WPISANE I KOŁOWE WIELOBOĄTY,
§ 106. WŁAŚCIWOŚCI WPISANYCH I OPISANYCH KWADRIAGONÓW.
Twierdzenie 1. Suma przeciwne rogi cykliczny czworobok jest równy 180°.
Niech czworokąt ABCD będzie wpisany w okrąg o środku O (ryc. 412). Trzeba to udowodnić / + / C = 180° i / B + / D = 180°.
/
A wpisany w okrąg O ma długość 1/2 BCD.
/
C wpisane w to samo okrąg ma miarę 1/2 ZŁEGO.
W związku z tym sumę kątów A i C mierzy się jako połowę sumy łuków BCD i BAD, w sumie łuki te tworzą okrąg, czyli mają 360°.
Stąd /
+ /
C = 360°: 2 = 180°.
Podobnie zostało to udowodnione / B + / D = 180°. Można to jednak wywnioskować w inny sposób. Wiemy, że to kwota narożniki wewnętrzne wypukły czworobok równy 360°. Suma kątów A i C wynosi 180°, co oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworoboku również wynosi 180°.
Twierdzenie 2(odwracać). Jeżeli w czworokącie suma dwóch przeciwległych kątów jest równa 180° , to wokół takiego czworoboku można opisać okrąg.
Niech suma przeciwnych kątów czworoboku ABCD będzie równa 180°, mianowicie
/
+ /
C = 180° i /
B + /
D = 180° (rysunek 412).
Udowodnijmy, że wokół takiego czworoboku można opisać okrąg.
Dowód. Przez dowolne 3 wierzchołki tego czworokąta można narysować okrąg, na przykład przez punkty A, B i C. Gdzie będzie położony punkt D?
Punkt D może zajmować tylko jeden z następne trzy pozycje: być wewnątrz okręgu, być poza okręgiem, znajdować się na obwodzie okręgu.
Załóżmy, że wierzchołek znajduje się wewnątrz okręgu i zajmuje pozycję D” (rys. 413). Wtedy w czworoboku ABCD” będziemy mieli:
/ B + / D” = 2 D.
Kontynuując bok AD” do przecięcia z okręgiem w punkcie E i łącząc punkty E i C, otrzymujemy cykliczny czworobok ABCE, w którym na mocy twierdzenia bezpośredniego
/ B+ / mi = 2 D.
Z tych dwóch równości wynika:
/
D” = 2 D - /
B;
/
E=2 D - /
B;
/ D" = / MI,
ale tak nie może być, ponieważ / D”, będący zewnętrzny w stosunku do trójkąta CD”E, musi być większy od kąta E. Zatem punkt D nie może znajdować się wewnątrz okręgu.
Udowodniono również, że wierzchołek D nie może zająć pozycji D” poza okręgiem (ryc. 414).
Pozostaje uznać, że wierzchołek D musi leżeć na obwodzie okręgu, czyli pokrywać się z punktem E, co oznacza, że okrąg można opisać wokół czworoboku ABCD.
Konsekwencje. 1. Okrąg można opisać wokół dowolnego prostokąta.
2. Wokół trapez równoramienny potrafi opisać okrąg.
W obu przypadkach suma przeciwległych kątów wynosi 180°.
Twierdzenie 3. W opisywanym czworokącie sumy przeciwne strony są równe. Niech czworokąt ABCD będzie opisany po okręgu (ryc. 415), to znaczy jego boki AB, BC, CD i DA są styczne do tego okręgu.
Należy udowodnić, że AB + CD = AD + BC. Oznaczmy punkty styczności literami M, N, K, P. Bazując na własnościach stycznych do okręgu poprowadzonych z jednego punktu (§ 75) mamy:
AR = AK;
VR = maszyna wirtualna;
DN = DK;
CN = CM.
Dodajmy te równości termin po wyrazie. Otrzymujemy:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
tj. AB + CD = AD + BC, i to należało udowodnić.
Ćwiczenia.
1. W czworokącie wpisanym dwa przeciwległe kąty mają stosunek 3:5,
a pozostałe dwa są w stosunku 4: 5. Określ wielkość tych kątów.
2. W opisanym czworokącie suma dwóch przeciwnych boków wynosi 45 cm, pozostałe dwa boki są w stosunku 0,2: 0,3. Znajdź długość tych boków.
Czworokąt jest wpisany w okrąg, jeśli wszystkie jego wierzchołki leżą na okręgu. Okrąg taki jest opisany na czworokącie.
Tak jak nie każdy czworokąt można opisać wokół koła, tak nie każdy czworokąt można wpisać w okrąg.
