Miongoni mwa mfululizo wa kazi, nafasi muhimu zaidi inachukuliwa na mfululizo wa nguvu.
Mfululizo wa nguvu ni mfululizo
ambao masharti yake ni utendaji kazi wa nguvu uliopangwa katika kuongeza nguvu kamili zisizo hasi x, A c 0 , c 1 , c 2 , c n - maadili ya mara kwa mara. Nambari c 1 , c 2 , c n - mgawo wa masharti ya mfululizo, c 0 - mwanachama wa bure. Masharti ya mfululizo wa nguvu yanafafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari.
Hebu tufahamiane na dhana maeneo ya muunganisho wa mfululizo wa nguvu. Hii ni seti ya maadili tofauti x, ambayo mfululizo hukutana. Mfululizo wa nguvu una eneo rahisi la muunganisho. Kwa maadili halisi ya kutofautiana x eneo la muunganiko lina ama ya nukta moja, au ni muda fulani (kipindi cha muunganiko), au sanjari na mhimili mzima. Ng'ombe .
Wakati wa kubadilisha maadili kwenye safu ya nguvu x= 0 itasababisha mfululizo wa nambari
c 0 +0+0+...+0+... ,
ambayo huungana.
Kwa hiyo, lini x= 0 mfululizo wowote wa nguvu huungana na, kwa hiyo, eneo lake la muunganiko haiwezi kuwa seti tupu. Muundo wa eneo la muunganisho wa safu zote za nguvu ni sawa. Inaweza kuanzishwa kwa kutumia nadharia ifuatayo.
Nadharia ya 1 (nadharia ya Abeli). Ikiwa safu ya nishati itabadilika kwa thamani fulani x = x 0, tofauti na sifuri, basi inaungana, na, zaidi ya hayo, kabisa, kwa maadili yote ya | x| < |x 0 | . Tafadhali kumbuka: thamani ya kuanzia "X ni sifuri" na thamani yoyote ya "X" ambayo inalinganishwa na thamani ya kuanzia inachukuliwa modulo - bila kuzingatia ishara.
Matokeo. Kama mfululizo wa nguvu hutofautiana kwa thamani fulani x = x 1, basi inatofautiana kwa maadili yote ya | x| > |x 1 | .
Kama ambavyo tumegundua hapo awali, mfululizo wowote wa nishati hubadilika kwa thamani x= 0. Kuna mfululizo wa nguvu ambao huungana tu wakati x= 0 na diverge kwa maadili mengine X. Ukiondoa kesi hii kwa kuzingatia, tunadhania kuwa mfululizo wa nishati hubadilika kwa thamani fulani x = x 0, tofauti na sifuri. Kisha, kulingana na nadharia ya Abeli, inaungana katika sehemu zote za muda ]-| x 0 |, |x 0 |[ (muda ambao mipaka yake ya kushoto na kulia ni thamani za x ambamo safu ya nishati huungana, ikichukuliwa na ishara ya kuondoa na ishara ya kuongeza, mtawalia), yenye ulinganifu kuhusu asili.
Ikiwa safu ya nishati itatofautiana kwa thamani fulani x = x 1, basi, kwa kuzingatia uwiano wa nadharia ya Abeli, inatofautiana katika sehemu zote nje ya sehemu [-| x 1 |, |x 1 |] . Inafuata kwamba kwa mfululizo wowote wa nguvu kuna ulinganifu wa muda kwa heshima na asili, inayoitwa muda wa muunganiko, katika kila hatua ambayo mfululizo hukutana, kwenye mipaka inaweza kuunganishwa, au inaweza kutofautiana, na si lazima kwa wakati mmoja, na nje ya sehemu mfululizo hutofautiana. Nambari R inaitwa radius ya muunganiko wa mfululizo wa nguvu.
Katika kesi maalum muda wa muunganisho wa mfululizo wa nishati inaweza kuzorota hadi kiwango (basi safu hubadilika wakati tu x= 0 na inazingatiwa hivyo R= 0) au wakilisha safu nzima ya nambari (kisha safu hubadilika katika sehemu zote za nambari ya nambari na inachukuliwa kuwa ).
