ในบทนี้ เราจะจำวิธีการแยกตัวประกอบพหุนามที่ศึกษาก่อนหน้านี้ทั้งหมดและพิจารณาตัวอย่างการประยุกต์ใช้ นอกจากนี้ เราจะศึกษาวิธีการใหม่ - วิธีการแยกกำลังสองสมบูรณ์และเรียนรู้วิธีใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ .
เรื่อง:แยกตัวประกอบพหุนาม
บทเรียน:แยกตัวประกอบพหุนาม วิธีการเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ การรวมกันของวิธีการ
ให้เรานึกถึงวิธีการพื้นฐานในการแยกตัวประกอบพหุนามที่ได้รับการศึกษาก่อนหน้านี้:
วิธีการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ ซึ่งก็คือตัวประกอบที่มีอยู่ในทุกเทอมของพหุนาม ลองดูตัวอย่าง:
โปรดจำไว้ว่า monomial คือผลคูณของกำลังและตัวเลข ในตัวอย่างของเรา ทั้งสองคำมีองค์ประกอบที่เหมือนกันและเหมือนกัน
ลองนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บ:
;
เราขอเตือนคุณว่าด้วยการคูณตัวประกอบที่นำออกมาด้วยวงเล็บ คุณจะสามารถตรวจสอบความถูกต้องของตัวประกอบที่นำออกมาได้
วิธีการจัดกลุ่ม ไม่สามารถแยกตัวประกอบร่วมในพหุนามได้เสมอไป ในกรณีนี้ คุณต้องแบ่งสมาชิกออกเป็นกลุ่มๆ โดยในแต่ละกลุ่ม คุณสามารถแยกตัวประกอบร่วมออกมาได้ และพยายามแยกย่อย เพื่อว่าหลังจากแยกปัจจัยในกลุ่มออกแล้ว ก็จะมีปัจจัยร่วมปรากฏใน การแสดงออกทั้งหมด และคุณสามารถสลายตัวต่อไปได้ ลองดูตัวอย่าง:
ลองจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สี่ เทอมที่สองกับเทอมที่ห้า และเทอมที่สามกับเทอมที่หก:
มาดูปัจจัยทั่วไปในกลุ่ม:
ตอนนี้นิพจน์มีปัจจัยร่วมแล้ว เอามันออกไป:
การใช้สูตรคูณแบบย่อ ลองดูตัวอย่าง:
;
มาเขียนนิพจน์โดยละเอียด:
แน่นอนว่าเรามีสูตรสำหรับผลต่างกำลังสองอยู่แล้ว เนื่องจากมันคือผลรวมของกำลังสองของนิพจน์ทั้งสองและลบผลคูณสองเท่าออกไป ลองใช้สูตร:
วันนี้เราจะมาเรียนรู้วิธีอื่น - วิธีเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์ ขึ้นอยู่กับสูตรกำลังสองของผลรวมและกำลังสองของผลต่าง มาเตือนพวกเขากัน:
สูตรกำลังสองของผลรวม (ผลต่าง)
ลักษณะเฉพาะของสูตรเหล่านี้คือประกอบด้วยกำลังสองของสองนิพจน์และผลคูณสองเท่า ลองดูตัวอย่าง:
ลองเขียนนิพจน์:
ดังนั้น นิพจน์แรกคือ และนิพจน์ที่สองคือ
ในการสร้างสูตรสำหรับกำลังสองของผลรวมหรือผลต่าง ผลคูณของนิพจน์สองเท่านั้นไม่เพียงพอ จำเป็นต้องบวกและลบ:
มาทำให้กำลังสองของผลรวมสมบูรณ์:
มาแปลงนิพจน์ผลลัพธ์กัน:
ลองใช้สูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง จำไว้ว่าผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์เป็นผลคูณของผลรวมของผลต่าง:
ดังนั้น ประการแรกวิธีนี้ประกอบด้วยในการระบุนิพจน์ a และ b ที่ถูกยกกำลังสอง นั่นคือ การกำหนดนิพจน์ที่ถูกยกกำลังสองในตัวอย่างนี้ หลังจากนี้คุณจะต้องตรวจสอบว่ามีผลิตภัณฑ์คู่อยู่หรือไม่ และหากไม่มี ให้บวกและลบออก ซึ่งจะไม่เปลี่ยนความหมายของตัวอย่าง แต่สามารถแยกตัวประกอบพหุนามได้โดยใช้สูตรสำหรับกำลังสองของ ผลรวมหรือผลต่างและผลต่างของกำลังสอง ถ้าเป็นไปได้
