Upanuzi wa maonyesho katika mfululizo wa Taylor, Maclaurin na Laurent kwenye tovuti ya mafunzo ya ujuzi wa vitendo. Upanuzi wa mfululizo huu wa chaguo za kukokotoa huruhusu wanahisabati kukadiria takriban thamani ya chaguo za kukokotoa wakati fulani katika kikoa chake cha ufafanuzi. Ni rahisi zaidi kuhesabu thamani ya kazi hiyo ikilinganishwa na kutumia meza ya Bredis, ambayo haina maana katika karne hii. teknolojia ya kompyuta. Kupanua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor kunamaanisha kukokotoa hesabu hapo awali kazi za mstari mfululizo huu na uandike ndani fomu sahihi. Wanafunzi huchanganya safu hizi mbili, bila kuelewa ni nini kesi ya jumla, na ni kesi gani maalum ya pili. Tunakukumbusha mara moja na kwa wote, mfululizo wa Maclaurin - kesi maalum Mfululizo wa Taylor, yaani, huu ni mfululizo wa Taylor, lakini kwa uhakika x = 0. Maingizo yote mafupi ya upanuzi wa kazi zinazojulikana, kama vile e^x, Sin(x), Cos(x) na wengine, ni upanuzi wa mfululizo wa Taylor, lakini kwa uhakika 0 kwa hoja. Kwa utendakazi wa hoja changamano, mfululizo wa Laurent ndilo tatizo la kawaida katika TFCT, kwa kuwa unawakilisha mfululizo usio na kikomo wa pande mbili. Ni jumla ya safu mbili. Tunashauri uangalie mfano wa mtengano moja kwa moja kwenye tovuti; hii ni rahisi sana kufanya kwa kubofya "Mfano" na nambari yoyote, na kisha kitufe cha "Suluhisho". Ni hasa upanuzi huu wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo unaohusishwa na mfululizo wa kuzidisha ambao unaweka kikomo cha utendaji kazi asilia katika eneo fulani kando ya mhimili wa kuratibu ikiwa utofauti ni wa eneo la abscissa. Uchambuzi wa Vector Taaluma nyingine ya kuvutia katika hisabati inalinganishwa. Kwa kuwa kila neno linahitaji kuchunguzwa, mchakato unahitaji muda mwingi. Mfululizo wowote wa Taylor unaweza kuhusishwa na mfululizo wa Maclaurin kwa kubadilisha x0 na sifuri, lakini kwa mfululizo wa Maclaurin wakati mwingine si dhahiri kuwakilisha mfululizo wa Taylor kinyume chake. Haijalishi ni kiasi gani hiki kinahitajika kufanywa ndani fomu safi, lakini ya kuvutia kwa maendeleo ya jumla ya kibinafsi. Kila mfululizo wa Laurent unalingana na mfululizo wa nguvu usio na kikomo wa pande mbili katika nambari kamili nguvu z-a, kwa maneno mengine, mfululizo wa aina sawa ya Taylor, lakini tofauti kidogo katika hesabu ya coefficients. Tutazungumza juu ya eneo la muunganisho wa safu ya Laurent baadaye kidogo, baada ya mahesabu kadhaa ya kinadharia. Kama ilivyokuwa katika karne iliyopita, upanuzi wa hatua kwa hatua wa kazi katika mfululizo hauwezi kupatikana kwa urahisi kwa kupunguza masharti. dhehebu la kawaida, kwa kuwa kazi katika madhehebu hazina mstari. Hesabu ya takriban umuhimu wa utendaji inahitaji kuweka kazi. Fikiria juu ya ukweli kwamba wakati hoja ya safu ya Taylor ni tofauti ya mstari, basi upanuzi hutokea kwa hatua kadhaa, lakini picha ni tofauti kabisa wakati hoja ya kazi inayopanuliwa ni kazi ngumu au isiyo ya mstari, basi mchakato wa kuwakilisha kazi hiyo katika mfululizo wa nguvu ni dhahiri, kwa kuwa, kwa njia hii Kwa hivyo, ni rahisi kuhesabu, ingawa thamani ya takriban, wakati wowote katika eneo la ufafanuzi, na kosa la chini ambalo lina athari kidogo kwa mahesabu zaidi. Hii inatumika pia kwa mfululizo wa Maclaurin. wakati unahitaji kutathmini chaguo la kukokotoa katika pointi sifuri. Hata hivyo, mfululizo wa Laurent yenyewe unawakilishwa hapa na upanuzi kwenye ndege yenye vitengo vya kufikiria. Pia haitakuwa bila mafanikio suluhisho sahihi kazi wakati mchakato wa jumla. Mbinu hii haijulikani katika hisabati, lakini ipo kwa ukamilifu. Kama matokeo, unaweza kufikia hitimisho la kinachojulikana kama subsets, na katika upanuzi wa kazi katika safu unahitaji kutumia njia zinazojulikana kwa mchakato huu, kama vile matumizi ya nadharia ya derivatives. Tena Tuna hakika kwamba mwalimu ni sahihi, ambaye alifanya mawazo yake kuhusu matokeo ya mahesabu ya baada ya computational. Wacha tukumbuke kuwa safu ya Taylor, iliyopatikana kulingana na kanuni zote za hesabu, ipo na imefafanuliwa