Kwa hivyo, kuamua eneo la muunganisho wa safu ya nguvu inajumuisha kubainisha yake radius ya muunganisho R na kusoma muunganiko wa mfululizo kwenye mipaka ya muda wa muunganiko (saa ).
Nadharia ya 2. Ikiwa mgawo wote wa safu ya nguvu, kuanzia kwa moja, ni tofauti na sifuri, basi radius yake ya muunganisho ni sawa na kikomo kwa uwiano wa maadili kamili ya coefficients ya masharti ya kawaida. mfululizo unaofuata, i.e.
Mfano 1. Pata eneo la muunganisho wa mfululizo wa nguvu
Suluhisho. Hapa
Kutumia fomula (28), tunapata radius ya muunganisho wa safu hii:
Wacha tujifunze muunganisho wa safu kwenye miisho ya muda wa muunganiko. Mfano wa 13 unaonyesha kuwa mfululizo huu unakutana x= 1 na hutofautiana saa x= -1. Kwa hivyo, eneo la muunganisho ni nusu ya muda.
Mfano 2. Pata eneo la muunganisho wa mfululizo wa nguvu
Suluhisho. Coefficients ya mfululizo ni chanya, na
Hebu tupate kikomo cha uwiano huu, i.e. radius ya muunganisho wa safu ya nguvu:
Wacha tujifunze muunganisho wa safu kwenye miisho ya muda. Ubadilishaji wa maadili x= -1/5 na x= 1/5 katika safu hii inatoa:
Mfululizo wa kwanza kati ya hizi huungana (ona Mfano 5). Lakini basi, kwa mujibu wa nadharia katika sehemu ya "Muunganiko Kabisa", safu ya pili pia inaungana, na eneo la muunganiko wake ni sehemu.
Mfano 3. Pata eneo la muunganisho wa mfululizo wa nguvu
Suluhisho. Hapa
Kutumia formula (28) tunapata radius ya muunganisho wa safu:
Wacha tujifunze muunganisho wa safu kwa maadili ya . Kuzibadilisha katika mfululizo huu, tunapata kwa mtiririko huo
Misururu yote miwili hutofautiana kwa sababu hali muhimu ya muunganisho haijaridhishwa (maneno yao ya kawaida huwa hayaelekei sifuri kwa ). Kwa hivyo, katika ncha zote mbili za muda wa muunganiko, mfululizo huu hutofautiana, na eneo la muunganiko wake ni muda.
Mfano 5. Pata eneo la muunganisho wa mfululizo wa nguvu
Suluhisho. Tunapata uhusiano wapi, na 
:
Kulingana na formula (28), radius ya muunganisho wa mfululizo huu
,
yaani, mfululizo hukutana tu wakati x= 0 na inatofautiana kwa maadili mengine X.
Mifano inaonyesha kwamba katika miisho ya muda wa muunganiko mfululizo unatenda tofauti. Katika mfano 1, katika mwisho mmoja wa muda wa muunganiko mfululizo huungana, na kwa upande mwingine, hutofautiana; kwa mfano 2, huungana katika ncha zote mbili; kwa mfano 3, hutofautiana katika ncha zote mbili.
Fomula ya radius ya muunganiko wa mfululizo wa nishati hupatikana kwa kudhaniwa kuwa vigawo vyote vya masharti ya mfululizo, kuanzia hatua fulani, ni tofauti na sifuri. Kwa hiyo, matumizi ya formula (28) inaruhusiwa tu katika kesi hizi. Ikiwa hali hii imekiukwa, basi radius ya muunganisho wa mfululizo wa nguvu inapaswa kutafutwa kwa kutumia jaribio la d'Alembert, au, kwa kuchukua nafasi ya kutofautisha, kubadilisha mfululizo kuwa fomu ambayo hali maalum imeridhika.
