Kuthibitisha mali ya kikomo cha kazi, tulikuwa na hakika kwamba kutoka kwa vitongoji vilivyochomwa ambavyo kazi zetu zilifafanuliwa na ambazo ziliibuka katika mchakato wa uthibitisho, pamoja na mali zilizoonyeshwa katika utangulizi wa. hatua iliyotangulia 2, kwa kweli hakuna kitu kilichohitajika. Hali hii hutumika kama uhalali wa kutambua kitu kifuatacho cha hisabati.
A. Msingi; ufafanuzi na mifano ya msingi
Ufafanuzi wa 11. Mkusanyiko B wa seti ndogo ya X utaitwa msingi katika seti X ikiwa masharti mawili yatatimizwa:
Kwa maneno mengine, vipengele vya mkusanyiko B ni seti zisizo tupu, na makutano ya zote mbili kati yao zina kipengele kutoka kwa mkusanyiko huo.
Wacha tuonyeshe baadhi ya misingi inayotumika sana katika uchanganuzi.
Ikiwa basi badala yake wanaandika na kusema kwamba x inaelekea kutoka kulia au kutoka upande maadili makubwa(kwa mtiririko huo, upande wa kushoto au upande wa maadili madogo). Wakati rekodi fupi inakubaliwa badala yake
Kiingilio kitatumika badala ya Anamaanisha kuwa a; huelekea juu ya seti E hadi a, ikibaki kuwa kubwa (ndogo) kuliko a.
halafu badala yake wanaandika na kusema kwamba x inaelekea kuongeza infinity (mtawalia, to minus infinity).
Ingizo litatumika badala yake
Wakati badala ya (ikiwa hii haileti kutokuelewana) tutaandika, kama ilivyo kawaida katika nadharia ya kikomo cha mlolongo.
Kumbuka kuwa besi zote zilizoorodheshwa zina upekee kwamba makutano ya vipengele vyovyote viwili vya msingi yenyewe ni kipengele cha msingi huu, na sio tu ina baadhi ya kipengele cha msingi. Tutakutana na besi zingine wakati wa kusoma chaguo za kukokotoa ambazo hazijabainishwa kwenye mhimili wa nambari.
Kumbuka pia kuwa neno "msingi" linalotumika hapa ni jina fupi kile katika hisabati kinaitwa "msingi wa kichujio", na kikomo cha msingi kilicholetwa hapa chini ni sehemu muhimu zaidi kwa uchambuzi wa dhana ya kikomo cha kichujio iliyoundwa na mwanahisabati wa kisasa wa Ufaransa A. Cartan.
b. Kikomo cha utendakazi kwa msingi
Ufafanuzi 12. Hebu iwe kazi kwenye X iliyowekwa; B ni msingi katika X. Nambari inaitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa kwa heshima na msingi B ikiwa kwa kitongoji chochote cha nukta A kuna kipengele cha msingi ambacho taswira yake iko katika kitongoji.
Ikiwa A ndio kikomo cha chaguo za kukokotoa kwa heshima na msingi B, basi andika
Wacha turudie ufafanuzi wa kikomo kwa msingi katika ishara ya kimantiki:
Kwa kuwa sasa tunaangalia kazi na maadili ya nambari, ni muhimu kukumbuka fomu ifuatayo ufafanuzi huu wa kimsingi:
Katika uundaji huu, badala ya kitongoji cha kiholela V (A), ulinganifu (kuhusiana na uhakika A) kitongoji (e-jirani) huchukuliwa. Usawa wa fasili hizi za vitendakazi vilivyo na thamani halisi hufuata kutokana na ukweli kwamba, kama ilivyotajwa tayari, ujirani wowote wa nukta una ujirani wa sehemu hiyo hiyo (fanya uthibitisho kamili!).
Tumetoa ufafanuzi wa jumla wa kikomo cha chaguo za kukokotoa juu ya msingi. Hapo juu tulijadili mifano ya hifadhidata zinazotumika sana katika uchanganuzi. KATIKA kazi maalum, ambapo moja au nyingine ya besi hizi inaonekana, lazima uweze kufafanua ufafanuzi wa jumla na kuandika kwa msingi maalum.