kwenye mhimili mzima wa nambari, hata hivyo, watumiaji wapendwa wa huduma ya tovuti, usisahau aina ya kazi ya asili, kwa sababu inaweza kuibuka. kwamba mwanzoni ni muhimu kuanzisha kikoa cha ufafanuzi wa kazi, yaani, kuandika na kuwatenga kutoka kwa kuzingatia zaidi pointi hizo ambazo kazi haijafafanuliwa katika kanda. nambari za kweli. Kwa hivyo kusema, hii itaonyesha ufanisi wako katika kutatua tatizo. Ujenzi wa mfululizo wa Maclaurin wenye thamani ya hoja sifuri hautakuwa ubaguzi kwa yale ambayo yamesemwa. Hakuna aliyeghairi mchakato wa kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa, na ni lazima ulifikie hili kwa uzito wote operesheni ya hisabati. Kwa upande wa safu ya Laurent iliyo na sehemu kuu, parameta "a" itaitwa sehemu ya pekee, na safu ya Laurent itapanuliwa kwa pete - hii ni makutano ya maeneo ya muunganisho wa sehemu zake, kwa hivyo. nadharia inayolingana itafuata. Lakini sio kila kitu ni ngumu kama inavyoweza kuonekana mwanzoni kwa mwanafunzi asiye na uzoefu. Baada ya kusoma safu ya Taylor, unaweza kuelewa kwa urahisi safu ya Laurent - kesi ya jumla ya kupanua nafasi ya nambari. Upanuzi wowote wa mfululizo wa chaguo za kukokotoa unaweza kufanywa tu katika hatua katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Sifa za utendakazi kama vile ukadiriaji au utofautishaji usio na kikomo zinapaswa kuzingatiwa. Pia tunapendekeza utumie jedwali la upanuzi wa mfululizo wa Taylor uliotengenezwa tayari kazi za msingi, kwa kuwa chaguo la kukokotoa moja linaweza kuwakilishwa na hadi safu kadhaa tofauti za nishati, kama inavyoweza kuonekana kwa kutumia kikokotoo chetu cha mtandaoni. Mfululizo wa mtandaoni Kuamua Maclaurin ni rahisi kama pears za makombora, ikiwa unatumia huduma ya kipekee ya tovuti, unahitaji tu kuingiza kazi sahihi iliyoandikwa na utapokea jibu lililowasilishwa katika suala la sekunde, itahakikishiwa kuwa sahihi na kwa kiwango. fomu ya maandishi. Unaweza kunakili matokeo moja kwa moja kwenye nakala safi kwa ajili ya kuwasilishwa kwa mwalimu. Itakuwa sahihi kwanza kuamua uchanganuzi wa kazi katika swali katika pete, na kisha bila utata kusema kwamba inaweza kupanua katika mfululizo wa Laurent katika pete hizo zote. Ni muhimu kutopoteza mtazamo wa yaliyomo nguvu hasi wanachama wa mfululizo wa Laurent. Kuzingatia hili iwezekanavyo. Tumia vyema nadharia ya Laurent kuhusu upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika nguvu kamili.
Kwa wanafunzi hisabati ya juu ni lazima ijulikane kwamba kiasi cha fulani mfululizo wa nguvu, ambayo ni ya muda wa muunganiko wa mfululizo tuliopewa, inageuka kuwa idadi inayoendelea na isiyo na kikomo ya nyakati. kazi tofauti. Swali linatokea: inaweza kusemwa kuwa iliyotolewa kazi ya kiholela f(x) ni jumla ya mfululizo fulani wa nguvu? Hiyo ni, katika hali gani kazi f(x) inaweza kuonyeshwa? mfululizo wa nguvu? Umuhimu wa swali hili uko katika ukweli kwamba inawezekana kuchukua nafasi ya chaguo la kukokotoa f(x) na jumla ya masharti machache ya kwanza ya mfululizo wa nguvu, yaani, polynomial. Uingizwaji huu wa chaguo za kukokotoa ni sawa usemi rahisi- polynomial - pia ni rahisi wakati wa kutatua matatizo fulani, yaani: wakati wa kutatua vipengele, wakati wa kuhesabu, nk.
Imethibitishwa kuwa kwa kazi fulani f(x), ambayo inawezekana kukokotoa viambajengo hadi mpangilio wa (n+1), pamoja na wa mwisho, katika kitongoji cha (α - R; x 0 + R). ) hatua fulani x = α, ni kweli kwamba fomula:
Njia hii inaitwa baada ya mwanasayansi maarufu Brooke Taylor. Mfululizo unaopatikana kutoka kwa uliopita unaitwa mfululizo wa Maclaurin:
Sheria ambayo inafanya uwezekano wa kufanya upanuzi katika safu ya Maclaurin:
- Kuamua derivatives ya amri ya kwanza, ya pili, ya tatu ....
- Kokotoa ni nini derivatives katika x=0 ni sawa.
- Andika mfululizo wa Maclaurin kwa kazi hii, na kisha uamua muda wa muunganisho wake.
- Bainisha muda (-R;R), ambapo salio la fomula ya Maclaurin
R n (x) -> 0 saa n -> infinity. Ikiwa moja iko, chaguo za kukokotoa f(x) ndani yake lazima zilandane na jumla ya mfululizo wa Maclaurin.