มาดูการแก้ตัวอย่างกันดีกว่า
ตัวอย่างที่ 1 - แยกตัวประกอบ:
เรามาค้นหานิพจน์ที่กำลังสองกัน:
ให้เราเขียนว่าผลคูณสองเท่าควรเป็นอย่างไร:
ลองบวกและลบผลคูณสองเท่า:
เรามาเติมกำลังสองของผลรวมให้สมบูรณ์แล้วให้อันที่คล้ายกัน:
ลองเขียนมันโดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:
ตัวอย่างที่ 2 - แก้สมการ:
;
ทางด้านซ้ายของสมการคือตรีโกณมิติ คุณต้องแยกตัวประกอบเป็นปัจจัย เราใช้สูตรผลต่างกำลังสอง:
เรามีกำลังสองของนิพจน์แรกและผลคูณสองเท่า กำลังสองของนิพจน์ที่สองหายไป ลองบวกและลบมันกัน:
ลองพับสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้สมบูรณ์แล้วให้เงื่อนไขที่คล้ายกัน:
ลองใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:
เราก็จะได้สมการ 
เรารู้ว่าผลคูณจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเท่ากับศูนย์ เรามาสร้างสมการต่อไปนี้ตามสิ่งนี้:
มาแก้สมการแรกกัน:
มาแก้สมการที่สองกัน:
คำตอบ: หรือ
;
เราดำเนินการคล้ายกับตัวอย่างก่อนหน้า - เลือกกำลังสองของความแตกต่าง
สูตรการคูณแบบย่อเป็นเครื่องมือที่สะดวกมากสำหรับการดำเนินการกับพหุนาม โดยทั่วไป วิธีนี้จะทำให้คุณสามารถลดโครงสร้างพหุนามที่ซับซ้อนให้เหลือนิพจน์เล็กๆ ที่แสดงด้วยทวินามได้ หรือในลำดับอื่น คอมแพ็คทวินามสามารถหาได้จากผลคูณของพหุนามสองตัวอย่างง่ายดาย
การกระทำดังกล่าวมีความจำเป็นในการแก้สมการและอสมการเล็กๆ น้อยๆ รวมถึงปัญหาที่เป็นหลักฐานต่างๆ
ในบทเรียนวิดีโอก่อนหน้านี้ เราได้ดูสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองและผลต่างของลูกบาศก์ เรามาลองหาสูตรที่มีลำดับที่สูงกว่ากันดีกว่า - เรามาดูกันว่าความแตกต่างของนิพจน์กับยกกำลังที่สี่มีค่าเท่ากับอะไร:
นิพจน์นี้แปลงค่อนข้างง่ายโดยการแทนที่นิพจน์กำลังสองที่เหมือนกัน (x 2) 2 และ (y 2) 2 แทน x 4 และ y 4:
x 4 - y 4 = (x 2) 2 - (y 2) 2
เป็นผลให้เราได้รับผลต่างของกำลังสองซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้ FSU ระดับประถมศึกษาเป็น:
(x 2) 2 - (y 2) 2 = (x 2 + y 2)(x 2 - y 2)
ในทางกลับกัน วงเล็บที่สองของนิพจน์ผลลัพธ์จะมีความแตกต่างของกำลังสอง ซึ่งสามารถแปลงได้อย่างง่ายดาย:
(x 2 + y 2)(x 2 - y 2) = (x 2 + y 2)((x + y)(x - y))
เป็นไปตามนั้น:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y)
ปล่อยให้ส่วนร่วมพื้นฐาน (x - y) ออกไปแล้วคูณสองนิพจน์ที่เหลือในวงเล็บ:
x 4 - y 4 = (x 2 + y 2)(x + y)(x - y) = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
เหตุใดจึงต้องเลือก (x - y) จะแสดงในภายหลัง ดังนั้นเราจึงพบอีกสูตรหนึ่งสำหรับความแตกต่างของการแสดงออกทางอำนาจ ความเท่าเทียมกันนี้ค่อนข้างยากที่จะแสดงออก - อย่างไรก็ตามควรเข้าใจว่ามันค่อนข้างสมเหตุสมผลในสูตรที่คล้ายกันจำนวนหนึ่งเพื่อกำหนดความแตกต่างระหว่างกำลังสองและลูกบาศก์ ลองเปรียบเทียบสูตรเหล่านี้เพื่อหารูปแบบทั่วไป:
x 2 - y 2 = (x - y)(x + y)
x 3 - y 3 = (x - y)(x 2 + 2xy + y 2)
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3)
วิดีโอแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าความแตกต่างในตัวแปรจนถึงระดับที่แตกต่างกันมีรูปแบบบางอย่าง สำนวนทั้งหมดทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันประกอบด้วยผลคูณของพหุนามสองตัว และหนึ่งในนั้นจะมีรูปแบบ x - y เสมอ (ผลต่างเดิมของนิพจน์) ส่วนที่สองประกอบด้วยพหุนามเชิงซ้อนจำนวนหนึ่ง ซึ่งมีจำนวน monomials เพิ่มขึ้นตามระดับ
เพื่อให้ได้สูตรทั่วไปที่จะช่วยแปลงผลต่างของตัวแปรที่มีระดับใดๆ ให้เป็นผลคูณของพหุนาม สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจแนวโน้มทั่วไปในความเท่าเทียมกันของลำดับเริ่มต้น โปรดทราบว่าพหุนามที่สองในผลคูณของเราคือผลรวมของผลิตภัณฑ์แบบคู่ของสองนิพจน์ ยิ่งไปกว่านั้น องศาของตัวแปรยังอยู่ในความสัมพันธ์แบบผกผันอีกด้วย เพื่อให้เข้าใจรูปแบบเหล่านี้ได้ง่ายขึ้น เราจะเขียนความเท่าเทียมกันของผลต่างของนิพจน์ระดับที่ 4 ใหม่ในลักษณะนี้:
x 4 - y 4 = (x - y)(x 3 y 0 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 0 y 3)
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะต้องเท่ากับหนึ่งเสมอ ดังนั้นคุณสามารถเพิ่มโครงสร้างที่มีระดับเป็นศูนย์ให้กับตัวแปรจริงใดๆ ได้อย่างปลอดภัย เรายังจำได้ว่าตัวแปรใด ๆ มีดีกรี - หากไม่ได้ระบุก็จะเท่ากับหนึ่ง กฎเหล่านี้สำหรับการจัดการองศาทำให้สามารถนำเสนอความเท่าเทียมกันในรูปแบบที่เข้าใจได้ง่ายขึ้น
โปรดทราบว่าจำนวนพจน์ในพหุนามของวงเล็บเหลี่ยมที่สองจะเท่ากับดีกรีหลัก (ซึ่งตัวแปรในส่วนต่างมี) ตามอนุกรมของพหุนาม ระดับของนิพจน์หนึ่งจะลดลงในเชิงพีชคณิต และระดับของนิพจน์ที่สองจะเพิ่มขึ้น ในกรณีนี้ จุดสูงสุดขององศาคือ 0 และระดับสูงสุดของผลต่างเริ่มต้นของนิพจน์
จากการพิจารณาเหล่านี้ เราได้สูตรสำหรับค้นหาความแตกต่างของนิพจน์ระดับที่ 5:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 y 0 + x 3 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 3 + x 0 y 4)
ขั้นแรก เราเขียนตัวประกอบแรก (x - y) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง พหุนามที่สองจะแทนผลรวมขององค์ประกอบทั้งห้า (จนถึงระดับสูงสุด) ในทางกลับกันองค์ประกอบนั้นถูกสร้างขึ้นจากผลคูณของตัวแปรที่มีการเปลี่ยนแปลงพีชคณิตผกผันและสัมพันธ์กัน ในพหุนาม:
x 4 ปี 0 + x 3 ปี 1 + x 2 ปี 2 + x 1 ปี 3 + x 0 ปี 4
x ลดระดับจาก 4 เป็น 0, y เพิ่มขึ้นจาก 0 เป็น 4 สำหรับการทดสอบตัวเองจะมีประโยชน์ที่จะรู้ว่าผลรวมของระดับของ monomial ใด ๆ ในกรณีนี้จะเท่ากับระดับสูงสุดเดียวกัน - 5 .