Kuzingatia mifano ya besi, sisi, hasa, tulianzisha dhana ya jirani ya infinity. Ikiwa tunatumia dhana hii, basi kwa mujibu wa ufafanuzi wa jumla Ni busara kukubali makubaliano yafuatayo:
au, ni nini sawa,
Kwa kawaida tunamaanisha thamani ndogo. Hii, kwa kweli, sivyo ilivyo katika ufafanuzi hapo juu. Kwa mujibu wa makusanyiko yaliyokubaliwa, kwa mfano, tunaweza kuandika
Ili kuzingatiwa kuthibitishwa katika kesi ya jumla kikomo juu ya msingi wa kiholela, nadharia hizo zote kuhusu mipaka ambazo tumethibitisha katika aya ya 2 kwa msingi maalum, ni muhimu kutoa ufafanuzi unaofanana: hatimaye mara kwa mara, hatimaye mdogo na usio na kipimo kwa msingi fulani wa kazi.
Ufafanuzi 13. Chaguo la kukokotoa linasemekana kuwa thabiti na msingi B ikiwa kuna nambari na kipengele cha msingi hivi kwamba wakati wowote.
Kwa sasa, faida kuu ya uchunguzi uliofanywa na dhana ya msingi iliyoletwa kuhusiana nayo ni kwamba hutuokoa kutokana na ukaguzi na uthibitisho rasmi wa nadharia za kikomo kwa kila aina maalum ya vifungu vya kikomo au, katika istilahi yetu ya sasa, kwa. kila aina maalum ya besi
Ili hatimaye kufahamiana na dhana ya kikomo juu ya msingi wa kiholela, tutafanya uthibitisho wa sifa zaidi za kikomo cha chaguo la kukokotoa katika fomu ya jumla.
Zingatia chaguo za kukokotoa %%f(x)%% iliyofafanuliwa angalau katika kitongoji fulani kilichotobolewa %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% ya pointi %%a \katika \ overline( \ mathbb(R))%% mstari wa nambari uliopanuliwa.
Wazo la kikomo cha Cauchy
Nambari %%A \katika \mathbb(R)%% inaitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa%%f(x)%%% katika hatua %%a \katika \mathbb(R)%% (au kwa %%x%% inaelekea %%a \katika \mathbb(R)%%), ikiwa, nini haijalishi ni nini nambari chanya%%\varepsilon%%, kuna nambari chanya %%\delta%% hivi kwamba kwa pointi zote za kitongoji cha %%\delta%%%%%%%%%%%%%%%%%%%a%%%%%%%a%%%%% ya nambari ya utendaji kazi ni mali ya% %\varepsilon%% kitongoji cha uhakika %%A%%, au
$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Leftrightarrow \forall\varepsilon > 0 ~\exists \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text) (U))_\delta(a) \Mshale wa kulia f(x) \katika \maandishi(U)_\varepsilon (A) \big) $$
Ufafanuzi huu unaitwa ufafanuzi wa %%\varepsilon%% na %%\delta%%, uliopendekezwa na mwanahisabati Mfaransa Augustin Cauchy na kutumiwa na mapema XIX karne hadi sasa, kwa kuwa ina ukali na usahihi wa kihesabu.
Kuchanganya vitongoji mbalimbali vya uhakika %%a%% ya fomu %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \ maandishi(U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^ - (a) %% na mazingira %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \ text(U) _\varepsilon (-\infty)%%, tunapata ufafanuzi 24 wa kikomo cha Cauchy.
Maana ya kijiometri
Maana ya kijiometri kikomo cha utendakazi
Wacha tujue maana ya kijiometri ya kikomo cha kazi katika hatua ni nini. Hebu tujenge grafu ya chaguo za kukokotoa %%y = f(x)%% na tuweke alama alama %%x = a%% na %%y = A%% juu yake.
Kikomo cha chaguo za kukokotoa %%y = f(x)%% katika hatua %%x \to a%% kipo na ni sawa na A ikiwa kwa %%\varepsilon%% kitongoji chochote cha uhakika %%A%% mtu anaweza kubainisha %%\ delta%%-kitongoji kama hicho cha uhakika %%a%%, kiasi kwamba kwa %%x%% yoyote kutoka %%\delta%%-kitongoji hiki thamani %%f(x)% % itakuwa katika %%\varepsilon%%-pointi za ujirani %%A%%.