Wacha sasa tuzingatie safu ya Maclaurin kwa kazi za kibinafsi.
1. Kwa hiyo, ya kwanza itakuwa f(x) = e x. Bila shaka, kwa sifa zake, chaguo la kukokotoa kama hili lina viambishi vya maagizo tofauti sana, na f (k) (x) = e x , ambapo k ni sawa na zote. Badala x = 0. Tunapata f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Kulingana na hapo juu, mfululizo e x utaonekana kama hii:
2. Mfululizo wa Maclaurin kwa kazi f(x) = sin x. Hebu tufafanue mara moja kwamba kazi ya yote haijulikani itakuwa na derivatives, kwa kuongeza, f "(x) = cos x = dhambi(x+n/2), f "" (x) = -sin x = dhambi(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = dhambi(x+k*n/2), ambapo k ni sawa na yoyote nambari ya asili. Hiyo ni, baada ya kufanya mahesabu rahisi, tunaweza kufikia hitimisho kwamba safu ya f(x) = sin x itakuwa ya fomu ifuatayo:
3. Sasa hebu tujaribu kuzingatia kazi f(x) = cos x. Kwa yote yasiyojulikana ina derivatives ya utaratibu wa kiholela, na |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:
Kwa hivyo, tumeorodhesha kazi muhimu zaidi ambazo zinaweza kupanuliwa katika mfululizo wa Maclaurin, lakini zinaongezewa na mfululizo wa Taylor kwa kazi fulani. Sasa tutaziorodhesha. Inafaa pia kuzingatia kwamba mfululizo wa Taylor na Maclaurin ni sehemu muhimu ya kazi ya vitendo katika kutatua mfululizo katika hisabati ya juu. Kwa hivyo, mfululizo wa Taylor.
1. Ya kwanza itakuwa mfululizo wa kazi f(x) = ln(1+x). Kama ilivyo katika mifano iliyopita, kwa f(x) = ln(1+x) iliyotolewa tunaweza kuongeza mfululizo kwa kutumia aina ya jumla ya mfululizo wa Maclaurin. hata hivyo, kwa kazi hii mfululizo wa Maclaurin unaweza kupatikana kwa urahisi zaidi. Baada ya kuunganisha mfululizo fulani wa kijiometri, tunapata mfululizo wa f(x) = ln(1+x) wa sampuli kama hii:
2. Na ya pili, ambayo itakuwa ya mwisho katika makala yetu, itakuwa mfululizo wa f (x) = arctan x. Kwa x inayomilikiwa na muda [-1;1] upanuzi ni halali:
Ni hayo tu. Nakala hii ilichunguza safu zinazotumika zaidi za Taylor na Maclaurin katika hisabati ya juu, haswa katika vyuo vikuu vya uchumi na ufundi.
Ikiwa kazi f(x) ina kwa muda fulani iliyo na uhakika A, derivatives ya maagizo yote, basi formula ya Taylor inaweza kutumika kwake:
Wapi r n- kinachojulikana muda uliosalia au salio la mfululizo, inaweza kukadiriwa kwa kutumia fomula ya Lagrange:
, ambapo nambari x iko kati X Na A.
Ikiwa kwa thamani fulani x r n®0 saa n®¥, kisha katika kikomo fomula ya Taylor inabadilika kuwa fomula inayounganika kwa thamani hii Mfululizo wa Taylor:
Hivyo kazi f(x) inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Taylor katika hatua inayohusika X, Kama:
1) ina derivatives ya maagizo yote;
2) safu iliyojengwa inaungana katika hatua hii.
Katika A=0 tunapata mfululizo unaoitwa karibu na Maclaurin:
Mfano 1 f(x)= 2x.
Suluhisho. Wacha tupate maadili ya chaguo la kukokotoa na derivatives yake X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢(x) = 2x ln 2 2, f¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya derivatives kwenye fomula ya safu ya Taylor, tunapata:
Radi ya muunganiko wa mfululizo huu ni sawa na infinity, kwa hivyo upanuzi huu ni halali kwa -¥<x<+¥.
Mfano 2 X+4) kwa chaguo za kukokotoa f(x)= e x.
Suluhisho. Kutafuta derivatives ya kazi e x na maadili yao kwa uhakika X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Kwa hivyo, safu inayohitajika ya Taylor ya kazi ina fomu:
Upanuzi huu pia ni halali kwa -¥<x<+¥.
Mfano 3 . Panua kipengele cha kukokotoa f(x)=n x katika mfululizo wa mamlaka ( X- 1),
(yaani katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika X=1).
Suluhisho. Tafuta derivatives ya chaguo hili la kukokotoa.
Kubadilisha maadili haya kwenye fomula, tunapata safu inayotaka ya Taylor:
Kwa kutumia jaribio la d'Alembert, unaweza kuthibitisha kuwa mfululizo unakutana lini
½ X- 1½<1. Действительно,
Mfululizo huungana ikiwa ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 tunapata mfululizo mbadala ambao unakidhi masharti ya kigezo cha Leibniz. Katika X=0 kazi haijafafanuliwa. Kwa hivyo, eneo la muunganiko wa safu ya Taylor ni kipindi cha nusu-wazi (0;2].