สิ่งที่เหลืออยู่คือเขียนสูตรให้ถูกต้องโดยกำจัดองศาศูนย์:
x 5 - y 5 = (x - y)(x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4)
โดยทั่วไปแล้ว สำหรับระดับใดๆ n ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:
(x) n - (y) n = (x - y)((x) n + (x) n-1 y…+x(y) n - 1 + y n)
สูตรสากลสำหรับการค้นหาผลรวมของสองนิพจน์ที่มีผลต่างลำดับที่ n นั้นได้มาจากการแปลงรูปแบบ:
xn + yn = xn - (-yn)
เมื่อใช้สูตรสำหรับผลต่างของนิพจน์ที่ได้รับข้างต้น เราจะได้ความเท่าเทียมกัน:
x n + y n = x n - (-y n) = (x + y)((x) n-1 - (x) n-2 y…- x(y) n - 2 + y n-1)
เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่ากำลังสองของนิพจน์ใดๆ กำจัดความเป็นเชิงลบของมันออกไป จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแทนผลรวมของกำลังสอง (หรือกำลังคู่ใดๆ) ของตัวแปรเป็นผลคูณของพหุนามสองตัวด้วยวิธีการที่เข้าถึงได้
แยกตัวประกอบพหุนาม ส่วนที่ 1
การแยกตัวประกอบเป็นเทคนิคสากลที่ช่วยแก้สมการและอสมการที่ซับซ้อน ความคิดแรกที่ควรคำนึงถึงเมื่อแก้สมการและอสมการที่มีศูนย์ทางด้านขวาคือพยายามแยกตัวประกอบทางด้านซ้าย
เรามาแสดงรายการหลักกัน วิธีการแยกตัวประกอบพหุนาม:
- นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
- โดยใช้สูตรคูณแบบย่อ
- โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง
- วิธีการจัดกลุ่ม
- การหารพหุนามด้วยทวินาม
- วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน
ในบทความนี้เราจะกล่าวถึงรายละเอียดเกี่ยวกับสามวิธีแรก เราจะพิจารณาส่วนที่เหลือในบทความต่อๆ ไป
1. นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ
หากต้องการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้องหาให้เจอก่อน ตัวคูณร่วมทั่วไปเท่ากับตัวหารร่วมมากของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด
ส่วนจดหมายตัวประกอบร่วมจะเท่ากับผลคูณของนิพจน์ที่อยู่ในแต่ละพจน์ซึ่งมีเลขชี้กำลังน้อยที่สุด
รูปแบบการเพิ่มตัวคูณทั่วไปมีลักษณะดังนี้:
ความสนใจ!
