కోడ్ పదాల మధ్య దూరం. స్టాటిక్ టాస్క్ కోసం HEngine అల్గోరిథం యొక్క వివరణ

పుట 1

రెండు సీక్వెన్స్‌ల మధ్య హామింగ్ దూరం సమాన పొడవుసరిపోలని మూలకాలచే ఆక్రమించబడిన స్థానాల సంఖ్యకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. వేర్వేరు పొడవుల శ్రేణుల విషయంలో, హామింగ్ దూరం అనేది వద్ద సరిపోలని మూలకాలచే ఆక్రమించబడిన కనీస స్థానాల సంఖ్యగా నిర్వచించబడుతుంది.

u మరియు v అనే రెండు పదాల మధ్య హామింగ్ దూరం d(u,v). అదే పొడవుఈ పదాల సరిపోలని అంకెల సంఖ్యకు సమానం. ఇది బ్లాక్ కోడ్‌ల సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించబడుతుంది (V.

హామింగ్ దూరం యొక్క మెట్రిక్ లక్షణాలను ఉపయోగించి, /l అనేది Xtలో మెట్రిక్ అని నేరుగా ధృవీకరించబడుతుంది, కానీ మిశ్రమ-ఆవర్తన శ్రేణుల సెట్‌లో మెట్రిక్ కాదు.

ఈ సామీప్య ఫంక్షన్ హామింగ్ దూరానికి సమానం.

KLOP అల్గారిథమ్‌లోని మెట్రిక్ p హామింగ్ దూరం ద్వారా పేర్కొనబడింది.

శోధన విధానం హామింగ్ దూరం సున్నాగా ఉన్న స్థానాన్ని కనుగొనగలిగితే, సమస్య పరిష్కరించబడుతుంది.

మసక ఉపసమితులు B మరియు B3, అస్పష్టత యొక్క డిగ్రీలు, అలాగే హామింగ్ దూరం యొక్క పోలిక పరిశీలనలో ఉన్న మసక ఉపసమితులు భిన్నంగా ఉన్నాయని చూపిస్తుంది. అయినప్పటికీ, మేము m2 G Uz మూలకాన్ని లెక్కించిన విలువగా తీసుకుంటే, ఫలితంగా వచ్చే మసక ఉపసమితికి చెందిన డిగ్రీ గరిష్టంగా ఉంటుంది, అప్పుడు ఈ విధంగా లెక్కించబడిన మసక సంబంధం R యొక్క ఉపయోగం సమర్థించబడవచ్చు. ఈ విధానంతో రియాక్టర్ యొక్క రెండవ జోన్‌లోని గరిష్ట ఉష్ణోగ్రత మరియు పాలిథిలిన్ కరిగే ప్రవాహ రేటు మధ్య సంబంధం యొక్క నాన్‌లీనియారిటీని వివరించడం సాధ్యమవుతుందనే వాస్తవంతో పాటు, ఈ పద్ధతి యొక్క నాన్-స్టేషనరీ స్వభావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోదు. LDPE పొందే ప్రక్రియ, ఇది సాంకేతిక ప్రక్రియ యొక్క లక్షణాలలో మార్పులతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది.

ఈ కోడ్ యొక్క బదిలీ ఫంక్షన్ ఉందని సూచిస్తుంది ఏకైక మార్గంహామింగ్ దూరం d తో - అన్ని సున్నాల మార్గం నుండి, ఇది ఇచ్చిన నోడ్ వద్ద అన్ని సున్నాల మార్గంతో విలీనం అవుతుంది. అంజీర్లో చూపిన రాష్ట్ర రేఖాచిత్రం నుండి. 8.2.6, లేదా అంజీర్‌లో చూపిన ట్రేల్లిస్ రేఖాచిత్రం. 8.2.5, d6 నుండి మార్గం acbe అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. మళ్ళీ రాష్ట్ర రేఖాచిత్రం లేదా లాటిస్ నుండి ఈ మార్గాలు acdbe మరియు acbcbe అని మనం చూస్తాము. (8.1.2)లోని మూడవ పదం దూరం d 0 మరియు మొదలైన వాటితో నాలుగు మార్గాలు ఉన్నాయని సూచిస్తుంది. ఈ విధంగా, ట్రాన్స్మిషన్ ఫంక్షన్కన్వల్యూషనల్ కోడ్ యొక్క దూర లక్షణాలను మనకు అందిస్తుంది.

ఈ ఫలితం అన్ని సున్నాల (/0) యొక్క పాత్ అందుకున్న సీక్వెన్స్ నుండి d3 యొక్క హామింగ్ దూరాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అయితే /1 యొక్క మార్గం అందుకున్న మార్గం నుండి d5 యొక్క హామింగ్ దూరాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అందువలన, హామింగ్ దూరం అనేది హార్డ్ డెసిషన్ డీకోడింగ్ కోసం సమానమైన మెట్రిక్.

పొడవు గల బైనరీ పదాల సమితిలో a మరియు b పదాల మధ్య m దూరం d(a,b) అనేది ఈ పదాలకు సరిపోలని స్థానాల సంఖ్య, ఉదాహరణకు: a = 01101 మరియు b = 00111 పదాల మధ్య దూరం 2.

ఈ విధంగా నిర్వచించబడిన భావనను హామింగ్ దూరం అంటారు.