Wacha tuwasilishe upanuzi uliopatikana kwa njia hii kwenye safu ya Maclaurin (yaani, karibu na uhakika. X=0) kwa kazi zingine za kimsingi:
(2) 
,
(3) 
,
( mtengano wa mwisho unaitwa mfululizo wa binomial)
Mfano 4 . Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati
Suluhisho. Katika upanuzi (1) tunabadilisha X juu ya - X 2, tunapata:
Mfano 5
. Panua utendaji kazi katika mfululizo wa Maclaurin 
Suluhisho. Tuna 
Kwa kutumia fomula (4), tunaweza kuandika:
badala yake X kwenye fomula -X, tunapata:
Kutoka hapa tunapata:
Kufungua mabano, kupanga upya masharti ya mfululizo na kuleta masharti sawa, tunapata
Mfululizo huu hukutana katika muda
(-1;1), kwa kuwa inapatikana kutoka kwa safu mbili, ambazo kila moja huungana katika muda huu.
Maoni .
Fomula (1)-(5) pia inaweza kutumika kupanua kazi zinazolingana katika mfululizo wa Taylor, i.e. kwa kupanua utendaji katika mamlaka chanya kamili ( Ha) Ili kufanya hivyo, inahitajika kufanya mabadiliko kama haya kwenye kazi fulani ili kupata moja ya kazi (1) - (5), ambayo badala yake. X gharama k( Ha) m , ambapo k ni nambari isiyobadilika, m ni nambari chanya. Mara nyingi ni rahisi kufanya mabadiliko ya kutofautiana t=Ha na kupanua utendaji unaotokana na t katika mfululizo wa Maclaurin.
Mbinu hii inaonyesha nadharia juu ya upekee wa upanuzi wa mfululizo wa nishati wa chaguo za kukokotoa. Kiini cha nadharia hii ni kwamba katika kitongoji cha sehemu hiyo hiyo safu mbili tofauti za nguvu haziwezi kupatikana ambazo zinaweza kuunganishwa kwa kazi sawa, bila kujali jinsi upanuzi wake unafanywa.
Mfano 6 . Panua utendaji kazi katika mfululizo wa Taylor katika ujirani wa uhakika X=3.
Suluhisho. Shida hii inaweza kutatuliwa, kama hapo awali, kwa kutumia ufafanuzi wa safu ya Taylor, ambayo tunahitaji kupata derivatives ya kazi na maadili yao. X=3. Walakini, itakuwa rahisi kutumia upanuzi uliopo (5):
Mfululizo unaotokana huungana saa 
au -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
Mfano 7
. Andika mfululizo wa Taylor kwa mamlaka ( X-1) kazi 
.
Suluhisho.
Mfululizo unaungana saa 
, au 2< x£5.
16.1. Upanuzi wa kazi za msingi katika mfululizo wa Taylor na
Maclaurin
Hebu tuonyeshe kwamba ikiwa kazi ya kiholela imefafanuliwa kwenye seti 
, katika eneo la uhakika 
ina derivatives nyingi na ni jumla ya mfululizo wa nguvu:
basi unaweza kupata coefficients ya mfululizo huu.
Wacha tubadilishe katika safu ya nguvu 
. Kisha 
.
Wacha tupate derivative ya kwanza ya chaguo la kukokotoa 
:
Katika 
:
.
Kwa derivative ya pili tunapata:
Katika 
:
.
Kuendeleza utaratibu huu n mara tu tunapopata: 
.
Kwa hivyo, tulipata safu ya nguvu ya fomu:
,
ambayo inaitwa karibu na Taylor kwa kazi 
katika eneo la uhakika 
.
Kesi maalum ya safu ya Taylor ni Mfululizo wa Maclaurin katika 
:
Salio la safu ya Taylor (Maclaurin) hupatikana kwa kutupilia mbali safu kuu n wanachama wa kwanza na inaonyeshwa kama 
. Kisha kazi 
inaweza kuandikwa kama jumla n wanachama wa kwanza wa mfululizo 
na iliyobaki 
:,
.
Salio ni kawaida 
imeonyeshwa kwa fomula tofauti.
Mmoja wao yuko katika fomu ya Lagrange:
, Wapi 
.
.
Kumbuka kuwa katika mazoezi mfululizo wa Maclaurin hutumiwa mara nyingi zaidi. Hivyo, ili kuandika kazi 
kwa namna ya jumla ya mfululizo wa nguvu ni muhimu:
1) pata coefficients ya mfululizo wa Maclaurin (Taylor);
2) pata eneo la muunganisho wa safu ya nguvu inayotokana;
3) thibitisha kuwa safu hii inabadilika kuwa chaguo la kukokotoa 
.
Nadharia1
(hali ya lazima na ya kutosha kwa muunganisho wa mfululizo wa Maclaurin). Hebu radius ya muunganisho wa mfululizo 
. Ili mfululizo huu uungane katika muda 
kufanya kazi 
, ni muhimu na inatosha ili sharti litimizwe: 
katika muda maalum.
Nadharia 2. Ikiwa derivatives ya mpangilio wowote wa chaguo za kukokotoa 
katika muda fulani 
imepunguzwa kwa thamani kamili kwa nambari sawa M, hiyo ni 
, basi katika kipindi hiki kitendakazi 
inaweza kupanuliwa katika mfululizo wa Maclaurin.