จำนวนคำศัพท์ในวงเล็บเท่ากับจำนวนคำศัพท์ในนิพจน์ดั้งเดิม ถ้าเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งตรงกับตัวประกอบร่วม เมื่อหารด้วยตัวประกอบร่วม เราก็จะได้ค่าหนึ่ง
ตัวอย่างที่ 1
แยกตัวประกอบพหุนาม:
ลองเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บดู. ในการทำเช่นนี้เราจะพบมันก่อน
1. ค้นหาตัวหารร่วมมากที่สุดของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของพหุนาม เช่น หมายเลข 20, 35 และ 15 มีค่าเท่ากับ 5
2. เราพิสูจน์ได้ว่าตัวแปรนั้นมีอยู่ในทุกพจน์ และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดเท่ากับ 2 ตัวแปรนั้นมีอยู่ในทุกพจน์ และเลขชี้กำลังที่เล็กที่สุดคือ 3
ตัวแปรจะมีอยู่ในเทอมที่สองเท่านั้น ดังนั้นจึงไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยร่วม
ดังนั้นปัจจัยรวมคือ
3. เรานำตัวคูณออกจากวงเล็บโดยใช้แผนภาพที่ให้ไว้ด้านบน:
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ:
สารละลาย. ลองแยกตัวประกอบทางด้านซ้ายของสมการกัน เอาตัวประกอบออกจากวงเล็บ:
เราก็จะได้สมการ 
ลองแบ่งแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์:
เราได้รับ - รากของสมการแรก
ราก:
คำตอบ: -1, 2, 4
2. การแยกตัวประกอบโดยใช้สูตรคูณแบบย่อ
หากจำนวนพจน์ในพหุนามที่เราแยกตัวประกอบน้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 เราจะลองใช้สูตรการคูณแบบย่อ
1. ถ้าเป็นพหุนามความแตกต่างของสองคำแล้วเราลองสมัครดู สูตรผลต่างกำลังสอง:
หรือ ความแตกต่างของสูตรลูกบาศก์:
นี่คือตัวอักษร และแสดงถึงตัวเลขหรือนิพจน์พีชคณิต
2. ถ้าพหุนามเป็นผลรวมของสองเทอม ก็อาจใช้การแยกตัวประกอบได้ สูตรผลรวมของลูกบาศก์:
3. ถ้าพหุนามประกอบด้วยสามเทอม เราก็จะลองใช้ดู สูตรผลรวมกำลังสอง:
หรือ สูตรผลต่างกำลังสอง:
หรือเราพยายามแยกตัวประกอบด้วย สูตรการแยกตัวประกอบตรีโกณมิติกำลังสอง:
ตรงนี้และคือรากของสมการกำลังสอง 
ตัวอย่างที่ 3แยกตัวประกอบนิพจน์:
สารละลาย. เรามีผลรวมของสองเทอมตรงหน้าเรา ลองใช้สูตรหาผลรวมของลูกบาศก์ดู ในการดำเนินการนี้ ขั้นแรกคุณต้องแสดงแต่ละพจน์เป็นลูกบาศก์ของนิพจน์ จากนั้นจึงใช้สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์:
ตัวอย่างที่ 4แยกตัวประกอบนิพจน์: 
การตัดสินใจ. ตรงนี้เรามีผลต่างของกำลังสองของสองนิพจน์ นิพจน์แรก: , นิพจน์ที่สอง:
ลองใช้สูตรหาผลต่างของกำลังสอง:
ลองเปิดวงเล็บและเพิ่มคำที่คล้ายกันเราจะได้:
มาดูตัวอย่างเฉพาะของวิธีแยกตัวประกอบพหุนามกัน
เราจะขยายพหุนามตาม
พหุนามตัวประกอบ:
ลองตรวจสอบว่ามีปัจจัยร่วมกันหรือไม่ ใช่ มันเท่ากับ 7cd เอามันออกจากวงเล็บ:
นิพจน์ในวงเล็บประกอบด้วยคำศัพท์สองคำ ไม่มีปัจจัยร่วมอีกต่อไป นิพจน์ไม่ใช่สูตรสำหรับผลรวมของลูกบาศก์ ซึ่งหมายความว่าการสลายตัวเสร็จสมบูรณ์
ลองตรวจสอบว่ามีปัจจัยร่วมกันหรือไม่ เลขที่ พหุนามประกอบด้วยพจน์สามพจน์ ดังนั้นเราจึงตรวจสอบว่ามีสูตรสำหรับกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ เทอมสองคือกำลังสองของนิพจน์: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)² เทอมที่สามเท่ากับผลคูณสองเท่าของนิพจน์เหล่านี้: 2∙5x∙3y=30xy ซึ่งหมายความว่าพหุนามนี้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจากผลคูณคู่มีเครื่องหมายลบ จึงเป็น:
เราตรวจสอบว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ มีตัวประกอบร่วม มันเท่ากับ a เอามันออกจากวงเล็บ:
มีสองคำในวงเล็บ เราตรวจสอบว่ามีสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสองหรือผลต่างของลูกบาศก์หรือไม่ a² คือกำลังสองของ a, 1=1² ซึ่งหมายความว่านิพจน์ในวงเล็บสามารถเขียนได้โดยใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:
มีตัวประกอบร่วมคือ 5 เอาออกจากวงเล็บ:
ในวงเล็บมีสามพจน์ เราตรวจสอบว่านิพจน์เป็นกำลังสองสมบูรณ์หรือไม่ สองเทอมคือกำลังสอง: 16=4² และ a² - กำลังสองของ a เทอมที่สามเท่ากับผลคูณสองเท่าของ 4 และ a: 2∙4∙a=8a ดังนั้นจึงเป็นกำลังสองสมบูรณ์ เนื่องจากทุกพจน์มีเครื่องหมาย "+" นิพจน์ในวงเล็บจึงเป็นกำลังสองสมบูรณ์ของผลรวม:
เรานำตัวคูณทั่วไป -2x ออกจากวงเล็บ:
ในวงเล็บคือผลรวมของสองพจน์ เราตรวจสอบว่านิพจน์นี้เป็นผลรวมของลูกบาศก์หรือไม่ 64=4³, x³- ลูกบาศก์ x ซึ่งหมายความว่าสามารถขยายทวินามได้โดยใช้สูตร:
มีตัวคูณร่วมกัน แต่เนื่องจากพหุนามประกอบด้วย 4 พจน์ เราจะนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บก่อน จากนั้นจึงค่อยถอดตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ มาจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สี่ และเทอมที่สองกับเทอมที่สาม:
จากวงเล็บแรกเราจะนำปัจจัยร่วม 4a ออกมาจากที่สอง - 8b:
ยังไม่มีตัวคูณร่วม เพื่อให้เข้าใจได้ เราจะนำเครื่องหมาย "-" ออกจากวงเล็บที่สอง และแต่ละเครื่องหมายในวงเล็บจะเปลี่ยนไปตรงกันข้าม:
ทีนี้ลองนำตัวประกอบร่วม (1-3a) ออกจากวงเล็บ:
ในวงเล็บที่สอง มีปัจจัยร่วม 4 (นี่คือปัจจัยเดียวกับที่เราไม่ได้ใส่ออกจากวงเล็บในตอนต้นของตัวอย่าง):
เนื่องจากพหุนามประกอบด้วยพจน์สี่พจน์ เราจึงทำการจัดกลุ่ม มาจัดกลุ่มเทอมแรกกับเทอมที่สอง เทอมที่สามกับเทอมที่สี่:
ในวงเล็บแรกไม่มีปัจจัยร่วม แต่มีสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง ในวงเล็บที่สอง ปัจจัยร่วมคือ -5:
ตัวคูณทั่วไปปรากฏขึ้น (4m-3n) ลองเอามันออกจากสมการกัน
พหุนามคือนิพจน์ที่ประกอบด้วยผลรวมของเอกนาม อย่างหลังเป็นผลคูณของค่าคงที่ (ตัวเลข) และราก (หรือราก) ของนิพจน์ยกกำลัง k ในกรณีนี้ เราพูดถึงพหุนามดีกรี k การขยายตัวของพหุนามเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ซึ่งเงื่อนไขจะถูกแทนที่ด้วยตัวประกอบ พิจารณาวิธีหลักในการดำเนินการเปลี่ยนแปลงประเภทนี้
วิธีการขยายพหุนามโดยการแยกตัวประกอบร่วม
วิธีการนี้เป็นไปตามกฎหมายว่าด้วยการกระจายสินค้า ดังนั้น mn + mk = m * (n + k)
- ตัวอย่าง:ขยาย 7y 2 + 2uy และ 2m 3 – 12m 2 + 4lm
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u)
2 ม. 3 – 12 ม. 2 + 4 ล. = 2 ม. (ม. 2 – 6 ม. + 2 ลิตร)
อย่างไรก็ตาม ปัจจัยที่จำเป็นต้องมีในแต่ละพหุนามอาจไม่สามารถพบได้เสมอไป ดังนั้นวิธีนี้จึงไม่เป็นสากล
วิธีการขยายพหุนามตามสูตรคูณแบบย่อ
สูตรการคูณแบบย่อใช้ได้กับพหุนามทุกระดับ โดยทั่วไป นิพจน์การเปลี่ยนแปลงจะมีลักษณะดังนี้:
uk – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1) โดยที่ k เป็นตัวแทนของ ตัวเลขธรรมชาติ
สูตรที่ใช้บ่อยที่สุดในทางปฏิบัติคือสูตรสำหรับพหุนามของลำดับที่สองและสาม:
คุณ 2 – ล. 2 = (คุณ – ล.)(คุณ + ล.)
คุณ 3 – ล. 3 = (คุณ – ล.)(คุณ 2 + ul + ล. 2)
คุณ 3 + ลิตร 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2)
- ตัวอย่าง:ขยาย 25p 2 – 144b 2 และ 64m 3 – 8l 3
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b)
64ม. 3 – 8ล. 3 = (4ม.) 3 – (2ล.) 3 = (4ม. – 2ล.)((4ม.) 2 + 4ม. * 2ล. + (2ล.) 2) = (4ม. – 2ล.)(16ม. 2 + 8มล. + 4ล. 2 ).
วิธีการขยายพหุนาม - การจัดกลุ่มเงื่อนไขของนิพจน์
วิธีการนี้มีบางอย่างที่เหมือนกันกับเทคนิคการหาตัวประกอบร่วม แต่มีความแตกต่างบางประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ก่อนที่จะแยกปัจจัยทั่วไป ควรจัดกลุ่ม monomials ก่อน การจัดกลุ่มจะขึ้นอยู่กับกฎของกฎหมายผสมและกฎหมายสับเปลี่ยน
monomials ทั้งหมดที่นำเสนอในนิพจน์จะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่ม โดยแต่ละกลุ่มจะมีค่าทั่วไปเพื่อให้ปัจจัยที่สองจะเหมือนกันในทุกกลุ่ม โดยทั่วไป วิธีการสลายตัวนี้สามารถแสดงเป็นนิพจน์ได้:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s)
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s)
- ตัวอย่าง:กระจายออกไป 14 ล้าน + 16ln – 49m – 56l
14 นาที + 16 ลิตร – 49 นาที – 56 ลิตร = (14 นาที – 49 นาที) + (16 ลิตร – 56 ลิตร) = 7 นาที * (2n – 7) + 8 ลิตร * (2n – 7) = (7 นาที + 8 ลิตร)(2n – 7)
วิธีการขยายพหุนาม - สร้างกำลังสองสมบูรณ์
วิธีนี้เป็นวิธีการหนึ่งที่มีประสิทธิผลมากที่สุดในการขยายพหุนาม ในระยะเริ่มแรกจำเป็นต้องกำหนด monomials ที่สามารถ "ยุบ" ลงในกำลังสองของผลต่างหรือผลรวมได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ความสัมพันธ์อย่างใดอย่างหนึ่ง:
(พี – ข) 2 = หน้า 2 – 2pb + ข 2 ,
- ตัวอย่าง:ขยายนิพจน์ u 4 + 4u 2 – 1
ในบรรดา monomials เราเลือกคำศัพท์ที่สร้างกำลังสองที่สมบูรณ์: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (ยู 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (ยู 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5
การแปลงให้สมบูรณ์โดยใช้กฎการคูณแบบย่อ: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5)
ที่. คุณ 4 + 4u 2 – 1 = (คุณ 2 + 2 – √5)(คุณ 2 + 2 + √5)
