคำจำกัดความเพิ่มเติมกัน

คำจำกัดความ 2

สมาชิกของพหุนามเรียกว่า monomials ที่เป็นส่วนประกอบ

ลองพิจารณาตัวอย่างที่เรามีพหุนาม 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 ประกอบด้วย 4 เทอม: 3 x 4, − 2 x y, 3 และ − ปี 3- monomial ดังกล่าวถือได้ว่าเป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วยหนึ่งเทอม

คำจำกัดความ 3

พหุนามที่มี 2, 3 trinomials มีชื่อที่สอดคล้องกัน - ทวินามและ ตรีโกณมิติ.

ตามมาด้วยการแสดงออกของแบบฟอร์ม x+y– เป็นทวินาม และนิพจน์ 2 x 3 q − q x x x + 7 b เป็นทวินาม

โดย หลักสูตรของโรงเรียนทำงานกับทวินามเชิงเส้นในรูปแบบ a · x + b โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขจำนวนหนึ่ง และ x เป็นตัวแปร ลองพิจารณาตัวอย่างทวินามเชิงเส้นในรูปแบบ: x ​​+ 1, x 7, 2 − 4 พร้อมตัวอย่าง ตรีโกณมิติกำลังสอง x 2 + 3 x − 5 และ 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

ในการเปลี่ยนแปลงและแก้ไขจำเป็นต้องค้นหาและนำคำศัพท์ที่คล้ายกันมา ตัวอย่างเช่น พหุนามรูปแบบ 1 + 5 x − 3 + y + 2 x มีพจน์ 1 และ - 3, 5 x และ 2 x คล้ายกัน พวกมันถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มพิเศษที่เรียกว่าสมาชิกที่คล้ายกันของพหุนาม

คำจำกัดความที่ 4

เงื่อนไขที่คล้ายกันของพหุนามเป็นคำที่คล้ายกันที่พบในพหุนาม

ในตัวอย่างข้างต้น เรามี 1 และ - 3, 5 x และ 2 x เป็นพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามหรือพจน์ที่คล้ายกัน เพื่อให้นิพจน์ง่ายขึ้น ให้ค้นหาและลดพจน์ที่คล้ายกัน

พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน

monomials และพหุนามทั้งหมดมีชื่อเฉพาะของตัวเอง

คำจำกัดความที่ 5

พหุนามของรูปแบบมาตรฐานเรียกว่าพหุนามซึ่งสมาชิกแต่ละตัวที่อยู่ในนั้นจะมีรูปแบบมาตรฐานเดียวและไม่มีคำศัพท์ที่คล้ายคลึงกัน

จากคำจำกัดความนี้ชัดเจนว่ามีความเป็นไปได้ที่จะลดพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้ เช่น 3 x 2 − x y + 1 และ __formula__ และรายการอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน นิพจน์ 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z และ 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ไม่ใช่พหุนามในรูปแบบมาตรฐาน เนื่องจากตัวแรกมีพจน์ที่คล้ายกันในรูป แบบ 3 · x 2 และ - x 2และอย่างที่สองมีรูปแบบเดียวคือ x · y 3 · x · z 2 ซึ่งแตกต่างจากพหุนามมาตรฐาน

หากสถานการณ์จำเป็น บางครั้งพหุนามจะลดลงให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แนวคิดเรื่องพจน์อิสระของพหุนามก็ถือเป็นพหุนามของรูปแบบมาตรฐานเช่นกัน

คำนิยาม 6

พจน์อิสระของพหุนามเป็นพหุนามของรูปมาตรฐานที่ไม่มีส่วนตามตัวอักษร

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อพหุนามในรูปแบบมาตรฐานมีตัวเลข จะเรียกว่าสมาชิกอิสระ จากนั้นเลข 5 คือเทอมอิสระของพหุนาม x 2 z + 5 และพหุนาม 7 a + 4 a b + b 3 ไม่มีเทอมอิสระ

ดีกรีของพหุนาม - จะหาได้อย่างไร?

คำจำกัดความของดีกรีของพหุนามนั้นขึ้นอยู่กับคำจำกัดความของพหุนามรูปแบบมาตรฐานและดีกรีของโมโนเมียลที่เป็นส่วนประกอบ

คำนิยาม 7

ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานเรียกว่าองศาที่ใหญ่ที่สุดที่รวมอยู่ในสัญกรณ์

ลองดูตัวอย่าง ดีกรีของพหุนาม 5 x 3 − 4 เท่ากับ 3 เนื่องจากเอกนามที่รวมอยู่ในองค์ประกอบมีดีกรี 3 และ 0 และค่าที่ใหญ่กว่าคือ 3 ตามลำดับ นิยามของดีกรีจากพหุนาม 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x เท่ากับค่าที่มากที่สุดของตัวเลข นั่นคือ 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 และ 1 ซึ่งหมายถึง 5 .

มีความจำเป็นต้องค้นหาว่าระดับนั้นพบได้อย่างไร

คำจำกัดความ 8

ดีกรีพหุนาม หมายเลขใดก็ได้ คือดีกรีของพหุนามที่สอดคล้องกันในรูปแบบมาตรฐาน

เมื่อพหุนามไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน แต่คุณจำเป็นต้องค้นหาดีกรีของพหุนาม คุณต้องลดให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน แล้วหาดีกรีที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาดีกรีของพหุนาม 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

สารละลาย

ก่อนอื่น เรามานำเสนอพหุนามในรูปแบบมาตรฐานกันก่อน เราได้รับการแสดงออกของแบบฟอร์ม:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · ค) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

เมื่อได้พหุนามที่มีรูปแบบมาตรฐาน เราพบว่ามีสองรูปแบบที่โดดเด่นอย่างชัดเจน - 2 · a 2 · b 2 · c 2 และ y 2 · z 2 ในการหาองศา ให้นับและพบว่า 2 + 2 + 2 = 6 และ 2 + 2 = 4 จะเห็นได้ว่าที่ใหญ่ที่สุดคือ 6 จากคำจำกัดความ 6 คือดีกรีของพหุนาม − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 และด้วยเหตุนี้จึงเป็นค่าเดิม

คำตอบ: 6 .