Mfano 6. Pata muda wa muunganisho wa mfululizo wa nguvu
Suluhisho. Mfululizo huu hauna maneno yenye viwango vya kawaida X. Kwa hiyo, tunabadilisha mfululizo, kuweka. Kisha tunapata mfululizo
kupata radius ya muunganiko ambayo tunaweza kutumia fomula (28). Kwa kuwa , a , basi eneo la muunganiko wa mfululizo huu
Kutokana na usawa tunaopata , kwa hivyo, mfululizo huu hubadilika kwa muda.
Jumla ya mfululizo wa nguvu. Tofauti na ushirikiano wa mfululizo wa nguvuWacha kwa safu ya nguvu
radius ya muunganisho R> 0, yaani. mfululizo huu hubadilika kwa muda.
Kisha kila thamani X kutoka kwa muda wa muunganisho inalingana na jumla fulani ya mfululizo. Kwa hiyo, jumla ya mfululizo wa nguvu ni kazi ya X kwa muda wa muunganiko. Kuashiria kwa f(x), tunaweza kuandika usawa
kuelewa kwa maana kwamba jumla ya mfululizo katika kila nukta X kutoka kwa muda wa muunganisho ni sawa na thamani ya chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua hii. Kwa maana hiyo hiyo, tutasema kwamba mfululizo wa nguvu (29) hubadilika kwa kazi f(x) kwa muda wa muunganiko.
Nje ya muda wa muunganiko, usawa (30) hauna maana.
Mfano 7. Pata jumla ya mfululizo wa nguvu
Suluhisho. Huu ni mfululizo wa kijiometri ambao a= 1, a q= x. Kwa hiyo, jumla yake ni kazi 
. Mfululizo huungana if , na ni muda wake wa muunganiko. Kwa hivyo usawa
ni halali kwa thamani pekee, ingawa chaguo la kukokotoa 
imefafanuliwa kwa maadili yote X, isipokuwa X= 1.
Inaweza kuthibitishwa kuwa jumla ya mfululizo wa nguvu f(x) ni endelevu na inaweza kutofautishwa kwa muda wowote ndani ya muda wa muunganiko, hasa wakati wowote katika muda wa muunganiko wa mfululizo.
Hebu tuwasilishe nadharia kuhusu upambanuzi wa muda kwa muda na ujumuishaji wa mfululizo wa nishati.
Nadharia ya 1. Mfululizo wa nguvu (30) katika muda wa muunganisho wake unaweza kutofautishwa muda kwa muda idadi isiyo na kikomo ya nyakati, na mfululizo wa nishati unaotokana una radius sawa ya muunganiko kama mfululizo wa awali, na jumla yake ni sawa na .
Nadharia ya 2. Mfululizo wa nguvu (30) unaweza kuunganishwa kwa muda kwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati katika masafa kutoka 0 hadi X, if , na mfululizo wa nishati unaotokana una radius sawa ya muunganisho kama mfululizo wa asili, na hesabu zake ni sawa sawa
Acha kazi itolewe f(x), ambayo inahitaji kupanuliwa kwenye mfululizo wa nguvu, i.e. wakilisha katika fomu (30):
Kazi ni kuamua coefficients 
safu (30). Ili kufanya hivyo, kutofautisha usawa (30) neno kwa muda, tunapata mara kwa mara:
……………………………………………….. (31)
Kuzingatia usawa (30) na (31) X= 0, tunapata
Kubadilisha misemo iliyopatikana kuwa usawa (30), tunapata
(32)
Wacha tupate upanuzi wa safu ya Maclaurin ya kazi zingine za kimsingi.
Mfano 8. Panua kazi katika mfululizo wa Maclaurin
Suluhisho. Viini vya chaguo hili la kukokotoa vinaambatana na chaguo la kukokotoa lenyewe:
Kwa hiyo, lini X= 0 tunayo
Kubadilisha maadili haya kuwa fomula (32), tunapata upanuzi unaotaka:
(33)
Msururu huu huungana kwenye mstari mzima wa nambari (radius ya muunganiko).
Katika nadharia ya mfululizo wa kazi, mahali pa kati panachukuliwa na sehemu inayotolewa kwa upanuzi wa kazi katika mfululizo.