Mfano1
.
Panua katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika 
kazi.
Suluhisho.
.
,;
,
;
,
;
,
.......................................................................................................................................
,
;
Eneo la muunganiko 
.
Mfano2
.
Panua kipengele cha kukokotoa 
katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika 
.
Suluhisho:
Pata thamani ya chaguo za kukokotoa na viambajengo vyake katika 
.
,
;
,
;
...........……………………………
,
.
Wacha tuweke maadili haya kwa safu. Tunapata:
au 
.
Wacha tupate eneo la muunganisho wa safu hii. Kulingana na jaribio la d'Alembert, safu hubadilika ikiwa
.
Kwa hivyo, kwa yoyote 
kikomo hiki ni chini ya 1, na kwa hivyo anuwai ya muunganisho wa safu itakuwa: 
.
Hebu tuchunguze mifano kadhaa ya upanuzi wa mfululizo wa Maclaurin wa kazi za msingi za msingi. Kumbuka kwamba mfululizo wa Maclaurin:
.
huungana kwa muda 
kufanya kazi 
.
Kumbuka kwamba kupanua kazi katika mfululizo ni muhimu:
a) pata coefficients ya mfululizo wa Maclaurin kwa kazi hii;
b) kuhesabu radius ya muunganisho kwa mfululizo unaosababisha;
c) thibitisha kuwa safu inayotokana inabadilika kuwa chaguo la kukokotoa 
.
Mfano 3. Fikiria kazi 
.
Suluhisho.
Hebu tuhesabu thamani ya chaguo za kukokotoa na viambajengo vyake kwa 
.
Kisha mgawo wa nambari wa safu una fomu:
kwa mtu yeyote n. Wacha tubadilishe mgawo uliopatikana kwenye safu ya Maclaurin na tupate: 
Wacha tupate radius ya muunganisho wa safu inayosababishwa, ambayo ni:
.
Kwa hivyo, mfululizo hubadilika kwa muda 
.
Mfululizo huu hubadilika kuwa chaguo za kukokotoa 
kwa maadili yoyote 
, kwa sababu kwa muda wowote 
kazi 
na viasili vyake vya thamani kamili ni chache kwa idadi 
.
Mfano4
.
Fikiria kazi 
.
Suluhisho.
:
Ni rahisi kuona kwamba derivatives ya utaratibu hata 
, na derivatives ni za mpangilio usio wa kawaida. Wacha tubadilishe mgawo uliopatikana kwenye safu ya Maclaurin na tupate upanuzi:
Wacha tupate muda wa muunganisho wa safu hii. Kulingana na ishara ya d'Alembert:
kwa mtu yeyote 
. Kwa hivyo, mfululizo hubadilika kwa muda 
.
Mfululizo huu hubadilika kuwa chaguo za kukokotoa 
, kwa sababu derivatives zake zote ni mdogo kwa umoja.
Mfano5
.
.
Suluhisho.
Hebu tupate thamani ya kazi na derivatives yake 
:
Kwa hivyo, coefficients ya safu hii: 
Na 
, kwa hivyo:
Sawa na safu iliyotangulia, eneo la muunganisho 
. Mfululizo hubadilika kuwa chaguo za kukokotoa 
, kwa sababu derivatives zake zote ni mdogo kwa umoja.
Tafadhali kumbuka kuwa kazi 
upanuzi usio wa kawaida na wa mfululizo katika nguvu zisizo za kawaida, kazi 
- hata na upanuzi katika mfululizo katika nguvu hata.
Mfano6
.
Mfululizo wa Binomial: 
.
Suluhisho.
Hebu tupate thamani ya kazi na derivatives yake 
:
Kutoka kwa hii inaweza kuonekana kuwa:
Hebu tubadilishe thamani hizi za mgawo kwenye mfululizo wa Maclaurin na tupate upanuzi wa chaguo hili la kukokotoa katika mfululizo wa nishati:
Wacha tupate radius ya muunganisho wa safu hii:
Kwa hivyo, mfululizo hubadilika kwa muda 
. Katika maeneo ya kikomo 
Na 
mfululizo unaweza au usiungane kulingana na kipeo 
.
Msururu uliosomwa huungana kwa muda 
kufanya kazi 
, yaani, jumla ya mfululizo 
katika 
.
Mfano7
.
Hebu tupanue kazi katika mfululizo wa Maclaurin 
.
Suluhisho.
Ili kupanua kazi hii katika mfululizo, tunatumia mfululizo wa binomial katika 
. Tunapata: 
Kulingana na mali ya safu ya nguvu (mfululizo wa nguvu unaweza kuunganishwa katika eneo la muunganisho wake), tunapata muunganisho wa pande za kushoto na kulia za safu hii:
Wacha tupate eneo la muunganisho wa safu hii: 
,
yaani, eneo la muunganiko wa mfululizo huu ni muda 
. Wacha tuamue muunganisho wa safu kwenye miisho ya muda. Katika 
. Mfululizo huu ni mfululizo wenye usawa, yaani, hutofautiana. Katika 
tunapata mfululizo wa nambari na neno la kawaida 
.
Mfululizo huu hubadilika kulingana na jaribio la Leibniz. Kwa hivyo, eneo la muunganisho wa safu hii ni muda 
.
16.2. Utumiaji wa mfululizo wa nguvu katika mahesabu ya takriban
Katika makadirio ya hesabu, mfululizo wa nguvu una jukumu muhimu sana. Kwa msaada wao, meza za kazi za trigonometric, meza za logarithms, meza za maadili ya kazi nyingine zimeundwa, ambazo hutumiwa katika nyanja mbalimbali za ujuzi, kwa mfano, katika nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. Kwa kuongeza, upanuzi wa kazi katika mfululizo wa nguvu ni muhimu kwa utafiti wao wa kinadharia. Suala kuu wakati wa kutumia safu ya nguvu katika hesabu takriban ni suala la kukadiria kosa wakati wa kuchukua nafasi ya jumla ya safu na jumla ya kwanza. n wanachama.
Wacha tuchunguze kesi mbili:
kazi imepanuliwa katika mfululizo wa kubadilisha ishara;
kazi inapanuliwa katika mfululizo wa ishara ya mara kwa mara.
Kuhesabu kwa kutumia mfululizo mbadala
Hebu kazi 
kupanuliwa katika mfululizo wa nishati mbadala. Kisha wakati wa kuhesabu kazi hii kwa thamani maalum 
tunapata mfululizo wa nambari ambao tunaweza kutumia kigezo cha Leibniz. Kwa mujibu wa kigezo hiki, ikiwa jumla ya mfululizo inabadilishwa na jumla ya kwanza n masharti, basi kosa kamili halizidi muhula wa kwanza wa salio la safu hii, ambayo ni: 
.
Mfano8
.
Kokotoa 
kwa usahihi wa 0.0001.
Suluhisho.
Tutatumia mfululizo wa Maclaurin kwa 
, kubadilisha thamani ya pembe katika radiani:
Ikiwa tunalinganisha maneno ya kwanza na ya pili ya mfululizo na usahihi fulani, basi:.
Awamu ya tatu ya upanuzi:
chini ya usahihi wa hesabu uliobainishwa. Kwa hivyo, kuhesabu 
inatosha kuacha masharti mawili ya mfululizo, yaani
.
Hivyo 
.
Mfano9
.
Kokotoa 
kwa usahihi wa 0.001.
Suluhisho.
Tutatumia formula ya mfululizo wa binomial. Ili kufanya hivyo, hebu tuandike 
kama: 
.
Katika usemi huu 
,
Wacha tulinganishe kila masharti ya safu na usahihi ambao umebainishwa. Ni wazi kwamba 
. Kwa hivyo, kuhesabu 
inatosha kuacha masharti matatu ya mfululizo.
au 
.
Kuhesabu kwa kutumia mfululizo chanya
Mfano10
.
Hesabu nambari 
kwa usahihi wa 0.001.
Suluhisho.
Katika safu kwa chaguo la kukokotoa 
tubadilishe 
. Tunapata:
Wacha tukadirie hitilafu inayotokea wakati wa kuchukua nafasi ya jumla ya safu na jumla ya ya kwanza 
wanachama. Wacha tuandike ukosefu wa usawa dhahiri:
hiyo ni 2<
<3.
Используем формулу остаточного члена
ряда в форме Лагранжа:
,
.
Kulingana na shida, unahitaji kupata n kiasi kwamba ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: 
au 
.
Ni rahisi kuangalia kwamba wakati n= 6:
.
Kwa hivyo, 
.
Mfano11
.
Kokotoa 
kwa usahihi wa 0.0001.
Suluhisho.
Kumbuka kuwa kukokotoa logariti mtu anaweza kutumia mfululizo kwa chaguo hili la kukokotoa 
, lakini mfululizo huu unaungana polepole sana na ili kufikia usahihi uliotolewa itakuwa muhimu kuchukua masharti 9999! Kwa hivyo, kuhesabu logarithm, kama sheria, safu ya kazi hutumiwa 
, ambayo huungana kwa muda 
.
Hebu tuhesabu 
kwa kutumia mfululizo huu. Hebu 
, Kisha 
.
Kwa hivyo, 
,
Ili kuhesabu 
kwa usahihi fulani, chukua jumla ya maneno manne ya kwanza: 
.
Wengine wa mfululizo 
tuitupilie mbali. Wacha tukadirie kosa. Ni dhahiri kwamba 
au 
.
Kwa hivyo, katika safu ambayo ilitumika kwa hesabu, ilitosha kuchukua maneno manne tu ya kwanza badala ya 9999 kwenye safu ya kazi. 
.
Maswali ya kujitambua
1. Mfululizo wa Taylor ni nini?
2. Mfululizo wa Maclaurin ulikuwa na umbo gani?
3. Unda nadharia juu ya upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor.
4. Andika upanuzi wa mfululizo wa Maclaurin wa kazi kuu.
5. Onyesha maeneo ya muunganiko wa mfululizo unaozingatiwa.
6. Jinsi ya kukadiria kosa katika takriban mahesabu kwa kutumia mfululizo wa nguvu?
Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) lina viingilio vya maagizo yote kwa muda fulani ulio na nukta a, basi fomula ya Taylor inaweza kutumika kwake:
,
Wapi r n- kinachojulikana muda uliosalia au salio la mfululizo, inaweza kukadiriwa kwa kutumia fomula ya Lagrange:
, ambapo nambari x iko kati ya x na a.
Sheria za kuingiza kazi:
Ikiwa kwa thamani fulani X r n→0 kwa n→∞, kisha katika kikomo fomula ya Taylor inaungana kwa thamani hii Mfululizo wa Taylor:
,
Kwa hivyo, kazi f(x) inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Taylor katika hatua x inayozingatiwa ikiwa:
1) ina derivatives ya maagizo yote;
2) safu iliyojengwa inaungana katika hatua hii.
Wakati = 0 tunapata mfululizo unaoitwa karibu na Maclaurin:
,
Upanuzi wa kazi rahisi zaidi (za msingi) katika safu ya Maclaurin:
Vitendaji vya kielelezo
, R=∞
Kazi za Trigonometric 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Chaguo la kukokotoa actgx halipanui katika uwezo wa x, kwa sababu ctg0=∞
Vitendaji vya hyperbolic
Vipengele vya Logarithmic
, -1
Mfululizo wa Binomial
.
Mfano Nambari 1. Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati f(x)= 2x.
Suluhisho. Wacha tupate maadili ya chaguo la kukokotoa na derivatives yake X=0
f(x) = 2x, f( 0)
= 2 0
=1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0)
= 2 0
ln2= ln2;
f""(x) = 2x ln 2 2, f""( 0)
= 2 0
ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0)
= 2 0
ln n 2=ln n 2.
Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya derivatives kwenye formula ya safu ya Taylor, tunapata:
Radi ya muunganiko wa mfululizo huu ni sawa na infinity, kwa hivyo upanuzi huu ni halali kwa -∞<x<+∞.
Mfano Nambari 2. Andika mfululizo wa Taylor kwa mamlaka ( X+4) kwa chaguo za kukokotoa f(x)= e x.
Suluhisho. Kutafuta derivatives ya kazi e x na maadili yao kwa uhakika X=-4.
f(x)= e x, f(-4)
= e -4
;
f"(x)= e x, f"(-4)
= e -4
;
f""(x)= e x, f""(-4)
= e -4
;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4)
= e -4
.
Kwa hivyo, safu inayohitajika ya Taylor ya kazi ina fomu:
Upanuzi huu pia ni halali kwa -∞<x<+∞.
Mfano Nambari 3. Panua kipengele cha kukokotoa f(x)=n x katika mfululizo wa mamlaka ( X- 1),
(yaani katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika X=1).
Suluhisho. Tafuta derivatives ya chaguo hili la kukokotoa.
f(x)=lnx , , , ,
f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
Kubadilisha maadili haya kwenye fomula, tunapata safu inayotaka ya Taylor:
Kwa kutumia jaribio la d'Alembert, unaweza kuthibitisha kuwa mfululizo unaungana kwa ½x-1½<1 . Действительно,
Mfululizo huungana ikiwa ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 tunapata mfululizo mbadala ambao unakidhi masharti ya kigezo cha Leibniz. Wakati x=0 chaguo la kukokotoa halijafafanuliwa. Kwa hivyo, eneo la muunganiko wa safu ya Taylor ni kipindi cha nusu-wazi (0;2].
Mfano Nambari 4. Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati. Mfano Nambari 5. Panua kitendakazi katika mfululizo wa Maclaurin. Maoni
.
Njia hii inategemea nadharia juu ya upekee wa upanuzi wa chaguo la kukokotoa katika mfululizo wa nishati. Kiini cha nadharia hii ni kwamba katika kitongoji cha sehemu hiyo hiyo safu mbili tofauti za nguvu haziwezi kupatikana ambazo zinaweza kuunganishwa kwa kazi sawa, bila kujali jinsi upanuzi wake unafanywa. Mfano Nambari 5a. Panua kazi katika mfululizo wa Maclaurin na uonyeshe eneo la muunganisho. Sehemu ya 3/(1-3x) inaweza kuchukuliwa kuwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na kipunguzo cha 3x, ikiwa |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд
Mfano Nambari 6. Panua chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor karibu na nukta x = 3. Mfano Nambari 7. Andika mfululizo wa Taylor katika uwezo (x -1) wa chaguo za kukokotoa ln(x+2) . Mfano nambari 8. Panua chaguo za kukokotoa f(x)=sin(πx/4) katika mfululizo wa Taylor karibu na nukta x =2. Mfano Nambari 1. Hesabu ln(3) hadi 0.01 iliyo karibu zaidi. Mfano Nambari 2. Hesabu hadi 0.0001 iliyo karibu zaidi. Mfano Nambari 3. Kokotoa kiungo muhimu ∫ 0 1 4 dhambi (x) x hadi ndani ya 10 -5 . Mfano Nambari 4. Kokotoa sehemu muhimu ∫ 0 1 4 e x 2 kwa usahihi wa 0.001.
Suluhisho. Katika upanuzi (1) tunabadilisha x na -x 2, tunapata:
, -∞
Suluhisho. Tuna
Kwa kutumia fomula (4), tunaweza kuandika:
kubadilisha -x badala ya x kwenye fomula, tunapata:
Kuanzia hapa tunapata: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Kufungua mabano, kupanga upya masharti ya mfululizo na kuleta masharti sawa, tunapata
. Msururu huu huungana katika muda (-1;1), kwani hupatikana kutoka kwa safu mbili, ambazo kila moja huungana katika muda huu.
Fomula (1)-(5) pia inaweza kutumika kupanua kazi zinazolingana katika mfululizo wa Taylor, i.e. kwa kupanua utendaji katika mamlaka chanya kamili ( Ha) Ili kufanya hivyo, inahitajika kufanya mabadiliko kama haya kwenye kazi fulani ili kupata moja ya kazi (1) - (5), ambayo badala yake. X gharama k( Ha) m , ambapo k ni nambari isiyobadilika, m ni nambari chanya. Mara nyingi ni rahisi kufanya mabadiliko ya kutofautiana t=Ha na kupanua utendaji unaotokana na t katika mfululizo wa Maclaurin.
Suluhisho. Kwanza tunapata 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
kwa msingi:
na eneo la muunganiko |x|< 1/3.
Suluhisho. Shida hii inaweza kutatuliwa, kama hapo awali, kwa kutumia ufafanuzi wa safu ya Taylor, ambayo tunahitaji kupata derivatives ya kazi na maadili yao. X=3. Walakini, itakuwa rahisi kutumia upanuzi uliopo (5):
=
Mfululizo unaotokana huungana saa au -3
Suluhisho.
Msururu huungana kwa , au -2< x < 5.
Suluhisho. Wacha tufanye uingizwaji t=x-2:
Kwa kutumia upanuzi (3), ambapo tunabadilisha π / 4 t badala ya x, tunapata:
Mfululizo unaotokana hubadilika hadi kitendakazi ulichopewa kwa -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞
, (-∞Mahesabu ya takriban kwa kutumia mfululizo wa nishati
Mfululizo wa nguvu hutumiwa sana katika mahesabu ya takriban. Kwa msaada wao, unaweza kuhesabu maadili ya mizizi, kazi za trigonometric, logarithms ya nambari, na viunganisho dhahiri kwa usahihi fulani. Mfululizo pia hutumiwa wakati wa kuunganisha milinganyo tofauti.
Fikiria upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati:
Ili kukokotoa takriban thamani ya chaguo za kukokotoa katika hatua fulani X, mali ya eneo la muunganisho wa safu iliyoonyeshwa, za kwanza zimeachwa katika upanuzi wake. n wanachama ( n- nambari ya mwisho), na masharti yaliyobaki yanatupwa:
Ili kukadiria hitilafu ya takriban thamani iliyopatikana, ni muhimu kukadiria salio lililotupwa rn (x) . Ili kufanya hivyo, tumia mbinu zifuatazo:
Suluhisho. Wacha tutumie upanuzi ambapo x=1/2 (tazama mfano 5 kwenye mada iliyotangulia):
Wacha tuangalie ikiwa tunaweza kutupa salio baada ya masharti matatu ya kwanza ya upanuzi; ili kufanya hivi, tutaitathmini kwa kutumia jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana:
Ili tuweze kutupa hii iliyobaki na kupata
Suluhisho. Wacha tutumie safu ya binomial. Kwa kuwa 5 3 ni mchemraba wa nambari kamili iliyo karibu na 130, inashauriwa kuwakilisha nambari 130 kama 130 = 5 3 +5. 
kwa kuwa tayari muhula wa nne wa mfululizo unaofuata unaokidhi kigezo cha Leibniz ni chini ya usahihi unaohitajika:
, kwa hivyo na masharti yanayofuata yanaweza kutupwa.
Viunganishi vingi vya uhakika au visivyofaa vinavyohitajika haviwezi kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz, kwa sababu matumizi yake yanahusishwa na kutafuta kinza, ambacho mara nyingi hakina usemi katika utendakazi wa kimsingi. Pia hutokea kwamba kutafuta kizuia derivative kunawezekana, lakini ni kazi kubwa isiyo ya lazima. Walakini, ikiwa kazi ya kujumuisha imepanuliwa kuwa safu ya nguvu, na mipaka ya ujumuishaji ni ya muda wa muunganisho wa safu hii, basi hesabu ya takriban ya muunganisho na usahihi ulioamuliwa mapema inawezekana.
Suluhisho. Uunganisho unaofanana usio na kipimo hauwezi kuonyeshwa katika kazi za msingi, i.e. inawakilisha "kiunga kisicho cha kudumu". Fomula ya Newton-Leibniz haiwezi kutumika hapa. Wacha tuhesabu kiunga takriban.
Kugawanya neno kwa neno mfululizo wa dhambi x juu x, tunapata: 
Kuunganisha kipindi hiki cha mfululizo kwa muda (hii inawezekana, kwa kuwa mipaka ya ujumuishaji ni ya muda wa muunganisho wa safu hii), tunapata:
Kwa kuwa mfululizo unaotolewa unakidhi masharti ya Leibniz na inatosha kuchukua jumla ya masharti mawili ya kwanza ili kupata thamani inayotakiwa kwa usahihi fulani.
Kwa hivyo, tunapata 
.
Suluhisho.
. Hebu tuangalie ikiwa tunaweza kutupa salio baada ya muhula wa pili wa mfululizo unaotokana.
0.0001<0.001. Следовательно, 
.