ค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์พหุนาม

คำนิยาม 9

เมื่อพจน์ทั้งหมดของพหุนามเป็นรูปแบบมาตรฐาน ในกรณีนี้ พจน์เหล่านั้นจะมีชื่อ ค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์พหุนามกล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม

เมื่อพิจารณาจากตัวอย่าง จะเห็นได้ชัดว่าพหุนามรูปแบบ 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 มีพหุนาม 4 ตัว: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x และ 7 โดยมีสัมประสิทธิ์ที่สอดคล้องกัน 2, − 0, 5, 3 และ 7 ซึ่งหมายความว่า 2, − 0, 5, 3 และ 7 ถือเป็นสัมประสิทธิ์ของเทอมของพหุนามที่กำหนดซึ่งมีรูปแบบ 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 เมื่อทำการแปลง สิ่งสำคัญคือต้องใส่ใจกับค่าสัมประสิทธิ์ที่อยู่หน้าตัวแปร

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

แนวคิดของพหุนาม

คำจำกัดความของพหุนาม: พหุนามคือผลรวมของ monomials ตัวอย่างพหุนาม:

ตรงนี้เราเห็นผลรวมของสอง monomial และนี่คือพหุนาม นั่นคือ ผลรวมของ monomials

เงื่อนไขที่ประกอบเป็นพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม

ความแตกต่างของ monomials เป็นพหุนามหรือไม่? ใช่แล้ว เนื่องจากความแตกต่างสามารถลดลงเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย เช่น: 5a – 2b = 5a + (-2b)

monomials ก็ถือเป็นพหุนามเช่นกัน แต่เอกพจน์ไม่มีผลรวม แล้วเหตุใดจึงถือเป็นพหุนาม? และคุณสามารถเพิ่มศูนย์แล้วได้ผลรวมโดยมีเลขเอกพจน์เป็นศูนย์ ดังนั้น monomial จึงเป็นกรณีพิเศษของพหุนาม ประกอบด้วยคำเดียว

จำนวนศูนย์คือพหุนามศูนย์

รูปแบบมาตรฐานของพหุนาม

พหุนามของรูปแบบมาตรฐานคืออะไร? พหุนามคือผลรวมของ monomials และถ้า monomials ทั้งหมดที่ประกอบเป็นพหุนามถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน และไม่ควรมีรูปแบบที่คล้ายกันในนั้น พหุนามก็จะถูกเขียนในรูปแบบมาตรฐาน

ตัวอย่างของพหุนามในรูปแบบมาตรฐาน:

ที่นี่พหุนามประกอบด้วย 2 monomials ซึ่งแต่ละอันมีรูปแบบมาตรฐาน ในบรรดา monomials นั้นไม่มีสิ่งที่คล้ายกัน

ตอนนี้เป็นตัวอย่างของพหุนามที่ไม่มีรูปแบบมาตรฐาน:

ที่นี่มีสอง monomials: 2a และ 4a มีความคล้ายคลึงกัน เราจำเป็นต้องบวกมันเข้าด้วยกัน จากนั้นพหุนามจะอยู่ในรูปแบบมาตรฐาน:

ตัวอย่างอื่น:

พหุนามนี้ลดลงเป็นรูปแบบมาตรฐานหรือไม่? ไม่ ภาคเรียนที่สองของเขาไม่ได้เขียนในรูปแบบมาตรฐาน เมื่อเขียนในรูปแบบมาตรฐาน เราจะได้พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน:

ดีกรีพหุนาม

ระดับของพหุนามคืออะไร?

คำจำกัดความของปริญญาพหุนาม:

ระดับของพหุนามคือระดับสูงสุดที่ monomial ที่ประกอบเป็นพหุนามที่กำหนดของรูปแบบมาตรฐานมี

ตัวอย่าง. ระดับของพหุนาม 5h เป็นเท่าใด? ดีกรีของพหุนาม 5h เท่ากับ 1 เนื่องจากพหุนามนี้มีเพียงหนึ่งโมโนเมียลและดีกรีของพหุนามเท่ากับ 1

ตัวอย่างอื่น. ดีกรีของพหุนาม 5a 2 h 3 s 4 +1 เป็นเท่าใด? ระดับของพหุนาม 5a 2 h 3 s 4 + 1 เท่ากับเก้า เพราะพหุนามนี้มีเอกนามสองอันด้วย ระดับสูงสุดมี monomial ตัวแรก 5a 2 h 3 s 4 และดีกรีของมันคือ 9

ตัวอย่างอื่น. ดีกรีของพหุนาม 5 คืออะไร? ระดับของพหุนาม 5 คือศูนย์ ดังนั้น ดีกรีของพหุนามที่ประกอบด้วยตัวเลขเท่านั้น เช่น ไม่มีตัวอักษรเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างสุดท้าย ระดับของพหุนามศูนย์คืออะไรเช่น ศูนย์? ไม่ได้กำหนดระดับของพหุนามศูนย์