Kumbuka kuwa kwa ufafanuzi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa kulingana na Cauchy, kwa kuwepo kwa kikomo katika %%x \to a%%%, haijalishi ni thamani gani kazi inachukua katika hatua %%a%%. Mifano inaweza kutolewa ambapo kipengele cha kukokotoa hakijafafanuliwa wakati %%x = a%% au kinachukua thamani tofauti na %%A%%. Hata hivyo, kikomo kinaweza kuwa %%A%%.
Uamuzi wa kikomo cha Heine
Kipengele %%A \katika \ overline(\mathbb(R))%% kinaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa %%f(x)%% kwa %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , ikiwa kwa mlolongo wowote %%\(x_n\) \hadi a%% kutoka kikoa cha ufafanuzi, mlolongo wa maadili yanayolingana \%\big\(f(x_n)\big\)% % inaelekea %%A%%.
Ufafanuzi wa kikomo kulingana na Heine ni rahisi kutumia wakati mashaka yanatokea juu ya uwepo wa kikomo cha kazi katika hatua fulani. Ikiwezekana kuunda angalau mlolongo mmoja %%\(x_n\)%% na kikomo katika uhakika %%a%% hivi kwamba mlolongo %%\big\(f(x_n)\big\)%% haina kikomo, basi tunaweza kuhitimisha kuwa chaguo za kukokotoa %%f(x)%% hazina kikomo katika hatua hii. Ikiwa kwa mbili mbalimbali mfuatano %%\(x"_n\)%% na %%\(x""_n\)%% kuwa na sawa punguza %%a%%, mifuatano %%\big\(f(x"_n)\big\)%% na %%\big\(f(x""_n)\big\)%% ina mbalimbali mipaka, basi katika kesi hii pia hakuna kikomo cha kazi %%f(x)%%.
Mfano
Acha %%f(x) = \sin(1/x)%%. Hebu tuangalie ikiwa kikomo cha chaguo hili la kukokotoa kipo katika sehemu %%a = 0%%.
Hebu kwanza tuchague mlolongo $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) unaobadilika hadi hapa. $$
Ni wazi kwamba %%x_n \ne 0~\forall~n \katika \mathbb(N)%% na %%\lim (x_n) = 0%%. Kisha %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% na %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.
Kisha chukua mlolongo wa kugeukia kwa uhakika sawa $$ x"_n = \left\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \kulia\), $$
ambayo %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \sawa na 1%% na %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%% Vile vile kwa mlolongo $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \kulia\), $$
pia kuungana kwa uhakika %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.
Mlolongo wote watatu ulitoa matokeo tofauti, ambayo yanapingana na hali ya ufafanuzi wa Heine, i.e. kipengele hiki haina kikomo kwa uhakika %%x = 0%%.
Nadharia
Ufafanuzi wa Cauchy na Heine wa kikomo ni sawa.
Acha kazi y = ƒ (x) ifafanuliwe katika kitongoji fulani cha nukta x o, isipokuwa, labda, nukta x o yenyewe.
Hebu tuunde ufafanuzi mbili sawa wa kikomo cha chaguo za kukokotoa katika hatua moja.
Ufafanuzi wa 1 (katika "lugha ya mlolongo", au kulingana na Heine).
Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) katika tanuru x 0 (au kwa x® x o), ikiwa kwa mfuatano wowote. maadili yanayokubalika hoja x n, n є N (x n ¹ x 0), kugeuzwa kuwa x, mlolongo wa maadili yanayolingana ya chaguo za kukokotoa ƒ(x n), n є N, hubadilika kuwa nambari A.
Katika kesi hii, wanaandika
au ƒ(x)->A kwa x→x o. Maana ya kijiometri ya kikomo cha chaguo la kukokotoa: inamaanisha kuwa kwa alama zote x ambazo ziko karibu vya kutosha na uhakika xo, maadili yanayolingana ya chaguo za kukokotoa hutofautiana kidogo kama inavyotakiwa kutoka kwa nambari A.
Ufafanuzi wa 2 (katika "lugha ya ε", au kulingana na Cauchy).
Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa katika nukta x o (au kwa x→x o) ikiwa kwa chanya yoyote ε kuna nambari chanya δ hivi kwamba kwa zote x¹ x o zinazokidhi ukosefu wa usawa |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.
Maana ya kijiometri ya kikomo cha chaguo za kukokotoa:
ikiwa kwa ε-kitongoji chochote cha nukta A kuna δ-kitongoji cha uhakika x o kiasi kwamba kwa wote x1 xo kutoka δ-kitongoji hiki thamani zinazolingana za chaguo za kukokotoa ƒ(x) ziko katika ε-kitongoji cha uhakika A. Kwa maneno mengine, pointi za grafu ya kazi y = ƒ(x) ziko ndani ya ukanda wa upana 2ε, umefungwa na mistari ya moja kwa moja y=A+ ε, y=A-ε (ona Mchoro 110). Kwa wazi, thamani ya δ inategemea uchaguzi wa ε, kwa hiyo tunaandika δ=δ(ε).
<< Пример 16.1
Thibitisha hilo
Suluhisho: Chukua ε>0 ya kiholela, tafuta δ=δ(ε)>0 ambayo kwa yote x inayotosheleza ukosefu wa usawa |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.
Tukichukua δ=ε/2, tunaona kwamba kwa wote x kutosheleza ukosefu wa usawa |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.
<< Пример 16.2
16.2. Mipaka ya upande mmoja
Katika kufafanua kikomo cha chaguo za kukokotoa, inazingatiwa kuwa x huelekea x 0 kwa njia yoyote: iliyobaki chini ya x 0 (upande wa kushoto wa x 0), kubwa kuliko x o (upande wa kulia wa x o), au inazunguka pande zote. pointi x0.
Kuna matukio wakati mbinu ya kukadiria hoja x hadi x o huathiri kwa kiasi kikubwa thamani ya kikomo cha utendakazi. Kwa hiyo, dhana za mipaka ya upande mmoja huletwa.
Nambari A 1 inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) upande wa kushoto kwenye nukta x o ikiwa kwa nambari yoyote ε>0 kuna nambari δ=δ(ε)> 0 kama kwamba kwa x є (x 0 -δ;x o), ukosefu wa usawa |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 au kwa ufupi: ƒ(x o- 0) = A 1 (nukuu ya Dirichlet) (ona Mchoro 111).
Kikomo cha chaguo la kukokotoa upande wa kulia kimedhamiriwa vile vile; tunaiandika kwa kutumia alama:
Kwa ufupi, kikomo cha kulia kinaonyeshwa na ƒ(x o +0)=A.
Mipaka ya kushoto na kulia ya chaguo za kukokotoa inaitwa mipaka ya upande mmoja. Ni wazi, ikiwa ipo, basi mipaka ya upande mmoja ipo, na A = A 1 = A 2.
Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa mipaka yote ƒ(x 0 -0) na ƒ(x 0 +0) ipo na ni sawa, basi kuna kikomo na A = ƒ(x 0 -0).
Ikiwa A 1 ¹ A 2, basi kanisa hili halipo.
16.3. Kikomo cha chaguo za kukokotoa ni x ® ∞
Acha chaguo la kukokotoa y=ƒ(x) lifafanuliwe katika muda (-∞;∞). Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo la kukokotoaƒ(x) katika x→ ∞ , ikiwa kwa nambari yoyote chanya ε kuna nambari M=M()>0 kama kwamba kwa zote x zinazotosheleza ukosefu wa usawa |x|>M ukosefu wa usawa |ƒ(x)-A|<ε. Коротко это определение можно записать так:
Maana ya kijiometri ya ufafanuzi huu ni kama ifuatavyo: kwa " ε>0 $ M>0, kwamba kwa x є(-∞; -M) au x є(M; +∞) thamani zinazolingana za chaguo za kukokotoa ƒ( x) kuanguka katika ε-jirani ya uhakika A , yaani, pointi za grafu ziko katika mstari wa upana 2ε, uliopunguzwa na mistari ya moja kwa moja y=A+ε na y=A-ε (ona Mchoro 112) .
16.4. Chaguo za kukokotoa zisizo na kikomo (b.b.f.)
Chaguo za kukokotoa y=ƒ(x) huitwa kubwa sana kwa x→x 0 ikiwa kwa nambari yoyote M>0 kuna nambari δ=δ(M)>0, ambayo kwa zote x inatosheleza usawa 0.<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.