Czworokąt wypukły wpisany w okrąg ma tę właściwość, że jego przeciwległe kąty sumują się do 180°. Zatem jeśli dany jest czworokąt ABCD, w którym kąt A jest przeciwny do kąta C, a kąt B jest przeciwny do kąta D, wówczas ∠A + ∠C = 180° i ∠B + ∠D = 180°.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli suma jednej pary przeciwnych kątów czworokąta wynosi 180°, wówczas suma drugiej pary daje tę samą kwotę. Wynika to z faktu, że w czworokącie wypukłym suma kątów jest zawsze równa 360°. Z kolei fakt ten wynika z faktu, że wypukłe wielokąty sumę kątów określa wzór 180° * (n – 2), gdzie n jest liczbą kątów (lub boków).
Możesz udowodnić własność wpisanego czworoboku w następujący sposób. Niech czworokąt ABCD będzie wpisany w okrąg O. Musimy udowodnić, że ∠B + ∠D = 180°.
Kąt B jest wpisany w okrąg. Jak wiadomo, taki kąt równy połowiełuk, na którym spoczywa. W w tym przypadku kąt B jest obsługiwany przez łuk ADC, co oznacza ∠B = ½◡ADC. (Ponieważ łuk jest równy kątowi pomiędzy tworzącymi go promieniami, możemy napisać, że ∠B = ½∠AOC, którego wewnętrzny obszar zawiera punkt D.)
Z drugiej strony kąt D czworoboku opiera się na łuku ABC, czyli ∠D = ½◡ABC.
Ponieważ boki kątów B i D przecinają okrąg w tych samych punktach (A i C), dzielą one okrąg tylko na dwa łuki - ◡ADC i ◡ABC. Ponieważ Pełne koło sumuje się do 360°, wtedy ◡ADC + ◡ABC = 360°.
W ten sposób otrzymano następujące równości:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Wyraźmy sumę kątów:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Wyjmijmy ½ z nawiasów:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
Zastąpmy sumę łuków ich wartością liczbową:
∠B + ∠D = ½ * 360° = 180°
Ustaliliśmy, że suma przeciwnych kątów czworokąta wpisanego wynosi 180°. To właśnie należało udowodnić.
To, że czworokąt wpisany ma tę właściwość (suma przeciwległych kątów wynosi 180°), nie oznacza, że każdy czworokąt, którego suma przeciwnych kątów wynosi 180°, można wpisać w okrąg. Chociaż w rzeczywistości jest to prawdą. Ten fakt zwany wpisany test czworoboku i formułuje się następująco: jeśli suma kątów przeciwnych czworokąta wypukłego wynosi 180°, to wokół niego można opisać okrąg (lub wpisać w okrąg).
Test na czworokąt wpisany można udowodnić przez sprzeczność. Niech dany będzie czworokąt ABCD, którego przeciwne kąty B i D sumują się do 180°. W tym przypadku kąt D nie leży na okręgu. Następnie weźmy punkt E na prostej zawierającej odcinek CD tak, aby leżał na okręgu. Rezultatem jest cykliczny czworobok ABCE. Ten czworokąt ma przeciwne kąty B i E, co oznacza, że sumują się do 180°. Wynika to z własności czworoboku wpisanego.
Okazuje się, że ∠B + ∠D = 180° i ∠B + ∠E = 180°. Jednakże kąt D czworoboku ABCD względem trójkąta AED jest zewnętrzny, a zatem większy niż kąt E tego trójkąta. W ten sposób doszliśmy do sprzeczności. Oznacza to, że jeśli suma przeciwnych kątów czworokąta wynosi 180°, to zawsze można go wpisać w okrąg.
Twierdzenie 1. Suma przeciwnych kątów cyklicznego czworoboku wynosi 180°.
Niech czworokąt ABCD będzie wpisany w okrąg o środku O (ryc. 412). Należy wykazać, że ∠A + ∠C = 180° i ∠B + ∠D = 180°.
∠A wpisane w okrąg O ma miarę 1/2 \(\breve(BCD)\).
∠C wpisane w ten sam okrąg ma miarę 1/2 \(\breve(BAD)\).
W rezultacie sumę kątów A i C mierzy się jako połowę sumy łuków BCD i BAD, w sumie łuki te tworzą okrąg, tj. mieć 360°.
Stąd ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
Podobnie udowodniono, że ∠B + ∠D = 180°. Można to jednak wywnioskować w inny sposób. Wiemy, że suma kątów wewnętrznych czworokąta wypukłego wynosi 360°. Suma kątów A i C wynosi 180°, co oznacza, że suma pozostałych dwóch kątów czworoboku również wynosi 180°.
Twierdzenie 2 (odwrotne). Jeżeli w czworokącie suma dwóch przeciwległych kątów jest równa 180° , to wokół takiego czworoboku można opisać okrąg.
Niech suma przeciwnych kątów czworoboku ABCD będzie równa 180°, mianowicie
∠A + ∠C = 180° i ∠B + ∠D = 180° (ryc. 412).
