వృత్తం చుట్టుకొలతను కనుగొనడానికి ఏ సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు? వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను ఎలా కనుగొనాలి

సూచనలు

మొదట మీకు పని కోసం ప్రారంభ డేటా అవసరం. వాస్తవం ఏమిటంటే దాని పరిస్థితి వ్యాసార్థం ఏమిటో స్పష్టంగా చెప్పలేము వృత్తం. బదులుగా, సమస్య వ్యాసం యొక్క పొడవును ఇవ్వవచ్చు వృత్తం. వ్యాసం వృత్తం- రెండింటిని కలిపే సెగ్మెంట్ వ్యతిరేక పాయింట్లు వృత్తం, దాని కేంద్రం గుండా వెళుతుంది. నిర్వచనాలను విశ్లేషించారు వృత్తం, వ్యాసం యొక్క పొడవు వ్యాసార్థం యొక్క పొడవు కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ అని మేము చెప్పగలం.

ఇప్పుడు మనం వ్యాసార్థాన్ని అంగీకరించవచ్చు వృత్తం R కి సమానం. అప్పుడు పొడవు కోసం వృత్తంమీరు సూత్రాన్ని ఉపయోగించాలి:
L = 2πR = πD, ఇక్కడ L అనేది పొడవు వృత్తం, D - వ్యాసం వృత్తం, ఇది ఎల్లప్పుడూ 2 రెట్లు వ్యాసార్థం.

గమనిక

ఒక వృత్తాన్ని బహుభుజిలో చెక్కవచ్చు లేదా దాని చుట్టూ వివరించవచ్చు. అంతేకాకుండా, వృత్తం చెక్కబడి ఉంటే, అప్పుడు బహుభుజి యొక్క భుజాలతో సంబంధం ఉన్న పాయింట్ల వద్ద అది వాటిని సగానికి విభజిస్తుంది. చెక్కబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడానికి, మీరు బహుభుజి యొక్క ప్రాంతాన్ని దాని చుట్టుకొలతలో సగం ద్వారా విభజించాలి:
R = S/p.
త్రిభుజం చుట్టూ ఒక వృత్తం చుట్టబడి ఉంటే, దాని వ్యాసార్థం క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనబడుతుంది:
R = a*b*c/4S, ఇక్కడ a, b, c అనేవి భుజాలు ఇచ్చిన త్రిభుజం, S అనేది వృత్తం చుట్టుముట్టబడిన త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం.
మీరు చతుర్భుజం చుట్టూ ఉన్న వృత్తాన్ని వివరించాలనుకుంటే, రెండు షరతులు నెరవేరినట్లయితే ఇది చేయవచ్చు:
చతుర్భుజం తప్పనిసరిగా కుంభాకారంగా ఉండాలి.
మొత్తంగా వ్యతిరేక కోణాలుచతుర్భుజాలు తప్పనిసరిగా 180° ఉండాలి

ఉపయోగకరమైన సలహా

సాంప్రదాయ కాలిపర్‌తో పాటు, స్టెన్సిల్‌లను కూడా వృత్తాన్ని గీయడానికి ఉపయోగించవచ్చు. ఆధునిక స్టెన్సిల్స్లో వివిధ వ్యాసాల వృత్తాలు ఉంటాయి. ఈ స్టెన్సిల్స్ ఏదైనా కార్యాలయ సరఫరా దుకాణంలో కొనుగోలు చేయవచ్చు.

మూలాలు:

• వృత్తం చుట్టుకొలతను ఎలా కనుగొనాలి?

వృత్తం అనేది క్లోజ్డ్ వక్ర రేఖ, దానిలోని అన్ని పాయింట్లు ఆన్‌లో ఉంటాయి సమాన దూరంఒక పాయింట్ నుండి. ఈ బిందువు వృత్తం యొక్క కేంద్రం, మరియు వక్రరేఖపై ఉన్న బిందువు మరియు దాని కేంద్రం మధ్య విభాగాన్ని వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం అంటారు.

సూచనలు

వృత్తం మధ్యలో ఒక సరళ రేఖను గీసినట్లయితే, ఈ రేఖను వృత్తంతో ఖండన యొక్క రెండు బిందువుల మధ్య దాని విభాగాన్ని ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క వ్యాసం అంటారు. సగం వ్యాసం, మధ్యలో నుండి వ్యాసం వృత్తాన్ని కలుస్తున్న బిందువు వ్యాసార్థం
వృత్తాలు. ఒక వృత్తాన్ని ఏకపక్ష బిందువు వద్ద కత్తిరించి, నిఠారుగా మరియు కొలిస్తే, ఫలిత విలువ ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క పొడవు.

విభిన్న దిక్సూచి పరిష్కారాలతో అనేక సర్కిల్‌లను గీయండి. దృశ్య పోలికపెద్ద వ్యాసం రూపురేఖలు అని నిర్ధారించడానికి మాకు అనుమతిస్తుంది పెద్ద సర్కిల్, చుట్టుముట్టబడినదిఎక్కువ పొడవుతో. అందువల్ల, వృత్తం యొక్క వ్యాసం మరియు దాని పొడవు మధ్య ప్రత్యక్ష సంబంధం ఉంది అనుపాత ఆధారపడటం.

ద్వారా భౌతిక అర్థం"చుట్టుకొలత పొడవు" పరామితి విరిగిన పంక్తితో కట్టుబడి ఉంటుంది. మనం ఒక సాధారణ n-gonని సైడ్ bతో వృత్తంలోకి రాస్తే, అటువంటి బొమ్మ యొక్క చుట్టుకొలత P ఉత్పత్తికి సమానంభుజాల సంఖ్య ద్వారా b వైపులా n: P=b*n. సైడ్ b సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: b=2R*Sin (π/n), ఇక్కడ R అనేది n-gon వ్రాయబడిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం.

భుజాల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, లిఖించబడిన బహుభుజి చుట్టుకొలత ఎక్కువగా L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n)కి చేరుకుంటుంది. చుట్టుకొలత L మరియు దాని వ్యాసం D మధ్య సంబంధం స్థిరంగా ఉంటుంది. లిఖిత బహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్య వలె నిష్పత్తి L/D=n*Sin (π/n) అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, ఇది "pi" అని పిలువబడే స్థిరమైన విలువ మరియు అనంతమైన దశాంశ భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది. అప్లికేషన్ లేకుండా లెక్కల కోసం కంప్యూటర్ సాంకేతిక పరిజ్ఞానం, కంప్యూటర్ విజ్ఞానం, ధీయంత్ర పరిజ్ఞానం, ధీయంత్ర విజ్ఞానంవిలువ π=3.14 ఆమోదించబడింది. వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత మరియు దాని వ్యాసం సూత్రంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి: L= πD. వృత్తం కోసం, దాని పొడవును π=3.14తో భాగించండి.

నిర్ణయించేటప్పుడు చాలా తరచుగా పాఠశాల కేటాయింపులుభౌతిక శాస్త్రంలో, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది - వ్యాసం తెలుసుకోవడం, వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను ఎలా కనుగొనాలి? వాస్తవానికి, ఈ సమస్యను పరిష్కరించడంలో ఎటువంటి ఇబ్బందులు లేవు; మీరు ఏమి స్పష్టంగా ఊహించుకోవాలి సూత్రాలు,దీనికి భావనలు మరియు నిర్వచనాలు అవసరం.

తో పరిచయం ఉంది

ప్రాథమిక భావనలు మరియు నిర్వచనాలు

1. వ్యాసార్థం అనుసంధానించే లైన్ వృత్తం యొక్క కేంద్రం మరియు దాని ఏకపక్ష బిందువు. ఇది నియమించబడింది లాటిన్ అక్షరంఆర్.
2. తీగ అనేది రెండు ఏకపక్షాలను కలిపే పంక్తి ఒక వృత్తం మీద ఉన్న పాయింట్లు.
3. వ్యాసం కనెక్ట్ లైన్ ఒక వృత్తం యొక్క రెండు పాయింట్లు మరియు దాని కేంద్రం గుండా వెళుతున్నాయి. ఇది లాటిన్ అక్షరం d ద్వారా సూచించబడుతుంది.
4. ఒక ఎంచుకున్న పాయింట్ నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న అన్ని బిందువులను కలిగి ఉన్న పంక్తి, దాని కేంద్రం అని పిలుస్తారు. మేము దాని పొడవును లాటిన్ అక్షరం l ద్వారా సూచిస్తాము.

ఒక వృత్తం యొక్క ప్రాంతం మొత్తం భూభాగం ఒక సర్కిల్ లోపల పరివేష్టిత. ఇది కొలుస్తారు వి చదరపు యూనిట్లు మరియు లాటిన్ అక్షరం s ద్వారా సూచించబడుతుంది.

మా నిర్వచనాలను ఉపయోగించి, వృత్తం యొక్క వ్యాసం దాని అతిపెద్ద తీగకు సమానం అని మేము నిర్ధారణకు వస్తాము.

శ్రద్ధ!వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఏమిటో నిర్వచనం నుండి, మీరు వృత్తం యొక్క వ్యాసం ఏమిటో కనుగొనవచ్చు. ఇవి వ్యతిరేక దిశలలో వేయబడిన రెండు రేడియాలు!

వృత్తం యొక్క వ్యాసం.

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత మరియు వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం

మనకు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ఇచ్చినట్లయితే, వృత్తం యొక్క వ్యాసం సూత్రం ద్వారా వివరించబడుతుంది d = 2*r. ఈ విధంగా, ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి, దాని వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడం, చివరిది సరిపోతుంది. రెండు గుణించండి.

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత కోసం సూత్రం, దాని వ్యాసార్థం పరంగా వ్యక్తీకరించబడింది, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది l = 2*P*r.

శ్రద్ధ!లాటిన్ అక్షరం P (Pi) అనేది ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత దాని వ్యాసానికి నిష్పత్తిని సూచిస్తుంది మరియు ఇది ఆవర్తన రహిత దశాంశ భిన్నం. IN పాఠశాల గణితఇది 3.14కి సమానమైన గతంలో తెలిసిన పట్టిక విలువగా పరిగణించబడుతుంది!

ఇప్పుడు దాని వ్యాసం ద్వారా వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనడానికి మునుపటి సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాస్దాం, వ్యాసార్థానికి సంబంధించి దాని తేడా ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి. ఇది మారుతుంది: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

గణిత శాస్త్ర కోర్సు నుండి ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని వివరించే ఫార్ములా రూపాన్ని కలిగి ఉందని మనకు తెలుసు: s = П*r^2.

ఇప్పుడు వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని దాని వ్యాసం ద్వారా కనుగొనడానికి మునుపటి సూత్రాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం. మాకు దొరికింది,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

అత్యంత ఒకటి కష్టమైన పనులుఈ అంశంలో చుట్టుకొలత ద్వారా మరియు వైస్ వెర్సా ద్వారా వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడం. s = П*r^2 మరియు l = 2*П*r అనే వాస్తవాన్ని సద్వినియోగం చేద్దాం. ఇక్కడ నుండి మనకు r = l/(2*П) వస్తుంది. వ్యాసార్థం కోసం ఫలిత వ్యక్తీకరణను ప్రాంతం కోసం సూత్రంలోకి మారుద్దాం, మనకు లభిస్తుంది: s = l^2/(4P). పూర్తిగా ఇదే విధంగా, చుట్టుకొలత వృత్తం యొక్క ప్రాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

వ్యాసార్థం పొడవు మరియు వ్యాసం నిర్ణయించడం

ముఖ్యమైనది!అన్నింటిలో మొదటిది, వ్యాసాన్ని ఎలా కొలవాలో నేర్చుకుందాం. ఇది చాలా సులభం - ఏదైనా వ్యాసార్థాన్ని గీయండి, దానిని విస్తరించండి ఎదురుగాఇది ఆర్క్‌తో కలుస్తుంది వరకు. మేము ఒక దిక్సూచితో ఫలిత దూరాన్ని కొలుస్తాము మరియు మనం దేని కోసం వెతుకుతున్నామో తెలుసుకోవడానికి ఏదైనా మెట్రిక్ సాధనాన్ని ఉపయోగిస్తాము!

వృత్తం యొక్క పొడవును తెలుసుకోవడం ద్వారా దాని వ్యాసాన్ని ఎలా కనుగొనాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము దానిని l = П*d సూత్రం నుండి వ్యక్తపరుస్తాము. మనకు d = l/P వస్తుంది.

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత నుండి దాని వ్యాసాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు, మరియు మనం దాని వ్యాసార్థాన్ని కూడా అదే విధంగా కనుగొనవచ్చు.

l = 2*P*r, అందుకే r = l/2*P. సాధారణంగా, వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడానికి, అది వ్యాసం పరంగా వ్యక్తీకరించబడాలి మరియు వైస్ వెర్సా.

ఇప్పుడు మీరు వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా వ్యాసాన్ని నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉందని అనుకుందాం. మేము s = П*d^2/4 అనే వాస్తవాన్ని ఉపయోగిస్తాము. ఇక్కడ నుండి d ని వ్యక్తపరుద్దాం. ఇది పని చేస్తుంది d^2 = 4*s/P. వ్యాసం స్వయంగా నిర్ణయించడానికి, మీరు సేకరించేందుకు అవసరం కుడి వైపు యొక్క వర్గమూలం. ఇది d = 2*sqrt(s/P)గా మారుతుంది.

సాధారణ పనులను పరిష్కరించడం

1. చుట్టుకొలత ఇస్తే వ్యాసాన్ని ఎలా కనుగొనాలో తెలుసుకుందాం. ఇది 778.72 కిలోమీటర్లకు సమానంగా ఉండనివ్వండి. కనుగొనడానికి అవసరం d. d = 778.72/3.14 = 248 కిలోమీటర్లు. వ్యాసం ఏమిటో గుర్తుంచుకోండి మరియు వెంటనే వ్యాసార్థాన్ని నిర్ణయించండి; దీన్ని చేయడానికి, మేము పైన నిర్ణయించిన విలువ dని సగానికి విభజిస్తాము. ఇది పని చేస్తుంది r = 248/2 = 124కిలోమీటరు
2. ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకొని దాని పొడవును ఎలా కనుగొనాలో పరిశీలిద్దాం. r విలువ 8 dm 7 సెం.మీ ఉండనివ్వండి. వీటన్నింటినీ సెంటీమీటర్‌లుగా మారుద్దాం, అప్పుడు r 87 సెంటీమీటర్‌లకు సమానం అవుతుంది. వృత్తం యొక్క తెలియని పొడవును కనుగొనడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అప్పుడు మనకు కావలసిన విలువ సమానంగా ఉంటుంది l = 2*3.14*87 = 546.36 సెం.మీ. మనం పొందిన విలువను మెట్రిక్ పరిమాణాల పూర్ణాంక సంఖ్యలుగా మారుద్దాం l = 546.36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3.6 mm.
3. ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని దాని ద్వారా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గుర్తించాలి తెలిసిన వ్యాసం. d = 815 మీటర్లు. వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనే సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి. ఇక్కడ మనకు ఇచ్చిన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం, మనకు లభిస్తుంది s = 3.14*815^2/4 = 521416.625 చ. m.
4. ఇప్పుడు మనం వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క పొడవును తెలుసుకోవడం ద్వారా దాని వైశాల్యాన్ని ఎలా కనుగొనాలో నేర్చుకుంటాము. వ్యాసార్థం 38 సెం.మీ ఉండనివ్వండి.మనకు తెలిసిన ఫార్ములాను ఉపయోగిస్తాము. షరతు ద్వారా మనకు ఇచ్చిన విలువను ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. మీరు క్రింది వాటిని పొందుతారు: s = 3.14*38^2 = 4534.16 sq. సెం.మీ.
5. తెలిసిన చుట్టుకొలత ఆధారంగా వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని నిర్ణయించడం చివరి పని. l = 47 మీటర్లు. s = 47^2/(4P) = 2209/12.56 = 175.87 చ. m.

చుట్టుకొలత

- ఇది ఫ్లాట్ ఫిగర్, ఇది కేంద్రం నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న పాయింట్ల సమితి. అవన్నీ ఒకే దూరంలో ఉన్నాయి మరియు ఒక వృత్తాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని దాని చుట్టుకొలతపై బిందువులతో కలిపే విభాగాన్ని అంటారు వ్యాసార్థం. ప్రతి వృత్తంలో, అన్ని వ్యాసార్థాలు ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి. ఒక వృత్తం మీద రెండు బిందువులను కలుపుతూ మరియు కేంద్రం గుండా వెళ్ళే సరళ రేఖను అంటారు వ్యాసం. వృత్తం యొక్క వైశాల్యం యొక్క సూత్రం గణిత స్థిరాంకం ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది - సంఖ్య π..

ఇది ఆసక్తికరంగా ఉంది : సంఖ్య π. వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత దాని వ్యాసం యొక్క పొడవు యొక్క నిష్పత్తిని సూచిస్తుంది మరియు ఇది స్థిరమైన విలువ. విలువ π = 3.1415926 1737లో L. యూలర్ పని తర్వాత ఉపయోగించబడింది.

వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని స్థిరమైన π ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు. మరియు వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం. వ్యాసార్థం పరంగా వృత్తం యొక్క వైశాల్యానికి సూత్రం ఇలా కనిపిస్తుంది:

వ్యాసార్థాన్ని ఉపయోగించి వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే ఉదాహరణను చూద్దాం. R = 4 సెం.మీ వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తాన్ని ఇద్దాం. ఆ బొమ్మ యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

మా సర్కిల్ వైశాల్యం 50.24 చదరపు మీటర్లు. సెం.మీ.

ఒక ఫార్ములా ఉంది వ్యాసం ద్వారా ఒక వృత్తం యొక్క ప్రాంతం. అవసరమైన పారామితులను లెక్కించడానికి కూడా ఇది విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. కనుగొనడానికి ఈ సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు.

ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని దాని వ్యాసం ద్వారా లెక్కించడానికి, దాని వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకునే ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం. మాకు R = 4 సెం.మీ వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తాన్ని ఇద్దాం.మొదట, వ్యాసాన్ని కనుగొనండి, మనకు తెలిసినట్లుగా, వ్యాసార్థం కంటే రెండు రెట్లు ఉంటుంది.


ఇప్పుడు మేము పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సర్కిల్ యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించే ఉదాహరణ కోసం డేటాను ఉపయోగిస్తాము:

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఫలితం మొదటి లెక్కల మాదిరిగానే ఉంటుంది.

జ్ఞానం ప్రామాణిక సూత్రాలువృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడం భవిష్యత్తులో మీరు సులభంగా గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది రంగ ప్రాంతంమరియు తప్పిపోయిన పరిమాణాలను సులభంగా కనుగొనండి.

వృత్తం యొక్క వైశాల్యం యొక్క సూత్రం ఉత్పత్తి ద్వారా లెక్కించబడుతుందని మాకు ఇప్పటికే తెలుసు స్థిరమైన విలువవృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం యొక్క చతురస్రానికి π. వ్యాసార్థాన్ని చుట్టుకొలత పరంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు మరియు చుట్టుకొలత పరంగా వృత్తం వైశాల్యం కోసం సూత్రంలో వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయవచ్చు:
ఇప్పుడు ఈ సమానత్వాన్ని వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రంలోకి మార్చండి మరియు చుట్టుకొలతను ఉపయోగించి వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి ఒక సూత్రాన్ని పొందండి.

చుట్టుకొలతను ఉపయోగించి వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం. పొడవు l = 8 సెం.మీ ఉన్న వృత్తాన్ని ఇవ్వనివ్వండి. విలువను ఉత్పన్నమైన ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

సర్కిల్ యొక్క మొత్తం వైశాల్యం 5 చదరపు మీటర్లు ఉంటుంది. సెం.మీ.

ఒక చతురస్రం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క ప్రాంతం

చతురస్రం చుట్టూ ఉన్న వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడం చాలా సులభం.

దీన్ని చేయడానికి, మీకు చదరపు వైపు మరియు సాధారణ సూత్రాల జ్ఞానం మాత్రమే అవసరం. చతురస్రం యొక్క వికర్ణం చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వికర్ణానికి సమానంగా ఉంటుంది. a వైపు తెలుసుకోవడం, ఇది పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి కనుగొనవచ్చు: ఇక్కడ నుండి.
మేము వికర్ణాన్ని కనుగొన్న తర్వాత, మేము వ్యాసార్థాన్ని లెక్కించవచ్చు: .
ఆపై మేము ఒక చతురస్రం చుట్టూ చుట్టుముట్టబడిన వృత్తం యొక్క వైశాల్యం కోసం ప్రాథమిక సూత్రంలోకి ప్రతిదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

పరిసర ప్రపంచంలో అనేక వస్తువులు ఉన్నాయి గుండ్రపు ఆకారం. ఇవి చక్రాలు, రౌండ్ విండో ఓపెనింగ్స్, పైపులు, వివిధ వంటకాలు మరియు మరెన్నో. మీరు దాని వ్యాసం లేదా వ్యాసార్థాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా వృత్తం యొక్క పొడవును లెక్కించవచ్చు.

ఈ రేఖాగణిత బొమ్మకు అనేక నిర్వచనాలు ఉన్నాయి.

• ఇది ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి అదే దూరంలో ఉన్న పాయింట్లతో కూడిన క్లోజ్డ్ కర్వ్.
• ఇది A మరియు B పాయింట్లతో కూడిన వక్రరేఖ, ఇది సెగ్మెంట్ చివరలు మరియు A మరియు B లంబ కోణంలో కనిపించే అన్ని పాయింట్లు. ఈ సందర్భంలో, సెగ్మెంట్ AB వ్యాసం.
• అదే సెగ్మెంట్ AB కోసం, ఈ వక్రరేఖ అన్ని పాయింట్లు Cని కలిగి ఉంటుంది అంటే AC/BC నిష్పత్తి స్థిరంగా ఉంటుంది మరియు 1కి సమానంగా ఉండదు.
• ఇది క్రింది పాయింట్లను కలిగి ఉన్న వక్రరేఖ, దీని కోసం మీరు ఒక పాయింట్ నుండి రెండు ఇతర పాయింట్లు A మరియు B కి దూరాల చతురస్రాలను జోడిస్తే, మీరు పొందుతారు స్థిర సంఖ్య, A మరియు Bలను కలిపే విభాగంలో 1/2 కంటే ఎక్కువ. ఈ నిర్వచనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం నుండి తీసుకోబడింది.

గమనిక!ఇతర నిర్వచనాలు ఉన్నాయి. వృత్తం అనేది ఒక సర్కిల్‌లోని ప్రాంతం. వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత దాని పొడవు. ద్వారా వివిధ నిర్వచనాలుసర్కిల్ దాని సరిహద్దు అయిన వక్రరేఖను కలిగి ఉండవచ్చు లేదా చేర్చకపోవచ్చు.

సర్కిల్ యొక్క నిర్వచనం

సూత్రాలు

వ్యాసార్థాన్ని ఉపయోగించి వృత్తం చుట్టుకొలతను ఎలా లెక్కించాలి? ఇది సాధారణ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి చేయబడుతుంది:

ఇక్కడ L అనేది కావలసిన విలువ,

π అనేది పై సంఖ్య, ఇది దాదాపు 3.1413926కి సమానం.

సాధారణంగా, అవసరమైన విలువను కనుగొనడానికి, రెండవ అంకెకు πని ఉపయోగిస్తే సరిపోతుంది, అంటే 3.14, ఇది అవసరమైన ఖచ్చితత్వాన్ని అందిస్తుంది. కాలిక్యులేటర్లలో, ప్రత్యేకించి ఇంజనీరింగ్ వాటిలో, π సంఖ్య యొక్క విలువను స్వయంచాలకంగా నమోదు చేసే బటన్ ఉండవచ్చు.

హోదాలు

వ్యాసం ద్వారా కనుగొనడానికి క్రింది సూత్రం ఉంది:

L ఇప్పటికే తెలిసినట్లయితే, వ్యాసార్థం లేదా వ్యాసం సులభంగా కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, L తప్పనిసరిగా 2π లేదా πతో భాగించబడాలి.

సర్కిల్ ఇప్పటికే ఇవ్వబడి ఉంటే, ఈ డేటా నుండి చుట్టుకొలతను ఎలా కనుగొనాలో మీరు అర్థం చేసుకోవాలి. వృత్తం యొక్క వైశాల్యం S = πR2. ఇక్కడ నుండి మనం వ్యాసార్థాన్ని కనుగొంటాము: R = √(S/π). అప్పుడు

L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).

L పరంగా ప్రాంతాన్ని లెక్కించడం కూడా సులభం: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)

సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే, మూడు ప్రాథమిక సూత్రాలు ఉన్నాయని మనం చెప్పగలం:

• వ్యాసార్థం ద్వారా - L = 2πR;
• వ్యాసం ద్వారా - L = πD;
• వృత్తం యొక్క ప్రాంతం ద్వారా - L = 2√(Sπ).

పై

π సంఖ్య లేకుండా పరిశీలనలో ఉన్న సమస్యను పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు. వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత దాని వ్యాసానికి నిష్పత్తిగా మొదట π సంఖ్య కనుగొనబడింది. ఇది పురాతన బాబిలోనియన్లు, ఈజిప్షియన్లు మరియు భారతీయులు చేశారు. వారు దానిని చాలా ఖచ్చితంగా కనుగొన్నారు - వాటి ఫలితాలు ప్రస్తుతం తెలిసిన π విలువ నుండి 1% కంటే ఎక్కువ తేడా లేకుండా ఉన్నాయి. స్థిరాంకం 25/8, 256/81, 339/108 వంటి భిన్నాల ద్వారా అంచనా వేయబడింది.

ఇంకా, ఈ స్థిరాంకం యొక్క విలువ జ్యామితి కోణం నుండి మాత్రమే కాకుండా, దృక్కోణం నుండి కూడా లెక్కించబడుతుంది గణిత విశ్లేషణసిరీస్ మొత్తాల ద్వారా. ఈ స్థిరాంకం యొక్క హోదా గ్రీకు అక్షరంπ మొట్టమొదట 1706లో విలియం జోన్స్చే ఉపయోగించబడింది మరియు ఆయిలర్ యొక్క పని తర్వాత ప్రజాదరణ పొందింది.

ఈ స్థిరాంకం అనంతం కాని ఆవర్తన అని ఇప్పుడు తెలిసింది దశాంశ, ఇది అహేతుకం, అంటే, ఇది రెండు పూర్ణాంకాల నిష్పత్తిగా సూచించబడదు. సూపర్ కంప్యూటర్ లెక్కలను ఉపయోగించి, స్థిరాంకం యొక్క 10-ట్రిలియన్ల గుర్తు 2011లో కనుగొనబడింది.

ఇది ఆసక్తికరంగా ఉంది!π సంఖ్య యొక్క మొదటి కొన్ని అంకెలను గుర్తుంచుకోవడానికి, వివిధ స్మృతి నియమాలు. కొన్ని మీరు మెమరీలో నిల్వ చేయడానికి అనుమతిస్తాయి పెద్ద సంఖ్యసంఖ్యలు, ఉదాహరణకు, ఒక ఫ్రెంచ్ పద్యం 126వ అంకె వరకు పైని గుర్తుంచుకోవడానికి మీకు సహాయం చేస్తుంది.

మీకు చుట్టుకొలత అవసరమైతే, దీనికి ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ మీకు సహాయం చేస్తుంది. అటువంటి అనేక కాలిక్యులేటర్లు ఉన్నాయి; మీరు వ్యాసార్థం లేదా వ్యాసాన్ని నమోదు చేయాలి. వాటిలో కొన్ని ఈ రెండు ఎంపికలను కలిగి ఉంటాయి, ఇతరులు R ద్వారా మాత్రమే ఫలితాన్ని గణిస్తారు. కొన్ని కాలిక్యులేటర్లు కావలసిన విలువను వేర్వేరు ఖచ్చితత్వంతో లెక్కించగలవు, మీరు దశాంశ స్థానాల సంఖ్యను పేర్కొనాలి. మీరు ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌లను ఉపయోగించి సర్కిల్ వైశాల్యాన్ని కూడా లెక్కించవచ్చు.

ఇటువంటి కాలిక్యులేటర్‌లను ఏదైనా శోధన ఇంజిన్‌తో సులభంగా కనుగొనవచ్చు. కూడా ఉన్నాయి మొబైల్ అప్లికేషన్లు, ఇది వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను ఎలా కనుగొనాలనే సమస్యను పరిష్కరించడానికి సహాయపడుతుంది.

ఉపయోగకరమైన వీడియో: చుట్టుకొలత

ఆచరణాత్మక ఉపయోగం

అటువంటి సమస్యను పరిష్కరించడం అనేది ఇంజనీర్లు మరియు వాస్తుశిల్పులకు చాలా తరచుగా అవసరం, కానీ రోజువారీ జీవితంలో జ్ఞానం అవసరమైన సూత్రాలుపనికి కూడా రావచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు 20 సెంటీమీటర్ల వ్యాసంతో అచ్చులో కాల్చిన కేక్ చుట్టూ కాగితపు పట్టీని చుట్టాలి. అప్పుడు ఈ స్ట్రిప్ యొక్క పొడవును కనుగొనడం కష్టం కాదు:

L = πD = 3.14 * 20 = 62.8 సెం.మీ.

మరొక ఉదాహరణ: మీరు ఒక నిర్దిష్ట దూరం వద్ద ఒక రౌండ్ పూల్ చుట్టూ కంచెని నిర్మించాలి. పూల్ యొక్క వ్యాసార్థం 10 మీ, మరియు కంచెని 3 మీటర్ల దూరంలో ఉంచాల్సిన అవసరం ఉంటే, ఫలితంగా వచ్చే సర్కిల్‌కు R 13 మీ. అప్పుడు దాని పొడవు:

L = 2πR = 2 * 3.14 * 13 = 81.68 మీ.

ఉపయోగకరమైన వీడియో: సర్కిల్ - వ్యాసార్థం, వ్యాసం, చుట్టుకొలత

క్రింది గీత

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతను సులభంగా లెక్కించవచ్చు సాధారణ సూత్రాలు, వ్యాసం లేదా వ్యాసార్థంతో సహా. మీరు వృత్తం యొక్క ప్రాంతం ద్వారా కావలసిన పరిమాణాన్ని కూడా కనుగొనవచ్చు. మీరు నమోదు చేయాల్సిన ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్‌లు లేదా మొబైల్ అప్లికేషన్‌లు ఏకవచనం- వ్యాసం లేదా వ్యాసార్థం.

సర్కిల్ భావన

నిర్వచనం 1

వృత్తం -- రేఖాగణిత బొమ్మ, ఇచ్చిన పాయింట్ నుండి సమాన దూరంలో ఉన్న అన్ని పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది.

నిర్వచనం 2

నిర్వచనం 1 లోపల, సెట్ పాయింట్వృత్తం యొక్క కేంద్రం అని పిలుస్తారు.

నిర్వచనం 3

వృత్తం యొక్క కేంద్రాన్ని దాని బిందువులలో దేనితోనైనా అనుసంధానించే విభాగాన్ని సర్కిల్ $(r)$ (Fig. 1) యొక్క వ్యాసార్థం అంటారు.

చిత్రం 1. $O$ మరియు వ్యాసార్థం $r$ వద్ద మధ్యలో ఉన్న సర్కిల్

వృత్తం యొక్క సమీకరణం

లో వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుదాం కార్టేసియన్ వ్యవస్థకోఆర్డినేట్ $xOy$. $C$ సర్కిల్ మధ్యలో $(x_0,y_0)$ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉండనివ్వండి మరియు సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థం $r$కి సమానంగా ఉండాలి. కోఆర్డినేట్‌లతో $M$ పాయింట్‌ని అనుమతించండి $(x,y)$ -- ఏకపక్ష పాయింట్ఈ సర్కిల్ (Fig. 2).

మూర్తి 2. కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో సర్కిల్

వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి పాయింట్ $M$ వరకు దూరం క్రింది విధంగా లెక్కించబడుతుంది

కానీ, $M$ సర్కిల్‌పై ఉన్నందున, నిర్వచనం 3 ప్రకారం, మనకు $CM=r$ వస్తుంది. అప్పుడు మేము ఈ క్రింది వాటిని పొందుతాము

సమీకరణం (1) అనేది $(x_0,y_0)$ మరియు వ్యాసార్థం $r$ వద్ద మధ్యలో ఉన్న వృత్తం యొక్క సమీకరణం.

ప్రత్యేకించి, వృత్తం యొక్క కేంద్రం మూలంతో సమానంగా ఉంటే. వృత్తం యొక్క ఆ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

చుట్టుకొలత

వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం ప్రకారం $C$ చుట్టుకొలత కోసం సూత్రాన్ని పొందుదాం. దీన్ని చేయడానికి, $C$ మరియు $C"$ మరియు వ్యాసార్థం $R$ మరియు $R"$లతో రెండు సర్కిల్‌లను పరిగణించండి. దానిలో వరుసగా $P$ మరియు $P"$ మరియు సైడ్ లెంగ్త్‌లు $a$ మరియు $a"$తో సాధారణ $n-gons$ అని వ్రాయండి. మనకు తెలిసినట్లుగా, చెక్కబడిన త్రిభుజం యొక్క వైపు సమానంగా ఉంటుంది

అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

అందుకే

సాధారణ బహుభుజాల భుజాల సంఖ్యను అపరిమితంగా పెంచడం $n$ మనం దాన్ని పొందుతాము

ఇక్కడ నుండి మేము పొందుతాము

వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత మరియు దాని వ్యాసం యొక్క నిష్పత్తి ఏదైనా వృత్తానికి స్థిరమైన సంఖ్య అని మేము కనుగొన్నాము. ఈ స్థిరాంకం సాధారణంగా $\pi \ సుమారు 3.14$ సంఖ్యతో సూచించబడుతుంది. అందువలన, మేము పొందుతాము

ఫార్ములా (2) అనేది చుట్టుకొలతను లెక్కించడానికి సూత్రం.

ఒక వృత్తం యొక్క ప్రాంతం

నిర్వచనం 4

వృత్తం-- ఒక వృత్తంతో చుట్టబడిన విమానంలో భాగం.

ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి ఒక ఫార్ములాను పొందుదాం.

కింది పరిస్థితిని పరిగణించండి. మాకు $R$ వ్యాసార్థంతో ఒక వృత్తాన్ని అందించండి. దాని ప్రాంతాన్ని $S$తో సూచిస్తాం. $S_n$ విస్తీర్ణంతో ఒక సాధారణ-గోన్ దానిలో చెక్కబడి ఉంటుంది, దానిలో $(S")_n$ ప్రాంతంతో ఒక సర్కిల్ చెక్కబడి ఉంటుంది (Fig. 3).

మూర్తి 3.

బొమ్మను బట్టి అది స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది

మేము ఈ క్రింది వాటిని ఉపయోగిస్తాము బాగా తెలిసిన ఫార్ములాకోసం సాధారణ బహుభుజి:

మేము ఇప్పుడు పరిమితి లేకుండా సాధారణ బహుభుజి వైపుల సంఖ్యను పెంచుతాము. అప్పుడు, $n\ to \infty $ వరకు, మేము పొందుతాము

సూత్రం ప్రకారం, సాధారణ బహుభుజి వైశాల్యం $S_n=\frac(1)(2)P_nr$, $P_n\ to 2\pi R$కి సమానం, కాబట్టి

ఫార్ములా (3) అనేది వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రం.

వృత్తం యొక్క భావనపై ఉదాహరణ సమస్య

ఉదాహరణ 1

పాయింట్ $(1,\ 1)$ వద్ద మధ్యలో ఉన్న సర్కిల్ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి. మూలం గుండా వెళుతూ, ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క పొడవు మరియు ఇచ్చిన వృత్తం ద్వారా సరిహద్దులుగా ఉన్న వృత్తం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ముందుగా ఈ వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి. దీని కోసం మేము ఫార్ములా (1) ఉపయోగిస్తాము. వృత్తం యొక్క కేంద్రం $(1,\ 1)$ వద్ద ఉన్నందున, మనకు లభిస్తుంది

\[((x-1))^2+((y-1))^2=r^2\]

$(1,\ 1)$ బిందువు నుండి $(0,0)$ వరకు ఉన్న దూరం వలె సర్కిల్ యొక్క వ్యాసార్థాన్ని కనుగొనండి

వృత్తం యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉందని మేము కనుగొన్నాము:

\[((x-1))^2+((y-1))^2=2\]

ఫార్ములా (2) ఉపయోగించి చుట్టుకొలతను కనుగొనండి. మాకు దొరికింది

ఫార్ములా (3)ని ఉపయోగించి ప్రాంతాన్ని కనుగొనండి

సమాధానం:$((x-1))^2+((y-1))^2=2$, $C=2\sqrt(2)\pi $, $S=2\pi $