Kwa mfano, chaguo za kukokotoa y=1/(x-2) ni b.b.f. kwa x->2.
Ikiwa ƒ(x) inaelekea kutokuwa na ukomo kama x→x o na inachukua tu maadili chanya, basi wanaandika
ikiwa tu maadili hasi, basi
Kazi y=ƒ(x), imefafanuliwa kwenye safu nzima ya nambari, inayoitwa kubwa isiyo na kikomo kama x→∞, ikiwa kwa nambari yoyote M>0 kuna nambari N=N(M)>0 ambayo kwa yote x inayotosheleza ukosefu wa usawa |x|>N, ukosefu wa usawa |ƒ(x)|>M unashikilia. Fupi:
Kwa mfano, y=2x ina b.b.f. kama x→∞.
Kumbuka kwamba ikiwa hoja x, inayoelekea kutokuwa na ukomo, inachukua tu maadili asilia, yaani xєN, basi b.b.f inayolingana. inakuwa mlolongo mkubwa usio na kikomo. Kwa mfano, mfuatano v n =n 2 +1, n є N, ni mfuatano mkubwa usio na kikomo. Ni wazi, kila b.b.f. katika kitongoji cha uhakika x o haina mipaka katika kitongoji hiki. Mazungumzo sio kweli: chaguo la kukokotoa lisilo na kikomo huenda lisiwe b.b.f. (Kwa mfano, y=xsinx.)
Hata hivyo, ikiwa limƒ(x)=A ya x→x 0, ambapo A ni nambari yenye kikomo, basi chaguo la kukokotoa ƒ(x) lina kikomo katika ujirani wa nukta x o.
Hakika, kutokana na ufafanuzi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa inafuata kwamba kama x→ x 0 hali |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.
Kikokotoo hiki cha hesabu mtandaoni kitakusaidia ukihitaji hesabu kikomo cha chaguo za kukokotoa. Mpango mipaka ya suluhisho sio tu inatoa jibu la shida, inaongoza ufumbuzi wa kina na maelezo, i.e. inaonyesha mchakato wa kuhesabu kikomo.
Mpango huu unaweza kuwa na manufaa kwa wanafunzi wa shule za sekondari katika shule za elimu ya jumla wakati wa kuandaa mitihani na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, na kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kufanya kazi yako ya nyumbani ya hesabu au aljebra haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii, unaweza kuendesha mafunzo yako mwenyewe na/au mafunzo ya kaka au dada zako wadogo, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa kutatua matatizo kikiongezeka.
Weka usemi wa chaguo la kukokotoaKuhesabu kikomo
Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...
Ikiwa wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.
Michezo yetu, puzzles, emulators:
Nadharia kidogo.
Kikomo cha chaguo za kukokotoa ni x->x 0
Wacha kitendakazi f(x) kifafanuliwe kwenye seti fulani ya X na acha uhakika \(x_0 \katika X\) au \(x_0 \notin X\)
Wacha tuchukue kutoka kwa X mlolongo wa alama tofauti na x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
inabadilika kuwa x*. Thamani za chaguo za kukokotoa katika pointi za mlolongo huu pia huunda mlolongo wa nambari
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
na mtu anaweza kuibua swali la kuwepo kwa kikomo chake.
Ufafanuzi. Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua x = x 0 (au kwa x -> x 0), ikiwa kwa mlolongo wowote (1) wa maadili ya hoja x tofauti na x 0. ikibadilika hadi x 0, mfuatano unaolingana (2) wa chaguo za kukokotoa za thamani hubadilika kuwa nambari A.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
Chaguo za kukokotoa f(x) zinaweza kuwa na kikomo kimoja tu katika nukta x 0. Hii inafuatia kutokana na ukweli kwamba mlolongo
(f(x n)) ina kikomo kimoja tu.
Kuna ufafanuzi mwingine wa kikomo cha chaguo za kukokotoa.