Udowodnijmy, że wokół takiego czworoboku można opisać okrąg.
Dowód. Przez dowolne 3 wierzchołki tego czworokąta można narysować okrąg, na przykład przez punkty A, B i C. Gdzie będzie położony punkt D?
Punkt D może zajmować tylko jedno z poniższych trzy pozycje: znajdować się w okręgu, być poza okręgiem, znajdować się na obwodzie koła.
Załóżmy, że wierzchołek znajduje się wewnątrz okręgu i zajmuje pozycję D’ (rys. 413). Wtedy w czworokącie ABCD’ będziemy mieli:
∠B + ∠D’ = 2 D.
Kontynuując bok AD’ do przecięcia z okręgiem w punkcie E i łącząc punkty E i C, otrzymujemy cykliczny czworobok ABCE, w którym na mocy twierdzenia bezpośredniego
∠B + ∠E = 2 D.
Z tych dwóch równości wynika:
∠D’ = 2 D- ∠B;
∠E = 2 D- ∠B;
ale tak nie może być, gdyż ∠D’, będący zewnętrznym względem trójkąta CD’E, musi być większy od kąta E. Zatem punkt D nie może znajdować się wewnątrz okręgu.
Udowodniono również, że wierzchołek D nie może zająć pozycji D” poza okręgiem (ryc. 414).
Pozostaje uznać, że wierzchołek D musi leżeć na obwodzie okręgu, czyli pokrywać się z punktem E, co oznacza, że okrąg można opisać wokół czworoboku ABCD.
Konsekwencje.
1. Okrąg można opisać wokół dowolnego prostokąta.
2. Okrąg można opisać wokół trapezu równoramiennego.
W obu przypadkach suma przeciwległych kątów wynosi 180°.
Twierdzenie 3. W czworoboku opisanym sumy przeciwległych boków są równe. Niech czworokąt ABCD będzie opisany po okręgu (ryc. 415), to znaczy jego boki AB, BC, CD i DA są styczne do tego okręgu.
Należy udowodnić, że AB + CD = AD + BC. Oznaczmy punkty styczności literami M, N, K, P. Bazując na własnościach stycznych poprowadzonych do okręgu z jednego punktu, mamy:
Dodajmy te równości termin po wyrazie. Otrzymujemy:
AR + BP + DN + CN = AK + VM + DK + SM,
tj. AB + CD = AD + BC, i to należało udowodnić.
Inne materiałyTemat: „Opisane koło regularny wielokąt» zostało szczegółowo omówione w dalszej części program nauczania. Pomimo tego zadania związane z ta sekcja planimetria sprawia wielu uczniom szkół średnich pewne trudności. Jednocześnie zrozum zasadę rozwiązania Problemy z egzaminem jednolitym z okręgiem opisanym wokół wielokąta, absolwenci o dowolnym poziomie wyszkolenia muszą.
Jak przygotować się do egzaminu Unified State Exam?
W celu Zadania z egzaminu jednolitego stanu na temat „Okrąg opisany na wielokącie foremnym” nie sprawił uczniom żadnych trudności, studiuj wspólnie z portalem edukacyjnym „Shkolkovo”. Z nami możesz to powtórzyć materiał teoretyczny na tematy, które sprawiają ci trudność. Twierdzenia i wzory, które wcześniej wydawały się dość skomplikowane, zostały przedstawione w przystępny i zrozumiały sposób.
Aby odświeżyć pamięć podstawowych definicji i pojęć dotyczących kątów i środka okręgu opisanego na wielokącie, a także twierdzeń dotyczących długości odcinków, wystarczy, że absolwenci udają się do działu „Pomoc teoretyczna”. Tutaj zamieściliśmy materiały opracowane przez naszych doświadczonych pracowników specjalnie dla studentów różne poziomy przygotowanie.
Aby utrwalić zdobytą wiedzę, uczniowie szkół średnich mogą ćwiczyć wykonywanie ćwiczeń. NA portalu edukacyjnego„Shkolkovo” w sekcji „Katalog” prezentuje dużą bazę danych zadań o różnym stopniu złożoności dla maksimum skuteczne przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego. Każde zadanie na stronie zawiera algorytm rozwiązania i poprawną odpowiedź. Baza danych ćwiczeń Shkolkovo jest regularnie aktualizowana i uzupełniana.
Studenci z Moskwy i innych krajów ćwiczą rozwiązywanie zadań na naszej stronie internetowej Rosyjskie miasta można to zrobić online. W razie potrzeby dowolne ćwiczenie można zapisać w sekcji „Ulubione”. W przyszłości będzie można wrócić do tego zadania i np. omówić algorytm jego rozwiązania nauczyciel szkoły lub korepetytor.