Kwa hivyo, kazi imewekwa: kwa kazi iliyotolewa tunahitaji kupata safu kama hiyo ya nguvu
ambayo iliungana kwa muda fulani na jumla yake ilikuwa sawa na 
,
hizo.
=
..
Kazi hii inaitwa tatizo la kupanua kazi katika mfululizo wa nguvu.
Hali ya lazima kwa utengano wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati ni kutofautisha kwake idadi isiyo na kikomo ya nyakati - hii inafuata kutoka kwa sifa za mfululizo wa nishati zinazounganishwa. Hali hii imeridhika, kama sheria, kwa kazi za kimsingi katika kikoa chao cha ufafanuzi.
Hivyo hebu kudhani kwamba kazi 
ina derivatives ya utaratibu wowote. Je, inawezekana kuipanua kuwa mfululizo wa nishati? Ikiwa ndivyo, tunawezaje kupata mfululizo huu? Sehemu ya pili ya tatizo ni rahisi kutatua, basi hebu tuanze nayo.
Wacha tufikirie kuwa kazi hiyo 
inaweza kuwakilishwa kama jumla ya mfululizo wa nishati unaobadilika katika muda ulio na uhakika X 0 :
=
..
(*)
Wapi A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... - coefficients haijulikani (bado).
Wacha tuweke usawa (*) thamani x = x 0 , kisha tunapata
.
Hebu tutofautishe mfululizo wa nguvu (*) muda baada ya muda
=
..
na kuamini hapa x = x 0 , tunapata
.
Kwa tofauti inayofuata tunapata mfululizo
=
..
kuamini x = x 0 ,
tunapata 
, wapi 
.
Baada ya P-tofauti nyingi tunazopata
Kwa kudhani katika usawa wa mwisho x = x 0 ,
tunapata 
, wapi
Kwa hivyo, coefficients hupatikana
,
,
,
…,
,….,
kubadilisha ambayo katika safu (*), tunapata
Mfululizo unaotokana unaitwa karibu na Taylorkwa utendaji
.
Hivyo, tumeanzisha hilo ikiwa kazi inaweza kupanuliwa kuwa safu ya nguvu kwa nguvu (x - x 0 ), basi upanuzi huu ni wa kipekee na mfululizo unaotokana lazima uwe mfululizo wa Taylor.
Kumbuka kuwa mfululizo wa Taylor unaweza kupatikana kwa chaguo la kukokotoa ambalo lina viingilio vya mpangilio wowote mahali hapo x = x 0 . Lakini hii haina maana kwamba ishara sawa inaweza kuwekwa kati ya kazi na mfululizo unaosababisha, i.e. kwamba jumla ya mfululizo ni sawa na kazi asilia. Kwanza, usawa kama huo unaweza kuwa na maana katika eneo la muunganisho, na safu ya Taylor iliyopatikana kwa kazi inaweza kutofautiana, na pili, ikiwa safu ya Taylor itaungana, basi jumla yake inaweza isiendane na kazi ya asili.
3.2. Masharti ya kutosha kwa utengano wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa TaylorWacha tuunda taarifa kwa msaada ambao kazi itatatuliwa.
Ikiwa kazi
katika baadhi ya kitongoji cha uhakika x 0 ina derivatives hadi (n+
1) ya utaratibu unaojumuisha, basi katika mtaa huu tulionaofomulaTaylor
WapiR n (X)-muhula uliobaki wa fomula ya Taylor - ina fomu (fomu ya Lagrange)
Wapi nuktaξ iko kati ya x na x 0 .
Kumbuka kuwa kuna tofauti kati ya safu ya Taylor na fomula ya Taylor: fomula ya Taylor ni jumla ya kikomo, i.e. P - nambari maalum.
Kumbuka kwamba jumla ya mfululizo S(x) inaweza kufafanuliwa kama kikomo cha mfuatano wa utendaji wa kiasi cha kiasi S P (x) kwa muda fulani X:
.
Kulingana na hii, kupanua kazi katika safu ya Taylor inamaanisha kupata safu kama hiyo kwa yoyote XX
Wacha tuandike fomula ya Taylor katika fomu ambayo
taarifa, hiyo 
inafafanua kosa tunalopata, badilisha chaguo la kukokotoa f(x)
polynomial S n (x).
Kama 
, Hiyo 
,wale. kazi imepanuliwa kuwa safu ya Taylor. Kinyume chake, ikiwa 
, Hiyo 
.
Hivyo tulithibitisha kigezo cha utengano wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor.
Ili kwa utendajif(x) inapanuka na kuwa safu ya Taylor, ni muhimu na inatosha kuwa katika kipindi hiki
, WapiR n (x) ni muhula uliosalia wa mfululizo wa Taylor.
Kwa kutumia kigezo kilichoundwa, mtu anaweza kupata kutoshamasharti ya kuharibika kwa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor.
Ikiwa ndanikitongoji fulani cha uhakika x 0 maadili kamili ya derivatives zote za chaguo za kukokotoa ni mdogo kwa nambari sawa M≥ 0, yaani.
, To katika kitongoji hiki kazi inapanuka hadi mfululizo wa Taylor.
Kutoka hapo juu inafuata algorithmupanuzi wa kazif(x) katika mfululizo wa Taylor katika eneo la uhakika X 0 :
1. Kutafuta derivatives ya kazi f(x):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…
2. Kokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa na thamani za viasili vyake kwa uhakika X 0
f(x 0 ), f’(x 0 ), f” (x 0 ), f’” (x 0 ), f (n) (x 0 ),…
3. Tunaandika rasmi mfululizo wa Taylor na kupata eneo la muunganisho wa mfululizo wa nguvu unaotokana.
4. Tunaangalia utimilifu wa hali ya kutosha, i.e. tunaanzisha kwa ajili gani X kutoka eneo la muunganiko, muda uliobaki R n (x)
huelekea sifuri kama 
au
.
Upanuzi wa kazi katika mfululizo wa Taylor kwa kutumia algorithm hii inaitwa upanuzi wa chaguo za kukokotoa kuwa safu ya Taylor kwa ufafanuzi au mtengano wa moja kwa moja.
Jinsi ya kuingiza fomula za hesabu kwenye wavuti?
Ikiwa utahitaji kuongeza fomula moja au mbili za hisabati kwenye ukurasa wa wavuti, basi njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kama ilivyoelezewa katika kifungu hicho: fomula za hisabati huingizwa kwa urahisi kwenye wavuti kwa njia ya picha ambazo hutolewa kiatomati na Wolfram Alpha. . Mbali na unyenyekevu, njia hii ya ulimwengu wote itasaidia kuboresha mwonekano wa tovuti katika injini za utafutaji. Imekuwa ikifanya kazi kwa muda mrefu (na, nadhani, itafanya kazi milele), lakini tayari imepitwa na wakati.
Ikiwa unatumia fomula za hisabati mara kwa mara kwenye tovuti yako, basi ninapendekeza utumie MathJax - maktaba maalum ya JavaScript inayoonyesha nukuu za hesabu katika vivinjari vya wavuti kwa kutumia markup ya MathML, LaTeX au ASCIIMAthML.
Kuna njia mbili za kuanza kutumia MathJax: (1) kwa kutumia msimbo rahisi, unaweza kuunganisha kwa haraka hati ya MathJax kwenye tovuti yako, ambayo itapakiwa kiotomatiki kutoka kwa seva ya mbali kwa wakati unaofaa (orodha ya seva); (2) pakua hati ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali hadi kwenye seva yako na uiunganishe na kurasa zote za tovuti yako. Njia ya pili - ngumu zaidi na inayotumia wakati - itaharakisha upakiaji wa kurasa za tovuti yako, na ikiwa seva kuu ya MathJax haitapatikana kwa muda kwa sababu fulani, hii haitaathiri tovuti yako mwenyewe kwa njia yoyote. Licha ya faida hizi, nilichagua njia ya kwanza kwa kuwa ni rahisi, haraka na hauhitaji ujuzi wa kiufundi. Fuata mfano wangu, na kwa dakika 5 tu utaweza kutumia vipengele vyote vya MathJax kwenye tovuti yako.
Unaweza kuunganisha hati ya maktaba ya MathJax kutoka kwa seva ya mbali kwa kutumia chaguo mbili za msimbo zilizochukuliwa kutoka kwa tovuti kuu ya MathJax au kwenye ukurasa wa nyaraka:
Moja ya chaguo hizi za msimbo inahitaji kunakiliwa na kubandikwa kwenye msimbo wa ukurasa wako wa wavuti, ikiwezekana kati ya lebo na au mara baada ya lebo. Kulingana na chaguo la kwanza, MathJax hupakia haraka na kupunguza kasi ya ukurasa. Lakini chaguo la pili hufuatilia kiotomatiki na kupakia matoleo ya hivi karibuni ya MathJax. Ukiingiza msimbo wa kwanza, utahitaji kusasishwa mara kwa mara. Ukiingiza msimbo wa pili, kurasa zitapakia polepole zaidi, lakini hutahitaji kufuatilia mara kwa mara masasisho ya MathJax.
Njia rahisi zaidi ya kuunganisha MathJax ni katika Blogger au WordPress: kwenye paneli dhibiti ya tovuti, ongeza wijeti iliyoundwa ili kuingiza msimbo wa JavaScript wa kampuni nyingine, nakili toleo la kwanza au la pili la msimbo wa upakuaji uliowasilishwa hapo juu ndani yake, na uweke wijeti karibu. hadi mwanzo wa template (kwa njia, hii sio lazima kabisa , kwani maandishi ya MathJax yanapakiwa asynchronously). Ni hayo tu. Sasa jifunze sintaksia ya ghafi ya MathML, LaTeX, na ASCIIMAthML, na uko tayari kuingiza fomula za hisabati kwenye kurasa za wavuti za tovuti yako.
Fractal yoyote inajengwa kulingana na sheria fulani, ambayo hutumiwa mara kwa mara idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Kila wakati kama huo huitwa kurudia.
Algorithm ya kurudia ya kuunda sifongo cha Menger ni rahisi sana: mchemraba wa asili ulio na upande wa 1 umegawanywa na ndege sambamba na nyuso zake katika cubes 27 sawa. Mchemraba mmoja wa kati na cubes 6 karibu nayo kando ya nyuso huondolewa kutoka kwake. Matokeo yake ni seti inayojumuisha cubes 20 ndogo iliyobaki. Kufanya vivyo hivyo na kila moja ya cubes hizi, tunapata seti inayojumuisha cubes 400 ndogo. Kuendeleza mchakato huu bila mwisho, tunapata sifongo cha Menger.
Ikiwa chaguo la kukokotoa f(x) lina viingilio vya maagizo yote kwa muda fulani ulio na nukta a, basi fomula ya Taylor inaweza kutumika kwake:
,
Wapi r n- kinachojulikana muda uliosalia au salio la mfululizo, inaweza kukadiriwa kwa kutumia fomula ya Lagrange:
, ambapo nambari x iko kati ya x na a.
f(x)=
kwa uhakika x 0 = Idadi ya vipengele vya safu 3 4 5 6 7
Tumia upanuzi wa chaguo msingi za kukokotoa e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m
Sheria za kuingiza kazi:
Ikiwa kwa thamani fulani X r n→0 kwa n→∞, kisha katika kikomo fomula ya Taylor inaungana kwa thamani hii Mfululizo wa Taylor:
,
Kwa hivyo, kazi f(x) inaweza kupanuliwa kuwa safu ya Taylor katika hatua x inayozingatiwa ikiwa:
1) ina derivatives ya maagizo yote;
2) safu iliyojengwa inaungana katika hatua hii.
Wakati = 0 tunapata safu inayoitwa safu ya Maclaurin:
,
Upanuzi wa kazi rahisi zaidi (za msingi) katika safu ya Maclaurin:
Vitendaji vya kielelezo
, R=∞
Kazi za Trigonometric 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Chaguo la kukokotoa actgx halipanui katika uwezo wa x, kwa sababu ctg0=∞
Vitendaji vya hyperbolic
Vipengele vya Logarithmic
, -1