Ufafanuzi Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua x = x 0 ikiwa kwa nambari yoyote \(\varepsilon > 0\) kuna nambari \(\delta > 0\) ambayo kwa wote \ (x \katika X, \; x \neq x_0 \), ikitosheleza ukosefu wa usawa \(|x-x_0|) Kwa kutumia alama za kimantiki, ufafanuzi huu unaweza kuandikwa kama
\(\forall \varepsilon > 0) (\lipo \delta > 0) (\forall x \katika X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Zingatia kwamba kukosekana kwa usawa \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ufafanuzi wa kwanza unatokana na dhana ya kikomo cha mfuatano wa nambari, kwa hivyo mara nyingi huitwa ufafanuzi "katika lugha ya mfuatano." Ufafanuzi wa pili unaitwa ufafanuzi "katika lugha. \(\varepsilon - \delta \)".
Fafanuzi hizi mbili za kikomo cha chaguo za kukokotoa ni sawa na unaweza kutumia mojawapo ya hizo kulingana na ambayo ni rahisi zaidi kwa kutatua tatizo fulani.
Kumbuka kuwa ufafanuzi wa kikomo cha kazi "katika lugha ya mlolongo" pia huitwa ufafanuzi wa kikomo cha kazi kulingana na Heine, na ufafanuzi wa kikomo cha kazi "katika lugha \(\varepsilon - \delta \)" pia huitwa ufafanuzi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa kulingana na Cauchy.
Kikomo cha chaguo za kukokotoa katika x->x 0 - na kwa x->x 0 +
Katika kile kinachofuata, tutatumia dhana za mipaka ya upande mmoja wa chaguo za kukokotoa, ambazo zinafafanuliwa kama ifuatavyo.
Ufafanuzi Nambari A inaitwa kikomo cha kulia (kushoto) cha chaguo za kukokotoa f(x) kwenye nukta x 0 ikiwa kwa mfuatano wowote (1) kugeukia hadi x 0, ambayo vipengele vyake x n ni kubwa zaidi (chini ya) x 0, mlolongo unaolingana. (2) inabadilika kuwa A.
Kiishara imeandikwa hivi:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \kushoto(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \kulia) $$
Tunaweza kutoa ufafanuzi sawa wa vikomo vya upande mmoja vya chaguo za kukokotoa "katika lugha \(\varepsilon - \delta \)":
Ufafanuzi nambari A inaitwa kikomo cha kulia (kushoto) cha chaguo la kukokotoa f(x) katika uhakika x 0 ikiwa kwa \(\varepsilon > 0\) yoyote kuna \(\delta > 0\) kama kwamba kwa x zote. kutosheleza ukosefu wa usawa \(x_0 maingizo ya ishara:
Katika makala hii tutakuambia nini kikomo cha kazi ni. Kwanza, hebu tueleze mambo ya jumla ambayo ni muhimu sana kwa kuelewa kiini cha jambo hili.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Dhana ya kikomo
Katika hisabati, dhana ya infinity, iliyoonyeshwa na ishara ∞, ni muhimu sana. Inapaswa kueleweka kama nambari kubwa + ∞ au isiyo na kikomo - ∞ nambari. Tunapozungumza juu ya kutokuwa na mwisho, mara nyingi tunamaanisha maana zote mbili kwa wakati mmoja, lakini nukuu ya fomu + ∞ au - ∞ haipaswi kubadilishwa kwa urahisi na ∞.
Kikomo cha chaguo za kukokotoa kimeandikwa kama lim x → x 0 f (x) . Chini tunaandika hoja kuu x, na kwa msaada wa mshale tunaonyesha ni thamani gani x0 itaelekea. Ikiwa thamani x 0 ni nambari halisi halisi, basi tunashughulika na kikomo cha chaguo la kukokotoa kwa uhakika. Ikiwa thamani x 0 inaelekea kuwa isiyo na kikomo (haijalishi ikiwa ∞, + ∞ au - ∞), basi tunapaswa kuzungumza juu ya kikomo cha chaguo la kukokotoa katika ukomo.
Kikomo kinaweza kuwa cha mwisho au kisicho na mwisho. Ikiwa ni sawa na nambari maalum ya kweli, i.e. lim x → x 0 f (x) = A, basi inaitwa kikomo cha mwisho, lakini ikiwa lim x → x 0 f (x) = ∞, lim x → x 0 f (x) = + ∞ au lim x → x 0 f (x) = - ∞ , kisha isiyo na mwisho.