ఇది క్రింది దూర సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరుస్తుంది:

1) d(a,b)  0 మరియు d(a,b)=0 అయితే మరియు a = b అయితే మాత్రమే;

2) d(a,b) = d(b,a) ;

3) d(a,b) + d(b,c)  d(a,c) (త్రిభుజం అసమానత).

a పదం యొక్క బరువు w(a) దాని కోఆర్డినేట్‌లలోని వాటి సంఖ్య. అప్పుడు a మరియు b పదాల మధ్య దూరం వాటి మొత్తం a b: d(a,b)=w(a b) , ఇక్కడ చిహ్నం  సమన్వయ వారీగా సంకలనం మాడ్యులో 2 యొక్క ఆపరేషన్‌ను సూచిస్తుంది. అకారణంగా, కోడ్ ఎర్రర్ డిటెక్షన్ మరియు దిద్దుబాటుకు బాగా సరిపోతుంది, కోడ్ పదాలు మరింత భిన్నంగా ఉంటాయి. హామింగ్ దూరం భావన దీనిని స్పష్టం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది.

సిద్ధాంతం k (లేదా అంతకంటే తక్కువ) స్థానాల్లో లోపాలను గుర్తించడానికి కోడ్ కోసం, కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య అతి చిన్న దూరం  k + 1గా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

ఈ సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు క్రింది ప్రకటన యొక్క రుజువును పోలి ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం. k (లేదా అంతకంటే తక్కువ) స్థానాల్లోని అన్ని లోపాలను సరిదిద్దడానికి కోడ్ కోసం, కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య అతి చిన్న దూరం  2k + 1గా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

32. కోడ్‌ల సరిచేసే సామర్థ్యంపై సిద్ధాంతం.

లోపాలను స్వయంచాలకంగా సరిదిద్దగల కోడ్‌లను స్వీయ-దిద్దుబాటు అంటారు. సింగిల్ ఎర్రర్‌లను సరిచేయడానికి రూపొందించబడిన స్వీయ-సరిదిద్దే కోడ్‌ను రూపొందించడానికి, ఒక చెక్ అంకె సరిపోదు. కింది వాటి నుండి చూడగలిగినట్లుగా, నియంత్రణ బిట్‌ల సంఖ్య k ఎంపిక చేయబడాలి, తద్వారా అసమానత 2k≥k+m+1 లేదా k≥log2(k+m+1) సంతృప్తి చెందుతుంది, ఇక్కడ m అనేది ప్రాథమిక బైనరీ బిట్‌ల సంఖ్య. సంకేతపదం యొక్క. ప్రస్తుతం, బైనరీ బ్లాక్ కరెక్షన్ కోడ్‌లు అత్యంత ఆసక్తిని కలిగి ఉన్నాయి. అటువంటి కోడ్‌లను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, సమాచారం ఒకే పొడవు యొక్క బ్లాక్‌ల రూపంలో ప్రసారం చేయబడుతుంది మరియు ప్రతి బ్లాక్ ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఎన్‌కోడ్ చేయబడుతుంది మరియు డీకోడ్ చేయబడుతుంది. దాదాపు అన్ని బ్లాక్ కోడ్‌లలో, అక్షరాలను సమాచార మరియు ధృవీకరణగా విభజించవచ్చు.

స్వీయ-దిద్దుబాటు కోడ్‌ల యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

1. అనుమతించబడిన మరియు నిషేధించబడిన కలయికల సంఖ్య. n అనేది బ్లాక్‌లోని చిహ్నాల సంఖ్య అయితే, r అనేది బ్లాక్‌లోని చెక్ చిహ్నాల సంఖ్య, k అనేది సమాచార చిహ్నాల సంఖ్య, అప్పుడు 2n అనేది సాధ్యమయ్యే కోడ్ కలయికల సంఖ్య, 2k అనేది అనుమతించబడిన కోడ్ కలయికల సంఖ్య, 2n −2k అనేది నిషేధించబడిన కలయికల సంఖ్య.

2. కోడ్ రిడెండెన్సీ. rn విలువను దిద్దుబాటు కోడ్ యొక్క రిడెండెన్సీ అంటారు.

3. కనీస కోడ్ దూరం. కనీస కోడ్ దూరం d అనేది అనుమతించబడిన కలయిక నుండి మరొకదానికి మారడానికి అవసరమైన వక్రీకరించిన చిహ్నాల కనీస సంఖ్య.

4. కనుగొనబడిన మరియు సరిదిద్దబడిన లోపాల సంఖ్య. g అనేది కోడ్ సరిదిద్దగల లోపాల సంఖ్య అయితే, అది d≥2g+1 అవసరం మరియు సరిపోతుంది

5. కోడ్‌ల దిద్దుబాటు సామర్థ్యాలు.

33. మ్యాట్రిక్స్ కోడింగ్. సమూహ సంకేతాలు.

( m, n) -కోడ్ 2 m కోడ్‌వర్డ్‌లను పేర్కొనాలి, ఇది చాలా అసమర్థమైనది.

కోడింగ్ స్కీమ్‌ను వివరించడానికి ఒక ఆర్థిక మార్గం మ్యాట్రిక్స్ కోడింగ్ టెక్నిక్.

గతంలో, ప్రతి ఎన్‌కోడింగ్ పథకం పొడవు యొక్క కోడ్‌వర్డ్‌ను పేర్కొనే పట్టికల ద్వారా వివరించబడింది n పొడవు యొక్క ప్రతి మూల పదానికి m. పొడవాటి బ్లాక్‌ల కోసం, ఈ పద్ధతికి పెద్ద మొత్తంలో మెమరీ అవసరమవుతుంది మరియు అందుచేత ఆచరణ సాధ్యం కాదు. ఉదాహరణకు, కోసం ( 16, 33 ) కోడ్‌కు 33 * 2 16 = 2,162,688 బిట్‌లు అవసరం.

చాలా తక్కువ మెమరీ అవసరం మాతృక కోడింగ్. వీలు ఇ పరిమాణం మాతృక m×n, మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది e ij , ఎక్కడ i పంక్తి సంఖ్య, మరియు జె - నిలువు వరుస సంఖ్య. మాతృక మూలకాలు ప్రతి ఇ ij 0 లేదా 1 కావచ్చు. ఎన్‌కోడింగ్ అనేది ఆపరేషన్ ద్వారా అమలు చేయబడుతుంది b = aE లేదా కోడ్‌వర్డ్‌లను వెక్టర్‌లుగా పరిగణిస్తారు, అంటే పరిమాణం యొక్క వరుస మాత్రికలు 1×n.

ఎన్‌కోడింగ్ వేర్వేరు మూల సందేశాలకు ఒకే కోడ్‌వర్డ్‌ను కేటాయించకూడదు. దీన్ని సాధించడానికి సులభమైన మార్గం m మాతృక నిలువు వరుసలు ఒక యూనిట్ మాతృకను ఏర్పాటు చేసింది. ఏదైనా వెక్టర్ గుర్తింపు మాతృకతో గుణించబడినప్పుడు, అదే వెక్టర్ పొందబడుతుంది; కాబట్టి, వివిధ సందేశ వెక్టర్‌లు సిస్టమాటిక్ కోడ్‌లోని వివిధ వెక్టర్‌లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

మ్యాట్రిక్స్ కోడ్‌లను కూడా అంటారు సరళ సంకేతాలు. లీనియర్ కోసం (n - r, n)-కనిష్ట హామింగ్ దూరంతో కోడ్‌లు డి ఉంది ప్లాట్కిన్ దిగువ సరిహద్దు (ప్లాట్కిన్) కోసం కనీస పరిమాణంనియంత్రణ బిట్స్ ఆర్వద్ద n³ 2d - 1,

బైనరీ ( m, n) కోడ్‌ని దాని కోడ్ పదాలు సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకుంటే దానిని గ్రూప్ కోడ్ అంటారు.

m పొడవు గల అన్ని బైనరీ పదాల సముదాయం కోఆర్డినేట్-వైజ్ అడిషన్ మాడ్యులో 2 యొక్క ఆపరేషన్‌తో ఒక పరివర్తన సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుందని గమనించండి, దీనిలో a a సంబంధం ఉంటుంది. పర్యవసానంగా, a పొడవు m యొక్క సందేశ పదాల సమితి ఒక పరివర్తన సమూహం.

బ్లాక్ కోడ్ అంటారు సమూహం, దాని కోడ్ పదాలు సమూహంగా ఏర్పడితే.

కోడ్ సమూహ కోడ్ అయితే, రెండు కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య అతి చిన్న దూరం కనీసం బరువుసున్నా కాని పదం.

ఇది సంబంధం నుండి అనుసరిస్తుంది డి(బి i ,బి జె ) = w(b i + బి జె ).

వైల్డ్‌కార్డ్ కోడ్‌ని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, కోడ్‌వర్డ్‌లకు సరిగ్గా సమానమైన ఎర్రర్ స్ట్రింగ్‌లకు సంబంధించిన లోపాలు మాత్రమే గుర్తించబడవు.

ఇటువంటి దోష పంక్తులు ఒక కోడ్‌వర్డ్‌ను మరొకదానికి అనువదిస్తాయి.

అందువల్ల, లోపం గుర్తించబడకుండా ఉండే సంభావ్యత కోడ్‌వర్డ్‌లకు సమానమైన అన్ని ఎర్రర్ స్ట్రింగ్‌ల సంభావ్యతల మొత్తానికి సమానం.

అన్ని బైనరీ పదాల సమితి a = a 1 ... a m పొడవు mబిట్‌వైస్ జోడింపుకు సంబంధించి అబెలియన్ (కమ్యుటేటివ్) సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

వీలు ఇ - కోడింగ్ m×n- కలిగి ఉన్న మాతృక m × m-నాన్ జీరో డిటర్మినెంట్‌తో సబ్‌మ్యాట్రిక్స్, ఉదాహరణకు, గుర్తింపు. అప్పుడు మ్యాపింగ్ a → a Eపొడవు గల అన్ని బైనరీ పదాల సమూహాన్ని అనువదిస్తుంది m పొడవు గల కోడ్‌వర్డ్‌ల సమూహానికి n.

అప్పుడు మనకు లభిస్తుందని అనుకుందాం

అనగా అందువల్ల, పొడవు గల బైనరీ పదాల సమూహం యొక్క ఒకదానికొకటి మ్యాపింగ్ m ఇచ్చిన మాతృకను ఉపయోగించి ఇ సమూహ ఆపరేషన్ యొక్క లక్షణాలను సంరక్షిస్తుంది, అంటే కోడ్‌వర్డ్‌లు సమూహాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

సమూహ కోడ్ ప్రాపర్టీ: కోడ్ వెక్టర్స్ మధ్య కనీస కోడ్ దూరం సున్నా కాని వెక్టర్స్ యొక్క కనిష్ట బరువుకు సమానం. కోడ్ వెక్టార్ యొక్క బరువు కోడ్ కలయికలో ఉన్న వాటి సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.

మాత్రికలను ఉపయోగించి సమూహ కోడ్‌లను పేర్కొనడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, దీని పరిమాణం k మరియు n పారామితుల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. అడ్డు వరుసల సంఖ్య k మరియు నిలువు వరుసల సంఖ్య n = k+m.

ఈ మాత్రికల ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన కోడ్‌లను (n, k)-కోడ్‌లు అంటారు మరియు సంబంధిత మాత్రికలను జనరేటర్లు (జనరేటర్లు) అంటారు.

హామింగ్ దూరం

అమెరికన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు హామింగ్ ఏమి నిర్ణయిస్తుందో పరిశోధించాడు ఈ కోడ్అది లోపాలను గుర్తిస్తుందా మరియు వాటిని ఎప్పుడు సరిదిద్దగలదో. ఇది కోడ్ పదాలు ఎలా వేరుగా ఉన్నాయి మరియు ఎన్ని లోపాలు కనిపించవచ్చనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది ప్రసారం చేయబడిన పదం. మేము ఇప్పుడు క్రింది ఆలోచనను అధికారికం చేస్తాము. ఎన్కోడింగ్ చేసేటప్పుడు, మీరు సంఖ్యను అంగీకరించాలి సాధ్యం లోపాలుప్రసారం చేయబడిన కోడ్‌వర్డ్‌లో తద్వారా ప్రసారం చేయబడిన కోడ్‌వర్డ్ మారినప్పుడు, అది ఇతర కోడ్‌వర్డ్ కంటే అసలు కోడ్‌వర్డ్‌కు దగ్గరగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం 13.1.వర్ణమాలలోని అన్ని బైనరీ పదాల సమితిని పరిగణించండి IN= (0,1) పొడవు టిదూరం డి(x, వద్ద), ఇది ఈ పదాల సరిపోలని స్థానాల సంఖ్యకు సమానం. ఉదాహరణకు, పదాల కోసం X = 011101, వద్ద= 101010 దూరం డి(x, వై) = 5. ఈ దూరం అంటారు హామింగ్ దూరం .

హామింగ్ దూరం మెట్రిక్ స్థలం యొక్క సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరుస్తుందని చూపవచ్చు:

1) డి(x, వద్ద) ≥ 0, డి(x, వద్ద) = 0 అయితే మరియు ఉంటే మాత్రమే X = y;

2) డి(x, వై) = డి(వై, x);

3) డి(x, వద్ద) ≤ డి(x, z) + డి(z, వద్ద) - త్రిభుజ అసమానత.

సిద్ధాంతం 13.1(గుర్తింపు కోడ్ గురించి) ప్రసారం చేయబడిన పదం కంటే ఎక్కువ లేనప్పుడు కోడ్ గుర్తించబడుతుంది కె

డి(బి 1, బి 2) ≥ కె+ 1.

సిద్ధాంతం 13.2(దిద్దుబాటు కోడ్ గురించి.) ప్రసారం చేయబడిన పదం కంటే ఎక్కువ లేనప్పుడు కోడ్ అన్ని లోపాలను సరిచేస్తుంది కెలోపాలు, కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య అతి చిన్న దూరం ఉంటే మాత్రమే

డి(బి 1, బి 2) ≥ 2కె+ 1.

రుజువు. ఈ సిద్ధాంతాల రుజువులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి. అందువల్ల, మేము చివరి సిద్ధాంతాన్ని మాత్రమే నిరూపిస్తాము.

సమర్ధత. మన వద్ద ఉన్న ఏవైనా కోడ్ పదాల కోసం అనుమతించండి డి(బి 1, బి 2) ≥ 2కె+ 1. ఒక కోడ్ పదాన్ని ప్రసారం చేస్తున్నప్పుడు బి 1 ఇక జరగలేదు కెలోపాలు, అప్పుడు మేము కలిగి అంగీకరించిన పదం కోసం డి(బి 1, సి) ≤ కె. కానీ ఏదైనా ఇతర కోడ్‌వర్డ్ కోసం త్రిభుజం అసమానత నుండి బి 2 మాకు ఉంది డి(బి 1, తో) + డి(సి, బి 2) ≥ డి(బి 1, బి 2) ≥ 2 కె+ 1. కాబట్టి, అందుకున్న పదం నుండి ఏదైనా ఇతర కోడ్ పదానికి, దూరం డి(సి, బి 2) ≥ k + 1, అంటే మునుపటి కంటే ఎక్కువ బి 1. కాబట్టి, అంగీకరించబడిన పదం ప్రకారం తోమీరు ఖచ్చితంగా సమీప కోడ్ పదాన్ని కనుగొనవచ్చు బి 1 ఆపై దానిని డీకోడ్ చేయండి.

ఆవశ్యకత. ఎదురుగా నుండి. కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య కనీస దూరం 2 కంటే తక్కువగా ఉందని భావించండి కె+ 1. అప్పుడు రెండు కోడ్ పదాలు ఉన్నాయి, వాటి మధ్య దూరం ఉంటుంది డి(బి 1, బి 2) ≤ 2 కె. పదాన్ని ప్రసారం చేసేటప్పుడు తెలియజేయండి బి 1 ఆమోదించబడిన పదం తోపదాల మధ్య ఉంది బి 1, బి 2i ఖచ్చితంగా ఉంది కెలోపాలు. అప్పుడు డి(సి, బి 1) = కె, డి (సి, బి 2) = డి(బి 1, బి 2) – డి(సి, బి 1) ≤ కె. అందువల్ల, c అనే పదం నుండి ప్రసారం చేయబడిన కోడ్ పదాన్ని నిస్సందేహంగా పునర్నిర్మించడం అసాధ్యం, బి 1లేదా బి 2. మేము ఒక వైరుధ్యానికి వచ్చాము.

ఉదాహరణ 13.3 . వర్ణమాలలోని పొడవు 2 పదాల కోసం క్రింది ఐదు-బిట్ కోడ్‌లను పరిగణించండి IN = {0,1}:

బి 1= కె(00) = 00000, బి 2= కె(01) = 01011,

బి 3= కె(10) = 10101, బి 4= కె(11) =11110.

వేర్వేరు కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య కనీస దూరం డి(ద్వి, bj) = 3. డిటెక్షన్ కోడ్ గురించిన మొదటి సిద్ధాంతం కారణంగా, ఈ కోడ్ ఒక పదంలో రెండు కంటే ఎక్కువ లోపాలను గుర్తించదు. రెండవ సిద్ధాంతం ద్వారా, కోడ్ ఒక పదంలోని ఒక లోపాన్ని సరిదిద్దగలదు.

సమూహ సంకేతాలు

వర్ణమాలలోని పదాల కోడ్‌లను నిశితంగా పరిశీలిద్దాం IN= (0, 1). పొడవు పదాల కోసం అయితే టిపొడవు యొక్క కోడ్ పదాలు ఉపయోగించబడతాయి n, అప్పుడు మేము అలాంటి కోడ్‌లను పిలుస్తాము ( టి , పి)-కోడ్‌లు. మొత్తం పదాల పొడవు m 2కి సమానం m. సెట్ చేయడానికి ( టి , పి)-కోడ్, మీరు అన్నింటికీ కోడ్ పదాలను జాబితా చేయవచ్చు సాధ్యమయ్యే పదాలుపొడవు m, మునుపటి ఉదాహరణలో వలె. కోడ్ పదాలను పేర్కొనడానికి మరింత పొదుపుగా ఉండే మార్గం మ్యాట్రిక్స్ టాస్క్.

ఈ సందర్భంలో, ఉత్పాదక మాతృక పేర్కొనబడింది జి= ∣∣ gij∣∣ ఆర్డర్ టి × పి 0 మరియు 1 నుండి. కోడ్ పదాలు ప్రతిసారి పదం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి ఎ = ఎ 1a 2... వద్దఎడమవైపున ఈ పదాన్ని వెక్టర్‌గా, జనరేటింగ్ మ్యాట్రిక్స్ ద్వారా గుణించడం ద్వారా

ఇక్కడ అదనంగా మాడ్యులో 2 నిర్వచించబడింది. క్రమంలో వివిధ పదాలువేర్వేరు కోడ్ పదాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఇది మ్యాట్రిక్స్‌లో ఉంటే సరిపోతుంది జియూనిట్ ప్రాతిపదికన మైనర్ ఆఫ్ ఆర్డర్ టి, ఉదాహరణకు చాలా ఎడమవైపు.

ఉదాహరణ 13.4 . ఉత్పాదక మాతృకను పరిగణించండి

ఈ మాతృక (3, 4) కోడ్‌ని నిర్వచిస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, కోడ్ వర్డ్‌లోని మొదటి మూడు అక్షరాలు సమాచారం మరియు నాల్గవది నియంత్రణ. ఇది ఉంటే 0కి సమానం సరి సంఖ్యఅసలు పదంలోని యూనిట్లు మరియు 1 అయితే బేసి సంఖ్యయూనిట్లు. ఉదాహరణకు, పదం కోసం ఎ= 101 కోడ్ ఉంటుంది బి= aG= 1010. కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య కనీస హామింగ్ దూరం డి(ద్వి, bj) = 2. కాబట్టి, ఇది ఒక-పర్యాయ లోపాన్ని గుర్తించే కోడ్.

నిర్వచనం 13.2.కోడ్ అంటారు సమూహం , అన్ని కోడ్‌వర్డ్‌ల సమితి సమూహాన్ని ఏర్పరుచుకుంటే. a అనే పదంలోని యూనిట్ల సంఖ్యను అంటారు ప్రమాణాలుపదాలు మరియు ఉంటే సూచించబడుతుంది బి- కమ్యూనికేషన్ ఛానెల్‌లో స్వీకరించబడిన కోడ్ పదం మరియు పదం తో = బి + ఇ, అప్పుడు పదం ఇఅని పిలిచారు లోపాల వెక్టర్ .

సిద్ధాంతం 13.3.ఒక సమూహం ఉండనివ్వండి ( టి , పి)-కోడ్. తర్వాత కమ్యూటేటివ్ గ్రూప్ TOఅన్ని కోడ్‌వర్డ్‌లు కమ్యుటేటివ్ సమూహం యొక్క ఉప సమూహం తోఅన్ని పదాల పొడవు పి, ఇది కమ్యూనికేషన్ ఛానెల్‌లో అందుకోవచ్చు. కోడ్‌వర్డ్‌ల మధ్య అతి చిన్న దూరం సున్నా కాని కోడ్‌వర్డ్ యొక్క అతి చిన్న బరువుకు సమానం మరియు

కారకాల సమూహాన్ని పరిగణించండి S/K. ఇక్కడ కోసెట్‌లు షిఫ్ట్ ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి ఇ + బి, బి∈ కె.

కోసెట్ క్లాస్ యొక్క ప్రతినిధిగా, మేము తక్కువ బరువుతో మూలకాన్ని ఎంచుకుంటాము. మేము అటువంటి అంశాలను పిలుస్తాము పక్క వర్గ నాయకులు .

లీడర్‌లను ఎర్రర్ వెక్టర్స్‌గా అన్వయించినట్లయితే, ప్రతి ప్రక్కనే ఉన్న క్లాస్ అనేది స్థిర ఎర్రర్ వెక్టర్‌తో కమ్యూనికేషన్ ఛానెల్‌లో వక్రీకరించిన పదాల సమితి, ప్రత్యేకించి ఎప్పుడు ఇ= 0 మేము వక్రీకరణలు లేని పదాల ప్రక్కనే తరగతిని కలిగి ఉన్నాము, అనగా, అన్ని కోడ్ పదాల సమితి. పద సవరణ మరియు డీకోడింగ్ ప్రక్రియ తోపదం చెందిన ప్రక్కనే ఉన్న తరగతి కోసం శోధించడంలో ఉంటుంది తో = ఇ + బి. లోపం వెక్టర్ ఇలోపాల సంఖ్య మరియు స్థానాన్ని నిర్ణయిస్తుంది, కోడ్ పదం బిఅందుకున్న పదం యొక్క దిద్దుబాటును నిర్ణయిస్తుంది.

కోసెట్ మరియు దోష వెక్టర్ కోసం శోధనను సులభతరం చేయడానికి, హామింగ్ ప్రత్యేక ఉత్పాదక మాత్రికలతో సమూహ కోడ్‌లను ఉపయోగించాలని ప్రతిపాదించారు.

హామింగ్ కోడ్‌లు

హామింగ్ నిర్మాణాన్ని పరిశీలిద్దాం ( టి , పి)-3కి సమానమైన అతిచిన్న కోడ్‌వర్డ్ బరువుతో కోడ్, అనగా, ఒక లోపాన్ని సరిచేసే కోడ్.

పెడతాం పి = 2 ఆర్– 1 మరియు ప్రతి కోడ్ పదాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి ఆర్నియంత్రణ అక్షరాలు, మరియు టిఅక్షరాలు ( టి = పి – ఆర్= 2 ఆర్– 1– ఆర్) - సమాచార, ఆర్≥ 2, ఉదాహరణకు (1, 3) కోడ్, (4, 7) కోడ్ మొదలైనవి. అంతేకాకుండా, ప్రతి కోడ్ పదంలో బి= బి 1బి 2... b pసూచికలతో చిహ్నాలు, సమాన డిగ్రీలు 2 నియంత్రణలో ఉంటాయి మరియు మిగిలినవి సమాచారంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, కోడ్‌వర్డ్‌లోని (4, 7) కోడ్ కోసం బి= బి 1బి 2బి 3బి 4బి 5బి 6బి 7 అక్షరాలు బి 1బి 2బి 4 నియంత్రణలు మరియు చిహ్నాలుగా ఉంటాయి బి 3బి 5బి 6బి 7- సమాచారం. జనరేటర్ మాతృకను పేర్కొనడానికి జిహామింగ్స్ ( టి , పి)-కోడ్, పరిగణించండి సహాయక మాతృక ఎంఆర్డర్ ఆర్× పి, ఎక్కడ పి = 2 ఆర్- 1, ప్రతి దానిలో జెమాతృక నిలువు వరుస ఎంబైనరీ చిహ్నాలు ఉంటాయి జె, ఉదాహరణకు, (4, 7) కోడ్ మ్యాట్రిక్స్ కోసం ఎం 3 × 7 ఉంటుంది:

మేము అన్ని కోడ్ పదాల సమితిని పరిష్కారాల సమితిగా నిర్వచించాము సజాతీయ వ్యవస్థసరళ బీజగణిత సమీకరణాలురకం

b MT= 0.

ఉదాహరణకు, (4, 7) కోడ్ కోసం అటువంటి సిస్టమ్ ఇలా ఉంటుంది:

సిస్టమ్ యొక్క సహజ ప్రాతిపదికన మైనర్‌ను ఎంచుకుందాం b MT= 0, 2 యొక్క శక్తికి సమానమైన సంఖ్యలతో నిలువు వరుసలలో నిలబడి. ఈ విధంగా, మేము వేరియబుల్స్‌ను ప్రాథమిక (కోడ్) మరియు ఉచిత (సమాచారం)గా విభజిస్తాము. ఇప్పుడు, ఉచిత వేరియబుల్‌లను నిర్వచించినందున, ప్రాథమిక వాటిని పొందడం సులభం. ప్రాథమిక వ్యవస్థను కనుగొనండి m= పి – ఆర్ఈ సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు. అప్పుడు వ్యవస్థకు ఏదైనా పరిష్కారం వీటి యొక్క సరళ కలయిక mనిర్ణయాలు. అందువలన, లైన్ ద్వారా లైన్ వ్రాయడం mమాతృక రూపంలో ప్రాథమిక వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు జిపరిమాణం m× పి, మేము హామింగ్ సమూహం యొక్క ఉత్పాదక మాతృకను పొందుతాము ( టి , పి)-కోడ్, ఉదాహరణకు (4, 7)-కోడ్ ప్రాథమిక వ్యవస్థపరిష్కారాలు 4 = 7 - 3 సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క క్రింది పరిష్కారాలు:

g 1= 1110000, g 2= 1001100, g 3= 0101010, g 4= 1101001.

ఈ పరిష్కారాల యొక్క ఏదైనా సరళ కలయిక ఒక పరిష్కారం, అంటే కోడ్ పదం. ఈ ప్రాథమిక పరిష్కారాల నుండి ఉత్పాదక మాతృకను కంపోజ్ చేద్దాం

ఇప్పుడు ఏ పదం ప్రకారం ఎపొడవు టి= 4 కోడ్ పదాన్ని లెక్కించడం సులభం బిపొడవు పి= 7 జనరేటర్ మాతృకను ఉపయోగిస్తుంది బి= aG. అదే సమయంలో, చిహ్నాలు బి 3, బి 5, బి 6, బి 7 సమాచారం ఉంటుంది. అవి ఏకీభవిస్తాయి ఎ 1, ఎ 1, ఎ 3, ఎ 4. చిహ్నాలు బి 1, బి 2, బి 4 నియంత్రణ ఉంటుంది.

ముగింపు. హామింగ్ కోడ్‌లు సౌకర్యవంతంగా ఉంటాయి ఎందుకంటే డీకోడింగ్ సమయంలో కోసెట్‌లు సులభంగా నిర్ణయించబడతాయి. కమ్యూనికేషన్ ఛానెల్ ద్వారా అందుకున్న పదం ఉండనివ్వండి తో = ఇ + బి, ఎక్కడ ఇ- లోపం, బి- ఒక కోడ్‌వర్డ్. అప్పుడు దానిని సహాయక మాతృకతో గుణించండి cMT= (ఇ + బి)MT= ఇఎమ్ టి. ఉంటే ఇఎమ్ టి= 0, ఆపై పదం తో- కోడ్ మరియు మేము పరిశీలిస్తాము: లోపం లేదు. ఉంటే ఇఎమ్ టి≠ 0, ఆపై పదం ఇలోపాన్ని నిర్వచిస్తుంది.

నిర్మించిన హామింగ్స్ ( టి , పి)-కోడ్ ఒక లోపాన్ని గుర్తిస్తుంది. అందువలన లోపం వెక్టర్ ఇలో ఒక యూనిట్ కలిగి ఉంటుంది iపదవులు. అంతేకాక, సంఖ్య iఫలితంగా బైనరీ ప్రాతినిధ్యంలో స్థానం పొందబడుతుంది ఇఎమ్ టి, ఏకకాలంలో iమాతృక నిలువు వరుస ఎం. చిహ్నాన్ని మార్చడానికి ఇది మిగిలి ఉంది iఛానెల్ ద్వారా అందుకున్న c అనే పదంలో, నియంత్రణ అక్షరాలను దాటి, డీకోడ్ చేసిన పదాన్ని వ్రాయండి.

ఉదాహరణకు, అంగీకరించబడిన పదం ఉండనివ్వండి తో= 1100011 (4, 7) హామింగ్ కోడ్ కోసం. ఈ పదాన్ని మాతృకతో గుణిద్దాం ఎమ్ టి. మాకు దొరికింది

(1100011)ఎం టి=(010).

అందువల్ల రెండవ పాత్రలో లోపం ఉంది. కాబట్టి కోడ్ పదం ఉంటుంది బి= 1000011. నియంత్రణ అక్షరాలను దాటండి బి 1, బి 2, బి 4.డీకోడ్ చేయబడిన పదం ఉంటుంది ఎ = 0011.

వాస్తవానికి, ఒకటి కంటే ఎక్కువ అక్షరాల్లో లోపం జరిగితే, ఈ కోడ్ దాన్ని సరిచేయదు.

) వి వెక్టర్ స్పేస్కోడ్ సీక్వెన్సులు, ఈ సందర్భంలో, రెండు బైనరీ సీక్వెన్సులు (వెక్టర్స్) మరియు పొడవు మధ్య హామింగ్ దూరం అవి వేర్వేరుగా ఉన్న స్థానాల సంఖ్య - ఈ సూత్రీకరణలో, అల్గారిథమ్స్ మరియు డేటా స్ట్రక్చర్ల డిక్షనరీలో హామింగ్ దూరం చేర్చబడింది. నేషనల్ ఇన్స్టిట్యూట్ US ప్రమాణాలు ( ఆంగ్ల NIST డిక్షనరీ ఆఫ్ అల్గారిథమ్స్ మరియు డేటా స్ట్రక్చర్స్ ).

అందువలన, వెక్టర్స్ 0 011 1 మరియు 1 010 1 మధ్య హామింగ్ దూరం 2కి సమానం (తేడాలు ఎరుపు రంగులో గుర్తించబడతాయి బిట్స్) తదనంతరం, మెట్రిక్ q-ary సీక్వెన్స్‌లకు సాధారణీకరించబడింది: "ఎన్నికల" మరియు "కంచె" తీగల జత కోసం హామింగ్ దూరం మూడుకి సమానం.

IN సాధారణ వీక్షణవస్తువులు మరియు కొలతలు కోసం హామింగ్ దూరం ఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

హామింగ్ దూరం మెట్రిక్ యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉంది, ఈ క్రింది షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుంది:

లో హామింగ్ దూరం బయోఇన్ఫర్మేటిక్స్మరియు జన్యుశాస్త్రం

సాహిత్యం

రిచర్డ్ W. హామింగ్. ఎర్రర్-డిటెక్షన్ మరియు ఎర్రర్-కరెక్టింగ్ కోడ్‌లు, బెల్ సిస్టమ్ టెక్నికల్ జర్నల్ 29(2):147-160, 1950.
రిచర్డ్ బ్లీచుట్. లోపం నియంత్రణ కోడ్‌ల సిద్ధాంతం మరియు అభ్యాసం. M., "మీర్", 1986

లింకులు

రిచర్డ్ హామింగ్ మరియు కోడింగ్ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రారంభం // వర్చువల్ కంప్యూటర్ మ్యూజియం

వికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.

ఇతర నిఘంటువులలో "హామింగ్ దూరం" ఏమిటో చూడండి:

హామింగ్ దూరం- u మరియు v ఒకే పొడవు గల రెండు కోడ్ సీక్వెన్స్‌ల మధ్య హామింగ్ దూరం దూరం d (u,v), సంఖ్యకు సమానంఅవి భిన్నమైన పాత్రలు. కనిష్ట హామింగ్ దూరం d ఉన్న బ్లాక్ కోడ్ ఒకరిని గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది (d 1) మరియు... ...

కోడ్ దూరం- ఏకరీతి కోడ్‌లో వేర్వేరు కోడ్‌వర్డ్‌ల యొక్క అన్ని లార్‌లపై కనీస హామింగ్ దూరం తీసుకోబడింది. [సిఫార్సు చేసిన నిబంధనల సేకరణ. సంచిక 94. సమాచార ప్రసార సిద్ధాంతం. USSR యొక్క అకాడమీ ఆఫ్ సైన్సెస్. సాంకేతిక పరిభాష కమిటీ. 1979] టాపిక్స్ థియరీ... ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్

గణితం మరియు సమాచార సిద్ధాంత రంగంలో, ఒక లీనియర్ కోడ్ ముఖ్యమైన రకంబ్లాక్ కోడ్ ఎర్రర్ డిటెక్షన్ మరియు దిద్దుబాటు పథకాలలో ఉపయోగించబడుతుంది. లీనియర్ కోడ్‌లు, ఇతర కోడ్‌లతో పోలిస్తే, మరింత సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌ల అమలును అనుమతిస్తాయి... ... వికీపీడియా

గణితం మరియు సమాచార సిద్ధాంత రంగాలలో, ఒక లీనియర్ కోడ్ అనేది ఎర్రర్ డిటెక్షన్ మరియు కరెక్షన్ స్కీమ్‌లలో ఉపయోగించే ఒక ముఖ్యమైన బ్లాక్ కోడ్. లీనియర్ కోడ్‌లు, ఇతర కోడ్‌లతో పోలిస్తే, మరింత సమర్థవంతమైన అల్గారిథమ్‌ల అమలును అనుమతిస్తాయి... ... వికీపీడియా

కమ్యూనికేషన్ టెక్నాలజీలో లోపాలను గుర్తించడం అనేది సమాచారాన్ని రికార్డ్ చేసేటప్పుడు/పునరుత్పత్తి చేసేటప్పుడు లేదా కమ్యూనికేషన్ లైన్ల ద్వారా ప్రసారం చేసేటప్పుడు డేటా సమగ్రతను పర్యవేక్షించే లక్ష్యంతో కూడిన చర్య. ఎర్రర్ కరెక్షన్ (ఎర్రర్ కరెక్షన్) రికవరీ విధానం... ... వికీపీడియా

కమ్యూనికేషన్ టెక్నాలజీలో లోపాలను గుర్తించడం అనేది సమాచారాన్ని రికార్డ్ చేసేటప్పుడు/పునరుత్పత్తి చేసేటప్పుడు లేదా కమ్యూనికేషన్ లైన్ల ద్వారా ప్రసారం చేసేటప్పుడు డేటా సమగ్రతను పర్యవేక్షించే లక్ష్యంతో కూడిన చర్య. తర్వాత సమాచారాన్ని పునరుద్ధరించడానికి ఎర్రర్ దిద్దుబాటు (ఎర్రర్ కరెక్షన్) విధానం... ... వికీపీడియా