Ikiwa hatuwezi kuamua thamani isiyo na kikomo au isiyo na kikomo, inamaanisha kuwa kikomo kama hicho hakipo. Mfano wa kesi hii itakuwa kikomo cha sine kwa infinity.
Katika aya hii tutaelezea jinsi ya kupata thamani ya kikomo cha chaguo la kukokotoa kwa uhakika na kwa ukomo. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuanzisha ufafanuzi wa msingi na kukumbuka ni nini mlolongo wa nambari, pamoja na muunganisho wao na tofauti.
Ufafanuzi 1
Nambari A ndio kikomo cha chaguo za kukokotoa f (x) kama x → ∞ ikiwa mfuatano wa thamani zake hubadilika hadi A kwa mlolongo wowote mkubwa sana wa hoja (hasi au chanya).
Kuandika kikomo cha chaguo za kukokotoa inaonekana kama hii: lim x → ∞ f (x) = A.
Ufafanuzi 2
Kama x → ∞, kikomo cha chaguo za kukokotoa f(x) hakina kikomo ikiwa mfuatano wa thamani kwa mfuatano wowote mkubwa wa hoja pia ni mkubwa sana (chanya au hasi).
Ingizo linaonekana kama lim x → ∞ f (x) = ∞ .
Mfano 1
Thibitisha usawa wa lim x → ∞ 1 x 2 = 0 kwa kutumia ufafanuzi msingi wa kikomo cha x → ∞.
Suluhisho
Wacha tuanze kwa kuandika mlolongo wa maadili ya chaguo la kukokotoa 1 x 2 kwa mlolongo mkubwa usio na kipimo wa maadili ya hoja x = 1, 2, 3, . . . , n . . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 n 2 > . . .
Tunaona kuwa maadili yatapungua polepole, ikielekea 0. Tazama kwenye picha:
x = - 1 , - 2 , - 3 , . . . , - n , . . .
1 1 > 1 4 > 1 9 > 1 16 > . . . > 1 - n 2 > . . .
Hapa tunaweza pia kuona kupungua kwa monotonic kuelekea sifuri, ambayo inathibitisha uhalali wa hii katika hali ya usawa:
Jibu: Usahihi wa hii katika hali ya usawa imethibitishwa.
Mfano 2
Kokotoa kikomo lim x → ∞ e 1 10 x .
Suluhisho
Wacha tuanze, kama hapo awali, kwa kuandika mlolongo wa maadili f (x) = e 1 10 x kwa mlolongo mkubwa usio na kikomo wa hoja. Kwa mfano, x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → + ∞ .
e 1 10; e 4 10; e 9 10; e 16 10; e 25 10; . . . ; e 100 10; . . . = = 1, 10; 1, 49; 2, 45; 4, 95; 12, 18; . . . ; 22026, 46; . . .
Tunaona kwamba mfuatano huu ni chanya kabisa, ambayo ina maana f (x) = lim x → + ∞ e 1 10 x = + ∞
Wacha tuendelee kuandika maadili ya mlolongo mkubwa hasi, kwa mfano, x = - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, . . . , - 10 2 , . . . → - ∞ .
e - 1 10; e - 4 10; e - 9 10; e - 16 10; e - 25 10; . . . ; e - 100 10; . . . = = 0, 90; 0, 67; 0, 40; 0, 20; 0, 08; . . . ; 0.000045; . . . x = 1, 4, 9, 16, 25, . . . , 10 2 , . . . → ∞
Kwa kuwa pia huwa na sifuri, basi f (x) = lim x → ∞ 1 e 10 x = 0 .
Suluhisho la tatizo linaonyeshwa wazi katika kielelezo. Dots za bluu zinaonyesha mlolongo wa maadili mazuri, dots za kijani zinaonyesha mlolongo wa maadili hasi.
Jibu: lim x → ∞ e 1 10 x = + ∞ , pr na x → + ∞ 0 , pr na x → - ∞ .
Wacha tuendelee kwenye njia ya kuhesabu kikomo cha kazi kwa hatua. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kujua jinsi ya kufafanua kwa usahihi kikomo cha upande mmoja. Hili pia litatufaa ili kupata asymptoti wima za grafu ya chaguo za kukokotoa.
Ufafanuzi 3
Nambari B ni kikomo cha chaguo za kukokotoa f (x) upande wa kushoto kama x → a katika hali ambapo mfuatano wa thamani zake hubadilika hadi nambari fulani kwa mlolongo wowote wa hoja za chaguo za kukokotoa za x n kubadilika hadi a, ikiwa maadili yake hubaki chini ya a (x n< a).
Kikomo kama hicho kinaonyeshwa kwa maandishi kama lim x → a - 0 f (x) = B.
Sasa hebu tuunda kikomo cha chaguo la kukokotoa kulia ni nini.
Ufafanuzi 4
Nambari B ni kikomo cha chaguo za kukokotoa f (x) upande wa kulia kama x → a katika hali ambapo mfuatano wa thamani zake hubadilika hadi nambari fulani kwa mlolongo wowote wa hoja za chaguo za kukokotoa za x n kubadilika hadi a, ikiwa thamani zake hubaki kuwa kubwa kuliko a (x n > a) .
Tunaandika kikomo hiki kama lim x → a + 0 f (x) = B .
Tunaweza kupata kikomo cha kazi f (x) kwa wakati fulani wakati ina mipaka sawa kwenye pande za kushoto na kulia, i.e. lim x → a f (x) = lim x → a - 0 f (x) = lim x → a + 0 f (x) = B . Ikiwa mipaka yote miwili haina kikomo, kikomo cha chaguo za kukokotoa kwenye sehemu ya kuanzia pia kitakuwa kisicho na kikomo.
Sasa tutafafanua ufafanuzi huu kwa kuandika suluhisho la tatizo maalum.
Mfano 3
Thibitisha kuwa kuna kikomo cha mwisho cha chaguo za kukokotoa f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 kwenye hatua x 0 = 2 na uhesabu thamani yake.
Suluhisho
Ili kutatua tatizo, tunahitaji kukumbuka ufafanuzi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa kwa uhakika. Kwanza, hebu tuthibitishe kwamba chaguo la kukokotoa la awali lina kikomo upande wa kushoto. Wacha tuandike mlolongo wa maadili ya kazi ambayo yatabadilika kuwa x 0 = 2 ikiwa x n< 2:
f(-2); f (0); f (1); f 1 1 2; f 1 3 4; f 1 7 8; f 1 15 16; . . . ; f 1 1023 1024; . . . = = 8, 667; 2, 667; 0, 167; - 0, 958; - 1, 489; - 1, 747; - 1, 874; . . . ; - 1,998; . . . → - 2
Kwa kuwa mlolongo wa hapo juu unapunguza hadi - 2, tunaweza kuandika kwamba lim x → 2 - 0 1 6 x - 8 2 - 8 = - 2.
6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2
Thamani za kazi katika mlolongo huu zitaonekana kama hii:
f (6); f (4); f (3); f 2 1 2; f 2 3 4; f 2 7 8; f 2 15 16; . . . ; f 2 1023 1024; . . . = = - 7, 333; - 5, 333; - 3, 833; - 2, 958; - 2, 489; - 2, 247; - 2, 124; . . . , - 2,001, . . . → - 2
Mlolongo huu pia hubadilika hadi - 2, ambayo inamaanisha lim x → 2 + 0 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Tuligundua kuwa mipaka ya pande za kulia na za kushoto za kazi hii itakuwa sawa, ambayo ina maana kwamba kikomo cha kazi f (x) = 1 6 (x - 8) 2 - 8 katika hatua x 0 = 2 ipo, na lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Unaweza kuona maendeleo ya suluhisho kwenye kielelezo (doti za kijani ni mlolongo wa maadili yanayobadilika hadi x n.< 2 , синие – к x n > 2).
Jibu: Mipaka kwenye pande za kulia na za kushoto za kazi hii itakuwa sawa, ambayo ina maana kwamba kikomo cha kazi kipo, na lim x → 2 1 6 (x - 8) 2 - 8 = - 2.
Ili kujifunza nadharia ya mipaka kwa undani zaidi, tunakushauri kusoma makala juu ya kuendelea kwa kazi katika hatua na aina kuu za pointi za kuacha.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter